Fiche de révision — Fonction exponentielle
L’essentiel à connaître : définitions, propriétés, dérivées, variations, méthodes Bac, pièges.
Définition (à retenir)
\[
\exp(x)=e^x
\]
Fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(\exp'(x)=\exp(x)\) et \(\exp(0)=1\).
Propriétés indispensables
Valeurs clés
\[
e^0=1,\qquad e^1=e,\qquad e^{-1}=\frac{1}{e}
\]
Signe
\[
\forall x\in\mathbb{R},\quad e^x>0
\]
Donc \(e^{u(x)}\) est toujours strictement positif.
Identités exponentielles
\[
e^{a+b}=e^a e^b,\qquad
e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b},\qquad
(e^a)^b=e^{ab},\qquad
e^{-a}=\frac{1}{e^a}
\]
Piège classique
\((e^x)^2=e^{2x}\) mais \(e^{x^2}\neq e^{2x}\). Toujours regarder l’exposant.
Variations et limites
Dérivée
\[
(e^x)'=e^x
\]
Comme \(e^x>0\), \(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Limites
\[
\lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty,\qquad
\lim_{x\to -\infty}e^x=0
\]
Tableau de variations de \(e^x\)
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & & +\infty\\
\hline
e^x & 0 & \nearrow & +\infty
\end{array}
\]
Dérivation (très important)
Formule générale
\[
\big(e^{u(x)}\big)' = u'(x)\,e^{u(x)}
\]
Exemples
\[
(e^{3x-1})'=3e^{3x-1}
\]
\[
(e^{-x^2})'=-2x\,e^{-x^2}
\]
Produit (règle du produit)
\[
(x e^x)' = (x+1)e^x
\]
\[
\big((x^2-1)e^x\big)'=(2x)e^x+(x^2-1)e^x=(x^2+2x-1)e^x
\]
Équations / inéquations : méthode Bac
Principe (injectivité)
\[
e^{u(x)}=e^{v(x)} \iff u(x)=v(x)
\]
\[
e^{u(x)}\le e^{v(x)} \iff u(x)\le v(x)
\]
Car \(e^x\) est strictement croissante.
Exemples express
\[
e^{2x-1}=e^{x+3}\iff 2x-1=x+3\iff x=4
\]
\[
e^{3x+1}\ge e^{2-2x}\iff 3x+1\ge 2-2x\iff x\ge \frac{1}{5}
\]
Cas \(e^{u(x)}=k\)
Toujours vérifier : \(e^{u(x)}\) est strictement positif. Donc si \(k\le 0\), aucune solution.
Si \(k>0\), la résolution “exacte” utilisera \(\ln\) plus tard ; ici on peut souvent traiter des cas
particuliers (\(k=1\Rightarrow u(x)=0\), etc.).
Étude de fonctions : routine à appliquer
1
Dériver
Appliquer \((e^{u})'=u'e^{u}\) + règles usuelles.
2
Factoriser
Chercher un facteur \(e^{u(x)}\) (toujours \(>0\)).
3
Signe de \(f'\)
Le signe vient de la partie restante (polynôme, affine…).
4
Variations + limites
Tableau de variations + asymptotes si besoin.
Mini-exemple modèle
Pour \(f(x)=x e^x\),
\[
f'(x)=(x+1)e^x
\]
donc le signe de \(f'\) est celui de \(x+1\) (car \(e^x>0\)).
Modélisation : croissance/décroissance
Évolution discrète (pourcentages)
\[
V_n = V_0(1+t)^n
\]
Suite géométrique : multiplicateur \(q=1+t\).
Évolution continue (taux constant)
\[
V(t)=V_0 e^{kt}
\]
\(k>0\) : croissance ; \(k<0\) : décroissance.
Check rapide
Si tu trouves une valeur \(V(t)\) négative avec un modèle \(V_0 e^{kt}\), c’est forcément une erreur :
l’exponentielle est toujours positive.