Fonction Exponentielle
1ERE-SPE • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Fonction exponentielle (1ère Spé)
Définition • identités • signe • variations • dérivées • équations / inéquations • asymptotes • modélisation.
Objectif : zéro faute + méthodes rapides (niveau solide / 1ère Spé).
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Définition
\[
\exp(x)=e^x
\]
Fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que
\[
\exp'(x)=\exp(x)
\qquad\text{et}\qquad
\exp(0)=1.
\]
Valeurs clés :
\[
e^0=1,\qquad e^1=e,\qquad e^{-1}=\frac1e.
\]
2 Identités exponentielles
| Règle | Remarque |
|---|---|
| \(e^{a+b}=e^a e^b\) | somme \(\to\) produit |
| \(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\) | différence \(\to\) quotient |
| \((e^a)^b=e^{ab}\) | puissance d’une puissance |
| \(e^{-a}=\dfrac1{e^a}\) | exposant négatif |
| \(e^x>0\) | toujours positif |
Faux : \(e^{a+b}=e^a+e^b\).
3 Variations et limites
\[
(e^x)'=e^x>0
\]
Donc \(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[
\lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to -\infty}e^x=0
\]
Tableau :
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & & +\infty\\
\hline
e^x & 0 & \nearrow & +\infty
\end{array}
\]
4 Dérivation
\[
\big(e^{u(x)}\big)'=u'(x)e^{u(x)}
\]
Exemples :
\[
(e^{3x-1})'=3e^{3x-1}
\]
\[
(e^{-x^2})'=-2x\,e^{-x^2}
\]
\[
(x e^x)'=(x+1)e^x
\]
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Résoudre une équation exponentielle
- Mettre si possible les deux membres sous la forme \(e^{u}\) et \(e^{v}\).
- Utiliser l’injectivité : \[ e^{u}=e^{v}\iff u=v \]
- Résoudre l’équation classique obtenue.
\(e^{2x-1}=e^{x+3}\iff 2x-1=x+3\iff x=4\)
B Résoudre une inéquation exponentielle
- Comparer deux exponentielles.
- Comme \(e^x\) est croissante : \[ e^{u}\le e^{v}\iff u\le v \]
- Résoudre l’inéquation classique.
\(e^{3x+1}\ge e^{2-2x}\iff 3x+1\ge 2-2x\iff 5x\ge 1\iff x\ge \frac15\)
C Étudier une fonction avec \(e^x\)
- Calculer la dérivée.
- Factoriser si possible par \(e^{u(x)}\).
- Utiliser que \(e^{u(x)}>0\).
- Étudier le signe du facteur restant.
- Dresser le tableau de variations.
Si \(f'(x)=e^{u(x)}g(x)\), alors le signe de \(f'(x)\) est celui de \(g(x)\).
D Lire une asymptote horizontale
Si
\[
\lim_{x\to -\infty}(a+be^x)=a,
\]
alors \(y=a\) est asymptote horizontale à gauche.
\(\lim_{x\to -\infty}(1+e^x)=1\Rightarrow y=1\) asymptote horizontale.
Pièges classiques (à éviter)
1 Identités fausses
\(e^{a+b}\neq e^a+e^b\).
La bonne formule est \[ e^{a+b}=e^a e^b. \]
La bonne formule est \[ e^{a+b}=e^a e^b. \]
2 Exposants
\((e^x)^2=e^{2x}\), mais
\[
e^{x^2}\neq e^{2x}.
\]
3 Signe
Une exponentielle est toujours positive :
\[
e^{u(x)}>0.
\]
Donc \(e^{u(x)}=0\) n’a jamais de solution.
Réflexe : dans une dérivée, si tu peux factoriser par \(e^{u(x)}\), fais-le tout de suite.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Valeur
Calculer \(e^0\).
Corrigé : \(e^0=1\).
Q2 Identité
Simplifier \(e^3\times e^2\).
Corrigé : \(e^{3+2}=e^5\).
Q3 Dérivée
Dériver \(e^{4x}\).
Corrigé : \((e^{4x})'=4e^{4x}\).
Q4 Comparaison
Résoudre \(e^x\le e^3\).
Corrigé : \(x\le 3\).
Q5 Limite
Calculer \(\lim_{x\to -\infty}e^x\).
Corrigé : \(0\).
Q6 Produit
Dériver \(x e^x\).
Corrigé : \((x+1)e^x\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Réciter les identités exponentielles sans erreur.
- Utiliser que \(e^x>0\) pour étudier un signe.
- Dériver \(e^{u(x)}\).
- Résoudre \(e^{u}=e^{v}\) et \(e^{u}\le e^{v}\).
- Étudier une fonction contenant \(e^x\).
- Lire une asymptote horizontale simple.
- Interpréter un modèle \(V(t)=V_0e^{kt}\).
Réflexes 20/20
1) Je pense immédiatement : \(e^{u(x)}>0\).
2) Je factorise par l’exponentielle dans les dérivées.
3) Je remplace une équation exponentielle par une équation classique grâce à l’injectivité.
2) Je factorise par l’exponentielle dans les dérivées.
3) Je remplace une équation exponentielle par une équation classique grâce à l’injectivité.
À bannir : \(e^{a+b}=e^a+e^b\), oublier le facteur \(u'(x)\) dans \((e^{u(x)})'\), ou chercher des solutions à \(e^{u(x)}=0\).