Quiz de maths 1ère spé : Fonction exponentielle
Quiz — Fonction exponentielle
Quiz — Fonction exponentielle
20 questions bien avancées : identités exponentielles, équations, inéquations, dérivées, tangentes, variations et optimisation.
Q1. Simplifier : \(e^{3x}\times e^{-5x}\).
Non vérifié
Indice
On utilise \(e^a\times e^b=e^{a+b}\).
Correction
On a \(e^{3x}\times e^{-5x}=e^{3x-5x}=e^{-2x}\).
Q2. Simplifier : \(\dfrac{e^{4x}}{e^{x-1}}\).
Non vérifié
Indice
On utilise \(\dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}\).
Correction
On obtient \(\dfrac{e^{4x}}{e^{x-1}}=e^{4x-(x-1)}=e^{3x+1}\).
Q3. Simplifier : \((e^{2x-1})^3\).
Non vérifié
Indice
On utilise \((e^a)^n=e^{na}\).
Correction
On a \((e^{2x-1})^3=e^{3(2x-1)}=e^{6x-3}\).
Q4. Mettre sous la forme \(e^{ax+b}\) : \(e^x\times e^2\times e^{-3x+1}\).
Non vérifié
Indice
Additionne tous les exposants.
Correction
On additionne les exposants : \(x+2+(-3x+1)=-2x+3\). Donc le résultat est \(e^{-2x+3}\).
Q5. Simplifier : \(\dfrac{e^{2x+3}\times e^{-x}}{e^{x-4}}\).
Non vérifié
Indice
Regroupe les exposants au numérateur puis soustrais celui du dénominateur.
Correction
Au numérateur : \(e^{2x+3}\times e^{-x}=e^{x+3}\). Puis \(\dfrac{e^{x+3}}{e^{x-4}}=e^{x+3-(x-4)}=e^7\).
Q6. Résoudre : \(e^{2x-1}=e^{x+4}\). Donner la valeur de \(x\).
Non vérifié
Indice
La fonction exponentielle est strictement croissante : \(e^A=e^B\Rightarrow A=B\).
Correction
Comme \(e^{2x-1}=e^{x+4}\), on a \(2x-1=x+4\). Donc \(x=5\).
Q7. Résoudre : \(e^{3x+2}=e^{x-6}\). Donner la valeur de \(x\).
Non vérifié
Indice
On égalise les exposants.
Correction
On résout \(3x+2=x-6\), donc \(2x=-8\), d’où \(x=-4\).
Q8. Résoudre : \(e^{x-2}\le e^3\).
Non vérifié
Indice
L’exponentielle est strictement croissante.
Correction
Comme \(e^{x-2}\le e^3\), on a \(x-2\le 3\). Donc \(x\le 5\).
Q9. Résoudre : \(e^{-2x+1}>e^7\).
Non vérifié
Indice
On compare les exposants, puis attention au signe lorsqu’on divise par \(-2\).
Correction
Comme \(e^{-2x+1}>e^7\), on obtient \(-2x+1>7\), donc \(-2x>6\). En divisant par \(-2\), le sens change : \(x\lt -3\).
Q10. Quelles affirmations sont vraies ?
Non vérifié
Indice
L’exponentielle est toujours positive et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Correction
Les affirmations vraies sont : \(e^x>0\) pour tout réel \(x\), la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et donc si \(a\lt b\), alors \(e^a\lt e^b\). En revanche, \(e^x=0\) est impossible.
Q11. Dériver : \(f(x)=e^{3x-2}\).
Non vérifié
Indice
Si \(f(x)=e^{u(x)}\), alors \(f'(x)=u'(x)e^{u(x)}\).
Correction
Ici \(u(x)=3x-2\), donc \(u'(x)=3\). Ainsi \(f'(x)=3e^{3x-2}\).
Q12. Dériver : \(g(x)=(2x-1)e^x\).
Non vérifié
Indice
Utilise la formule du produit : \((uv)'=u'v+uv'\).
Correction
Avec \(u(x)=2x-1\) et \(v(x)=e^x\), on a \(u'(x)=2\) et \(v'(x)=e^x\). Donc \(g'(x)=2e^x+(2x-1)e^x=(2x+1)e^x\).
Q13. Dériver : \(h(x)=x^2e^{-x}\).
Non vérifié
Indice
Produit + dérivée de \(e^{-x}\).
Correction
On pose \(u=x^2\) et \(v=e^{-x}\). Alors \(u'=2x\) et \(v'=-e^{-x}\). Donc \(h'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}\).
Q14. Soit \(f(x)=e^x-3x\). Quelle est l’expression de \(f'(x)\) ?
Non vérifié
Indice
La dérivée de \(e^x\) est \(e^x\), et celle de \(-3x\) est \(-3\).
Correction
On obtient directement \(f'(x)=e^x-3\).
Q15. Dériver : \(p(x)=\dfrac{e^x}{x+1}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
Non vérifié
Indice
Utilise la formule du quotient.
Correction
Avec \(u=e^x\) et \(v=x+1\), on a \(u'=e^x\) et \(v'=1\). Donc \(p'(x)=\dfrac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}=\dfrac{xe^x}{(x+1)^2}\).
Q16. Soit \(f(x)=e^x-3x\). Sur quel intervalle \(f\) est-elle décroissante ?
Non vérifié
Indice
Étudier le signe de \(f'(x)=e^x-3\).
Correction
On a \(f'(x)=e^x-3\). Cette dérivée est négative lorsque \(e^x\lt 3\), c’est-à-dire lorsque \(x\lt \ln(3)\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;\ln(3)[\).
Q17. Soit \(f(x)=x e^{-x}\). Le signe de \(f'(x)\) est celui de :
Non vérifié
Indice
Calcule \(f'(x)\), puis utilise le fait que \(e^{-x}>0\).
Correction
On a \(f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}\). Comme \(e^{-x}>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1-x\).
Q18. Soit \(f(x)=x e^{-x}\). Alors \(f\) admet :
Non vérifié
Indice
Utilise le signe de \(f'(x)=(1-x)e^{-x}\).
Correction
Comme \(e^{-x}>0\), le signe de \(f'\) dépend de \(1-x\). La fonction est croissante sur \(]-\infty;1]\), puis décroissante sur \([1;+\infty[\). Elle admet donc un maximum en \(x=1\).
Q19. Donner l’équation de la tangente à la courbe de \(f(x)=e^x\) au point d’abscisse \(0\).
Non vérifié
Indice
Formule : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
Correction
Pour \(f(x)=e^x\), on a \(f'(x)=e^x\). Donc \(f(0)=1\) et \(f'(0)=1\). La tangente est \(y=1(x-0)+1=x+1\).
Q20. Soit \(f(x)=e^x-x-1\). Quelles affirmations sont vraies ?
Non vérifié
Indice
Calcule \(f(0)\), puis étudie le signe de \(f'(x)\).
Correction
On a \(f(0)=1-0-1=0\). De plus \(f'(x)=e^x-1\). Cette dérivée est négative sur \(]-\infty;0[\), nulle en 0, puis positive sur \(]0;+\infty[\). Donc \(f\) admet un minimum en \(x=0\). Ainsi \(f(x)\ge 0\) pour tout réel \(x\), donc l’affirmation \(f(x)\lt 0\) pour tout réel \(x\) est fausse.