Fonction Exponentielle
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Cours complet — Fonction exponentielle (1ère Spé)
Définition • identités • signe • variations • dérivation • équations / inéquations • études de fonctions • modélisation. Objectif : comprendre, savoir rédiger, et réussir les exercices type Bac.
Objectifs Définition Propriétés Variations Dérivation Équations Études Modélisation Checklist
Objectifs du chapitre
1 Ce qu’il faut savoir faire
  • Définir et reconnaître la fonction exponentielle \(x\mapsto e^x\).
  • Utiliser les identités exponentielles sans erreur.
  • Connaître le signe, les variations et les limites de \(e^x\).
  • Dériver une fonction du type \(e^{u(x)}\).
  • Résoudre des équations et inéquations exponentielles simples.
  • Étudier une fonction contenant une exponentielle.
  • Interpréter un modèle de croissance ou de décroissance continue.
2 Idée centrale
La fonction exponentielle est spéciale car :
  • elle est toujours strictement positive,
  • elle est strictement croissante,
  • sa dérivée est elle-même.
C’est ce qui explique pourquoi elle intervient dans les modèles d’évolution continue.
Définition
1 Définition rigoureuse
\[ \exp(x)=e^x \] La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \[ \exp'(x)=\exp(x) \qquad\text{et}\qquad \exp(0)=1. \]
2 Valeurs de base
\[ e^0=1,\qquad e^1=e,\qquad e^{-1}=\frac1e \]
On doit aussi retenir que \(e^x\) ne s’annule jamais.
Propriétés essentielles
1 Identités exponentielles
RègleLecture
\(e^{a+b}=e^a e^b\)somme → produit
\(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\)différence → quotient
\((e^a)^b=e^{ab}\)puissance d’une puissance
\(e^{-a}=\dfrac1{e^a}\)exposant négatif
2 Positivité
\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad e^x>0 \]
Donc une équation du type \[ e^{u(x)}=0 \] n’a jamais de solution.
Piège : \(e^{a+b}\neq e^a+e^b\). La bonne formule est toujours un produit, jamais une somme.
Signe, variations et limites
1 Dérivée
\[ (e^x)'=e^x \]
Comme \(e^x>0\), on en déduit : \[ (e^x)'>0. \] Donc \(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
2 Limites
\[ \lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty \] \[ \lim_{x\to -\infty}e^x=0 \]
Si \[ f(x)=a+be^x, \] alors \[ \lim_{x\to -\infty}f(x)=a. \]
Tableau de variations de \(e^x\)
\[ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty\\ \hline e^x & 0 & \nearrow & +\infty \end{array} \]
Dérivation
1 Formule générale
\[ \big(e^{u(x)}\big)'=u'(x)e^{u(x)} \]
On dérive d’abord l’exposant, puis on multiplie par l’exponentielle.
2 Exemples
\[ (e^{3x-1})'=3e^{3x-1} \] \[ (e^{-x^2})'=-2x\,e^{-x^2} \] \[ (e^{x^2+2x})'=(2x+2)e^{x^2+2x} \]
3 Produit
\[ (xe^x)'=1\cdot e^x+x\cdot e^x=(x+1)e^x \] \[ ((x^2-1)e^x)'=(2x)e^x+(x^2-1)e^x=(x^2+2x-1)e^x \]
4 Réflexe
Ne jamais oublier le facteur \(u'(x)\) dans \[ (e^{u(x)})'. \]
Équations et inéquations
1 Égalité
\[ e^{u(x)}=e^{v(x)} \iff u(x)=v(x) \]
\[ e^{2x-1}=e^{x+3} \iff 2x-1=x+3 \iff x=4 \]
2 Inégalité
\[ e^{u(x)}\le e^{v(x)} \iff u(x)\le v(x) \]
\[ e^{3x+1}\ge e^{2-2x} \iff 3x+1\ge 2-2x \iff 5x\ge 1 \iff x\ge \frac15 \]
Cas particulier très utile
\[ e^{u(x)}=1 \iff u(x)=0 \]
Parce que \(e^0=1\) et que l’exponentielle est injective.
Étude de fonctions contenant \(e^x\)
1 Méthode
  1. Calculer la dérivée.
  2. Factoriser si possible par \(e^{u(x)}\).
  3. Utiliser le fait que \(e^{u(x)}>0\).
  4. Étudier le signe du facteur restant.
  5. Faire le tableau de variations.
  6. Terminer avec les limites.
2 Idée clé
Si \[ f'(x)=e^{u(x)}g(x), \] alors le signe de \(f'(x)\) est celui de \(g(x)\), car \[ e^{u(x)}>0. \]
3 Exemple classique
Pour \[ f(x)=xe^x, \] on a \[ f'(x)=(x+1)e^x. \] Comme \(e^x>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x+1\).
\[ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & -1 & +\infty\\ \hline x+1 & - & 0 & +\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & 0 & -\frac1e & +\infty \end{array} \]
Modélisation
1 Évolution continue
\[ V(t)=V_0e^{kt} \]
\(k>0\) : croissance continue.
\(k<0\) : décroissance continue.
2 Lecture du paramètre
\[ \frac{V'(t)}{V(t)}=k \]
Le taux d’évolution relatif instantané est constant.
Exemple
\[ V(t)=500e^{0{,}03t} \]
Valeur initiale : 500 ; évolution continue croissante.
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
  • Utiliser correctement les identités exponentielles.
  • Expliquer pourquoi \(e^x\) est toujours positif.
  • Dériver \(e^{u(x)}\).
  • Résoudre \(e^u=e^v\) et \(e^u\le e^v\).
  • Étudier une fonction contenant une exponentielle.
  • Lire une asymptote horizontale simple.
  • Interpréter un modèle de croissance continue.
Réflexes 20/20
1) Je pense tout de suite : \(e^{u(x)}>0\).
2) Je factorise par l’exponentielle dans les dérivées.
3) J’utilise l’injectivité pour supprimer l’exponentielle dans une équation.
À bannir : \(e^{a+b}=e^a+e^b\), oublier le facteur \(u'(x)\), ou chercher des solutions à \(e^{u(x)}=0\).