Cours — Fonction exponentielle
Définition, propriétés, variations, équations / inéquations, et modélisations (1ère Spécialité).
Objectifs du chapitre
- Connaître et utiliser la fonction exponentielle \(x \mapsto e^x\).
- Maîtriser ses propriétés : signe, variations, limites, identités exponentielles.
- Résoudre des équations / inéquations contenant des exponentielles.
- Étudier des fonctions construites avec \(e^x\) (dérivation, tableaux, asymptotes).
- Modéliser des évolutions multiplicatives : croissance / décroissance, pourcentage, taux continu.
1) Définition et premières propriétés
Définition
\[
\exp(x)=e^x \quad \text{(fonction exponentielle)}
\]
C’est l’unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant
\(\exp'(x)=\exp(x)\) et \(\exp(0)=1\).
Valeurs clés
\[
e^0=1,\quad e^1=e,\quad e^{-1}=\frac1e,\quad e^{\ln 2}=2
\]
(On verra \(\ln\) plus tard ; ici on retient que \(\ln\) est la réciproque de \(e^x\).)
Propriétés algébriques (à connaître par cœur)
\[
e^{a+b}=e^a\cdot e^b,\qquad
e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\ (e^b\neq 0),\qquad
(e^a)^b=e^{ab}
\]
\[
e^{-a}=\frac{1}{e^a},\qquad
e^a>0\ \text{pour tout } a\in\mathbb{R}
\]
Astuce
Quand tu compares des exponentielles, pense “fonction strictement croissante” :
\(e^x\) conserve l’ordre.
2) Signe, variations et limites
Signe
\[
\forall x\in\mathbb{R},\quad e^x>0
\]
Donc toute expression du type \(e^{u(x)}\) est strictement positive.
Dérivée et variations
\[
(e^x)'=e^x>0 \Rightarrow e^x \text{ est strictement croissante sur } \mathbb{R}.
\]
Limites fondamentales
\[
\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty,\qquad
\lim_{x\to -\infty} e^x = 0
\]
Interprétation : quand \(x\) devient très négatif, \(e^x\) “s’écrase” vers 0.
Conséquence
\[
\lim_{x\to -\infty} (1+e^x)=1
\]
Souvent utile pour trouver une asymptote horizontale.
Tableau de variations de \(e^x\)
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & & +\infty \\
\hline
e^x & 0 & \nearrow & +\infty
\end{array}
\]
3) Dérivées utiles avec \(e^{u(x)}\)
Formule clé
\[
\big(e^{u(x)}\big)' = u'(x)\,e^{u(x)}
\]
C’est LA formule qui revient au Bac : on dérive l’exposant puis on multiplie par \(e^{u(x)}\).
Exemples directs
\[
(e^{3x})'=3e^{3x},\qquad
(e^{-2x+5})'=-2e^{-2x+5},\qquad
(e^{x^2})'=2x\,e^{x^2}
\]
Attention
Ne pas confondre : \((e^x)^2=e^{2x}\) mais \(e^{x^2}\) est différent de \(e^{2x}\).
Produit avec exponentielle
\[
(x\,e^x)' = e^x + x e^x = (x+1)e^x
\]
Règle du produit : \((uv)'=u'v+uv'\).
4) Équations et inéquations avec exponentielle
Équation du type \(e^{u(x)}=e^{v(x)}\)
\[
e^{u(x)}=e^{v(x)} \iff u(x)=v(x)
\]
Car \(e^x\) est strictement croissante donc injective.
Inéquation du type \(e^{u(x)} \le e^{v(x)}\)
\[
e^{u(x)} \le e^{v(x)} \iff u(x)\le v(x)
\]
L’ordre est conservé (fonction croissante).
Méthode — Exemple 1
\[
e^{2x-1}=e^{x+3}
\iff 2x-1=x+3
\iff x=4
\]
Méthode — Exemple 2
\[
e^{3x}\ge e^{2-x}
\iff 3x\ge 2-x
\iff 4x\ge 2
\iff x\ge \frac12
\]
Cas fréquent : \(e^{u(x)}=k\)
En 1ère Spé, on peut parfois se limiter à des cas où on “reconnaît” \(k\) (ex : \(k=1\Rightarrow u(x)=0\)).
La résolution générale avec \(\ln\) sera vue ensuite (Terminale / chapitre logarithme).
5) Étude de fonctions contenant \(e^x\)
Méthode type
- Calculer la dérivée.
- Factoriser au maximum (souvent \(e^{u(x)}>0\)).
- Étudier le signe de la partie restante.
- Dresser le tableau de variations.
- Calculer les limites pour les asymptotes.
Idée clé
Si \(f'(x)=e^{u(x)}\cdot g(x)\), alors le signe de \(f'(x)\) est le signe de \(g(x)\) car
\(e^{u(x)} > 0\).
Exemple complet (très classique)
On étudie \(f(x)=x e^x\).
\[
f'(x) = (x e^x)' = e^x + x e^x = (x+1)e^x
\]
\[
e^x>0 \Rightarrow \text{le signe de } f'(x) \text{ est celui de } (x+1)
\]
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & -1 & +\infty\\
\hline
x+1 & - & 0 & +\\
\hline
f'(x) & - & 0 & +\\
\hline
f(x) & 0 & \min=-\frac{1}{e} & +\infty
\end{array}
\]
Limites : \(x e^x \to 0\) quand \(x\to -\infty\) (car \(e^x\to 0\) très vite), et \(x e^x\to +\infty\) quand \(x\to +\infty\).
6) Modéliser une évolution (croissance / décroissance)
Modèle discret (pourcentages)
\[
\text{Après } n \text{ périodes : } \quad V_n = V_0(1+t)^n
\]
\(t\) = taux par période (ex : \(+5\%\Rightarrow t=0{,}05\)). Suite géométrique.
Modèle continu (taux constant)
\[
V(t)=V_0 e^{kt}
\]
\(k>0\) : croissance ; \(k<0\) : décroissance. (On l’utilise en physique/éco/biologie.)
Lecture du paramètre \(k\)
\[
\frac{V'(t)}{V(t)} = k
\]
Le taux d’évolution instantané (relatif) est constant et vaut \(k\).
À retenir (indispensable)
Identités
\[
e^{a+b}=e^a e^b,\quad e^{-a}=\frac1{e^a},\quad (e^a)^b=e^{ab}
\]
Dérivation
\[
(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}
\]
Variations
\[
e^x>0,\ \ (e^x)'=e^x>0 \Rightarrow e^x \text{ croissante}
\]
Comparaisons
\[
e^{u}\le e^{v} \iff u\le v
\]