Exercices corrigés — Fonction exponentielle (1ère spé)

On utilise les règles sur les exponentielles : \[ e^a e^b = e^{a+b} \qquad\text{et}\qquad \frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}. \]

Au numérateur : \[ e^{2x-1}e^{3-4x}=e^{(2x-1)+(3-4x)}=e^{-2x+2}. \]

Puis : \[ A=\frac{e^{-2x+2}}{e^{1-x}}=e^{(-2x+2)-(1-x)}=e^{-x+1}. \]

Réponse : \(A=e^{-x+1}\), donc \(a=-1\) et \(b=1\).

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc injective. Ainsi : \[ 5x-2=2x+7. \]

On résout : \[ 5x-2x=7+2 \quad\Longrightarrow\quad 3x=9 \quad\Longrightarrow\quad x=3. \]

Solution : \(\boxed{x=3}\).

Comme \(e^u=e^v\), on a : \[ x^2-4x=-3. \]

Donc : \[ x^2-4x+3=0. \]

On factorise : \[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]

Donc : \[ (x-1)(x-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1 \text{ ou } x=3. \]

Solution : \(\boxed{\{1;3\}}\).

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante : \[ e^{3x+1}\le e^{2-2x} \iff 3x+1\le 2-2x. \]

Donc : \[ 5x\le 1 \quad\Longrightarrow\quad x\le \frac{1}{5}. \]

Solution : \(\boxed{]-\infty;\frac15]}\).

Posons \(t=e^{x-1}>0\). Alors : \[ e^{1-x}=e^{-(x-1)}=\frac{1}{e^{x-1}}=\frac{1}{t}. \]

L’équation devient : \[ t+\frac{1}{t}=2. \]

En multipliant par \(t\neq 0\) : \[ t^2+1=2t \quad\Longrightarrow\quad t^2-2t+1=0 \quad\Longrightarrow\quad (t-1)^2=0. \]

Donc \(t=1\), soit : \[ e^{x-1}=1. \]

Or \(e^u=1\iff u=0\), donc : \[ x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1. \]

Solution : \(\boxed{x=1}\).

On écrit : \[ e^{2x}-e^x=e^x(e^x-1). \]

Or pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a : \[ e^x>0. \] Donc le signe de \(e^{2x}-e^x\) est celui de \(e^x-1\).

Ensuite : \[ e^x-1 \begin{cases} <0 & \text{si } x<0,\\ =0 & \text{si } x=0,\\ >0 & \text{si } x>0. \end{cases} \]

Donc : \[ e^{2x} \begin{cases} <e^x & \text{si } x<0,\\ =e^x & \text{si } x=0,\\ >e^x & \text{si } x>0. \end{cases} \]

Conclusion : \[ e^{2x}-e^x \begin{cases} <0 & \text{si } x<0,\\ =0 & \text{si } x=0,\\ >0 & \text{si } x>0. \end{cases} \]

1) \(f(x)=e^{3x-5}\)

Avec \(u(x)=3x-5\), on a \(u'(x)=3\). Donc : \[ f'(x)=3e^{3x-5}. \]

2) \(g(x)=e^{-x^2+2x}\)

Avec \(u(x)=-x^2+2x\), on a \(u'(x)=-2x+2\). Donc : \[ g'(x)=(-2x+2)e^{-x^2+2x}. \]

3) \(h(x)=(2x-1)e^x\)

Formule du produit : \[ h'(x)=2e^x+(2x-1)e^x=e^x(2+2x-1)=e^x(2x+1). \]

Réponses : \[ \boxed{f'(x)=3e^{3x-5}} \qquad \boxed{g'(x)=(-2x+2)e^{-x^2+2x}} \qquad \boxed{h'(x)=e^x(2x+1)}. \]

1) Dérivée

Posons \(u(x)=x^2-4x+1\), donc \(u'(x)=2x-4\). Alors : \[ f'(x)=u'(x)e^x+u(x)e^x =\big((2x-4)+(x^2-4x+1)\big)e^x. \]

Donc : \[ f'(x)=\big(x^2-2x-3\big)e^x. \]

On factorise le trinôme : \[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1). \]

2) Variations

Comme \(e^x>0\) pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((x-3)(x+1)\).

Donc : \[ f'(x) \begin{cases} >0 & \text{sur } ]-\infty;-1[,\\ =0 & \text{pour } x=-1,\\ <0 & \text{sur } ]-1;3[,\\ =0 & \text{pour } x=3,\\ >0 & \text{sur } ]3;+\infty[. \end{cases} \]

3) Extremums

\(f\) admet donc :

• un maximum local en \(x=-1\), de valeur \[ f(-1)=(1+4+1)e^{-1}=6e^{-1}=\frac{6}{e}; \]
• un minimum local en \(x=3\), de valeur \[ f(3)=(9-12+1)e^3=-2e^3. \]

Conclusion : \(f\) croît sur \(]-\infty;-1]\), décroît sur \([-1;3]\), puis croît sur \([3;+\infty[\).

On a : \[ p'(x)=e^x-1. \]

Or : \[ e^x-1 \begin{cases} <0 & \text{si } x<0,\\ =0 & \text{si } x=0,\\ >0 & \text{si } x>0. \end{cases} \]

Donc \(p\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\) puis croissante sur \([0;+\infty[\). Elle admet donc un minimum en \(x=0\).

Ce minimum vaut : \[ p(0)=e^0-0-1=1-1=0. \]

Ainsi : \[ p(x)\ge 0 \quad\text{pour tout } x\in\mathbb{R}. \]

Comme \(p(x)=e^x-x-1\), on obtient : \[ e^x-x-1\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad e^x\ge x+1. \]

Inégalité obtenue : \(\boxed{e^x\ge x+1}\) pour tout réel \(x\).

1) Dérivée

\[ f'(x)=e^x(x-2)+e^x=e^x(x-1). \]

2) Signe de \(f'(x)\)

Comme \(e^x>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x-1\). Donc : \[ f'(x) \begin{cases} <0 & \text{si } x<1,\\ =0 & \text{si } x=1,\\ >0 & \text{si } x>1. \end{cases} \]

Ainsi, \(f\) décroît sur \(]-\infty;1]\) puis croît sur \([1;+\infty[\).

Valeur minimale : \[ f(1)=e(1-2)=-e. \]

3) Résolution de \(f(x)=0\)

\[ e^x(x-2)=0. \]

Or \(e^x\neq 0\) pour tout réel, donc : \[ x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2. \]

Conclusion : minimum en \(x=1\) de valeur \(-e\), et unique zéro en \(\boxed{x=2}\).

1) Dérivée

\[ f'(x)=e^x+xe^x=e^x(x+1). \]

Comme \(e^x>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x+1\). Donc : \[ f'(x) \begin{cases} <0 & \text{si } x<-1,\\ =0 & \text{si } x=-1,\\ >0 & \text{si } x>-1. \end{cases} \]

Donc \(f\) décroît sur \(]-\infty;-1]\) puis croît sur \([-1;+\infty[\).

2) Limites

On sait que : \[ \lim_{x\to -\infty} xe^x=0 \] (plus précisément \(0^-\)), et \[ \lim_{x\to +\infty} xe^x=+\infty. \]

3) Minimum

Le minimum est atteint en \(x=-1\) : \[ f(-1)=-\frac{1}{e}. \]

Réponse : minimum \(\boxed{-\frac1e}\) atteint pour \(\boxed{x=-1}\).

1) Croissance

\[ g'(x)=e^x+e^{-x}. \]

Or \(e^x>0\) et \(e^{-x}>0\), donc : \[ g'(x)>0 \quad\text{pour tout } x\in\mathbb{R}. \] Ainsi, \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

2) Équation \(g(x)=0\)

\[ e^x-e^{-x}=0 \iff e^x=e^{-x}. \]

Comme l’exponentielle est injective : \[ x=-x \quad\Longrightarrow\quad x=0. \]

3) Parité

\[ g(-x)=e^{-x}-e^x=-(e^x-e^{-x})=-g(x). \]

Donc \(g\) est impaire.

Conclusion : \(g\) est strictement croissante, impaire, et \(g(x)=0\iff x=0\).

1) Dérivée et variations

\[ f'(x)=e^{-x}. \]

Comme \(e^{-x}>0\), la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

2) Limites

Quand \(x\to +\infty\), \(e^{-x}\to 0\), donc : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=1. \]

Quand \(x\to -\infty\), \(-x\to +\infty\), donc \(e^{-x}\to +\infty\), et : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty. \]

3) Asymptote

Comme \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\), la droite d’équation \[ y=1 \] est une asymptote horizontale en \(+\infty\).

4) Inéquation

\[ 1-e^{-x}\ge \frac12 \iff e^{-x}\le \frac12. \]

Cette condition équivaut à \(x\ge \ln 2\). Si tu veux un résultat exact : \[ \boxed{x\ge \ln 2}. \]

Conclusion : \(f\) est croissante, admet l’asymptote \(y=1\), et \(f(x)\ge\frac12\iff x\ge\ln 2\).

1) Encadrement

Comme \(e^x>0\), on a bien : \[ f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}>0. \]

De plus, comme \(e^x<1+e^x\), on obtient : \[ \frac{e^x}{1+e^x}<1. \]

Donc : \[ 0<f(x)<1. \]

2) Dérivée

\[ f'(x)=\frac{e^x(1+e^x)-e^x\cdot e^x}{(1+e^x)^2} =\frac{e^x}{(1+e^x)^2}. \]

Le numérateur et le dénominateur sont positifs, donc : \[ f'(x)>0. \] Ainsi \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

3) Limites

Si \(x\to -\infty\), alors \(e^x\to 0\), donc : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0. \]

Si \(x\to +\infty\), alors \[ f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}=\frac{1}{e^{-x}+1}\to 1. \]

Les asymptotes horizontales sont donc : \[ y=0 \text{ en } -\infty \qquad\text{et}\qquad y=1 \text{ en } +\infty. \]

Conclusion : \(f\) est croissante, à valeurs dans \(]0;1[\), avec asymptotes \(y=0\) et \(y=1\).

Pour tout réel \(x\), on a : \[ e^x>0. \]

Donc l’équation \(e^x=a\) :

• n’a aucune solution si \(a\le 0\) ;
• a une unique solution si \(a>0\).

Dans ce second cas, cette solution est : \[ x=\ln(a). \]

Conclusion : \[ \boxed{ \begin{cases} a\le 0 &\Rightarrow \text{pas de solution},\\ a>0 &\Rightarrow \text{une unique solution } x=\ln(a). \end{cases}} \]

1) Dérivée

\[ f_m'(x)=e^x-m. \]

Cas 1 : \(m\le 0\)

Comme \(e^x>0\), on a toujours \(e^x-m>0\). Donc \(f_m\) est strictement croissante.

Cas 2 : \(m>0\)

L’équation \(f_m'(x)=0\) équivaut à : \[ e^x=m \quad\Longrightarrow\quad x=\ln(m). \]

Ainsi : \[ f_m'(x)<0 \text{ si } x<\ln(m), \qquad f_m'(x)>0 \text{ si } x>\ln(m). \]

Donc \(f_m\) décroît puis croît, avec minimum en \(x=\ln(m)\).

2) Nombre de solutions de \(f_m(x)=0\)

Lorsque \(m\le 0\), la fonction est croissante et : \[ \lim_{x\to-\infty}f_m(x)=+\infty \quad\text{ou}\quad +\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f_m(x)=+\infty. \] En pratique, il n’y a pas de solution pour \(m\le 0\).

Si \(m>0\), le minimum vaut : \[ f_m(\ln m)=m-m\ln m=m(1-\ln m). \]

Donc : \[ \begin{cases} m<e &\Rightarrow 1-\ln m>0 &\Rightarrow \text{aucune solution},\\ m=e &\Rightarrow 1-\ln m=0 &\Rightarrow \text{une solution double},\\ m>e &\Rightarrow 1-\ln m<0 &\Rightarrow \text{deux solutions}. \end{cases} \]

Conclusion : nombre de solutions : 0 si \(m<e\), 1 si \(m=e\), 2 si \(m>e\).

1) Positivité

Comme \(e^x>0\), \(e^{-x}>0\) et \(k>0\), les deux termes sont positifs. Donc : \[ g_k(x)>0 \quad\text{pour tout } x\in\mathbb{R}. \]

2) Dérivée

\[ g_k'(x)=e^x-ke^{-x}. \]

On cherche les points critiques : \[ e^x-ke^{-x}=0 \iff e^{2x}=k. \]

Comme \(k>0\), cela donne : \[ 2x=\ln k \quad\Longrightarrow\quad x=\frac12\ln k. \]

On en déduit que \(g_k\) décroît puis croît, donc admet un minimum en \[ x_0=\frac12\ln k. \]

3) Minimum

Posons \(x_0=\frac12\ln k\). Alors : \[ e^{x_0}=\sqrt{k} \qquad\text{et}\qquad e^{-x_0}=\frac{1}{\sqrt{k}}. \]

Donc : \[ g_k(x_0)=\sqrt{k}+k\cdot\frac{1}{\sqrt{k}}=\sqrt{k}+\sqrt{k}=2\sqrt{k}. \]

Minimum : \(\boxed{2\sqrt{k}}\), atteint pour \(\boxed{x=\frac12\ln k}\).

1) Détermination de \(P_0\)

\[ P(0)=P_0e^{0}=P_0=12000. \] Donc \(P_0=12000\).

2) Détermination de \(k\)

On utilise \(P(3)=15000\) : \[ 15000=12000e^{3k}. \]

Donc : \[ e^{3k}=\frac{15000}{12000}=\frac54. \]

Ainsi : \[ 3k=\ln\left(\frac54\right) \quad\Longrightarrow\quad k=\frac13\ln\left(\frac54\right). \]

3) Expression de \(P(6)\)

\[ P(6)=12000e^{6k}=12000\left(e^{3k}\right)^2=12000\left(\frac54\right)^2. \]

Donc : \[ P(6)=12000\cdot\frac{25}{16}=18750. \]

Réponse : \(\boxed{P(6)=18750}\).

1) Expression de \(V_n\)

Une diminution de 8 % correspond au coefficient multiplicateur : \[ 1-0{,}08=0{,}92. \]

La suite est donc géométrique de raison \(0{,}92\) : \[ V_n=500\times 0{,}92^n. \]

2) Calcul de \(V_{12}\)

\[ V_{12}=500\times0{,}92^{12}. \]

Numériquement : \[ 0{,}92^{12}\approx0{,}3677, \qquad V_{12}\approx183{,}9. \]

Donc : \[ \boxed{V_{12}\approx184}. \]

3) Seuil de 200

On cherche : \[ 500\times0{,}92^n<200 \iff 0{,}92^n<0{,}4. \]

Numériquement, on obtient \(n\approx 11{,}0\). On vérifie :

• \(V_{11}\approx 199{,}9\) ou un peu plus selon arrondi ;
• \(V_{12}\approx183{,}9<200\).

Conclusion : à partir du \(\boxed{12^{\text{e}}}\) mois, la valeur est inférieure à 200.

1) Valeur initiale et limite

\[ T(0)=20+65e^0=20+65=85. \]

Et comme \(e^{-0{,}15t}\to 0\) lorsque \(t\to +\infty\), on a : \[ \lim_{t\to+\infty}T(t)=20. \]

2) Sens de variation

\[ T'(t)=65\times(-0{,}15)e^{-0{,}15t}=-9{,}75e^{-0{,}15t}. \]

Or \(e^{-0{,}15t}>0\), donc : \[ T'(t)<0. \] Ainsi \(T\) est strictement décroissante.

3) Résolution de \(T(t)\le 40\)

\[ 20+65e^{-0{,}15t}\le 40 \iff 65e^{-0{,}15t}\le 20 \iff e^{-0{,}15t}\le \frac{4}{13}. \]

En prenant le logarithme : \[ -0{,}15t\le \ln\left(\frac{4}{13}\right). \]

Comme on divise par un nombre négatif, le sens change : \[ t\ge \frac{\ln(13/4)}{0{,}15}. \]

Valeur approchée : \[ t\ge \frac{\ln(3{,}25)}{0{,}15}\approx\frac{1{,}1787}{0{,}15}\approx7{,}86. \]

Conclusion : le café passe sous 40°C au bout d’environ \(\boxed{8\text{ minutes}}\).