Fonction exponentielle

1. Simplifier (sans \(\ln\)) : \[ A=\frac{e^{2x-1}\,e^{3-4x}}{e^{1-x}} \] puis écrire \(A\) sous la forme \(e^{ax+b}\) (donner \(a,b\)).

2. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) : \[ e^{5x-2}=e^{2x+7}. \]

3. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) : \[ e^{x^2-4x}=e^{-3}. \] (Indication : égalité de deux exponentielles \(\Rightarrow\) égalité des exposants.)

4. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) : \[ e^{3x+1}\le e^{2-2x}. \]

5. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) : \[ e^{x-1}+e^{1-x}=2. \] (Indication : poser \(t=e^{x-1}>0\) et exprimer \(e^{1-x}\) en fonction de \(t\).)

6. Comparer \(e^{2x}\) et \(e^x\) suivant les valeurs de \(x\). En déduire le signe de \(e^{2x}-e^x\) (tableau de signe).

7. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : \[ f(x)=e^{3x-5},\qquad g(x)=e^{-x^2+2x},\qquad h(x)=(2x-1)e^{x}. \]

8. On considère \(f(x)=\big(x^2-4x+1\big)e^{x}\).

1. Montrer que \(f'(x)=\big(x^2-2x-3\big)e^x\).
2. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et donner ses extremums.

9. On définit \(p(x)=e^{x}-x-1\).

1. Étudier les variations de \(p\).
2. Montrer que \(p(x)\ge 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3. En déduire une inégalité du type \(e^x \ge x+1\).

10. Étudier la fonction \(f(x)=e^{x}(x-2)\).

1. Calculer \(f'(x)\) et déterminer le signe de \(f'(x)\).
2. Dresser le tableau de variations.
3. Résoudre \(f(x)=0\) et interpréter graphiquement.

11. Étudier \(f(x)=x e^{x}\).

1. Calculer \(f'(x)\) puis dresser le tableau de variations.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)\).
3. Donner la valeur minimale de \(f\) et l’abscisse où elle est atteinte.

12. Étudier \(g(x)=e^{x}-e^{-x}\).

1. Montrer que \(g\) est strictement croissante.
2. Résoudre \(g(x)=0\).
3. Étudier la parité de \(g\) (paire/impaire).

13. On considère \(f(x)=1-e^{-x}\).

1. Étudier les variations et les limites en \(\pm\infty\).
2. Montrer que la courbe admet une asymptote horizontale (donner son équation).
3. Résoudre \(f(x)\ge \dfrac12\) (sans \(\ln\) : passer par l’injectivité de \(e^x\)).

14. Étudier \(f(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}\).

1. Montrer que \(f(x)\in(0,1)\) pour tout \(x\).
2. Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations.
3. Donner les limites en \(\pm\infty\) et les asymptotes.

15. Soit \(a\in\mathbb{R}\). Résoudre suivant \(a\) l’équation : \[ e^{x}=a. \] (On attend une discussion : existence / unicité / signe de \(a\).)

16. Soit \(m\in\mathbb{R}\). On considère \[ f_m(x)=e^{x}-mx. \]

1. Étudier \(f_m\) (dérivée, variations) en fonction de \(m\).
2. Donner le nombre de solutions de \(f_m(x)=0\) selon \(m\).

17. Soit \(k\in\mathbb{R}\). On étudie \[ g_k(x)=e^{x}+k e^{-x}. \]

1. Montrer que \(g_k(x)>0\) pour tout \(x\) si \(k>0\).
2. Étudier les variations de \(g_k\) lorsque \(k>0\) et donner son minimum.

18. Une population suit un modèle continu \(P(t)=P_0 e^{kt}\) (t en années). On sait que \(P(0)=12000\) et \(P(3)=15000\).

1. Écrire une relation permettant de déterminer \(k\).
2. Exprimer \(P(6)\) en fonction de \(k\) puis calculer numériquement.
3. Interpréter \(k\) (croissance/décroissance, ordre de grandeur).

19. Une quantité décroît de \(8\%\) par mois. On note \(V_n\) sa valeur après \(n\) mois, avec \(V_0=500\).

1. Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\).
2. Calculer \(V_{12}\).
3. À partir de quel mois \(V_n<200\) ?

20. On modélise la température d’un café par \(T(t)=20+65e^{-0{,}15t}\) (t en minutes).

1. Calculer \(T(0)\) puis \(\lim\limits_{t\to +\infty}T(t)\).
2. Montrer que \(T\) est décroissante.
3. Déterminer le temps \(t\) pour lequel \(T(t)\le 40\) (discussion : méthode, valeur approchée).