Derivation
1ERE-SPE • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Dérivation et applications de la dérivation
Nombre dérivé • tangente • dérivabilité • dérivées usuelles • variations • extrema • optimisation.
Objectif : aller vite et conclure juste (niveau solide / bac).
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Nombre dérivé
\[
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]
\(f'(a)\) mesure le taux de variation instantané de \(f\) en \(a\).
2 Tangente
\(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en \(a\).
Équation :
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a)
\]
3 Variations
- \(f'(x)>0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) croissante sur \(I\).
- \(f'(x)<0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) décroissante sur \(I\).
- \(f'(x)=0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) constante sur \(I\).
4 Extrema
- \(f'\) passe de + à − \(\Rightarrow\) maximum local.
- \(f'\) passe de − à + \(\Rightarrow\) minimum local.
- Pas de changement de signe \(\Rightarrow\) pas d’extremum local.
Attention : \(f'(a)=0\) seul ne suffit pas.
Formules usuelles
A Dérivées de base
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(k\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^2\) | \(2x\) |
| \(x^3\) | \(3x^2\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
B Règles opératoires
\[
(ku)'=ku'
\]
\[
(u+v)'=u'+v'
\]
\[
(u-v)'=u'-v'
\]
\[
(uv)'=u'v+uv'
\]
\[
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}
\quad (v\neq 0)
\]
C Compositions simples
\[
((ax+b)^n)'=n(ax+b)^{n-1}\cdot a
\]
\[
(\sqrt{ax+b})'=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}
\]
\[
\left(\frac{1}{ax+b}\right)'=\frac{-a}{(ax+b)^2}
\]
D Tangente
Au point d’abscisse \(a\) :
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a)
\]
Si \(f'(a)=0\), la tangente est horizontale.
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Calculer une tangente
- Calculer \(f'(x)\).
- Calculer \(f'(a)\).
- Calculer \(f(a)\).
- Remplacer dans \[ y=f'(a)(x-a)+f(a) \]
Si \(f(x)=x^2\) et \(a=1\) :
\(f'(x)=2x\), donc \(f'(1)=2\) et \(f(1)=1\)
Tangente :
\(y=2(x-1)+1=2x-1\)
B Étudier une fonction
- Déterminer le domaine.
- Calculer \(f'(x)\).
- Résoudre \(f'(x)=0\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\).
- Faire le tableau de variations.
- Conclure sur les extrema.
C Optimisation
- Choisir la variable \(x\).
- Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de \(x\).
- Déterminer le domaine.
- Étudier la dérivée.
- Comparer les bornes et les points critiques.
En 1ère Spé, on conclut avec le tableau de variations.
D Dérivabilité
Si une fonction est dérivable en \(a\), alors elle est continue en \(a\).
Mais une fonction peut être continue sans être dérivable
(exemple : \(f(x)=|x|\) en \(0\)).
Pièges classiques (à éviter)
1 \(f'(a)=0\)
Ne pas conclure trop vite à un extremum.
Il faut regarder le changement de signe de \(f'\).
2 Tangente
Ne pas oublier \(f(a)\) dans la formule :
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a)
\]
3 Domaine
Toujours vérifier le domaine avant de dériver :
\[
\frac{1}{x} \text{ interdit en } 0,\qquad \sqrt{x} \text{ impose } x\ge 0
\]
Réflexe bac :
domaine \(\to\) dérivée \(\to\) signe \(\to\) variations \(\to\) conclusion.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Dérivée
Dériver \(f(x)=x^3\).
Corrigé : \(f'(x)=3x^2\).
Q2 Tangente
Si \(f'(2)=5\), que représente 5 ?
Corrigé : 5 est le coefficient directeur de la tangente en \(x=2\).
Q3 Variation
Si \(f'(x)>0\) sur \([1;4]\), que peut-on dire ?
Corrigé : \(f\) est croissante sur \([1;4]\).
Q4 Extremum
Si \(f'\) passe de \(+\) à \(−\), quel extremum a-t-on ?
Corrigé : un maximum local.
Q5 Composée
Dériver \((2x+1)^2\).
Corrigé : \(2(2x+1)\cdot 2=4(2x+1)=8x+4\).
Q6 Tangente horizontale
Que signifie \(f'(a)=0\) ?
Corrigé : la tangente en \(a\) est horizontale, si \(f\) est dérivable en \(a\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Écrire la définition du nombre dérivé.
- Interpréter \(f'(a)\) comme pente de la tangente.
- Calculer des dérivées usuelles.
- Appliquer les règles somme, produit, quotient.
- Écrire une équation de tangente.
- Étudier les variations à partir du signe de \(f'\).
- Reconnaître un maximum ou un minimum local.
Réflexes 20/20
1) Je commence par le domaine.
2) Je factorise \(f'(x)\) si possible.
3) Je conclus toujours avec les bons intervalles \([a ; b]\) ou \(]a ; b[\).
2) Je factorise \(f'(x)\) si possible.
3) Je conclus toujours avec les bons intervalles \([a ; b]\) ou \(]a ; b[\).
À bannir : oublier \(f(a)\) dans la tangente, oublier le domaine, conclure trop vite à un extremum.