Fiche de révision — Dérivation
A. Formules essentielles
- Taux de variation : \(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
- Nombre dérivé : \(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
- Tangente en \(a\) : \(\displaystyle y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
B. Dérivées usuelles
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(k\) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(ax+b\) | \(a\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) (si \(n\in\mathbb{N}\)) |
| \(\dfrac1x\) | \(-\dfrac1{x^2}\) | \(x\neq 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac1{2\sqrt{x}}\) | \(x>0\) |
| \(|x|\) | \(\begin{cases}1&x>0\\-1&x<0\end{cases}\) | Non dérivable en 0 |
C. Règles
\[ (u+v)'=u'+v',\quad (ku)'=ku',\quad (uv)'=u'v+uv',\quad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \]Et pour \(f(x)=g(ax+b)\) : \(\;f'(x)=a\,g'(ax+b)\).
D. Variations / Extremums
- \(f'(x)>0\) ⇒ \(f\) croissante
- \(f'(x)<0\) ⇒ \(f\) décroissante
- Extremum local en \(x_0\) ⇒ \(f'(x_0)=0\) (souvent + changement de signe)