Exercices — Nombre dérivé • Tangente • Fonction dérivée (20 exercices)
Niveau 1ère Spé. Sans exponentielle et sans convexité. Version V5 FINALE CORRIGÉE : MathJax propre, structure stable, exercices solides.
A — Nombre dérivé, définition, taux de variation, dérivabilité
1. Calcul complet d’un nombre dérivé par définition
Soit \(f(x)=x^2-4x+2\).
- Calculer \(f(1)\).
- Calculer \(f(1+h)\).
- Déterminer \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\).
- En déduire \(f'(1)\).
On calcule d’abord :
\[ f(1)=1-4+2=-1 \]Puis :
\[ f(1+h)=(1+h)^2-4(1+h)+2 \] \[ =1+2h+h^2-4-4h+2=h^2-2h-1 \]Alors :
\[ \frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{(h^2-2h-1)-(-1)}{h} =\frac{h^2-2h}{h} =h-2 \]Enfin :
\[ f'(1)=\lim_{h\to0}(h-2)=-2 \]Réponse : \(\boxed{f'(1)=-2}\).
2. Nombre dérivé d’une racine en un point
Soit \(g(x)=\sqrt{x+1}\).
Calculer \(g'(3)\) par définition.
On écrit :
\[ g'(3)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h} \]On rationalise :
\[ \frac{\sqrt{4+h}-2}{h}\cdot\frac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2} =\frac{4+h-4}{h(\sqrt{4+h}+2)} =\frac{1}{\sqrt{4+h}+2} \]Donc :
\[ g'(3)=\frac{1}{2+2}=\frac14 \]Réponse : \(\boxed{g'(3)=\frac14}\).
3. Taux de variation moyen et variation instantanée
Soit \(f(x)=x^2-3x+4\).
- Calculer le taux de variation de \(f\) entre 1 et 3.
- Calculer \(f'(1)\).
- Comparer et interpréter les deux résultats.
Le taux de variation entre 1 et 3 vaut :
\[ \frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{4-2}{2}=1 \]Par ailleurs :
\[ f'(x)=2x-3 \] donc \[ f'(1)=2-3=-1 \]Interprétation :
- le taux de variation entre 1 et 3 est une variation moyenne ;
- le nombre dérivé en 1 est la variation instantanée au point d’abscisse 1.
Réponse : taux moyen \(=1\), nombre dérivé en 1 \(=-1\).
4. Étude de dérivabilité — fonction valeur absolue
Étudier la dérivabilité en \(0\) de la fonction \(f(x)=|x|\).
On étudie :
\[ \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h} \]Si \(h>0\), alors \(\dfrac{|h|}{h}=1\).
Si \(h<0\), alors \(\dfrac{|h|}{h}=-1\).
Les limites à gauche et à droite étant différentes, la limite n’existe pas.
Conclusion : \(f\) n’est pas dérivable en 0.
Réponse : \(\boxed{f'(0)\text{ n’existe pas}}\).
5. Expression générale d’un nombre dérivé
À l’aide de la définition, montrer que pour \(f(x)=x^2\), on a
\[ f'(a)=2a \]On développe :
\[ (a+h)^2-a^2=a^2+2ah+h^2-a^2=2ah+h^2 \]Donc :
\[ \frac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h \]En passant à la limite :
\[ f'(a)=2a \]Réponse : \(\boxed{f'(a)=2a}\).
6. Paramètre imposant une dérivée nulle
Soit \(f_m(x)=mx^2+(m-1)x+2\).
Déterminer \(m\) pour que \(f_m'(1)=0\).
Donc :
\[ f_m'(1)=2m+m-1=3m-1 \]On veut :
\[ 3m-1=0 \iff m=\frac13 \]Réponse : \(\boxed{m=\frac13}\).
B — Tangentes, pentes, parallélisme, lecture locale
7. Équation d’une tangente en un point
Soit \(f(x)=x^2-2x+5\).
Déterminer l’équation de la tangente en \(x=2\).
Donc :
\[ f'(2)=2,\qquad f(2)=4-4+5=5 \]La tangente est :
\[ y=f'(2)(x-2)+f(2)=2(x-2)+5=2x+1 \]Réponse : \(\boxed{y=2x+1}\).
8. Tangente parallèle à une droite donnée
Soit \(f(x)=x^3-3x^2+1\).
Déterminer les abscisses des points où la tangente est parallèle à la droite \(y=6x-4\).
Une tangente parallèle à \(y=6x-4\) a pour pente 6.
On résout donc :
\[ f'(x)=6 \]Or :
\[ f'(x)=3x^2-6x \]Donc :
\[ 3x^2-6x=6 \iff x^2-2x-2=0 \]D’où :
\[ x=1\pm\sqrt3 \]Réponse : \(\boxed{x=1-\sqrt3\text{ ou }x=1+\sqrt3}\).
9. Tangentes horizontales
Soit \(f(x)=x^3-3x+2\).
Déterminer les points où la tangente est horizontale.
La tangente est horizontale si :
\[ f'(x)=0 \iff x=-1 \text{ ou } x=1 \]Calcul des ordonnées :
\[ f(-1)=-1+3+2=4,\qquad f(1)=1-3+2=0 \]Réponse : \(\boxed{(-1;4)\text{ et }(1;0)}\).
10. Tangente passant par un point imposé
Soit \(f(x)=x^2+x\).
Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles la tangente en \(a\) passe par \(A(0;-2)\).
La tangente en \(a\) est :
\[ y=(2a+1)(x-a)+(a^2+a) \]Elle passe par \((0;-2)\), donc :
\[ -2=(2a+1)(-a)+(a^2+a) \]Développement :
\[ -2=-2a^2-a+a^2+a=-a^2 \]Donc :
\[ a^2=2 \iff a=\pm\sqrt2 \]Réponse : \(\boxed{a=-\sqrt2\text{ ou }a=\sqrt2}\).
11. Retrouver un polynôme à partir d’une tangente
On cherche \(f(x)=ax^2+bx+c\). On sait que :
- \(f(0)=2\),
- la tangente en \(x=1\) a pour équation \(y=4x-1\).
Déterminer \(a,b,c\).
Comme \(f(0)=2\), on a :
\[ c=2 \]La tangente en 1 est \(y=4x-1\), donc :
- sa pente vaut 4, donc \(f'(1)=4\),
- le point de tangence vérifie \(f(1)=4\times1-1=3\).
On écrit :
\[ f(x)=ax^2+bx+2 \]Alors :
\[ f(1)=a+b+2=3 \Rightarrow a+b=1 \]Et :
\[ f'(x)=2ax+b \Rightarrow f'(1)=2a+b=4 \]On résout :
\[ \begin{cases} a+b=1\ 2a+b=4 \end{cases} \Rightarrow a=3,\ b=-2 \]Donc :
\[ c=2 \]Réponse : \(\boxed{a=3,\ b=-2,\ c=2}\).
12. La droite est-elle tangente ?
La droite \(d:y=2x-1\) est-elle tangente à la courbe de \(f(x)=x^2\) ?
Si \(d\) est tangente à \(y=x^2\) en \(a\), alors il faut :
- même pente : \(f'(a)=2\),
- même point : \(f(a)=2a-1\).
Or :
\[ f'(x)=2x \]Donc :
\[ 2a=2 \Rightarrow a=1 \]Vérification :
\[ f(1)=1,\qquad 2\times1-1=1 \]Les deux conditions sont satisfaites.
Réponse : \(\boxed{\text{oui, la droite est tangente en }(1;1)}\).
13. Tangente horizontale avec paramètre
Soit \(f_m(x)=x^2+mx+1\).
Déterminer \(m\) pour que la tangente en \(x=-1\) soit horizontale.
On impose :
\[ f_m'(-1)=0 \iff -2+m=0 \]Donc :
\[ m=2 \]Réponse : \(\boxed{m=2}\).
C — Fonction dérivée, variations, extrema, optimisation
14. Étude de variations d’un polynôme
Étudier les variations de \(f(x)=x^3-3x+1\) sur \(\mathbb{R}\).
Les points critiques sont \(-1\) et \(1\).
Signe de \(f'\) :
- \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty;-1[\),
- \(f'(x)<0\) sur \(]-1;1[\),
- \(f'(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).
Donc :
- \(f\) croît sur \(]-\infty;-1]\),
- \(f\) décroît sur \([-1;1]\),
- \(f\) croît sur \([1;+\infty[\).
Réponse : maximum local en \((-1;3)\), minimum local en \((1;-1)\).
15. Étude de variations d’une fonction quotient
Étudier les variations de \(g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\) sur son domaine.
Domaine :
\[ D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\} \]Dérivée :
\[ g'(x)=\frac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2} \]Comme \((x-1)^2>0\) pour \(x\neq1\), on a :
\[ g'(x)<0 \]Donc \(g\) est strictement décroissante sur :
\[ ]-\infty;1[ \quad \text{et} \quad ]1;+\infty[ \]Réponse : \(\boxed{g\text{ décroît sur chacun des deux intervalles}}\).
16. Racine et quotient — étude complète simple
Étudier les variations de \(h(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\) sur \([0;+\infty[\).
Pour \(x>0\), on dérive :
\[ h'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2} \]On simplifie :
\[ h'(x)=\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} =\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} \]Le dénominateur est positif pour \(x>0\), donc le signe de \(h'\) est celui de \(1-x\).
Ainsi :
- \(h\) croît sur \([0;1]\),
- \(h\) décroît sur \([1;+\infty[\).
Réponse : maximum en \(\boxed{x=1}\), de valeur \(\boxed{\frac12}\).
17. Résoudre \(f\'(x)=0\) puis conclure sur les extrema
Soit \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).
- Résoudre \(f'(x)=0\).
- Étudier les variations de \(f\).
- Préciser les extrema locaux.
Donc :
\[ f'(x)=0 \iff x=1 \text{ ou } x=3 \]Signe :
- positif sur \(]-\infty;1[\),
- négatif sur \(]1;3[\),
- positif sur \(]3;+\infty[\).
Donc :
- \(f\) croît sur \(]-\infty;1]\),
- \(f\) décroît sur \([1;3]\),
- \(f\) croît sur \([3;+\infty[\).
Réponse : maximum local en \((1;4)\), minimum local en \((3;0)\).
18. Monotonie avec paramètre
Soit \(f_m(x)=x^3+(m-3)x\).
Déterminer les valeurs de \(m\) pour que \(f_m\) soit strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Comme \(3x^2\ge0\), la valeur minimale de \(f_m'(x)\) est obtenue en \(x=0\), et vaut :
\[ m-3 \]Pour que \(f_m\) soit strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), il faut :
\[ f_m'(x)>0 \text{ pour tout }x \]Donc :
\[ m-3>0 \iff m>3 \]Réponse : \(\boxed{m>3}\).
19. Optimisation — rectangle de périmètre fixé
On dispose de 20 m de grillage pour clôturer un rectangle.
- Si un côté vaut \(x\), exprimer l’autre côté.
- Exprimer l’aire \(A(x)\).
- Déterminer la valeur de \(x\) qui maximise l’aire.
Si les côtés valent \(x\) et \(y\), alors :
\[ 2x+2y=20 \iff x+y=10 \iff y=10-x \]Donc :
\[ A(x)=x(10-x)=10x-x^2 \]Domaine :
\[ 0On résout :
\[ A'(x)=0 \iff x=5 \]Comme \(A'(x)\) est positive avant 5 puis négative après 5, l’aire est maximale pour :
\[ x=5 \]L’autre côté vaut aussi \(5\).
Réponse : aire maximale pour un carré de côté \(\boxed{5\text{ m}}\), d’aire \(\boxed{25\text{ m}^2}\).
20. Optimisation — boîte sans couvercle
On découpe dans chaque coin d’un carré de côté \(20\) cm un carré de côté \(x\), puis on replie pour former une boîte sans couvercle.
- Exprimer le volume \(V(x)\).
- Donner le domaine de \(x\).
- Déterminer la valeur de \(x\) qui maximise le volume.
Après découpe, la boîte a pour dimensions :
- longueur : \(20-2x\),
- largeur : \(20-2x\),
- hauteur : \(x\).
Donc :
\[ V(x)=x(20-2x)^2 \]Domaine :
\[ 0Alors :
\[ V'(x)=4(10-x)(10-3x) \]Les zéros sont :
\[ x=10 \quad \text{ou} \quad x=\frac{10}{3} \]Sur le domaine utile, on retient :
\[ x=\frac{10}{3} \]Réponse : le volume est maximal pour
\[ \boxed{x=\frac{10}{3}\text{ cm}} \]Le volume maximal vaut :
\[ V\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{16000}{27}\approx592{,}6\ \text{cm}^3 \]