Exercices — Nombre dérivé • Tangente • Fonction dérivée (20 exercices)
Niveau 1ère Spé. Sans exponentielle et sans convexité. Série solide : calculs par définition, tangentes, dérivées + variations.
A — Nombre dérivé (définition / taux de variation)
1. Exercice 1 — Nombre dérivé par définition (polynôme, vrai calcul)
Soit \(f(x)=x^2-5x+4\). Calculer \(f'(2)\) uniquement à l’aide de la définition :
\[ f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}. \]
On a \(f(2)=4-10+4=-2\) et
\(f(2+h)=(2+h)^2-5(2+h)+4=4+4h+h^2-10-5h+4=-2-h+h^2\).
Donc \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-h+h^2}{h}=-1+h\to -1\).
Ainsi \(f'(2)=-1\).
2. Exercice 2 — Nombre dérivé par définition (racine + rationalisation)
Soit \(g(x)=\sqrt{x+1}\) définie sur \([-1,+\infty[\).
Calculer \(g'(3)\) par la définition (rationaliser).
\(g'(3)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}\cdot\frac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2}
=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{4+h}+2}=\frac{1}{4}.\)
3. Exercice 3 — Nombre dérivé d’une fonction rationnelle (définition)
Soit \(f(x)=\frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
Calculer \(f'(a)\) pour un \(a\neq 0\) par la définition.
\(f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}
=\lim_{h\to0}\frac{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}
=\lim_{h\to0}\frac{-h}{h\,a(a+h)}=-\frac{1}{a^2}.\)
4. Exercice 4 — Dérivabilité en un point (valeur absolue)
Soit \(f(x)=|x|\). Étudier l’existence de \(f'(0)\) en calculant
\(\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}\) et
\(\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}\).
Pour \(h>0\), \(f(h)=h\) donc \(\frac{f(h)-f(0)}{h}=1\).
Pour \(h<0\), \(f(h)=-h\) donc \(\frac{f(h)-f(0)}{h}=-1\).
Les limites à droite et à gauche diffèrent, donc \(f'(0)\) n’existe pas.
5. Exercice 5 — Nombre dérivé et droite sécante (vrai calcul numérique)
On considère \(f(x)=x^3-2x\).
Calculer le taux de variation \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\) puis en déduire \(f'(1)\).
\(f(1)= -1\).
\(f(1+h)=(1+h)^3-2(1+h)=1+3h+3h^2+h^3-2-2h=-1+h+3h^2+h^3\).
Donc \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{h+3h^2+h^3}{h}=1+3h+h^2\to 1\).
Ainsi \(f'(1)=1\).
6. Exercice 6 — Condition sur un paramètre via un nombre dérivé
Soit \(f_m(x)=mx^2+(m-2)x+1\).
Déterminer \(m\) pour que \(f_m'(1)=0\).
On dérive : \(f_m'(x)=2mx+(m-2)\).
Alors \(f_m'(1)=2m+(m-2)=3m-2\).
\(f_m'(1)=0\iff 3m-2=0\iff m=\frac{2}{3}.\)
7. Exercice 7 — Nombre dérivé et point anguleux (fonction par morceaux)
Soit \(f(x)=\begin{cases}
x^2 & \text{si } x\le 1,\\
2x-1 & \text{si } x>1.
\end{cases}\)
Étudier l’existence de \(f'(1)\).
À gauche : \(f(x)=x^2\Rightarrow f'_-(1)=2\cdot1=2\).
À droite : \(f(x)=2x-1\Rightarrow f'_+(1)=2\).
Les dérivées à gauche et à droite sont égales, donc \(f'(1)=2\).
(De plus, \(f(1)=1\) et la limite à droite vaut aussi \(2\cdot1-1=1\) : continuité.)
B — Équations de tangentes (pente, parallèle, point imposé)
8. Exercice 8 — Équation de tangente (quotient, propre)
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}\) (pour \(x\neq -1\)).
Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse \(0\).
On écrit \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}\).
\(f(0)=1\).
\(f'(x)=\dfrac{(2x)(x+1)-(x^2+1)\cdot1}{(x+1)^2}
=\dfrac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\).
\(f'(0)=-1\).
Tangente : \(y=f'(0)(x-0)+f(0)=-x+1\).
9. Exercice 9 — Tangente parallèle à une droite donnée
Soit \(f(x)=x^3-3x^2+2\).
Trouver les abscisses \(a\) telles que la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en \(a\) soit parallèle à la droite \(y=6x-5\).
Parallèle \(\Rightarrow f'(a)=6\).
\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\).
Résoudre \(3a^2-6a=6\iff a^2-2a-2=0\).
\(a=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt{3}.\)
10. Exercice 10 — Tangente horizontale (résolution complète)
Soit \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\).
Déterminer les points de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est horizontale.
\(f'(x)=\dfrac{(1)(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).
Tangente horizontale \(\iff f'(x)=0\iff 1-x^2=0\iff x=\pm1\).
Points : \(f(1)=\frac{1}{2}\), \(f(-1)=\frac{-1}{2}\).
11. Exercice 11 — Tangente passant par un point (condition sur a)
Soit \(f(x)=x^2+2x\).
Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles la tangente en \(a\) passe par \(A(0,-3)\).
\(f'(x)=2x+2\).
Tangente en \(a\) : \(y=(2a+2)(x-a)+(a^2+2a)\).
Elle passe par \((0,-3)\) :
\(-3=(2a+2)(-a)+a^2+2a=-2a^2-2a+a^2+2a=-a^2\).
Donc \(a^2=3\Rightarrow a=\pm\sqrt{3}.\)
12. Exercice 12 — Tangente : retrouver f(x) à partir d’infos
On sait que \(f(x)=ax^2+bx+c\) et que la tangente en \(x=1\) est \(y=4x-1\), et que \(f(0)=2\).
Déterminer \(a,b,c\).
Tangente en 1 : pente \(f'(1)=4\) et point \((1,f(1))\) sur la tangente : \(f(1)=4\cdot1-1=3\).
Or \(f(0)=c=2\).
\(f(x)=ax^2+bx+2\).
\(f(1)=a+b+2=3\Rightarrow a+b=1\).
\(f'(x)=2ax+b\Rightarrow f'(1)=2a+b=4\).
Système : \(\begin{cases}a+b=1\\2a+b=4\end{cases}\Rightarrow a=3,\ b=-2\).
Donc \(a=3,b=-2,c=2\).
13. Exercice 13 — Tangente commune (niveau solide, sans convexité)
On considère \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=2x+3\).
Trouver les points où \(g\) est tangente à \(f\).
Tangence \(\iff\) même pente et même valeur au point \(a\).
\(f'(a)=2a\) et pente de \(g\) vaut 2, donc \(2a=2\Rightarrow a=1\).
Vérif valeur : \(f(1)=1\) et \(g(1)=5\) : pas égal.
Donc ce n’est pas tangent en 1. On fait directement :
\(g\) tangente à \(f\) \(\iff\) l’équation \(x^2=2x+3\) a une racine double.
\(x^2-2x-3=0\) : \(\Delta=4+12=16\) => 2 racines, pas double.
Donc \(g\) n’est tangente à \(f\) en aucun point.
14. Exercice 14 — Tangente : déterminer le paramètre m
Soit \(f_m(x)=x^2+mx+1\).
Déterminer \(m\) pour que la tangente en \(x=1\) soit horizontale.
\(f_m'(x)=2x+m\). Tangente horizontale en 1 \(\iff f_m'(1)=0\iff 2+m=0\iff m=-2\).
C — Fonction dérivée (calculs + variations)
15. Exercice 15 — Dérivée et variations (polynôme factorisable)
Étudier les variations de \(f(x)=x^4-4x^2\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\).
Étudier le signe de \(f'\) sur les intervalles délimités par \(-\sqrt2,0,\sqrt2\).
Résultat : \(f\) décroît sur \(( -\infty,-\sqrt2)\), croît sur \((-\sqrt2,0)\),
décroît sur \((0,\sqrt2)\), croît sur \((\sqrt2,\infty)\).
16. Exercice 16 — Variations (rationnelle) + limites locales
Soit \(g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}.\)
Étudier les variations de \(g\) sur \(( -\infty,1)\) et \((1,\infty)\), et calculer
\(\lim_{x\to 1^-}g(x)\), \(\lim_{x\to 1^+}g(x)\).
\(g'(x)=\dfrac{(1)(x-1)-(x+2)(1)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}<0\).
Donc \(g\) décroît sur chaque intervalle.
\(\lim_{x\to 1^-}g(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to 1^+}g(x)=+\infty\).
17. Exercice 17 — Étude sur un intervalle (racine + quotient)
Soit \(h(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\) sur \([0,+\infty[\).
Étudier les variations de \(h\) sur \([0,+\infty[\).
Pour \(x>0\), \(h'(x)=\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}
=\dfrac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}}-\frac{2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2}
=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}.\)
Le dénominateur est \(>0\) pour \(x>0\), donc signe de \(h'\) = signe de \(1-x\).
Ainsi \(h\) croît sur \([0,1]\) puis décroît sur \([1,+\infty[\).
Maximum en \(x=1\) : \(h(1)=\frac{1}{2}.\)
18. Exercice 18 — Résoudre une équation avec f' (niveau solide)
Soit \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).
Résoudre \(f'(x)=0\), puis donner les intervalles de variations de \(f\).
\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\).
Zéros : \(x=1\) et \(x=3\).
Signe : \(f'\) positif sur \(( -\infty,1)\), négatif sur \((1,3)\), positif sur \((3,\infty)\).
Donc \(f\) croît, décroît, croît.
19. Exercice 19 — Paramètre : monotonicité (sans convexité)
Soit \(f_m(x)=x^3-3x+m x\) (\(m\in\mathbb{R}\)).
Déterminer les valeurs de \(m\) pour que \(f_m\) soit strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(f_m'(x)=3x^2-3+m=3x^2+(m-3)\).
Pour être \(>0\) pour tout \(x\), il faut que son minimum (en \(x=0\)) soit \(>0\) :
\(m-3>0\iff m>3\).
Donc \(f_m\) strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) si \(m>3\).
20. Exercice 20 — Optimisation (vrai classique, sans exponentielle)
On veut fabriquer une boîte sans couvercle à partir d’un carré de côté \(20\) cm.
On découpe dans chaque coin un carré de côté \(x\) puis on replie.
- Exprimer le volume \(V(x)\) en fonction de \(x\).
- Donner le domaine de \(x\).
- Déterminer \(x\) qui maximise \(V\) et le volume maximal (arrondi au dixième).
Après découpe : dimensions \((20-2x)\times(20-2x)\) et hauteur \(x\).
Donc \(V(x)=x(20-2x)^2\).
Domaine : \(0