Exercices corrigés — Dérivation (1ère spé)

1. \(f(a)=a^2\) et \(f(a+h)=a^2+2ah+h^2\).

2. \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}h=\dfrac{2ah+h^2}{h}=2a+h\).

3. Quand \(h\) se rapproche de \(0\), \(2a+h\) se rapproche de \(2a\). Donc \(\boxed{f'(a)=2a}\).

4.
a) \(f'(2)=4\) et \(f(2)=4\). Ainsi \(y=4+4(x-2)\), soit \(\boxed{y=4x-4}\).

b) \(g'(a)=3a^2\) et \(p'(a)=-\dfrac1{a^2}\). En \(1\), \(g(1)=1\), \(g'(1)=3\), donc \(\boxed{T_g:y=3x-2}\). De même \(p(1)=1\), \(p'(1)=-1\), donc \(\boxed{T_p:y=2-x}\).

c) On a \(r'(x)=4x^3\), donc \(r(1)=1\) et \(r'(1)=4\) : \(\boxed{T_r:y=4x-3}\). De plus \(s'(x)=-\dfrac2{x^2}\), donc \(s(1)=2\) et \(s'(1)=-2\) : \(\boxed{T_s:y=4-2x}\).

d) On obtient \(u'(x)=2x+2\), \(v'(x)=6x-1\) et \(w'(x)=2x-4\). Ainsi \(\boxed{u'(1)=4}\), \(\boxed{v'(1)=5}\) et \(\boxed{w'(1)=-2}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f(1)=\dfrac12-2+\dfrac72=2\), donc \(A\) est bien sur la courbe.

2. \(m=\dfrac{-1-2}{4-1}=-1\).

3. La droite \((AB)\) étant la tangente en \(A\), \(\boxed{f'(1)=-1}\).

4.
a) \(y-2=-(x-1)\), donc \(\boxed{y=-x+3}\). Pour \(x=4\), on obtient \(y=-1\) : la droite passe bien par \(B\).

b) \(g'(x)=2x-2\), donc \(g'(1)=0\) et \(g(1)=1\) : \(\boxed{T_g:y=1}\). Pour \(h\), \(h'(x)=-2x+4\), donc \(h'(1)=2\) et \(h(1)=2\) : \(\boxed{T_h:y=2x}\).

c) Pour \(r\), \(r(1)=1\) et \(r'(1)=3\), donc \(\boxed{T_r:y=3x-2}\). Pour \(s\), \(s(1)=3\) et \(s'(1)=-1\), donc \(\boxed{T_s:y=4-x}\).

d) Pour \(u\), \(u(1)=2\), \(u'(1)=-2\), donc \(\boxed{y=-2x+4}\). Pour \(v\), \(v(0)=3\), \(v'(0)=2\), donc \(\boxed{y=2x+3}\). Pour \(w\), \(w(2)=4\), \(w'(2)=3\), donc \(\boxed{y=3x-2}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Pour \(x>0\), tous les termes sont définis et dérivables, donc \(f\) l’est aussi.

2. On obtient \(20x^4\), \(6x^{-3}\), \(\dfrac1{\sqrt x}\) et \(0\).

3. Ainsi \(\boxed{f'(x)=20x^4+\dfrac6{x^3}+\dfrac1{\sqrt x}}\).

4.
a) \(f'(1)=20+6+1=\boxed{27}\).

b) \(g'(x)=12x^3-\dfrac5{x^2}-\dfrac1{2\sqrt x}\), donc \(\boxed{g'(1)=\dfrac{13}{2}}\). De même \(h'(x)=6x^5+\dfrac6{x^4}+\dfrac2{\sqrt x}\), donc \(\boxed{h'(1)=14}\).

c) \(r'(x)=15x^2+\dfrac8{x^3}+\dfrac3{2\sqrt x}\), d’où \(\boxed{r'(1)=\dfrac{49}{2}}\). Et \(s'(x)=10x^4-\dfrac7{x^2}-\dfrac1{\sqrt x}\), donc \(\boxed{s'(1)=2}\).

d) \(\boxed{u'(x)=20x^4-6x}\). Sur \(]0;+\infty[\), \(\boxed{v'(x)=-\dfrac6{x^4}+\dfrac1{2\sqrt x}}\). Enfin \(\boxed{w'(x)=2x(x-3)+(x^2+1)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. La tangente passe par \(A(a;f(a))\) et a pour pente \(f'(a)\).

2. Donc \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\), soit \(\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a)}\).

3. \(f'(x)=2x-4\), donc \(f(3)=2\) et \(f'(3)=2\).

4.
a) \(y=2+2(x-3)=\boxed{2x-4}\).

b) Pour \(g\), \(g(-1)=3\) et \(g'(-1)=0\), donc \(\boxed{T_g:y=3}\). Pour \(h\), \(h(2)=\dfrac12\) et \(h'(2)=-\dfrac14\), donc \(\boxed{T_h:y=1-\dfrac{x}{4}}\).

c) Pour \(r\), \(r(0)=-1\), \(r'(0)=2\), donc \(\boxed{T_r:y=2x-1}\). Pour \(s\), \(s(1)=2\), \(s'(1)=4\), donc \(\boxed{T_s:y=4x-2}\).

d) Pour \(u\), \(u(1)=-1\), \(u'(1)=1\) : \(\boxed{y=x-2}\). Pour \(v\), \(v(2)=\dfrac12\), \(v'(2)=-\dfrac14\) : \(\boxed{y=-\dfrac14x+1}\). Pour \(w\), \(w(4)=2\), \(w'(4)=\dfrac14\) : \(\boxed{y=\dfrac14x+1}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f(4)=2\) et \(f'(4)=\dfrac14\).

2. La tangente est \(y=2+\dfrac14(x-4)\).

3. Ainsi \(\sqrt{4{,}04}\approx2+\dfrac14\times0{,}04=\boxed{2{,}01}\).

4.
a) \(2{,}01-\sqrt{4{,}04}=\dfrac{2{,}01^2-4{,}04}{2{,}01+\sqrt{4{,}04}}=\dfrac{0{,}0001}{2{,}01+\sqrt{4{,}04}}\approx\boxed{2{,}5\times10^{-5}}\).

b) Comme \(g(2)=\dfrac12\) et \(g'(2)=-\dfrac14\), \(\boxed{\dfrac1{2{,}02}\approx0{,}495}\). Pour \(h(x)=x^3\), \(h(2)=8\) et \(h'(2)=12\), donc \(\boxed{2{,}01^3\approx8{,}12}\).

c) Comme \(r(1)=1\) et \(r'(1)=4\), \(\boxed{1{,}01^4\approx1{,}04}\). Pour \(s(x)=\sqrt x\), \(s(9)=3\) et \(s'(9)=\dfrac16\), donc \(\boxed{\sqrt{9{,}09}\approx3{,}015}\).

d) Pour \(\sqrt x\) en \(16\), \(\boxed{\sqrt{16{,}16}\approx4{,}02}\). Pour \(1/x\) en \(1\), \(\boxed{1/0{,}98\approx1{,}02}\). Pour \(x^3\) en \(2\), \(\boxed{2{,}01^3\approx8{,}12}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(p(a+h)-p(a)=u(a+h)[v(a+h)-v(a)]+v(a)[u(a+h)-u(a)]\).

2. Donc \(\dfrac{p(a+h)-p(a)}h=u(a+h)\dfrac{v(a+h)-v(a)}h+v(a)\dfrac{u(a+h)-u(a)}h\).

3. On obtient \(\boxed{(uv)'=u'v+uv'}\). Ici \(f'(x)=2x(2x-3)+2(x^2+1)=\boxed{6x^2-6x+2}\).

4.
a) \(f(1)=-2\) et \(f'(1)=2\). Ainsi \(y+2=2(x-1)\), soit \(\boxed{y=2x-4}\).

b) \(\boxed{g'(x)=9x^2-2x+6}\), donc \(\boxed{g'(1)=13}\). Pour \(h\), \(\boxed{h'(x)=2x+4}\), donc \(\boxed{h'(1)=6}\).

c) \(r'(x)=2x(x+2)+(x^2-1)\), donc \(\boxed{r'(1)=6}\). Pour \(s\), \(s'(x)=2(x^2-x+3)+(2x+1)(2x-1)\), donc \(\boxed{s'(0)=5}\).

d) \(u'(x)=2x(2x-3)+2(x^2+1)\), donc \(\boxed{u'(1)=2}\). Comme \(v(x)=x^{5/2}\), \(v'(x)=\dfrac52x^{3/2}\), donc \(\boxed{v'(4)=20}\). Enfin \(w(x)=3+1/x\), donc \(\boxed{w'(2)=-\dfrac14}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\dfrac{\dfrac1{a+h}-\dfrac1a}{h}=-\dfrac1{a(a+h)}\).

2. Cette expression se rapproche de \(-\dfrac1{a^2}\), donc \(\boxed{f'(a)=-\dfrac1{a^2}}\).

3. \(\boxed{g'(x)=2-\dfrac3{x^2}}\).

4.
a) \(g(1)=5\), \(g'(1)=-1\). La tangente est \(y-5=-(x-1)\), soit \(\boxed{y=-x+6}\).

b) \(p'(x)=1-\dfrac4{x^2}\). En \(2\), \(p(2)=4\) et \(p'(2)=0\), donc \(\boxed{T_p:y=4}\). Pour \(q\), \(q'(x)=-\dfrac3{x^2}-2\), \(q(1)=1\), \(q'(1)=-5\), donc \(\boxed{T_q:y=6-5x}\).

c) Pour \(r\), \(r(1)=5\) et \(r'(1)=-2\), donc \(\boxed{T_r:y=-2x+7}\). Pour \(s\), \(s(2)=7\) et \(s'(2)=\dfrac52\), donc \(\boxed{T_s:y=\dfrac52x+2}\).

d) \(u'(x)=-5/x^2+2\), donc \(\boxed{u'(1)=-3}\). Comme \(v(x)=1+1/x\), \(\boxed{v'(2)=-\dfrac14}\). Enfin \(w'(x)=-2/(2x-1)^2\), donc \(\boxed{w'(1)=-2}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\dfrac{\sqrt h}{h}=\dfrac1{\sqrt h}\).

2. Quand \(h\to0^+\), \(\dfrac1{\sqrt h}\) devient arbitrairement grand.

3. Le taux ne s’approche d’aucun réel fini : \(\boxed{f\text{ n’est pas dérivable en }0}\).

4.
a) Pour \(x>0\), \(f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}\), qui devient elle aussi arbitrairement grande près de \(0\). Cela confirme le comportement local observé.

b) \(\boxed{g'(x)=1+\dfrac1{\sqrt x}}\) et \(\boxed{h'(x)=\dfrac{3x+1}{2\sqrt x}}\). Dans les deux cas, la dérivée devient arbitrairement grande lorsque \(x\to0^+\), ce qui est cohérent avec une pente très raide près de l’origine.

c) \(r'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}+2x\), donc \(r'(x)\) devient arbitrairement grande lorsque \(x\to0^+\). En revanche \(s'(x)=\sqrt x+\dfrac{x}{2\sqrt x}=\dfrac32\sqrt x\), donc \(\boxed{s'(x)\to0}\).

d) Pour \(u\), \(u'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}+1\), qui devient arbitrairement grande quand \(x\to0^+\). Pour \(v\), \(\dfrac{v(h)-v(0)}h=\sqrt h\to0\). Pour \(w\), le taux vaut \(h\sqrt h\to0\). Ainsi les deux dernières ont une dérivée à droite nulle en \(0\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. Pour \(h>0\), le taux vaut \(1\).

2. Pour \(h<0\), le taux vaut \(-1\).

3. Les deux comportements diffèrent, donc \(\boxed{f'(0)\text{ n’existe pas}}\).

4.
a) \(f'(x)=-1\) si \(x<0\) et \(f'(x)=1\) si \(x>0\). La courbe présente un \(\boxed{\text{point anguleux}}\) à l’origine.

b) Pour \(g\), les deux taux de variation en \(0\) tendent vers \(0\), donc \(\boxed{g'(0)=0}\). Pour \(h\), la pente vaut \(-1\) à gauche de \(2\) et \(+1\) à droite : \(\boxed{h\text{ n’est pas dérivable en }2}\).

c) Pour \(r\), la pente vaut \(-2\) à gauche de \(1/2\) et \(2\) à droite : \(\boxed{r\text{ n’est pas dérivable en }1/2}\). Pour \(s\), le taux en \(1\) vaut \(|h|\), qui tend vers \(0\) : \(\boxed{s'(1)=0}\).

d) Pour \(u\), les pentes latérales valent \(-1\) et \(1\) : non dérivable en \(2\). Pour \(v\), le taux vaut \(|h|\to0\), donc \(\boxed{v'(2)=0}\). Pour \(w\), les pentes latérales en \(1\) valent \(-2\) et \(2\) : non dérivable en \(1\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f'(x)=3x^2-6x=\boxed{3x(x-2)}\).

2. \(f'(x)=0\iff \boxed{x=0\text{ ou }x=2}\).

3. \(f(0)=2\), \(f(2)=-2\). Les tangentes sont \(\boxed{y=2}\) et \(\boxed{y=-2}\).

4.
a) \(f'\) est positive sur \(]-\infty;0[\), négative sur \(]0;2[\), positive sur \(]2;+\infty[\). Il y a un maximum local \(2\) en \(0\) et un minimum local \(-2\) en \(2\).

b) \(g'(x)=4x(x-1)(x+1)\) : tangentes horizontales en \(x=-1,0,1\), aux points \((-1;-1),(0;0),(1;-1)\). Pour \(h\), \(h'(x)=1-\dfrac4{x^2}\), donc sur \(]0;+\infty[\) seule \(x=2\) convient, avec \(h(2)=4\) : \(\boxed{y=4}\).

c) \(r'(x)=3(x-2)(x+2)\) : tangentes horizontales aux points \(\boxed{(-2;16)}\) et \(\boxed{(2;-16)}\). Pour \(s\), \(s'(x)=4x(x^2-2)\), donc les points sont \(\boxed{(-\sqrt2;-4),(0;0),(\sqrt2;-4)}\).

d) Pour \(u\), \(x=\pm1\) : points \(\boxed{(-1;2),(1;-2)}\). Pour \(v\), \(x=-1,0,1\) : \(\boxed{(-1;-1),(0;0),(1;-1)}\). Pour \(w\), \(x=1,3\) : \(\boxed{(1;4),(3;0)}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(s(1)=10\), \(s(3)=18\), donc \(v_{moy}=\dfrac{8}{2}=\boxed{4\text{ m/s}}\).

2. \(\boxed{v(t)=3t^2-12t+15}\).

3. \(v(2)=12-24+15=\boxed{3\text{ m/s}}\). Une valeur moyenne sur \([1;3]\) n’a pas de raison d’égaler la valeur instantanée en \(2\).

4.
a) \(s(2)=14\) et \(s'(2)=3\). Ainsi \(\boxed{s(2+h)\approx14+3h}\).

b) Pour le mobile initial, \(s'(2)=3\). Ensuite \(s_2'(t)=4t+3\), donc \(\boxed{s_2'(2)=11}\), et \(s_3'(t)=-3t^2+12t\), donc \(\boxed{s_3'(2)=12}\). À l’instant \(2\), le troisième mobile est le plus rapide.

c) \(r'(t)=8t-1\), donc \(\boxed{r'(2)=15}\). Et \(q'(t)=-6t^2+18t\), donc \(\boxed{q'(2)=12}\). Ces valeurs complètent la comparaison des vitesses à l’instant \(2\).

d) \(u'(t)=3t^2-6t+2\), donc \(\boxed{u'(2)=2}\). \(v'(t)=4t+5\), donc \(\boxed{v'(2)=13}\). \(w'(t)=-3t^2+12t\), donc \(\boxed{w'(2)=12}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{f_m'(x)=3x^2+2mx+2}\).

2. Le parallélisme impose \(f_m'(-1)=-1\), soit \(5-2m=-1\).

3. On obtient \(\boxed{m=3}\).

4.
a) \(f_3(-1)=0\). La tangente est donc \(y=-1(x+1)\), soit \(\boxed{y=-x-1}\).

b) \(g_m'(x)=2mx+m-1\), donc \(3m-1=0\) et \(\boxed{m=\dfrac13}\). Pour \(h_m\), \(h_m'(x)=2x+m\), donc \(4+m=7\) et \(\boxed{m=3}\).

c) \(r_m'(x)=2(m+1)x-2m\), donc \(r_m'(1)=2\) pour tout \(m\) : \(\boxed{arnothing}\) ne donne une pente \(3\). Pour \(s_m\), \(s_m'(1)=3+m\), donc \(\boxed{m=-3}\).

d) \(u_m'(1)=2+m\), donc \(\boxed{m=3}\). \(v_m'(-1)=3-2m\), donc \(\boxed{m=\dfrac32}\). Enfin \(w_m'(0)=2\) pour tout \(m\), donc \(\boxed{\text{aucune valeur de }m}\) ne donne une pente \(1\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. On a \(c=1\), \(a+b+1=3\) et \(2a+b=5\).

2. Le système donne \(\boxed{a=3,b=-1,c=1}\), donc \(\boxed{f(x)=3x^2-x+1}\).

3. \(f'(x)=6x-1\), négative avant \(1/6\) et positive après : \(f\) décroît puis croît.

4.
a) \(f(1/6)=\dfrac1{12}-\dfrac16+1=\boxed{\dfrac{11}{12}}\).

b) On obtient \(\boxed{u=3,v=-2,w=2}\), donc \(g(x)=3x^2-2x+2\). Comme \(g'(x)=6x-2\), le minimum est atteint en \(x=\dfrac13\) et vaut \(\boxed{g(1/3)=\dfrac53}\).

c) Pour \(r\), \(C=3\), \(r(2)=5\) et \(r'(2)=2\), d’où \(\boxed{r(x)=\dfrac12x^2+3}\). Pour \(s\), \(W=-1\), \(s(1)=1\), \(s'(1)=-2\), d’où \(\boxed{s(x)=-4x^2+6x-1}\).

d) On trouve \(\boxed{u(x)=3x^2-2x+1}\), \(\boxed{v(x)=\dfrac32x^2-2}\) et \(\boxed{w(x)=2x^2+3}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(T_a:y=a^2+2a(x-a)=\boxed{2ax-a^2}\).

2. \(-3=2a-a^2\), soit \(a^2-2a-3=0\).

3. \((a-3)(a+1)=0\), donc \(\boxed{a=3\text{ ou }a=-1}\).

4.
a) On obtient \(\boxed{y=6x-9}\) et \(\boxed{y=-2x-1}\). Pour \(x=1\), les deux donnent bien \(-3\).

b) La tangente à \(g\) en \(a\) est \(y=(2a-2)x-a^2\). Le passage par \(Q\) impose \(-a^2=-4\), donc \(a=\pm2\). Les deux tangentes sont \(\boxed{y=2x-4}\) et \(\boxed{y=-6x-4}\).

c) Pour \(r\), l’ordonnée à l’origine de la tangente en \(a\) est \(1-a^2\). L’équation \(1-a^2=-3\) donne \(\boxed{a=\pm2}\). Pour \(s\), l’ordonnée à l’origine vaut \(-a^2\) ; \(-a^2=-1\) donne \(\boxed{a=\pm1}\).

d) Pour \(u\), l’ordonnée à l’origine vaut \(-a^2\), donc \(a=\pm2\). Pour \(v\), elle vaut encore \(-a^2\), donc \(a=\pm\sqrt3\). Pour \(w\), elle vaut \(-2a^2\), donc \(a=\pm2\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(g'(x)=\dfrac{(2x+3)(x+2)-(x^2+3x+1)}{(x+2)^2}=\boxed{\dfrac{(x+2)^2+1}{(x+2)^2}}\).

2. Pour \(x\neq-2\), \(g'(x)>0\). Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;+\infty[\).

3. \(\boxed{g(-3)=-1}\) et \(\boxed{g(-1)=-1}\).

4.
a) Non. Le domaine n’est pas un intervalle et \(-3<-1\) alors que \(g(-3)=g(-1)\). L’affirmation globale est donc \(\boxed{\text{fausse}}\).

b) \(p'(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}\) : \(p\) croît sur \(]-\infty;-1]\) et \([1;+\infty[\), et décroît sur \([-1;0[\) et \(]0;1]\). Pour \(q\), \(q'(x)=\dfrac{10(9-x^2)}{(x^2+9)^2}\) : \(q\) croît sur \([-3;3]\) et décroît sur \(]-\infty;-3]\) et \([3;+\infty[\).

c) \(r'(x)=\dfrac3{(x+2)^2}>0\) : \(r\) est strictement croissante sur chacun des intervalles de son domaine. \(s'(x)=-\dfrac7{(x-3)^2}<0\) : \(s\) est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.

d) \(u'(x)=-\dfrac3{(x-1)^2}<0\) : \(u\) décroît sur chaque intervalle de son domaine. \(v'(x)=\dfrac7{(x+3)^2}>0\) : \(v\) croît. \(w'(x)=-\dfrac{23}{(2x-5)^2}<0\) : \(w\) décroît.

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f(-x)=f(x)\), donc \(\boxed{f\text{ est paire}}\).

2. \(f'(x)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\). Son signe est \(-,+,-,+\) sur les quatre intervalles déterminés par \(-\sqrt2,0,\sqrt2\).

3. Ainsi \(f\) décroît, croît, décroît puis croît sur ces quatre intervalles.

4.
a) \(f(0)=3\), \(f(\pm\sqrt2)=-1\). Les minima locaux valent \(\boxed{-1}\) en \(\pm\sqrt2\) et le maximum local vaut \(\boxed{3}\) en \(0\).

b) \(g\) et \(h\) sont impaires. \(g'(x)=3(x-1)(x+1)\), donc ses points critiques sont \(x=\pm1\). De même \(h'(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}\), donc ses points critiques du domaine sont aussi \(x=\pm1\).

c) Pour \(r\), les points critiques sont \(-\sqrt2,0,\sqrt2\) ; les variations alternent décroissante, croissante, décroissante, croissante. Pour \(s\), la dérivée est positive hors de \([-\sqrt3;\sqrt3]\) et négative à l’intérieur (avec \(s'(0)=0\) sans changement de signe) : \(s\) croît, décroît puis croît.

d) Pour \(u\), les points critiques sont \(-2,0,2\) et les signes alternent \(-,+,-,+\). Pour \(v\), la dérivée est positive hors de \([-1;1]\) et négative à l’intérieur. Pour \(w\), même schéma avec les points critiques \(-1\) et \(1\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f'(x)=1-\dfrac4{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}\).

2. \(f'<0\) sur \(]0;2[\), \(f'(2)=0\), \(f'>0\) sur \(]2;+\infty[\).

3. Le minimum est atteint en \(x=2\) et vaut \(f(2)=\boxed{4}\).

4.
a) Donc \(\boxed{x+\dfrac4x\ge4}\) pour tout \(x>0\), avec égalité exactement pour \(\boxed{x=2}\).

b) \(g\) est minimale pour \(x=\sqrt[3]{2}\) et \(\boxed{g(x)\ge3(\sqrt[3]{2})^2}\). Pour \(h\), le minimum est atteint en \(x=2\) et vaut \(8\), donc \(\boxed{2x+\dfrac8x\ge8}\), avec égalité pour \(x=2\).

c) \(r(x)=x+9/x\) atteint son minimum en \(x=3\), de valeur \(6\) : \(\boxed{x+9/x\ge6}\), égalité en \(3\). \(s(x)=x^2+1/x^2\) atteint son minimum en \(x=1\), de valeur \(2\) : \(\boxed{x^2+1/x^2\ge2}\), égalité en \(1\).

d) Le premier minimum est atteint en \(x=4\) et vaut \(8\). Le deuxième est atteint en \(x=\sqrt2\) et vaut \(4\). Le troisième est atteint en \(x=3\) et vaut \(12\). Les trois inégalités sont donc démontrées, avec égalité aux points indiqués.

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f(1)=1\), \(f'(1)=3\), donc \(\boxed{T:y=3x-2}\).

2. \(f(x)-T(x)=x^3-3x+2=\boxed{(x-1)^2(x+2)}\).

3. Le signe est celui de \(x+2\) : négatif si \(x<-2\), nul en \(-2\) et \(1\), positif sinon.

4.
a) La courbe est sous \(T\) sur \(]-\infty;-2[\), puis au-dessus après \(-2\). Elle traverse \(T\) en \(x=-2\) et lui est tangente en \(x=1\).

b) Pour \(g\), la tangente est \(y=2x-1\) et \(g(x)-(2x-1)=(x-1)^2\ge0\) : la courbe est au-dessus. Pour \(h\), la tangente est \(y=2-x\) et \(h(x)-(2-x)=\dfrac{(x-1)^2}{x}\) : la courbe est au-dessus pour \(x>0\) et au-dessous pour \(x<0\).

c) \(r(x)-(3x-2)=(x-1)^2(x+2)\) : le signe dépend de \(x+2\). Pour \(s\), \(s(x)-(1-x/4)=\dfrac{(x-2)^2}{4x}\) : la différence est positive pour \(x>0\) et négative pour \(x<0\).

d) Pour \(u\), \(T(x)=2x-1\) et \(u-T=(x-1)^2\ge0\). Pour \(v\), \(T(x)=2-x\) et \(v-T=\dfrac{(x-1)^2}{x}\). Pour \(w\), \(T(x)=0\) et \(w-T=x^3\), négatif pour \(x<0\) et positif pour \(x>0\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f(2)=\dfrac12\), \(f'(2)=-\dfrac14\), donc \(f(2+h)\approx\dfrac12-\dfrac h4\).

2. Avec \(h=-0{,}02\), \(\dfrac1{1{,}98}\approx0{,}5+0{,}005=\boxed{0{,}505}\).

3. \(\dfrac1{1{,}98}=\dfrac{100}{198}=\boxed{\dfrac{50}{99}}\).

4.
a) \(\dfrac{50}{99}-\dfrac{101}{200}=\boxed{\dfrac1{19800}}\approx\boxed{5{,}05\times10^{-5}}\).

b) \(\boxed{\sqrt{4{,}04}\approx2{,}01}\) et \(\boxed{2{,}01^3\approx8{,}12}\). La seconde valeur exacte est \(8{,}120601\), ce qui confirme la qualité de l’approximation locale.

c) On obtient \(\boxed{1/1{,}01\approx0{,}99}\). Or \(1/1{,}01=100/101\), donc l’erreur vaut exactement \(\boxed{1/10100}\). Pour \(1{,}02^3\), l’approximation vaut \(\boxed{1{,}06}\) et la valeur exacte est \(1{,}061208\), soit une erreur \(\boxed{0{,}001208}\).

d) \(\sqrt{25{,}1}\approx5+0{,}1/10=\boxed{5{,}01}\). \(1/1{,}02\approx1-0{,}02=\boxed{0{,}98}\). Enfin \(0{,}99^4\approx1+4(-0{,}01)=\boxed{0{,}96}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(B'(x)=-3x^2+18x-15=\boxed{-3(x-1)(x-5)}\).

2. \(B\) décroît sur \([0;1]\), croît sur \([1;5]\), puis décroît sur \([5;8]\).

3. \(B(0)=20\), \(B(1)=13\), \(B(5)=45\), \(B(8)=-36\).

4.
a) Le maximum est \(\boxed{45}\) milliers d’euros, atteint pour \(x=5\), soit \(\boxed{500\text{ objets}}\) et \(\boxed{45\,000\text{ €}}\).

b) \(R(x)-C(x)=-x^3+9x^2-15x+20=B(x)\). Au maximum \(x=5\), \(\boxed{R(5)=320}\) et \(\boxed{C(5)=275}\), d’où \(320-275=45\), cohérent avec le bénéfice maximal.

c) \(B_2'(x)=-6x+48\), donc maximum en \(\boxed{x=8}\), de valeur \(\boxed{162}\). \(B_3'(x)=-4x+40\), donc maximum en \(\boxed{x=10}\), de valeur \(\boxed{150}\).

d) Pour \(u\), maximum en \(\boxed{x=10}\), valeur \(\boxed{100}\). Pour \(v\), maximum en \(\boxed{x=9}\), valeur \(\boxed{101}\). Pour \(w\), maximum en \(\boxed{x=8}\), valeur \(\boxed{196}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{A(x)=2x(12-x^2)}\).

2. \(A'(x)=24-6x^2=\boxed{6(2-x)(2+x)}\).

3. \(A\) croît sur \([0;2]\) puis décroît sur \([2;\sqrt{12}]\).

4.
a) Pour \(x=2\), largeur \(4\), hauteur \(8\), donc \(\boxed{A_{max}=32}\).

b) \(B(x)=36x-4x^3\) et \(B'(x)=12(3-x^2)\). Le maximum est atteint pour \(x=\sqrt3\), avec largeur \(2\sqrt3\), hauteur \(12\) et \(\boxed{B_{max}=24\sqrt3\approx41{,}6}\), supérieur à \(32\).

c) Pour \(r\), \(A_r'(x)=40-6x^2\), donc \(x=\sqrt{20/3}\) et \(\boxed{A_{r,\max}=\dfrac{160\sqrt{15}}9}\). Pour \(s\), \(A_s'(x)=32-24x^2\), donc \(x=2/\sqrt3\) et \(\boxed{A_{s,\max}=\dfrac{128\sqrt3}{9}}\).

d) Pour \(u\), \(A=2x(27-x^2)\) : optimum \(x=3\), aire \(\boxed{108}\). Pour \(v\), optimum \(x=2\), aire \(\boxed{32}\). Pour \(w\), optimum \(x=2\), aire \(\boxed{64}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(V(x)=x(24-2x)^2\) avec \(\boxed{0

2. \(V(x)=4x(12-x)^2\) et \(\boxed{V'(x)=4(12-x)(12-3x)}\).

3. Sur \(]0;12[\), \(V'\) est positive avant \(4\), puis négative après \(4\).

4.
a) Le maximum est atteint pour \(\boxed{x=4\text{ cm}}\) et vaut \(\boxed{V(4)=1024\text{ cm}^3}\).

b) \(W'(x)=12(x-15)(x-5)\). Sur \(]0;15[\), le maximum est atteint pour \(\boxed{x=5\text{ cm}}\), et \(\boxed{W(5)=2000\text{ cm}^3}\), supérieur à \(1024\text{ cm}^3\).

c) Pour \(L=18\), l’optimum est \(\boxed{x=3}\) cm et \(\boxed{V_{18,\max}=432\text{ cm}^3}\). Pour \(L=36\), \(\boxed{x=6}\) cm et \(\boxed{V_{36,\max}=3456\text{ cm}^3}\).

d) Pour \(L=24\), \(\boxed{x=4}\) et \(\boxed{V_{max}=1024}\). Pour \(L=30\), \(\boxed{x=5}\) et \(\boxed{V_{max}=2000}\). Pour \(L=18\), \(\boxed{x=3}\) et \(\boxed{V_{max}=432}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{y=\dfrac2a-\dfrac{x}{a^2}}\).

2. \(\boxed{M(0;2/a)}\) et \(\boxed{N(2a;0)}\).

3. \(\mathcal A=\dfrac12\times2a\times\dfrac2a=\boxed{2}\).

4.
a) L’aire est constante et \(\boxed{OM\times ON=\dfrac2a\times2a=4}\), indépendamment de \(a\).

b) Pour \(f_k\), les intercepts sont \(2k/a\) et \(2a\), donc l’aire vaut \(\boxed{2k}\) et leur produit vaut \(\boxed{4k}\). Pour \(g(x)=4/x\), l’aire constante vaut donc \(\boxed{8}\).

c) Pour \(r(x)=9/x\), l’aire est constante et vaut \(\boxed{18}\). Pour \(s\), \(s(1)=5\), \(s'(1)=-3\), donc la tangente est \(y=-3x+8\). Ses intercepts sont \(8\) et \(8/3\), d’où une aire \(\boxed{32/3}\).

d) La tangente est \(y=2k/a-(k/a^2)x\). Les intercepts sont \(2a\) et \(2k/a\), donc l’aire vaut toujours \(2k\). Ainsi les aires sont \(\boxed{8}\), \(\boxed{14}\) et \(\boxed{20}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{T_f:y=2ax-a^2}\).

2. \(\boxed{T_g:y=-\dfrac{x}{b^2}+\dfrac2b}\).

3. Le système donne \(b=-\dfrac12\) puis \(a=-2\).

4.
a) Les deux formules donnent \(\boxed{y=-4x-4}\). Elles ont respectivement pour points de tangence \((-2;4)\) sur \(y=x^2\) et \((-1/2;-2)\) sur \(y=1/x\).

b) \(h'(x)=3x^2-6\). L’équation \(h'(x)=-4\) donne \(x=\pm\sqrt{\dfrac23}=\pm\dfrac{\sqrt6}{3}\). Les tangentes sont \(\boxed{y=-4x\mp\dfrac{4\sqrt6}{9}}\), avec le signe opposé à celui de l’abscisse de tangence.

c) La tangente à \(p\) en \(a\) a pente \(2a+2\) et ordonnée à l’origine \(-a^2\). Celle à \(q\) en \(b\) a pente \(-2b+2\) et ordonnée à l’origine \(b^2\). L’égalité impose \(a=-b\) puis \(a=0\). Ainsi la tangente commune est \(\boxed{y=2x}\), aux deux points \((0;0)\).

d) Pour le premier couple, tangente commune \(\boxed{y=0}\) aux points \((0;0)\) et \((2;0)\). Pour le deuxième, \(\boxed{y=0}\) aux points \((-1;0)\) et \((3;0)\). Pour le troisième, \(\boxed{y=4}\) aux points \((1;4)\) et \((-2;4)\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f(0)=3\) et \(f'(0)=-1\), donc \(d=3\), \(c=-1\).

2. \(f(1)=1\) et \(f'(1)=-2\).

3. On obtient \(a+b=-1\) et \(3a+2b=-1\), donc \(a=1\), \(b=-2\). Ainsi \(\boxed{f(x)=x^3-2x^2-x+3}\).

4.
a) On vérifie \(f(0)=3,f'(0)=-1\) et \(f(1)=1,f'(1)=-2\) : les tangentes sont bien \(T_0\) et \(T_1\).

b) On obtient \(C=1\), \(B=2\) et \(A=1\). Ainsi \(\boxed{g(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2}\). Les quatre conditions de tangence sont alors vérifiées directement.

c) Pour \(r\), on obtient \(d=1,c=2,a+b=1,3a+2b=-3\), donc \(\boxed{r(x)=-5x^3+6x^2+2x+1}\). Pour \(s\), \(d=-2,c=1,a+b=0,3a+2b=3\), donc \(\boxed{s(x)=3x^3-3x^2+x-2}\).

d) On obtient \(\boxed{u(x)=x^3+x+1}\), \(\boxed{v(x)=x^3-2x+3}\) et \(\boxed{w(x)=-6x^3+7x^2+3x-1}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{f_m'(x)=3x^2+m-3}\).

2. Si \(m>3\), alors \(f_m'(x)>0\) pour tout \(x\), donc \(f_m\) est strictement croissante.

3. Si \(m=3\), \(f_m(x)=x^3\), strictement croissante. Si \(m<3\), \(f_m'(0)<0\) et, par continuité de la dérivée, \(f_m\) décroît sur un petit intervalle autour de \(0\).

4.
a) Ainsi la condition exacte est \(\boxed{m\ge3}\).

b) \(g_m'(x)=3x^2+m\), donc \(g_m\) est strictement croissante exactement pour \(\boxed{m\ge0}\). De même \(h_m'(x)=3x^2+m+2\), donc \(h_m\) est strictement croissante exactement pour \(\boxed{m\ge-2}\).

c) \(r_m'(x)=6x^2+m-4\), donc \(\boxed{m\ge4}\). Pour \(s_m\), \(s_m'(x)=15x^2+2m+1\), donc \(\boxed{m\ge-\dfrac12}\). Dans les cas frontières, les fonctions restent strictement croissantes.

d) \(u_m'(x)=3x^2+m-2\), donc \(\boxed{m\ge2}\). \(v_m'(x)=6x^2+m+1\), donc \(\boxed{m\ge-1}\). \(w_m'(x)=12x^2+2m-5\), donc \(\boxed{m\ge\dfrac52}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(x_1=\dfrac12\left(\dfrac32+\dfrac43\right)=\boxed{\dfrac{17}{12}}\).

2. \(x_2=\dfrac12\left(\dfrac{17}{12}+\dfrac{24}{17}\right)=\boxed{\dfrac{577}{408}}\).

3. \(\dfrac{577}{408}\approx\boxed{1{,}414216}\), très proche de \(1{,}414214\).

4.
a) On remplace localement la courbe par sa tangente ; l’abscisse où cette droite coupe l’axe \(Ox\) est la nouvelle approximation \(x_{n+1}\).

b) \(\boxed{y_1=\dfrac74}\), puis \(\boxed{y_2=\dfrac{97}{56}\approx1{,}732143}\). L’erreur est déjà inférieure à \(10^{-4}\), ce qui illustre la rapidité de la méthode.

c) Pour \(\sqrt5\) : \(\boxed{z_1=9/4}\), puis \(\boxed{z_2=161/72\approx2{,}236111}\). Pour \(\sqrt{10}\) : \(\boxed{w_1=19/6}\), puis \(\boxed{w_2=721/228\approx3{,}162281}\).

d) Pour \(\sqrt3\) : \(\boxed{x_1=7/4}\), \(\boxed{x_2=97/56}\). Pour \(\sqrt7\) : \(\boxed{x_1=8/3}\), \(\boxed{x_2=127/48}\). Pour \(\sqrt{11}\) : \(\boxed{x_1=10/3}\), \(\boxed{x_2=199/60}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f'(x)=\dfrac{2(x^3-2)}{x^2}\), donc son signe est celui de \(x^3-2\).

2. \(f\) décroît sur \(]0;\alpha]\) puis croît sur \([\alpha;+\infty[\).

3. \(4/\alpha=2\alpha^2\), donc \(\boxed{f(\alpha)=3\alpha^2=3(\sqrt[3]{2})^2}\).

4.
a) Ainsi \(\boxed{x^2+\dfrac4x\ge3(\sqrt[3]{2})^2}\), avec égalité exactement pour \(\boxed{x=\sqrt[3]{2}}\).

b) \(\boxed{g(x)\ge4}\) et \(\boxed{h(x)\ge8}\) pour \(x>0\), avec égalité dans les deux cas en \(x=2\). La fonction initiale fournit une troisième borne exacte : \(x^2+4/x\ge3(\sqrt[3]{2})^2\).

c) \(r'(x)=2(x^3-1)/x^2\), donc minimum en \(x=1\) et \(\boxed{x^2+2/x\ge3}\). Pour \(s\), le minimum est atteint en \(x=\sqrt[3]{2}\) et vaut \(\boxed{6(\sqrt[3]{2})^2}\), donc \(\boxed{2x^2+8/x\ge6(\sqrt[3]{2})^2}\).

d) Pour \(u\), minimum en \(x=1\), valeur \(\boxed{3}\). Pour \(v\), minimum en \(x=2\), valeur \(\boxed{12}\). Pour \(w\), minimum en \(x=3\), valeur \(\boxed{27}\). Donc \(u(x)\ge3\), \(v(x)\ge12\), \(w(x)\ge27\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(\boxed{h=250/r^2}\).

2. \(S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot250/r^2=\boxed{2\pi r^2+500\pi/r}\).

3. \(S'(r)=\dfrac{4\pi}{r^2}(r^3-125)\). Donc \(S\) décroît sur \(]0;5]\) puis croît sur \([5;+\infty[\).

4.
a) \(r=5\) cm, \(h=10\) cm et \(\boxed{S_{min}=150\pi\ \text{cm}^2}\).

b) \(S_o'(r)=\dfrac{2\pi(r^3-250)}{r^2}\), donc \(r=\sqrt[3]{250}=5\sqrt[3]{2}\). Comme \(h=250/r^2\), on obtient ici \(h=r\). La surface minimale vaut \(\boxed{75\pi(\sqrt[3]{2})^2}\), inférieure à \(150\pi\).

c) Cylindre fermé : \(S'(r)=4\pi(r^3-64)/r^2\), donc \(\boxed{r=4,h=8,S_{min}=96\pi}\). Sans couvercle : \(r^3=128\), donc \(\boxed{r=h=4\sqrt[3]{2}}\) et \(\boxed{S_{min}=48\pi(\sqrt[3]{2})^2}\).

d) Pour \(54\pi\) : \(\boxed{r=3,h=6,S_{min}=54\pi}\). Pour \(128\pi\) : \(\boxed{r=4,h=8,S_{min}=96\pi}\). Pour \(250\pi\) : \(\boxed{r=5,h=10,S_{min}=150\pi}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.

1. \(f(1)=1+a\). Pour \(h<0\), le taux vaut \(\dfrac{(1+h)^2+a-(1+a)}h=2+h\), qui se rapproche de \(2\).

2. Pour \(h>0\), le taux vaut \(\dfrac{b(1+h)-(1+a)}h=\dfrac{b-1-a}{h}+b\).

3. Il faut \(b-1-a=0\), soit \(b=1+a\). Le taux à droite se rapproche alors de \(b\).

4.
a) Pour obtenir le même nombre des deux côtés, \(b=2\), donc \(a=1\). Ainsi \(\boxed{a=1,b=2,f'(1)=2}\).

b) La continuité en \(1\) impose \(a+b=2\). La dérivée de la branche gauche en \(1\) vaut \(2\), tandis que celle de la branche droite vaut \(a\). Ainsi \(a=2\), puis \(b=0\). Donc \(\boxed{a=2,b=0}\).

c) Pour \(r\), la continuité impose \(b=1\) et la dérivabilité impose \(a=0\), donc \(\boxed{a=0,b=1}\). Pour \(s\), la dérivabilité impose \(b=4+a\), tandis que la continuité exige \(4+2a=2b+1\). En remplaçant \(b\), on obtient \(4=9\), impossible : \(\boxed{arnothing}\).

d) Pour \(u\), continuité : \(b=2\), dérivabilité : \(a=0\), donc \(\boxed{a=0,b=2}\). Pour \(v\), continuité donne \(b=a\) tandis que dérivabilité donne \(b=a+2\) : \(\boxed{\text{aucune solution}}\). Pour \(w\), \(4a+b=5\) et \(4a=3\), donc \(\boxed{a=3/4,b=2}\).

Conclusion : les quatre questions sont justifiées ci-dessus avec les étapes de calcul et de raisonnement.