Quiz — Nombre dérivé, tangente et fonction dérivée
Quiz — Nombre dérivé, tangente et fonction dérivée
20 questions progressives : définition, dérivabilité, tangente, dérivées usuelles, variations, extrema, optimisation.
Q1. La définition correcte du nombre dérivé de \(f\) en \(a\) est :
Non vérifié
Indice
Il faut une limite lorsque \(h\) tend vers 0.
Correction
La bonne définition est : \(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\), lorsque cette limite existe.
Q2. Si \(f(x)=x^2\), alors \(f'(3)\) vaut :
Non vérifié
Indice
Commence par dériver \(x^2\).
Correction
On a \(f'(x)=2x\). Donc \(f'(3)=2\times3=6\).
Q3. Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est :
Non vérifié
Indice
On compare deux points distincts \(a\) et \(b\).
Correction
Le taux de variation moyen entre \(a\) et \(b\) est \(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Q4. La fonction \(f(x)=|x|\) est :
Non vérifié
Indice
Comparer les dérivées à gauche et à droite.
Correction
Les taux d’accroissement à gauche et à droite en 0 ne donnent pas la même limite. Donc \(x\mapsto |x|\) n’est pas dérivable en 0.
Q5. Si \(f'(a)=0\), alors la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) est :
Non vérifié
Indice
Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente.
Correction
Si \(f'(a)=0\), alors le coefficient directeur de la tangente est nul : la tangente est horizontale.
Q6. L’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) est :
Non vérifié
Indice
Formule point-pente.
Correction
La formule correcte de la tangente en \(a\) est : \(\displaystyle y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
Q7. Soit \(f(x)=x^2\). Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse \(1\).
Non vérifié
Indice
Calcule \(f'(1)\) et \(f(1)\).
Correction
On a \(f'(x)=2x\), donc \(f'(1)=2\) et \(f(1)=1\). La tangente est : \(y=2(x-1)+1=2x-1\).
Q8. Soit \(f(x)=x^2-4x+1\). Calculer \(f'(2)\).
Non vérifié
Indice
Dérive puis remplace \(x\) par 2.
Correction
On a \(f'(x)=2x-4\). Donc \(f'(2)=4-4=0\).
Q9. La dérivée de \(x^3\) est :
Non vérifié
Indice
Utiliser \((x^n)'=nx^{n-1}\).
Correction
Avec \((x^n)'=nx^{n-1}\), on obtient \((x^3)'=3x^2\).
Q10. La dérivée de \(\dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\) est :
Non vérifié
Indice
C’est une formule usuelle à connaître.
Correction
La dérivée de \(\dfrac{1}{x}\) est \(-\dfrac{1}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
Q11. La dérivée de \(\sqrt{x}\) sur \(]0;+\infty[\) est :
Non vérifié
Indice
Autre écriture : \(\sqrt{x}=x^{1/2}\).
Correction
Comme \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), sa dérivée vaut \(\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
Q12. Si \(u\) et \(v\) sont dérivables, alors \((uv)'\) vaut :
Non vérifié
Indice
C’est la formule du produit.
Correction
La formule correcte est \((uv)'=u'v+uv'\).
Q13. Dériver \(f(x)=(2x+1)^2\).
Non vérifié
Indice
Dérivée d’une composée : on dérive l’extérieur puis l’intérieur.
Correction
On a \((2x+1)^2'=2(2x+1)\times 2=4(2x+1)=8x+4\).
Q14. Dériver \(g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\).
Non vérifié
Indice
Utiliser la formule du quotient.
Correction
Avec \(u=x+2\) et \(v=x-1\), on a \(u'=1\), \(v'=1\), donc \(\displaystyle g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}=-\frac{3}{(x-1)^2}\).
Q15. Si \(f'(x)>0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est sur \(I\) :
Non vérifié
Indice
Relier signe de \(f'\) et sens de variation.
Correction
Si \(f'(x)>0\) sur un intervalle, alors \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle.
Q16. Si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(a\), alors \(f\) admet en \(a\) :
Non vérifié
Indice
La fonction passe de croissante à décroissante.
Correction
Quand \(f'\) passe de positif à négatif, \(f\) passe de croissante à décroissante : il y a un maximum local.
Q17. Soit \(f(x)=x^3-3x\). Le nombre de points critiques de \(f\) est :
Non vérifié
Indice
Résoudre \(f'(x)=0\).
Correction
On a \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Les points critiques sont donc \(x=-1\) et \(x=1\).
Q18. Soit \(f(x)=x^3-3x\). Donner les abscisses des points critiques.
Non vérifié
Indice
Les points critiques sont les solutions de \(f'(x)=0\).
Correction
Comme \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\), les points critiques sont \(-1\) et \(1\).
Q19. Soit \(f(x)=x^3-3x\). Alors \(f\) :
Non vérifié
Indice
Étudier le signe de \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\).
Correction
Le signe de \(f'\) est positif sur \(]-\infty;-1[\), négatif sur \(]-1;1[\), positif sur \(]1;+\infty[\). Donc \(f\) croît, décroît, puis croît.
Q20. Un rectangle a un périmètre fixé. Son aire est maximale lorsqu’il est :
Non vérifié
Indice
C’est un grand classique d’optimisation.
Correction
À périmètre fixé, l’aire maximale est obtenue lorsque le rectangle est un carré.