I. Nombre dérivé d’une fonction en un réel
1) Taux de variation
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\), et \(a,b \in I\) avec \(a\neq b\). Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est :
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]En posant \(b=a+h\) (avec \(h\neq 0\)), on obtient la forme :
\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]2) Interprétation graphique du taux de variation
En notant \(A(a,f(a))\) et \(M(a+h,f(a+h))\), le coefficient directeur de la sécante \((AM)\) vaut :
\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]Donc le taux de variation entre \(a\) et \(b\) est le coefficient directeur de la sécante.
3) Nombre dérivé
Si, lorsque \(h\to 0\) (avec \(h\neq 0\)), le quotient \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) tend vers un réel, alors \(f\) est dérivable en \(a\) et ce réel s’appelle le nombre dérivé :
\[ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]4) Interprétation graphique du nombre dérivé
Si \(f\) est dérivable en \(a\), la droite passant par \(A(a,f(a))\) et de coefficient directeur \(f'(a)\) est la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\).
L’équation de la tangente en \(a\) est :
\[ y = f'(a)(x-a)+f(a). \]II. Dérivées des fonctions usuelles
1) Fonction dérivée
Une fonction \(f\) est dérivable sur \(I\) si elle est dérivable en tout \(x\in I\). La fonction qui à \(x\) associe \(f'(x)\) est la fonction dérivée, notée \(f'\).
2) Dérivées usuelles (récapitulatif)
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Ensemble de dérivation |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(ax+b\) | \(a\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^2\) | \(2x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^3\) | \(3x^2\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n\in\mathbb{N}\)) | \(n x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}=x^{-1}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(]-\infty,0[\cup]0,+\infty[\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0,+\infty[\) |
| \(|x|\) | \(\begin{cases}1 & x>0\\-1 & x<0\end{cases}\) | \(]-\infty,0[\cup]0,+\infty[\) |
III. Règles de dérivation
1) Somme / différence
\[ (u+v)'=u'+v',\qquad (u-v)'=u'-v'. \]2) Multiple
\[ (ku)'=k\,u'. \]3) Produit
\[ (uv)'=u'v+uv'. \]4) Inverse / Quotient
Si \(u(x)\neq 0\) :
\[ \left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}. \]Si \(v(x)\neq 0\) :
\[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]5) Composition affine \(g(ax+b)\)
Si \(f(x)=g(ax+b)\) alors :
\[ f'(x)=a\,g'(ax+b). \]IV. Variations et signe de la dérivée
- Si \(f'(x)\ge 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est croissante sur cet intervalle.
- Si \(f'(x)\le 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est décroissante sur cet intervalle.
- Si \(f'(x)=0\) sur un intervalle, alors \(f\) est constante sur cet intervalle.
V. Extremum d’une fonction
1) Définition
\(f(x_0)\) est un maximum local (resp. minimum local) s’il existe un intervalle autour de \(x_0\) où \(f(x)\le f(x_0)\) (resp. \(f(x)\ge f(x_0)\)).
2) Lien avec la dérivée
- Si \(f\) admet un extremum local en \(x_0\) (et \(x_0\) n’est pas une borne), alors \(f'(x_0)=0\).
-
Si \(f'(x)\) change de signe en \(x_0\) :
- \(+\to-\) : maximum local
- \(-\to+\) : minimum local