Derivation
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Cours — Dérivation, nombre dérivé et applications de la dérivation
Nombre dérivé • tangente • dérivabilité • fonctions dérivées • variations • extrema • lecture graphique • optimisation.
1) Objectifs du chapitre
Compétences attendues
- Comprendre la définition du nombre dérivé en un point.
- Savoir quand une fonction est dérivable ou non.
- Interpréter \(f'(a)\) comme le coefficient directeur de la tangente.
- Calculer une fonction dérivée avec les règles usuelles.
- Déterminer une équation de tangente.
- Relier le signe de \(f'(x)\) aux variations de \(f\).
- Étudier des extrema et résoudre des problèmes d’optimisation.
Idée centrale
La dérivation est au croisement de trois visions :
- une vision analytique : calcul de \(f'(x)\),
- une vision géométrique : pente d’une tangente,
- une vision globale : étude des variations de la fonction.
nombre dérivé
\(\Longrightarrow\)
tangente
\(\Longrightarrow\)
fonction dérivée
\(\Longrightarrow\)
signe de \(f'\)
\(\Longrightarrow\)
variations / extrema / optimisation
2) Nombre dérivé en un point
Définition avec \(h\)
On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si la limite
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]
existe et est finie.
Cette limite est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté :
\[
f'(a).
\]
Définition avec \(x\)
\[
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
\]
Ces deux écritures sont équivalentes.
Elles traduisent l’idée d’un taux de variation instantané.
Taux d’accroissement
Avant de passer à la limite, on considère :
\[
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]
qui est le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\).
Le nombre dérivé est la limite de ce taux d’accroissement lorsque \(h\) tend vers \(0\).
Exemple 1 — Calculer le nombre dérivé de \(f(x)=x^2\) en \(a\)
\[
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^2-a^2}{h}
\]
On développe :
\[
(a+h)^2-a^2=a^2+2ah+h^2-a^2=2ah+h^2
\]
Donc :
\[
\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h
\]
En passant à la limite :
\[
f'(a)=\lim_{h\to 0}(2a+h)=2a
\]
Conclusion : \(\boxed{f'(a)=2a}\).
3) Dérivabilité et non-dérivabilité
Lien continuité / dérivabilité
Si une fonction est dérivable en un point \(a\), alors elle est continue en \(a\).
La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable.
Cas où la dérivabilité peut échouer
- angle ou pointe sur la courbe ;
- tangente verticale ;
- discontinuité.
Dans ces cas, le nombre dérivé n’existe pas.
Exemple 2 — La fonction \(f(x)=|x|\) en \(0\)
On étudie le taux d’accroissement :
\[
\frac{|0+h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h}
\]
Si \(h>0\), alors \(\dfrac{|h|}{h}=1\).
Si \(h<0\), alors \(\dfrac{|h|}{h}=-1\).
Les limites à droite et à gauche sont différentes, donc la limite n’existe pas.
Conclusion : la fonction \(x\mapsto |x|\) n’est pas dérivable en \(0\).
4) Tangente à la courbe
Interprétation géométrique
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f'(a)\) est le
coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\).
- \(f'(a)>0\) : tangente montante ;
- \(f'(a)<0\) : tangente descendante ;
- \(f'(a)=0\) : tangente horizontale.
Équation de la tangente
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a)
\]
C’est la formule essentielle : la tangente passe par \(A(a;f(a))\) et a pour pente \(f'(a)\).
Exemple 3 — Tangente à \(f(x)=x^2\) au point \(a=1\)
\[
f'(x)=2x \Rightarrow f'(1)=2
\qquad\text{et}\qquad
f(1)=1
\]
Donc :
\[
y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1
\]
Tangente : \(\boxed{y=2x-1}\).
5) Formules et règles de dérivation
Dérivées usuelles
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(f(x)=k\) | \(f'(x)=0\) | toute constante \(k\) |
| \(f(x)=x\) | \(f'(x)=1\) | sur \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x)=x^2\) | \(f'(x)=2x\) | sur \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x)=x^3\) | \(f'(x)=3x^2\) | sur \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x)=x^n\) | \(f'(x)=nx^{n-1}\) | \(n\in\mathbb{N}^*\) |
| \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) | \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) | sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) |
| \(f(x)=\sqrt{x}\) | \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | sur \(]0;+\infty[\) |
Règles opératoires
\[
(ku)'=ku'
\]
\[
(u+v)'=u'+v'
\]
\[
(u-v)'=u'-v'
\]
\[
(uv)'=u'v+uv'
\]
\[
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}
\quad \text{avec } v\neq 0
\]
Compositions simples
\[
((ax+b)^n)'=n(ax+b)^{n-1}\cdot a
\]
\[
(\sqrt{ax+b})'=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}
\]
\[
\left(\frac{1}{ax+b}\right)'=\frac{-a}{(ax+b)^2}
\]
Idée : on dérive l’extérieur puis on multiplie par la dérivée de l’intérieur.
Exemple 4 — Dériver \(f(x)=(3x-1)^2\)
\[
f'(x)=2(3x-1)\times 3=6(3x-1)=18x-6
\]
\(\boxed{f'(x)=18x-6}\)
Exemple 5 — Dériver \(g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\)
On pose :
\[
u(x)=x+2,\qquad v(x)=x-1
\]
donc
\[
u'(x)=1,\qquad v'(x)=1
\]
Alors :
\[
g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}
=\frac{1(x-1)-(x+2)\cdot 1}{(x-1)^2}
=\frac{-3}{(x-1)^2}
\]
\(\boxed{g'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}}\)
6) Méthode complète d’étude d’une fonction
Plan d’étude
| Étape | Ce qu’on fait |
|---|---|
| 1 Domaine | Déterminer l’ensemble de définition. |
| 2 Limites | Étudier les limites aux bornes si nécessaire. |
| 3 Dérivée | Calculer \(f'(x)\), si possible sous forme factorisée. |
| 4 Signe | Résoudre \(f'(x)=0\) puis étudier le signe de \(f'(x)\). |
| 5 Variations | Déduire les intervalles de croissance et de décroissance. |
| 6 Conclusion | Lire les extrema et conclure proprement. |
Réflexe bac :
domaine \(\to\) dérivée \(\to\) signe \(\to\) variations \(\to\) conclusion.
7) Variations et signe de la dérivée
Règles fondamentales
\[
\text{Si } f'(x)>0 \text{ sur } I,\ \text{alors } f \text{ est strictement croissante sur } I
\]
\[
\text{Si } f'(x)<0 \text{ sur } I,\ \text{alors } f \text{ est strictement décroissante sur } I
\]
\[
\text{Si } f'(x)=0 \text{ sur } I,\ \text{alors } f \text{ est constante sur } I
\]
Interprétation
Le signe de \(f'(x)\) indique le sens de variation :
- \(f'(x)>0\) : la courbe monte ;
- \(f'(x)<0\) : la courbe descend ;
- \(f'(x)=0\) : tangente horizontale possible.
8) Extrema locaux
Test du signe de \(f'\)
- \(f'\) passe de + à − : maximum local.
- \(f'\) passe de − à + : minimum local.
- Pas de changement de signe : pas d’extremum local.
Attention
La condition \(f'(a)=0\) seule ne suffit pas.
Il faut vérifier le changement de signe.
9) Lecture graphique
Ce qu’on peut lire
- La pente de la tangente en \(a\) vaut \(f'(a)\).
- Si la courbe monte, alors \(f'(x)>0\).
- Si la courbe descend, alors \(f'(x)<0\).
- Un changement de sens de variation révèle un extremum.
Tangente parallèle
Si la tangente en \(a\) est parallèle à une droite de coefficient directeur \(m\),
alors :
\[
f'(a)=m
\]
10) Exemples détaillés
Exemple 6 — Étudier \(f(x)=x^3-3x+1\) sur \(\mathbb{R}\)
\[
f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)
\]
Les points critiques sont \(-1\) et \(1\).
Signe de \(f'\) :
- \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty;-1[\) et \(]1;+\infty[\),
- \(f'(x)<0\) sur \(]-1;1[\).
- \(f\) croît sur \(]-\infty;-1]\),
- \(f\) décroît sur \([-1;1]\),
- \(f\) croît sur \([1;+\infty[\).
Maximum local en \((-1;3)\), minimum local en \((1;-1)\).
Exemple 7 — Étudier \(g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\)
Domaine :
\[
D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}
\]
Dérivée :
\[
g'(x)=\frac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2}
\]
Comme \((x-1)^2>0\) pour \(x\neq 1\), on a :
\[
g'(x)<0 \text{ pour tout } x\neq 1
\]
Donc \(g\) est décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
La droite \(x=1\) est une asymptote verticale.
Exemple 8 — Tangente à \(f(x)=x^2-4x+3\) en \(x=2\)
On calcule :
\[
f'(x)=2x-4
\]
donc
\[
f'(2)=2\times 2-4=0
\]
Puis :
\[
f(2)=2^2-4\times 2+3=4-8+3=-1
\]
L’équation de la tangente est :
\[
y=f'(2)(x-2)+f(2)=0(x-2)-1=-1
\]
Tangente en \(x=2\) : \(\boxed{y=-1}\).
11) Optimisation
Méthode générale
- Choisir une variable \(x\).
- Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de \(x\).
- Déterminer le domaine de \(x\).
- Calculer la dérivée.
- Étudier le signe de la dérivée.
- Comparer les valeurs aux bornes et aux points critiques.
En 1ère Spé, un problème d’optimisation se conclut grâce au
tableau de variations.
12) Mini-formulaire complet
Nombre dérivé et tangente
\[
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]
\[
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
\]
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a)
\]
Dérivées usuelles
\[
(k)'=0,\qquad (x)'=1
\]
\[
(x^n)'=nx^{n-1}
\]
\[
\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}
\]
\[
(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
Règles opératoires
\[
(ku)'=ku'
\]
\[
(u+v)'=u'+v'
\]
\[
(u-v)'=u'-v'
\]
\[
(uv)'=u'v+uv'
\]
\[
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}
\]
Applications
\[
f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ croissante}
\]
\[
f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ décroissante}
\]
\[
+\to- \Rightarrow \text{maximum local}
\]
\[
-\to+ \Rightarrow \text{minimum local}
\]
Checklist “copie parfaite”
- Je connais la définition du nombre dérivé.
- Je sais reconnaître une situation de non-dérivabilité.
- Je sais écrire l’équation d’une tangente.
- Je maîtrise les formules de dérivation.
- Je commence toujours par le domaine.
- Je relie le signe de \(f'\) aux variations.
- Je justifie les extrema par un changement de signe.
À éviter : oublier le domaine, écrire seulement \(f'(a)=0\),
confondre tangente horizontale et extremum, ou sauter la conclusion.