Applications De La Derivation
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Fiche ultra-synthèse — Applications de la dérivation
Méthode d’étude de fonction • tableaux de signes et de variations • extrema • lecture graphique • optimisation. Objectif : aller vite, rédiger proprement, conclure juste (sans convexité).
Essentiel Méthodes Lecture graphique Pièges Mini-tests Checklist
Essentiel (à maîtriser absolument)
1 Plan complet d’étude de fonction
  1. Déterminer le domaine de définition.
  2. Calculer les limites aux bornes du domaine si nécessaire.
  3. Calculer la dérivée \(f'(x)\).
  4. Résoudre \(f'(x)=0\) et repérer les points critiques.
  5. Étudier le signe de \(f'(x)\).
  6. En déduire les variations de \(f\).
  7. Conclure sur les extrema éventuels.
2 Lien dérivée ↔ variations
Sur un intervalle \(I\) :
  • si \(f'(x)>0\), alors \(f\) est croissante ;
  • si \(f'(x)<0\), alors \(f\) est décroissante ;
  • si \(f'(x)=0\) sur tout \(I\), alors \(f\) est constante.
En rédaction, on justifie toujours les variations par le signe de \(f'\).
3 Extrema et changement de signe
Si \(f'(a)=0\) ou si \(f'\) n’est pas définie en \(a\), alors \(a\) est un point critique.
  • \(f'\) passe de + à − : maximum local.
  • \(f'\) passe de − à + : minimum local.
  • Pas de changement de signe : pas d’extremum.
4 Tangente et interprétation
  • La pente de la tangente en \(a\) vaut \(f'(a)\).
  • Si \(f'(a)=0\), la tangente est horizontale.
  • Si la tangente est parallèle à une droite de coefficient directeur \(m\), alors \(f'(a)=m\).
Attention : tangente horizontale \(\nRightarrow\) pas toujours extremum.
Méthodes (procédures rapides et propres)
A Faire un tableau de signes de \(f'\)
  1. Factoriser \(f'(x)\) si possible.
  2. Repérer les valeurs qui annulent chaque facteur.
  3. Étudier le signe de chaque facteur.
  4. Multiplier les signes pour obtenir celui de \(f'(x)\).
Exemple : \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\) Zéros : \(-1\) et \(1\) Signe de \(f'\) : - positif sur \(]-\infty;-1[\) - négatif sur \(]-1;1[\) - positif sur \(]1;+\infty[\)
B Faire un tableau de variations
  1. Reporter les intervalles du tableau de signes.
  2. Mettre \(\nearrow\) si \(f'>0\), \(\searrow\) si \(f'<0\).
  3. Calculer \(f(a)\) aux points critiques.
  4. Compléter proprement la ligne de \(f(x)\).
Les valeurs de \(f\) aux points critiques servent à lire les maxima/minima.
C Étudier un extremum
Pour montrer qu’il y a un extremum en \(a\), on ne dit pas seulement \(f'(a)=0\). Il faut montrer le changement de signe de \(f'\) autour de \(a\).
Méthode-type : 1. On résout \(f'(x)=0\). 2. On étudie le signe de \(f'\). 3. On observe le signe avant et après \(a\). 4. On conclut : maximum local / minimum local / aucun extremum.
D Optimisation
  1. Choisir une variable \(x\).
  2. Exprimer la grandeur à optimiser : aire, coût, volume, distance…
  3. Déterminer le domaine de \(x\).
  4. Étudier la dérivée de la fonction obtenue.
  5. Comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes.
En 1ère, une conclusion d’optimisation se fait avec le tableau de variations.
Lecture graphique
G1 Lire le signe de \(f'\) sur un graphique
  • Si la courbe monte, alors \(f'(x)>0\).
  • Si la courbe descend, alors \(f'(x)<0\).
  • Si la tangente est horizontale, alors \(f'(a)=0\).
G2 Lire un extremum
  • Un sommet local correspond à un changement de sens de variation.
  • Montée puis descente : maximum local.
  • Descente puis montée : minimum local.
Une tangente horizontale seule ne suffit pas pour conclure.
Pièges classiques (à éviter)
1 \(f'(a)=0\)
Dire seulement \(f'(a)=0\) ne prouve pas un extremum.
2 Tableau incomplet
Ne pas oublier les valeurs de \(f(x)\) aux points critiques.
3 Optimisation
Toujours vérifier les bornes du domaine, pas seulement les points où \(f'(x)=0\).
Réflexe bac : domaine → dérivée → signe → variations → conclusion.
Mini-tests (corrigés rapides)
Q1 Sens de variation
Si \(f'(x)>0\) sur \([1;4]\), que peut-on dire de \(f\) ?
Corrigé : \(f\) est croissante sur \([1;4]\).
Q2 Extremum
Si \(f'\) passe de \(+\) à \(−\) en \(a\), quel est l’extremum ?
Corrigé : \(f\) admet un maximum local en \(a\).
Q3 Tangente
Que signifie \(f'(2)=3\) ?
Corrigé : la tangente à la courbe au point d’abscisse \(2\) a pour pente \(3\).
Q4 Calcul de dérivée
Soit \(f(x)=x^2-4x+1\). Calculer \(f'(x)\).
Corrigé : \(f'(x)=2x-4\).
Q5 Point critique
Pour \(f'(x)=2x-4\), quelle est la valeur critique ?
Corrigé : \(2x-4=0 \Rightarrow x=2\).
Q6 Exemple-type
Si \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\), sur quel intervalle \(f\) décroît-elle ?
Corrigé : \(f\) décroît sur \(]-1;1[\).
Exemple-type à connaître
Soit \(f(x)=x^3-3x+1\).
\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\) Les points critiques sont \(-1\) et \(1\). Signe de \(f'\) : - sur \(]-\infty;-1[\), \(f'(x)>0\) - sur \(]-1;1[\), \(f'(x)<0\) - sur \(]1;+\infty[\), \(f'(x)>0\) Donc : - \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-1]\) - \(f\) est décroissante sur \([-1;1]\) - \(f\) est croissante sur \([1;+\infty[\) Conclusion : - maximum local en \(x=-1\) - minimum local en \(x=1\)
Checklist (avant contrôle / bac blanc)
Je sais faire
  • Calculer une dérivée simple.
  • Résoudre \(f'(x)=0\).
  • Faire un tableau de signes de \(f'\).
  • Construire un tableau de variations propre.
  • Identifier un maximum ou un minimum local.
  • Lire une pente ou un extremum sur un graphique.
  • Traiter un problème d’optimisation simple.
Réflexes 20/20
1) Je rédige avec les mots : dérivée, signe, variations, maximum, minimum.
2) Je conclus toujours avec l’intervalle exact.
3) En optimisation, je teste aussi les bornes.
À bannir : conclure trop vite, oublier le domaine, confondre tangente horizontale et extremum, oublier les bornes.