Fiche — Applications de la dérivation
Méthode d’étude de fonction • tableaux • extrema • lecture graphique • optimisation (sans convexité).
1) Méthode complète (plan Bac)
- Domaine de définition.
- Limites aux bornes du domaine (et éventuellement asymptotes).
- Dérivée \(f'(x)\) (chercher une forme factorisée).
- Résoudre \(f'(x)=0\) (points critiques).
- Signe de \(f'(x)\) (tableau de signes).
- Variations de \(f\) (tableau de variations).
- Extrema : vérifier le changement de signe de \(f'\).
2) Lien dérivée ↔ variations
- \(f'(x)>0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) croissante sur \(I\).
- \(f'(x)<0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) décroissante sur \(I\).
- \(f'(x)=0\) sur \(I\) \(\Rightarrow\) \(f\) constante sur \(I\).
On justifie toujours « croissante/décroissante » par le signe de \(f'\).
3) Extrema (test du signe de \(f'\))
- \(f'(a)=0\) (ou non définie) \(\Rightarrow\) point critique.
- \(f'\) passe de + à - en \(a\) \(\Rightarrow\) maximum local en \(a\).
- \(f'\) passe de - à + en \(a\) \(\Rightarrow\) minimum local en \(a\).
- Pas de changement de signe \(\Rightarrow\) pas d’extremum (en 1ère).
Une tangente horizontale signifie \(f'(a)=0\), mais cela ne garantit pas un extremum.
4) Comment faire un tableau (propre)
- Factoriser \(f'(x)\) si possible.
- Placer les zéros de \(f'(x)\) sur la ligne \(x\).
- Faire le signe de chaque facteur (puis le signe de \(f'\)).
- Déduire les flèches \(\nearrow\) / \(\searrow\) pour \(f\).
- Calculer \(f(a)\) aux points critiques pour compléter la ligne \(f(x)\).
5) Lecture graphique
- Pente de la tangente en \(a\) = \(f'(a)\).
- Si la courbe monte \(\Rightarrow f'(x)>0\).
- Si la courbe descend \(\Rightarrow f'(x)<0\).
- Sommet « local » (max/min) \(\Rightarrow\) changement de signe de \(f'\).
- Tangente horizontale \(\Rightarrow f'(a)=0\) (si dérivable).
- Tangente parallèle à \(y=mx+p\) \(\Rightarrow f'(a)=m\).
- Sur un tableau : signe de \(f'\) \(\Rightarrow\) variations de \(f\).
6) Optimisation (recette rapide)
- Choisir la variable \(x\) (avec contraintes) \(\Rightarrow\) domaine.
- Exprimer la grandeur \(A(x)\) ou \(V(x)\) (aire/volume/coût).
- Calculer \(A'(x)\) ou \(V'(x)\) et étudier le signe.
- Comparer aux bornes du domaine (si intervalle fermé) + points critiques.
- Conclure (valeur maximale/minimale + valeur de \(x\)).
En 1ère : on conclut avec le signe de la dérivée (pas besoin de convexité).
Mini-exemple à connaître
Soit \(f(x)=x^3-3x+1\).
- \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\) \(\Rightarrow\) zéros : \(-1\) et \(1\).
- Signe : \(f'>0\) sur \(]-\infty,-1)\cup(1,+\infty[\), \(f'<0\) sur \((-1,1)\).
- Donc \(f\) croît, décroît, croît : max local en \(-1\), min local en \(1\).