Applications De La Derivation
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Cours — Applications de la dérivation
Étude de fonctions • signe de la dérivée • variations • extrema • lecture graphique • optimisation (sans convexité).
Objectifs Idées clés Méthode Variations Extrema Graphique Tableaux Optimisation Formulaire
1) Objectifs du chapitre
Compétences attendues
  • Relier le signe de \(f'(x)\) au sens de variation de \(f\).
  • Repérer les points critiques en résolvant \(f'(x)=0\).
  • Identifier un maximum ou un minimum local par changement de signe de \(f'\).
  • Lire sur un graphique les intervalles de croissance et de décroissance.
  • Construire un tableau de signes puis un tableau de variations.
  • Traiter un problème simple d’optimisation.
Vision d’ensemble
Dans ce chapitre, la dérivée n’est pas seulement un calcul : elle devient un outil d’étude de fonction.
Idée centrale :
signe de \(f'(x)\) \(\Longrightarrow\) variations de \(f\) \(\Longrightarrow\) extrema + lecture graphique + optimisation
2) Idées clés
Ce qu’il faut retenir
  • Le signe de \(f'(x)\) pilote les variations de \(f\).
  • Les solutions de \(f'(x)=0\) donnent les points critiques.
  • Un extremum local apparaît lorsque \(f'\) change de signe.
  • Une tangente horizontale en \(a\) signifie \(f'(a)=0\) si \(f\) est dérivable en \(a\).
  • Une étude complète suit un ordre précis et rigoureux.
Réflexe bac
On ne conclut jamais trop vite.
Dire seulement \(f'(a)=0\) ne suffit pas pour conclure à un extremum : il faut étudier le changement de signe de \(f'\) autour de \(a\).
3) Méthode complète d’étude d’une fonction
Plan d’étude
Étape Ce qu’on fait
1 Domaine Déterminer l’ensemble de définition de la fonction.
2 Limites Étudier les limites aux bornes du domaine si nécessaire.
3 Dérivée Calculer \(f'(x)\), si possible sous forme factorisée.
4 Signe Résoudre \(f'(x)=0\), puis étudier le signe de \(f'(x)\).
5 Variations Déduire les intervalles de croissance et de décroissance.
6 Conclusion Repérer les extrema, interpréter graphiquement et conclure proprement.
Pourquoi cet ordre est important ?
Chaque étape prépare la suivante :
  • sans domaine, on ne sait pas où on travaille ;
  • sans dérivée, on ne peut pas étudier le signe ;
  • sans signe, on ne peut pas conclure sur les variations.
4) Variations et dérivée
Règles fondamentales
\[ \text{Si } f'(x)>0 \text{ sur } I,\ \text{alors } f \text{ est strictement croissante sur } I. \] \[ \text{Si } f'(x)<0 \text{ sur } I,\ \text{alors } f \text{ est strictement décroissante sur } I. \] \[ \text{Si } f'(x)=0 \text{ sur } I,\ \text{alors } f \text{ est constante sur } I. \]
Interprétation
La dérivée mesure la pente de la courbe :
  • pente positive \(\Rightarrow\) la courbe monte ;
  • pente négative \(\Rightarrow\) la courbe descend ;
  • pente nulle \(\Rightarrow\) tangente horizontale.
Attention : \(f'(a)=0\) ne garantit pas à lui seul un maximum ou un minimum.
5) Extrema locaux : test du signe de \(f'\)
Cas à connaître
  • Si \(f'\) passe de + à − en \(a\), alors \(f(a)\) est un maximum local.
  • Si \(f'\) passe de − à + en \(a\), alors \(f(a)\) est un minimum local.
  • Si \(f'\) ne change pas de signe, il n’y a pas d’extremum local.
Vocabulaire
Un point \(a\) tel que \(f'(a)=0\) est un point critique.
Mais tous les points critiques ne donnent pas un extremum. Il faut toujours regarder ce qui se passe avant et après.
Exemple 1 — Test du signe
Si le tableau de signe de \(f'\) donne :
\(+\ \big|\ 0\ \big|\ -\)
alors la fonction monte puis descend.
Conclusion : il y a un maximum local au point critique.
6) Lecture graphique
Ce qu’on peut lire sur la courbe
  • La pente de la tangente en \(a\) vaut \(f'(a)\).
  • Si la tangente est horizontale, alors \(f'(a)=0\).
  • Si la courbe monte, alors \(f'(x)>0\).
  • Si la courbe descend, alors \(f'(x)<0\).
  • Un changement de sens de variation révèle un extremum local.
Lecture d’une tangente
Si la tangente à la courbe en \(a\) est parallèle à une droite de coefficient directeur \(m\), alors : \[ f'(a)=m. \]
7) Exemple 1 — Étude rapide d’un polynôme
Étudier \(f(x)=x^3-3x+1\) sur \(\mathbb{R}\)
  • Domaine : \(\mathbb{R}\).
  • Dérivée : \[ f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1). \]
  • Points critiques : \(x=-1\) et \(x=1\).
  • Signe :
    • \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]1;+\infty[\),
    • \(f'(x)<0\) sur \(]-1;1[\).
  • Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-1]\), décroissante sur \([-1;1]\), puis croissante sur \([1;+\infty[\).
  • Valeurs : \[ f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=3, \qquad f(1)=1-3+1=-1. \]
Conclusion :
  • maximum local en \(x=-1\) de valeur \(3\),
  • minimum local en \(x=1\) de valeur \(-1\).
8) Exemple 2 — Fonction rationnelle
Étudier \(g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
  • Domaine : \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
  • Dérivée : \[ g'(x)=\frac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2} =\frac{-3}{(x-1)^2}. \]
  • Comme \((x-1)^2>0\) pour \(x\neq 1\), on a : \[ g'(x)<0 \text{ pour tout } x\neq 1. \]
  • Donc \(g\) est décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
  • Limites : \[ \lim_{x\to 1^-}g(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to 1^+}g(x)=+\infty. \]
Conclusion : la droite \(x=1\) est une asymptote verticale.
9) Construire un tableau de variations
Méthode pratique
  1. Factoriser \(f'(x)\) si possible.
  2. Repérer les zéros de \(f'(x)\).
  3. Faire le tableau de signes de \(f'(x)\).
  4. Traduire les signes par des flèches de variations.
  5. Calculer \(f(a)\) aux points critiques.
Exemple-type
Si \[ f'(x)=(x-2)(x+1), \] alors les changements de signe se font en \(-1\) et \(2\).
On place \(-1\) et \(2\) sur la ligne des \(x\), puis on fait le signe de chaque facteur.
Pourquoi calculer \(f(-1)\) et \(f(2)\) ?
Les valeurs de la fonction aux points critiques permettent de compléter la ligne \(f(x)\) et de lire précisément les maxima et minima.
10) Optimisation
Méthode générale
  1. Traduire la situation par une fonction \(A(x)\), \(V(x)\), \(C(x)\), etc.
  2. Déterminer le domaine de la variable \(x\).
  3. Calculer la dérivée de cette fonction.
  4. Étudier le signe de la dérivée.
  5. Comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes du domaine.
En 1ère Spé, on conclut un problème d’optimisation grâce au tableau de variations, sans utiliser la convexité.
Schéma de rédaction conseillé
1. On pose \(x\) ... 2. On exprime la grandeur à optimiser en fonction de \(x\). 3. On étudie cette fonction sur son domaine. 4. Le tableau de variations montre que ... 5. Donc la valeur maximale / minimale est atteinte pour \(x=...\)
11) Mini-formulaire
À connaître
\[ f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ croissante} \] \[ f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ décroissante} \] \[ f'(a)=0 \Rightarrow \text{tangente horizontale en } a \]
Extrema
\[ +\ \to\ - \Rightarrow \text{maximum local} \] \[ -\ \to\ + \Rightarrow \text{minimum local} \]
Checklist “copie parfaite”
  • Je commence par le domaine.
  • Je calcule correctement la dérivée.
  • Je résous \(f'(x)=0\).
  • Je fais un vrai tableau de signes.
  • Je conclus clairement sur les variations.
  • Je justifie les extrema par un changement de signe.
  • Je n’oublie pas les bornes dans un problème d’optimisation.
À éviter : écrire seulement \(f'(a)=0\), oublier le domaine, sauter la conclusion, ou confondre tangente horizontale et extremum.