Cours — Applications de la dérivation
Étude de fonctions, tableaux de variations, lecture graphique, extrema (sans convexité).
Idées clés
- Le signe de \(f'(x)\) pilote les variations de \(f\).
- Les solutions de \(f'(x)=0\) donnent les points critiques (candidats à des extrema).
- Un extremum local apparaît quand \(f'\) change de signe.
- Une tangente horizontale au point \(a\) signifie \(f'(a)=0\) (si dérivable).
- Pour une étude complète : domaine \(\to\) limites \(\to\) dérivée \(\to\) signe de \(f'\) \(\to\) tableau.
Méthode (plan d’étude)
- Domaine de définition.
- Limites (aux bornes du domaine) + éventuelles asymptotes (intro).
- Dérivée \(f'(x)\) (forme factorisée si possible).
- Signe de \(f'(x)\) : résoudre \(f'(x)=0\), faire un tableau de signes.
- Variations de \(f\) et extrema.
- Lecture graphique : pente des tangentes, extrema, intervalles de croissance/décroissance.
Variations et dérivée
- Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) sur \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x)=0\) sur \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
Attention : \(f'(a)=0\) ne suffit pas à garantir un extremum.
Il faut (en 1ère Spé) vérifier un changement de signe de \(f'\) autour de \(a\).
Extremum local : test du signe de \(f'\)
Cas typiques autour d’un point critique \(a\) (avec \(f'(a)=0\)).
- Si \(f'\) passe de + à - en \(a\) : \(f(a)\) est un maximum local.
- Si \(f'\) passe de - à + en \(a\) : \(f(a)\) est un minimum local.
- Si \(f'\) ne change pas de signe : pas d’extremum (point d’inflexion possible en Terminale, mais hors programme ici).
Lecture graphique (ce qu’on lit sur un graphe)
- La pente de la tangente en \(a\) vaut \(f'(a)\).
- Tangente horizontale \(\Longleftrightarrow f'(a)=0\) (si dérivable).
- Zone où la courbe monte \(\Longleftrightarrow f'(x)>0\).
- Zone où la courbe descend \(\Longleftrightarrow f'(x)<0\).
- Un maximum/minimum se repère par un changement de sens de variation.
Exemple 1 — Étude rapide d’un polynôme
Étudier \(f(x)=x^3-3x+1\) sur \(\mathbb{R}\).
- \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\).
- Points critiques : \(x=-1\) et \(x=1\).
- Signe : \(f'(x)>0\) si \(x<-1\) ou \(x>1\), et \(f'(x)<0\) si \(-1
- Donc \(f\) croît sur \((-\infty,-1]\), décroît sur \([-1,1]\), croît sur \([1,+\infty)\).
- Extrema : maximum local en \(-1\) avec \(f(-1)=3\), minimum local en \(1\) avec \(f(1)=-1\).
Exemple 2 — Fonction rationnelle (variations + limites)
Étudier \(g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
- Domaine : \(x\neq 1\).
- Dérivée : \(g'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}<0\) pour \(x\neq 1\).
- Donc \(g\) est décroissante sur \((-\infty,1)\) et sur \((1,+\infty)\).
- Limites : \(\lim_{x\to 1^-}g(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to 1^+}g(x)=+\infty\) (asymptote verticale \(x=1\)).
Construire un tableau de variations (propre)
Exemple-type : si \(f'(x)= (x-2)(x+1)\), alors les changements de signe se font en \(-1\) et \(2\).
- On place \(-1\) et \(2\) sur la ligne \(x\).
- On fait le signe de chaque facteur puis le signe de \(f'(x)\).
- On en déduit les flèches de variations de \(f\).
- On calcule \(f(-1)\) et \(f(2)\) si nécessaire pour compléter le tableau.
Optimisation (modèle)
- Traduire la situation en une fonction \(A(x)\) ou \(V(x)\) à maximiser/minimiser.
- Déterminer le domaine de \(x\) (contraintes).
- Calculer \(A'(x)\) et étudier son signe.
- Comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes du domaine.
Astuce : en 1ère Spé, on conclut le maximum/minimum avec le signe de \(A'(x)\) sur l’intervalle.