Q1. Soit \(f'(x)=(x-1)^2(x+2)\). Combien \(f\) possède-t-elle d’extrema ? Non vérifié
Indice
Un facteur carré ne change pas de signe.
Correction
Le facteur \((x-1)^2\) est toujours positif ou nul. Seul \(x+2\) change de signe. Il y a donc un seul changement de signe de \(f'\), donc un seul extremum.
Q2. Si \(f'(x)=x(x-2)(x-4)\), combien \(f\) admet-elle d’extrema ? Non vérifié
Indice
Chaque racine simple provoque un changement de signe.
Correction
Les racines simples sont \(0\), \(2\), \(4\). À chaque racine simple, \(f'\) change de signe. Donc \(f\) admet 3 extrema.
Q3. Si \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty;2[\cup]3;+\infty[\), alors : Non vérifié
Indice
Lire la succession des signes : \(+\), puis \(-\), puis \(+\).
Correction
La fonction est croissante, puis décroissante, puis croissante. Elle admet donc un maximum local en \(x=2\) et un minimum local en \(x=3\).
Q4. Soit \(f(x)=x^3-6x^2+9x\). Quelle est la valeur du maximum local ? Non vérifié
Indice
Étudier la dérivée puis calculer l’image du bon point critique.
Correction
On a \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\). Le maximum local est atteint en \(x=1\). Or \(f(1)=1-6+9=4\).
Q5. Donner les abscisses des extrema de \(f(x)=x^3-3x^2-9x\). Non vérifié
Indice
Résoudre \(f'(x)=0\).
Correction
On a \(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\). Les extrema sont donc atteints en \(x=-1\) et \(x=3\).
Q6. Soit \(f(x)=x^3-3x^2+1\). Quelle est la valeur du minimum local de \(f\) ? Non vérifié
Indice
Étudier \(f'(x)\), puis calculer l’image du point critique correspondant au minimum.
Correction
On a \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). La fonction est croissante sur \(]-\infty;0]\), décroissante sur \([0;2]\), puis croissante sur \([2;+\infty[\). Le minimum local est donc atteint en \(x=2\). Or \(f(2)=8-12+1=-3\).
Q7. Tangente à \(f(x)=x^3\) en \(x=2\) ? Non vérifié
Indice
Utiliser \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
Correction
On a \(f'(x)=3x^2\), donc \(f'(2)=12\), et \(f(2)=8\). La tangente vaut \(y=12(x-2)+8=12x-16\).
Q8. Les tangentes à \(f(x)=x^2\) passant par \((0;-1)\) sont prises aux abscisses : Non vérifié
Indice
Écrire la tangente en \(x=a\), puis imposer le passage par \((0;-1)\).
Correction
La tangente en \(a\) est \(y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2\). Elle passe par \((0;-1)\) si \(-a^2=-1\), soit \(a^2=1\). Donc \(a=1\) ou \(a=-1\).
Q9. Soit \(f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}\). Quel est le signe de \(f'(x)\) ? Non vérifié
Indice
Calculer \(f'(x)\), puis regarder le numérateur.
Correction
On a \(f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}\). Le dénominateur est positif sur le domaine, donc le signe dépend de \(x(x+2)\), qui change de signe.
Q10. Pour \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) : Non vérifié
Indice
Étudier le signe de \(f'(x)\).
Correction
On a \(f'(x)=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\). Donc \(f'(x)>0\) si \(x<0\), \(f'(x)=0\) en 0, \(f'(x)<0\) si \(x>0\). La fonction croît puis décroît : elle admet un maximum en 0.
Q11. Soit \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}\). Quelle affirmation est vraie ? Non vérifié
Indice
Calculer \(f'(x)\).
Correction
On a \(f'(x)=\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}>0\) sur son domaine. Donc \(f\) est croissante sur chacun des intervalles de son domaine.
Q12. Aire maximale du rectangle sous \(y=12-x^2\) avec base sur l’axe des abscisses ? Non vérifié
Indice
Poser \(A(x)=2x(12-x^2)\).
Correction
On a \(A(x)=24x-2x^3\), donc \(A'(x)=24-6x^2=6(4-x^2)\). Le maximum est atteint pour \(x=2\), et \(A(2)=32\).
Q13. Pour quelle valeur de \(x\) l’aire \(A(x)=x(10-2x)\) est-elle maximale ? Non vérifié
Indice
Développer puis dériver.
Correction
On a \(A(x)=10x-2x^2\), donc \(A'(x)=10-4x\). L’annulation donne \(x=\dfrac{10}{4}=\dfrac52=2{,}5\).
Q14. Si \(f'(x)\) ne s’annule pas mais change de signe à cause d’une discontinuité, alors : Non vérifié
Indice
Le changement de signe peut suffire.
Correction
Un extremum peut exister si la fonction passe de croissante à décroissante ou inversement, même si la dérivée n’est pas définie en ce point.
Q15. Une fonction peut-elle être croissante avec dérivée nulle en un point ? Non vérifié
Indice
Penser à \(f(x)=x^3\).
Correction
Oui. Par exemple, \(f(x)=x^3\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), alors que \(f'(0)=0\).
Q16. Si \(f'(x)=(x-2)^2\), alors \(f\) : Non vérifié
Indice
La dérivée est toujours positive ou nulle et ne change pas de signe.
Correction
Comme \((x-2)^2\ge 0\) pour tout \(x\), la fonction est croissante sur \(\mathbb{R}\). La dérivée ne change pas de signe en 2, donc il n’y a pas d’extremum.
Q17. Nombre maximal d’extrema possibles pour une fonction polynomiale de degré 4 ? Non vérifié
Indice
La dérivée est de degré 3.
Correction
Une fonction de degré 4 a une dérivée de degré 3, qui peut avoir jusqu’à 3 racines réelles simples. Donc elle peut avoir au plus 3 extrema.
Q18. Si \(f'(x)=0\) et \(f''(x)=0\), alors : Non vérifié
Indice
Penser à \(f(x)=x^3\) en 0.
Correction
Par exemple, pour \(f(x)=x^3\), on a \(f'(0)=0\) et \(f''(0)=0\), mais 0 est un point d’inflexion et non un extremum.
Q19. Donner les abscisses des points critiques de \(f(x)=x^4-4x^3\). Non vérifié
Indice
Calculer \(f'(x)\), puis factoriser.
Correction
On a \(f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)\). Les points critiques sont donc obtenus pour \(x=0\) et \(x=3\).
Q20. Pour \(f(x)=x^4-4x^3\), quelles affirmations sont vraies ? Non vérifié
Indice
Utiliser \(f'(x)=4x^2(x-3)\) et étudier son signe.
Correction
On a \(f'(x)=4x^2(x-3)\). Comme \(x^2\ge 0\), le signe dépend de \(x-3\), avec annulation aussi en 0. Ainsi, 0 est bien un point critique, mais ce n’est pas un extremum car le signe ne change pas en 0. En revanche, le signe change de négatif à positif en 3, donc 3 est un minimum local.