Applications de la dérivation

Variations, extremums, tangentes, optimisation, étude de fonctions (méthodes type Bac).

Cours Exercices Fiche Quiz
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Exercices — Applications de la dérivation (20 exercices)

Étude de fonctions, tableaux, lecture graphique, extrema, optimisation (sans exponentielle, sans convexité).

A — Étude de fonctions (dérivée → signe → variations → extrema)

1) Étude complète (polynôme factorisable)

Dérivée Tableau Extrema

On considère \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et factoriser.
  2. Résoudre \(f'(x)=0\).
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
  4. Donner les extremums locaux (abscisses et valeurs).
  1. \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\).
  2. \(f'(x)=0 \iff x=1\) ou \(x=3\).
  3. Signe : \(f'>0\) sur \((-\infty,1)\), \(f'<0\) sur \((1,3)\), \(f'>0\) sur \((3,+\infty)\). Donc \(f\) croît, décroît, croît.
  4. \(f(1)=1-6+9=4\) (max local). \(f(3)=27-54+27=0\) (min local).

2) Étude complète (quartique)

Signe de \(f'\) Tableau

On considère \(g(x)=x^4-4x^2\).

  1. Calculer \(g'(x)\) et factoriser.
  2. Étudier le signe de \(g'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
  3. Donner les variations et les extremums.
  1. \(g'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\).
  2. Points critiques : \(-\sqrt2,0,\sqrt2\). Signe : \(g'<0\) sur \((-\infty,-\sqrt2)\), \(g'>0\) sur \((-\sqrt2,0)\), \(g'<0\) sur \((0,\sqrt2)\), \(g'>0\) sur \((\sqrt2,+\infty)\).
  3. Donc décroît, croît, décroît, croît. Min locaux en \(x=\pm\sqrt2\) : \(g(\pm\sqrt2)=4-8=-4\). Max local en \(x=0\) : \(g(0)=0\).

3) Étude (rationnelle : asymptote verticale + variations)

Domaine Dérivée Limites

Étudier \(h(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

  1. Domaine, puis \(h'(x)\).
  2. Variations sur \((-\infty,1)\) et \((1,+\infty)\).
  3. Calculer \(\lim_{x\to 1^-}h(x)\) et \(\lim_{x\to 1^+}h(x)\).
  1. Domaine : \(x\neq1\). \(h'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}<0\).
  2. Décroissante sur \((-\infty,1)\) et sur \((1,+\infty)\).
  3. \(\lim_{x\to1^-}h(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to1^+}h(x)=+\infty\). Asymptote verticale : \(x=1\).

4) Étude (racine + quotient : maximum interne)

Domaine Signe de \(f'\)

On considère \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\) sur \([0,+\infty[\).

  1. Calculer \(f'(x)\) pour \(x>0\) et simplifier.
  2. Étudier les variations sur \([0,+\infty[\).
  3. Donner la valeur maximale de \(f\).
  1. \(f'(x)=\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2} =\dfrac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2}=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}\).
  2. Le dénominateur \(>0\) pour \(x>0\). Donc signe de \(f'\) = signe de \(1-x\). Ainsi \(f\) croît sur \([0,1]\) puis décroît sur \([1,+\infty[\).
  3. Maximum en \(x=1\) : \(f(1)=\frac{1}{2}\).

5) Étude (valeur absolue : dérivabilité)

Dérivabilité Par morceaux

Soit \(u(x)=|x-2|\).

  1. Écrire \(u(x)\) sous forme par morceaux.
  2. Étudier l’existence de \(u'(2)\) (limites à gauche/droite).
  3. Donner les variations de \(u\).
  1. \(u(x)=\begin{cases}2-x & \text{si } x\le2,\\ x-2 & \text{si } x\ge2.\end{cases}\)
  2. À gauche, pente \(-1\). À droite, pente \(+1\). Donc \(u'(2)\) n’existe pas.
  3. Décroît sur \((-\infty,2]\) puis croît sur \([2,+\infty)\). Minimum en \(x=2\), valeur \(0\).

6) Étude (polynôme + tangentes horizontales)

Extrema Tableau

Étudier \(f(x)=x^3-3x+1\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et résoudre \(f'(x)=0\).
  2. Variations et extrema.
  3. Donner l’équation de la tangente en \(x=1\).
  1. \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Zéros : \(-1\) et \(1\).
  2. \(f'>0\) sur \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\), \(f'<0\) sur \((-1,1)\). Max local : \(f(-1)=3\). Min local : \(f(1)=-1\).
  3. \(f'(1)=0\) et \(f(1)=-1\) donc tangente : \(y=-1\).

7) Tableau de signes de la dérivée (factorisation non immédiate)

Signe de \(f'\) Trinôme

On considère \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\).

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Résoudre \(f'(x)=0\) (on attend une résolution de trinôme).
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\) (sans calculer de valeurs compliquées).
  1. \(f'(x)=3x^2-4x-5\).
  2. \(\Delta = (-4)^2-4\cdot3\cdot(-5)=16+60=76=4\cdot19\). Racines : \(x=\dfrac{4\pm2\sqrt{19}}{6}=\dfrac{2\pm\sqrt{19}}{3}\).
  3. Comme le coefficient directeur de \(3x^2-4x-5\) est \(>0\), \(f'(x)>0\) à l’extérieur des racines et \(f'(x)<0\) entre elles. Donc \(f\) croît, décroît, croît en passant par ces deux abscisses.

8) Étude (fonction définie par morceaux : continuité + dérivée)

Par morceaux Dérivée

Soit \(f(x)=\begin{cases} x^2+1 & \text{si } x\le 1,\\ ax+b & \text{si } x>1. \end{cases}\)

  1. Déterminer \(a,b\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).
  2. Déterminer \(a,b\) pour que \(f\) soit dérivable en \(1\).
  1. Continuité : \(f(1^-)=2\) et \(f(1^+)=a\cdot1+b=a+b\). Donc \(a+b=2\).
  2. Dérivabilité : \(f'_-(1)=2\cdot1=2\), \(f'_+(1)=a\). Donc \(a=2\) et alors \(b=0\).
B — Lecture graphique / tangentes / interprétation

9) Tangente parallèle à une droite (résolution exacte)

Tangente Parallèle

Soit \(f(x)=x^3-3x^2+2\).

Trouver les abscisses \(a\) telles que la tangente en \(a\) soit parallèle à \(y=6x-5\).

\(f'(x)=3x^2-6x\). Parallèle \(\iff f'(a)=6\). \(3a^2-6a=6 \iff a^2-2a-2=0 \iff a=1\pm\sqrt3\).

10) Tangente passant par un point (condition sur \(a\))

Tangente Point imposé

Soit \(f(x)=x^2+2x\).

Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles la tangente en \(a\) passe par \(A(0,-3)\).

\(f'(x)=2x+2\). Tangente : \(y=(2a+2)(x-a)+a^2+2a= (2a+2)x-a^2\). Passage par \((0,-3)\) : \(-a^2=-3\Rightarrow a=\pm\sqrt3\).

11) Retrouver une fonction (infos tangente + valeur)

Modélisation Tangente

On sait que \(f(x)=ax^2+bx+c\).

La tangente en \(x=1\) est \(y=4x-1\) et \(f(0)=2\). Déterminer \(a,b,c\).

\(f(0)=c=2\). Tangente en 1 : \(f'(1)=4\) et \(f(1)=3\). \(f(x)=ax^2+bx+2\). \(f(1)=a+b+2=3\Rightarrow a+b=1\). \(f'(x)=2ax+b\Rightarrow 2a+b=4\). Donc \(a=3, b=-2, c=2\).

12) Lecture « dérivée = pente » (tableau de variations fourni)

Lecture Pente

On te donne le signe de \(f'\) :

  • \(f'(x)>0\) sur \((-\infty,-2)\)
  • \(f'(x)=0\) en \(-2\)
  • \(f'(x)<0\) sur \((-2,1)\)
  • \(f'(x)=0\) en \(1\)
  • \(f'(x)>0\) sur \((1,+\infty)\)

Conclure sur les variations de \(f\) et la nature des extremums en \(-2\) et \(1\).

\(f\) croît sur \((-\infty,-2]\), décroît sur \([-2,1]\), croît sur \([1,+\infty)\). Changement \(+\to-\) en \(-2\) : maximum local en \(-2\). Changement \(-\to+\) en \(1\) : minimum local en \(1\).

13) Tangente horizontale sur une rationnelle

Dérivée Tangente horizontale

Soit \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\).

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Déterminer les abscisses où la tangente est horizontale et donner les points correspondants.
  1. \(f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).
  2. \(f'(x)=0\iff x=\pm1\). Points : \((1,\tfrac12)\) et \((-1,-\tfrac12)\).
C — Optimisation (sans exponentielle)

14) Optimisation (rectangle, périmètre fixé)

Optimisation Dérivée

Un rectangle a un périmètre de \(40\) m. On note \(x\) sa longueur.

  1. Exprimer la largeur \(y\) en fonction de \(x\).
  2. Exprimer l’aire \(A(x)\) et donner son domaine.
  3. Déterminer l’aire maximale et les dimensions correspondantes.
  1. \(2x+2y=40\Rightarrow y=20-x\).
  2. \(A(x)=x(20-x)=20x-x^2\), domaine \(0
  3. \(A'(x)=20-2x\Rightarrow x=10\). Aire max \(=100\) m², rectangle \(10\times10\).

15) Optimisation (boîte sans couvercle)

Optimisation Polynôme

On découpe des carrés de côté \(x\) dans les coins d’un carré de côté \(20\) cm puis on replie (boîte sans couvercle).

  1. Exprimer le volume \(V(x)\) et donner le domaine.
  2. Étudier \(V\) et déterminer le \(x\) optimal.
  3. Donner \(V_{max}\) (au dixième).
  1. \(V(x)=x(20-2x)^2\), domaine \(0
  2. \(V'(x)=4(10-x)(10-3x)\) donc max en \(x=\frac{10}{3}\).
  3. \(V_{max}=\frac{16000}{27}\approx 592.6\ \text{cm}^3\).

16) Optimisation (distance minimale : parabole)

Optimisation Carré

On cherche le minimum de \(d(x)=x^2-6x+13\) sur \(\mathbb{R}\) (fonction « distance au carré »).

  1. Calculer \(d'(x)\) et déterminer le point critique.
  2. Conclure sur le minimum et sa valeur.
  1. \(d'(x)=2x-6=0\Rightarrow x=3\).
  2. Parabole ouverte vers le haut, décroît puis croît : minimum en \(3\). \(d(3)=9-18+13=4\).

17) Optimisation (aire avec contrainte linéaire)

Optimisation Tableau

On impose \(x>0\) et \(y>0\) avec \(x+2y=24\).

On définit \(A=xy\). Trouver \(x,y\) pour maximiser \(A\).

\(y=\frac{24-x}{2}\) avec \(0
D — Paramètres (condition sur la forme des variations)

18) Paramètre : monotonicité globale

Paramètre Signe de \(f'\)

Soit \(f_m(x)=x^3-3x+mx\).

  1. Exprimer \(f_m'(x)\).
  2. Déterminer les valeurs de \(m\) pour que \(f_m\) soit strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  1. \(f_m'(x)=3x^2+(m-3)\).
  2. Minimum en \(x=0\) : \(m-3\). Pour \(f_m'(x)>0\ \forall x\), il faut \(m-3>0\Rightarrow m>3\).

19) Paramètre : tangente horizontale en un point imposé

Paramètre Tangente

Soit \(f_m(x)=x^2+mx+1\). Déterminer \(m\) pour que la tangente en \(x=2\) soit horizontale.

\(f_m'(x)=2x+m\). Tangente horizontale en 2 : \(f_m'(2)=0\Rightarrow 4+m=0\Rightarrow m=-4\).

20) Paramètre : continuité + dérivabilité (classique solide)

Par morceaux Paramètre

Soit \(f(x)=\begin{cases} x^2-1 & \text{si } x\le 1,\\ ax+b & \text{si } x>1. \end{cases}\)

  1. Déterminer \(a,b\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).
  2. Déterminer \(a,b\) pour que \(f\) soit dérivable en \(1\).
  1. Continuité : \(f(1^-)=0\) et \(f(1^+)=a+b\). Donc \(a+b=0\).
  2. Dérivabilité : \(f'_-(1)=2\cdot1=2\), \(f'_+(1)=a\). Donc \(a=2\), puis \(b=-2\).