Applications De La Derivation
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Exercices — Applications de la dérivation (20 exercices)

Étude de fonctions, tableaux, lecture graphique, extrema, optimisation (sans exponentielle, sans convexité).

A — Étude de fonctions (dérivée → signe → variations → extrema)

1) Étude complète d’un polynôme du troisième degré

Dérivée Tableau Extrema

On considère \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et factoriser.
  2. Résoudre \(f'(x)=0\).
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
  4. Donner les extremums locaux (abscisses et valeurs).
  1. \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\).
  2. \(f'(x)=0 \iff x=1\) ou \(x=3\).
  3. Signe : \(f'>0\) sur \(]-\infty;1[\), \(f'<0\) sur \(]1;3[\), \(f'>0\) sur \(]3;+\infty[\). Donc \(f\) croît, décroît, croît.
  4. \(f(1)=1-6+9=4\), donc maximum local \(=4\) en \(x=1\). \ \(f(3)=27-54+27=0\), donc minimum local \(=0\) en \(x=3\).

2) Étude complète d’un polynôme du quatrième degré

Signe de \(f'\) Tableau Extrema

On considère \(g(x)=x^4-4x^2\).

  1. Calculer \(g'(x)\) et factoriser.
  2. Étudier le signe de \(g'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
  3. Donner les variations de \(g\).
  4. Déterminer les extremums.
  1. \(g'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\).
  2. Les points critiques sont \(-\sqrt2,0,\sqrt2\).
    \(g'<0\) sur \(]-\infty;-\sqrt2[\), \(g'>0\) sur \(]-\sqrt2;0[\), \(g'<0\) sur \(]0;\sqrt2[\), \(g'>0\) sur \(]\sqrt2;+\infty[\).
  3. Donc \(g\) décroît, croît, décroît, croît.
  4. Minima locaux en \(x=\pm\sqrt2\) : \(g(\pm\sqrt2)=4-8=-4\).
    Maximum local en \(x=0\) : \(g(0)=0\).

3) Étude d’une fonction rationnelle simple

Domaine Dérivée Limites

Étudier \(h(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

  1. Déterminer le domaine.
  2. Calculer \(h'(x)\).
  3. Étudier les variations sur \(]-\infty;1[\) et \(]1;+\infty[\).
  4. Calculer \(\lim_{x\to1^-}h(x)\) et \(\lim_{x\to1^+}h(x)\).
  1. Domaine : \(x eq1\).
  2. \(h'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}<0\).
  3. La fonction est décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
  4. \(\lim_{x\to1^-}h(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to1^+}h(x)=+\infty\).
    Il y a une asymptote verticale d’équation \(x=1\).

4) Étude d’une fonction avec racine carrée

Domaine Signe de \(f'\) Maximum

On considère \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\) définie sur \([0;+\infty[\).

  1. Calculer \(f'(x)\) pour \(x>0\) et simplifier.
  2. Étudier les variations de \(f\) sur \([0;+\infty[\).
  3. Donner la valeur maximale de \(f\).
  1. \[ f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2} =\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} =\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}. \]
  2. Le dénominateur est \(>0\) pour \(x>0\). Le signe de \(f'\) est donc celui de \(1-x\).
    Ainsi \(f\) croît sur \([0;1]\) puis décroît sur \([1;+\infty[\).
  3. Le maximum est atteint en \(x=1\) et vaut \(f(1)=\dfrac{1}{2}\).

5) Valeur absolue et dérivabilité

Dérivabilité Par morceaux

On considère \(u(x)=|x-2|\).

  1. Écrire \(u(x)\) par morceaux.
  2. Étudier l’existence de \(u'(2)\).
  3. Donner les variations de \(u\).
  1. \[ u(x)= \begin{cases} 2-x & \text{si } x\le 2,\\ x-2 & \text{si } x\ge 2. \end{cases} \]
  2. À gauche de 2, la pente vaut \(-1\). À droite de 2, la pente vaut \(+1\).
    Donc \(u'(2)\) n’existe pas.
  3. \(u\) décroît sur \(]-\infty;2]\), puis croît sur \([2;+\infty[\).
    Elle admet un minimum en \(x=2\), de valeur \(0\).

6) Polynôme et tangentes horizontales

Extrema Tangente

Étudier \(f(x)=x^3-3x+1\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et résoudre \(f'(x)=0\).
  2. Donner les variations et les extrema locaux.
  3. Écrire l’équation de la tangente en \(x=1\).
  1. \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Les zéros sont \(-1\) et \(1\).
  2. \(f'>0\) sur \(]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\), \(f'<0\) sur \(]-1;1[\).
    Donc maximum local en \(x=-1\) : \(f(-1)=-1+3+1=3\).
    Minimum local en \(x=1\) : \(f(1)=1-3+1=-1\).
  3. \(f'(1)=0\) et \(f(1)=-1\), donc la tangente en \(x=1\) a pour équation \(y=-1\).

7) Trinôme dans la dérivée : résolution exacte

Trinôme Tableau

On considère \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\).

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Résoudre exactement \(f'(x)=0\).
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
  1. \(f'(x)=3x^2-4x-5\).
  2. \(\Delta=(-4)^2-4\times3\times(-5)=16+60=76=4\times19\).
    Les racines sont \[ x=\frac{4\pm2\sqrt{19}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{19}}{3}. \]
  3. Comme le coefficient de \(x^2\) est positif, \(f'>0\) à l’extérieur des racines et \(f'<0\) entre elles.
    Donc \(f\) croît, décroît, croît.

8) Fonction définie par morceaux : continuité et dérivabilité

Par morceaux Dérivée

Soit \(f(x)=\begin{cases} x^2+1 & \text{si } x\le1,\\ ax+b & \text{si } x>1. \end{cases}\)

  1. Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).
  2. Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit dérivable en \(1\).
  1. Continuité : \(f(1^-)=1^2+1=2\) et \(f(1^+)=a+b\). Donc \(a+b=2\).
  2. Dérivabilité : \(f'_-(1)=2\cdot1=2\), et \(f'_+(1)=a\). Donc \(a=2\).
    Avec \(a+b=2\), on obtient \(b=0\).
B — Lecture graphique / tangentes / interprétation

9) Tangente parallèle à une droite donnée

Tangente Parallèle

Soit \(f(x)=x^3-3x^2+2\).

Déterminer les abscisses \(a\) telles que la tangente à la courbe en \(x=a\) soit parallèle à la droite \(y=6x-5\).

On a \(f'(x)=3x^2-6x\).
Être parallèle à \(y=6x-5\) signifie avoir la même pente, donc \[ f'(a)=6. \] Ainsi \[ 3a^2-6a=6 \iff a^2-2a-2=0. \] Les solutions sont \[ a=1\pm\sqrt3. \]

10) Tangente passant par un point imposé

Tangente Condition sur \(a\)

Soit \(f(x)=x^2+2x\).

Déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles la tangente à la courbe en \(x=a\) passe par le point \(A(0;-3)\).

On a \(f'(x)=2x+2\).
La tangente en \(a\) est \[ y=(2a+2)(x-a)+a^2+2a=(2a+2)x-a^2. \] Elle passe par \(A(0;-3)\) si \[ -a^2=-3 \iff a^2=3. \] Donc \[ a=\pm\sqrt3. \]

11) Retrouver une fonction à partir d’une tangente

Modélisation Tangente

On sait que \(f(x)=ax^2+bx+c\).

La tangente en \(x=1\) est \(y=4x-1\), et on sait aussi que \(f(0)=2\).

  1. Déterminer \(c\).
  2. Traduire les informations données en équations.
  3. Déterminer \(a,b,c\).
  1. \(f(0)=c=2\).
  2. La tangente en \(x=1\) étant \(y=4x-1\), on a \(f'(1)=4\) et \(f(1)=3\).
  3. Avec \(f(x)=ax^2+bx+2\) : \[ f(1)=a+b+2=3 \iff a+b=1, \] et \[ f'(x)=2ax+b,\quad f'(1)=2a+b=4. \] En soustrayant, on obtient \(a=3\), puis \(b=-2\). Finalement : \[ a=3,\quad b=-2,\quad c=2. \]

12) Lecture de variations à partir du signe de la dérivée

Lecture Extrema

On sait que :

  • \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty;-2[\),
  • \(f'(-2)=0\),
  • \(f'(x)<0\) sur \(]-2;1[\),
  • \(f'(1)=0\),
  • \(f'(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).

Décrire les variations de \(f\) et la nature des extremums en \(-2\) et \(1\).

\(f\) croît sur \(]-\infty;-2]\), décroît sur \([-2;1]\), puis croît sur \([1;+\infty[\).
En \(-2\), on a un passage de \(+\) à \(-\) : c’est un maximum local.
En \(1\), on a un passage de \(-\) à \(+\) : c’est un minimum local.

13) Tangentes horizontales d’une fonction rationnelle

Rationnelle Tangente horizontale

Soit \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\).

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Déterminer les abscisses où la tangente est horizontale.
  3. Donner les coordonnées des points correspondants.
  1. \[ f'(x)=\frac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}. \]
  2. La tangente est horizontale si \(f'(x)=0\), soit \(1-x^2=0\), donc \(x=\pm1\).
  3. \[ f(1)=\frac12,\qquad f(-1)=-\frac12. \] Les points sont donc \((1;\tfrac12)\) et \((-1;-\tfrac12)\).
C — Optimisation (sans exponentielle)

14) Optimisation d’aire avec périmètre fixé

Optimisation Dérivée

Un rectangle a un périmètre de \(40\) m. On note \(x\) sa longueur.

  1. Exprimer la largeur \(y\) en fonction de \(x\).
  2. Exprimer l’aire \(A(x)\).
  3. Déterminer le domaine de \(A\).
  4. Donner l’aire maximale et les dimensions correspondantes.
  1. \(2x+2y=40 \iff y=20-x\).
  2. \[ A(x)=x(20-x)=20x-x^2. \]
  3. On doit avoir \(0
  4. \[ A'(x)=20-2x. \] L’unique point critique est \(x=10\). Comme \(A\) est une parabole tournée vers le bas, l’aire est maximale pour \(x=10\).
    Donc \(y=10\) et l’aire maximale vaut \(100\ ext{m}^2\).

15) Boîte sans couvercle

Optimisation Volume

On découpe des carrés de côté \(x\) dans les coins d’un carré de côté \(20\) cm, puis on replie pour former une boîte sans couvercle.

  1. Exprimer le volume \(V(x)\).
  2. Donner le domaine de \(x\).
  3. Étudier \(V\) et déterminer le \(x\) optimal.
  1. La base a pour côté \(20-2x\), donc \[ V(x)=x(20-2x)^2. \]
  2. On doit avoir \(0
  3. En développant : \[ V(x)=x(400-80x+4x^2)=400x-80x^2+4x^3. \] On dérive : \[ V'(x)=400-160x+12x^2=4(100-40x+3x^2)=4(10-x)(10-3x). \] Sur \(]0;10[\), le maximum est atteint pour \(x=\dfrac{10}{3}\).
    C’est la valeur optimale.

16) Distance minimale (fonction carré)

Minimum Parabole

On cherche le minimum de \(d(x)=x^2-6x+13\) sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer \(d'(x)\).
  2. Déterminer le point critique.
  3. Conclure sur le minimum de \(d\).
  1. \(d'(x)=2x-6\).
  2. \(d'(x)=0 \iff x=3\).
  3. Comme \(d\) est une parabole tournée vers le haut, elle admet un minimum en \(x=3\).
    \[ d(3)=9-18+13=4. \] Le minimum vaut donc \(4\).

17) Optimisation avec contrainte linéaire

Optimisation Aire

On impose \(x>0\), \(y>0\) et \(x+2y=24\).

On définit \(A=xy\). Trouver \(x\) et \(y\) pour maximiser \(A\).

De \(x+2y=24\), on tire \[ y=\frac{24-x}{2},\qquad 0 Alors \[ y=\frac{24-12}{2}=6. \] L’aire maximale est obtenue pour \((x;y)=(12;6)\).
D — Paramètres (condition sur la forme des variations)

18) Paramètre et monotonie globale

Paramètre Signe de \(f'\)

Soit \(f_m(x)=x^3-3x+mx\).

  1. Exprimer \(f_m'(x)\).
  2. Déterminer les valeurs de \(m\) pour que \(f_m\) soit strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  1. \[ f_m'(x)=3x^2+(m-3). \]
  2. Comme \(3x^2\ge0\), le minimum de \(f_m'(x)\) est atteint en \(x=0\) et vaut \(m-3\).
    Pour que \(f_m'(x)>0\) pour tout \(x\), il faut et il suffit que \[ m-3>0 \iff m>3. \] Donc \(f_m\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) si \(m>3\).

19) Paramètre et tangente horizontale imposée

Paramètre Tangente

Soit \(f_m(x)=x^2+mx+1\). Déterminer \(m\) pour que la tangente à la courbe en \(x=2\) soit horizontale.

On a \[ f_m'(x)=2x+m. \] La tangente est horizontale en \(x=2\) si \[ f_m'(2)=0 \iff 4+m=0. \] Donc \[ m=-4. \]

20) Continuité et dérivabilité avec paramètre

Par morceaux Paramètre

Soit \[ f(x)=\begin{cases} x^2-1 & \text{si } x\le1,\\ ax+b & \text{si } x>1. \end{cases} \]

  1. Déterminer \(a,b\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).
  2. Déterminer \(a,b\) pour que \(f\) soit dérivable en \(1\).
  1. Continuité en 1 : \[ f(1^-)=1^2-1=0,\qquad f(1^+)=a+b. \] Il faut donc \[ a+b=0. \]
  2. Dérivabilité en 1 : \[ f'_-(1)=2\cdot1=2,\qquad f'_+(1)=a. \] Il faut donc \(a=2\). Avec \(a+b=0\), on obtient \(b=-2\).