Terminale Spé — Fonction logarithme népérien

Fiche de révision — Fonction logarithme népérien (Premium + graphes)

Terminale Spécialité Maths • Synthèse Bac (clair & complet)
Domaine • propriétés • dérivée/variations • équations • inéquations • comparaisons • tableaux • graphe

0Checklist Bac (méthode)

À chaque exercice avec \(\ln\) :

Domaine : argument(s) \(>0\).
Transformations : propriétés de \(\ln\) (produit/quotient/puissance).
Comparaison / inéquation : utiliser la croissance de \(\ln\) (si arguments \(>0\)).
Étude de fonction : \(f'\) → variations → limites → asymptotes → signe.

1Définition & domaine

Domaine : \(\boxed{\,]0,+\infty[\,}\). Inverse de l’exponentielle : \[ \boxed{\ \ln(x)=y \iff \mathrm e^{\,y}=x\ }\quad(x>0). \]

Réflexe Bac : \(\ln(u(x))\) \(\Rightarrow\) impose \(\boxed{u(x)>0}\).

2Valeurs usuelles & signe

Expression	Valeur	Remarque
\(\ln(1)\)	\(0\)	\(\mathrm e^0=1\)
\(\ln(\mathrm e)\)	\(1\)	\(\mathrm e^1=\mathrm e\)
\(\ln(\mathrm e^a)\)	\(a\)	\(a\in\mathbb R\)
\(\mathrm e^{\ln(x)}\)	\(x\)	\(x>0\)

\[ \boxed{ \ln(x)<0\ (00\ (x>1) }. \]

Tableau de signe (version “texte”)

\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0^+ & 1 & +\infty \\ \hline \ln(x) & - & 0 & + \end{array} \]

3Propriétés fondamentales

Pour \(a>0,\ b>0,\ r\in\mathbb R\) : \[ \boxed{\ln(ab)=\ln a+\ln b}\qquad \boxed{\ln\!\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b}\qquad \boxed{\ln(a^r)=r\ln a}. \]

Interdit : \(\ln(a+b)\neq \ln a+\ln b\).

Exemple flash

\[ \ln(12)-\ln(3)=\ln\!\left(\frac{12}{3}\right)=\ln(4)=2\ln(2). \]

4Dérivée • variations • convexité

\[ \boxed{\ln'(x)=\frac1x}\ (x>0)\ \Rightarrow\ \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0,+\infty[. \]

Tableau de variations (version “texte”)

\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0^+ & & +\infty \\ \hline \ln(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \end{array} \]

Convexité : \[ \ln''(x)=-\frac{1}{x^2}<0 \ (x>0)\quad\Rightarrow\quad \boxed{\ln \text{ est concave sur } ]0,+\infty[.} \]

Conséquence Bac : tangente en 1

Tangente à \(y=\ln(x)\) en \(x=1\) : \(\ln(1)=0\), \(\ln'(1)=1\) donc \[ \boxed{y=x-1}. \] Comme \(\ln\) est concave : \[ \boxed{\forall x>0,\ \ln(x)\le x-1} \quad (\text{égalité seulement pour }x=1). \]

Formule de dérivation composée

Si \(u(x)>0\), alors \[ \boxed{(\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)}}. \]

5Limites & asymptotes

\[ \boxed{\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty},\qquad \boxed{\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty}. \] Asymptote verticale : \(\boxed{x=0}\).

Croissance comparée (Bac) : \[ \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0}. \]

6Équations avec \(\ln\)

Méthode Bac :

Domaine (argument \(>0\)).
Propriétés de \(\ln\).
Exponentielle (inverse) : \(\ln(A)=b \iff A=\mathrm e^b\).

Exemple Bac

\[ \ln(2x-1)=3,\quad x>\frac12 \] \[ \ln(2x-1)=3\iff 2x-1=\mathrm e^3\iff \boxed{x=\frac{\mathrm e^3+1}{2}}. \]

7Inéquations avec \(\ln\)

\(\ln\) est croissante sur \(]0,+\infty[\). Pour \(a>0,\ b>0\) : \[ \boxed{\ln(a)\le\ln(b)\iff a\le b}. \]

Exemple Bac

\[ \ln(2x-1)>\ln(x) \] Domaine : \(x>\frac12\). Croissance : \[ 2x-1>x \iff x>1 \Rightarrow \boxed{x\in]1,+\infty[ }. \]

8Comparaisons (méthodes Bac)

Deux stratégies fiables :

A) Mettre sous la forme \(\ln(A)\le\ln(B)\), vérifier \(A>0,B>0\), puis comparer \(A\) et \(B\).
B) Étudier le signe d’une différence \(f(x)=\ln(x)-g(x)\) (dérivée, variations, tableau).

Inégalité clé (à connaître)

\[ \boxed{\ln(x)\le x-1\quad(x>0)} \quad(\text{égalité pour }x=1). \]

9Tableaux + graphe “beau” (PDF TKZ/PGFPLOTS)

TKZ/PGFPLOTS ne s’affiche pas dans MathJax. Compile le PDF LaTeX puis place-le dans ton dossier public.
PDF attendu (modifiable) : Ouvrir le PDF

📄 ln — tableaux (signe/variations) + graphe Ouvrir

Code LaTeX complet à compiler (TKZ + PGFPLOTS)

% ============================================================
% PDF GRAPHIQUES — LN (TKZ + PGFPLOTS)
% Compile : pdfLaTeX (ou LuaLaTeX)
% Sortie : ln_graphe_tkz.pdf
% ============================================================

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % retire si LuaLaTeX
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{geometry}
\geometry{margin=1.6cm}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}

\begin{document}

\section*{Fonction logarithme népérien : tableaux + graphe}

\subsection*{1) Tableau de signe de $\ln(x)$}
\[
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.4,espcl=2.2]{$x$/1,$\ln(x)$/1.2}{$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\]

\subsection*{2) Tableau de variations de $\ln(x)$}
\[
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.4,espcl=2.2]{$x$/1,$\ln'(x)$/1,$\ln(x)$/1.8}{$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$, +/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\]

\subsection*{3) Graphe (PGFPLOTS)}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
  axis lines=middle,
  xlabel={$x$}, ylabel={$y$},
  xmin=-0.5, xmax=7,
  ymin=-4, ymax=3,
  samples=300,
  domain=0.05:7,
  width=13cm, height=7cm,
  grid=both,
  minor tick num=1,
]
\addplot[very thick] {ln(x)};
\addplot[dashed] coordinates {(0,-4) (0,3)}; % asymptote x=0
\addplot[only marks, mark=*, mark size=2.2pt] coordinates {(1,0) (2.7182818,1)};
\node[below right] at (axis cs:1,0) {$ (1,0)$};
\node[above right] at (axis cs:2.7182818,1) {$ (e,1)$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}

10Pièges + phrases Bac

Pièges :

Oublier le domaine (\(\ln(u)\Rightarrow u>0\)).
\(\ln(a+b)\neq \ln(a)+\ln(b)\).
Comparer \(\ln(A)\) et \(\ln(B)\) sans vérifier \(A>0,B>0\).

Phrases Bac prêtes à copier

« Comme \(x>0\), \(\ln(x)\) est bien défini. »
« La fonction \(\ln\) est croissante sur \(]0,+\infty[\), donc \(\ln(A)\le\ln(B)\iff A\le B\). »
« \(\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty\), donc \(x=0\) est une asymptote verticale. »
« \(\ln\) est concave sur \(]0,+\infty[\) et sa tangente en \(1\) est \(y=x-1\). »