Fonction Logarithme Neperien
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Fiche de révision — Fonction logarithme népérien
L’essentiel à connaître pour le Bac : domaine • propriétés • dérivée • limites • équations • inéquations • inégalités classiques.
Essentiel Domaine Valeurs usuelles Propriétés Dérivée Limites Équations Inéquations Inégalités Méthode Bac Pièges
1) L’essentiel à retenir
\[ \ln : ]0;+\infty[ \to \mathbb{R} \] \[ \ln(1)=0,\qquad \ln(e)=1,\qquad \ln'(x)=\frac1x \text{ pour } x>0 \] \[ \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty \] \[ \forall x>0,\qquad \ln(x)\le x-1 \]
Réflexe absolu : dès que tu vois \( \ln(u(x)) \), tu écris d’abord \[ u(x)>0. \]
2) Domaine et définition
Domaine
La fonction logarithme népérien est définie sur \[ ]0;+\infty[. \] Donc \( \ln(x) \) n’existe que pour \(x>0\).
Définition
La fonction \( \ln \) est la réciproque de la fonction exponentielle : \[ e^{\ln(x)}=x \quad \text{si } x>0, \qquad \ln(e^y)=y \quad \text{si } y\in\mathbb{R}. \]
Si on a \( \ln(2x-3) \), il faut imposer \[ 2x-3>0 \iff x>\frac32. \]
3) Valeurs usuelles et signe
Expression Valeur À connaître
\(\ln(1)\) \(0\) immédiat
\(\ln(e)\) \(1\) immédiat
\(\ln(e^a)\) \(a\) pour tout réel \(a\)
\(e^{\ln(x)}\) \(x\) si \(x>0\)
Signe de \( \ln(x) \)
\[ \ln(x)<0 \text{ sur } ]0;1[, \qquad \ln(1)=0, \qquad \ln(x)>0 \text{ sur } ]1;+\infty[. \]
Lecture rapide
La courbe de \( \ln \) coupe l’axe des abscisses en \(x=1\). Elle est sous l’axe avant \(1\), et au-dessus après \(1\).
4) Propriétés de calcul
Produit et quotient
\[ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \] \[ \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \] avec \(a>0,\ b>0\).
Puissance
\[ \ln(a^r)=r\ln(a) \] avec \(a>0\) et \(r\in\mathbb{R}\).
Faux : \[ \ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b). \]
Exemple utile
\[ \ln(18)-\ln(2)=\ln\left(\frac{18}{2}\right)=\ln(9)=2\ln(3). \]
5) Dérivée et variations
Formule de base
Pour tout \(x>0\), \[ \ln'(x)=\frac1x. \]
Conséquence
Comme \( \dfrac1x>0 \) sur \( ]0;+\infty[ \), la fonction \( \ln \) est strictement croissante.
Tableau de variations
\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0^+ & & +\infty\\ \hline \ln'(x) & & + & \\ \hline \ln(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \end{array} \]
Composée
Si \(u(x)>0\), alors \[ (\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)}. \]
Exemples types
\[ (\ln(3x+1))'=\frac{3}{3x+1} \] \[ (\ln(x^2+4))'=\frac{2x}{x^2+4} \]
6) Limites et asymptote
Limites à connaître
\[ \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty \] \[ \lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty \]
Asymptote verticale
La droite d’équation \[ x=0 \] est asymptote verticale à la courbe de \( \ln \).
Croissance comparée
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0. \] Donc \( \ln(x) \) est négligeable devant \(x\).
\[ \ln(x)\ll x \ll x^2 \ll e^x \qquad \text{quand } x\to+\infty. \]
7) Équations avec \( \ln \)
Cas classiques
  • \(\ln(u(x))=k \iff u(x)=e^k\), après domaine.
  • \(\ln(u(x))=\ln(v(x)) \iff u(x)=v(x)\), après domaine.
Exemple 1 — \(\ln(2x-1)=4\)
Domaine : \[ 2x-1>0 \iff x>\frac12. \] Puis \[ \ln(2x-1)=4 \iff 2x-1=e^4 \iff x=\frac{e^4+1}{2}. \]
Exemple 2 — \(\ln(x)+\ln(x-2)=0\)
Domaine : \[ x>2. \] Puis \[ \ln(x(x-2))=0 \iff x(x-2)=1 \] \[ x^2-2x-1=0 \] \[ x=1\pm\sqrt2. \] Avec \(x>2\), on garde \[ \boxed{x=1+\sqrt2}. \]
8) Inéquations avec \( \ln \)
Principe
La fonction \( \ln \) est croissante sur \( ]0;+\infty[ \). Donc \[ \ln(a)\le \ln(b)\iff a\le b \] à condition que \(a>0\) et \(b>0\).
Exemple 1 — \(\ln(2x-3)\ge \ln(x)\)
Domaine : \[ 2x-3>0 \quad \text{et} \quad x>0 \iff x>\frac32. \] Puis \[ 2x-3\ge x \iff x\ge 3. \] Donc \[ \boxed{x\in[3;+\infty[}. \]
Exemple 2 — \(\ln(x)\le 1\)
Domaine : \(x>0\). Puis \[ x\le e. \] Donc \[ \boxed{x\in]0;e]}. \]
9) Inégalité classique à connaître
Résultat fondamental
Pour tout \(x>0\), \[ \ln(x)\le x-1. \]
Démonstration rapide
On pose \[ \varphi(x)=x-1-\ln(x). \] Alors \[ \varphi'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}. \] Donc \(\varphi\) décroît sur \(]0;1]\), puis croît sur \([1;+\infty[\). Son minimum vaut \[ \varphi(1)=0. \] Donc \(\varphi(x)\ge 0\), soit \[ \ln(x)\le x-1. \]
10) Méthode Bac — plan rapide
Pour une équation
  • 1. Domaine
  • 2. Simplification
  • 3. Réduction à \( \ln(u)=k \) ou \( \ln(u)=\ln(v) \)
  • 4. Résolution
  • 5. Vérification
Pour une inéquation
  • 1. Domaine
  • 2. Utiliser la croissance de \( \ln \)
  • 3. Résoudre l’inéquation algébrique
  • 4. Croiser avec le domaine
11) Pièges classiques
  • Oublier le domaine : \( \ln(u(x)) \Rightarrow u(x)>0 \).
  • Écrire \( \ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b) \).
  • Comparer deux logarithmes sans vérifier que les arguments sont positifs.
  • Trouver une solution algébrique correcte mais interdite par le domaine.
  • Oublier que \( \ln \) est croissante, donc qu’on garde le sens des inégalités.
Réflexe final : domaine → propriété → résolution → vérification.