Fonction logarithme népérien | Cours — Terminale Spé Maths | Learna

Cours — Fonction logarithme népérien

Définition • domaine • bijection • propriétés • dérivée • variations • limites • équations • inéquations • inégalités classiques.

Objectifs Définition Valeurs usuelles Propriétés Dérivée Limites Équations Inéquations Inégalités Fonctions usuelles Formulaire

1) Objectifs et plan de travail

Compétences attendues (Terminale Spé)

Connaître le domaine de définition de \( \ln \) et sa relation avec l’exponentielle.
Utiliser correctement les propriétés de calcul du logarithme.
Dériver \( \ln(x) \) et \( \ln(u(x)) \).
Étudier les variations et les limites de fonctions avec logarithme.
Résoudre des équations et inéquations avec \( \ln \).
Utiliser l’inégalité \( \ln(x)\le x-1 \) et étudier des fonctions usuelles.

Pièges fréquents

\( \ln(x) \) n’existe que pour \( x>0 \).
\( \ln(a+b)\neq \ln(a)+\ln(b) \).
Il faut toujours vérifier le domaine avant d’utiliser l’injectivité.
\( \ln \) est croissante : le sens des inégalités est conservé.

Réflexe “copie propre” : domaine d’abord, puis propriétés, puis résolution, puis vérification finale.

2) Définition, domaine et bijection

Définition

La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est définie sur \[ ]0;+\infty[ \] et vérifie : \[ e^{\ln(x)}=x \quad \text{pour tout } x>0, \qquad \ln(e^y)=y \quad \text{pour tout } y\in\mathbb{R}. \]

Bijection

La fonction \[ \ln : ]0;+\infty[ \to \mathbb{R} \] est une bijection. Elle est donc strictement croissante et admet pour réciproque la fonction exponentielle.

Réflexe : dès qu’on voit \( \ln(u(x)) \), on impose \[ u(x)>0. \]

3) Valeurs usuelles et signe

Expression	Valeur	Commentaire
\(\ln(1)\)	\(0\)	\(e^0=1\)
\(\ln(e)\)	\(1\)	\(e^1=e\)
\(\ln(e^a)\)	\(a\)	pour tout \(a\in\mathbb{R}\)
\(e^{\ln(x)}\)	\(x\)	si \(x>0\)

Signe

\[ \ln(x)<0 \text{ si } 0<x<1, \qquad \ln(1)=0, \qquad \ln(x)>0 \text{ si } x>1. \]

Tableau de signe de \( \ln(x) \)

\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & +\infty\\ \hline \ln(x) & - & 0 & + \end{array} \]

4) Propriétés de calcul

Produit et quotient

\[ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \qquad \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \] avec \(a>0\) et \(b>0\).

Puissance

\[ \ln(a^r)=r\ln(a) \] avec \(a>0\) et \(r\in\mathbb{R}\).

Très important : \[ \ln(a+b)\neq \ln(a)+\ln(b). \]

Exemple

\[ \ln(12)-\ln(3)=\ln\left(\frac{12}{3}\right)=\ln(4)=2\ln(2). \]

5) Dérivée et variations

Dérivée de \( \ln \)

Pour tout \(x>0\), \[ \ln'(x)=\frac{1}{x}. \]

Conséquence

Comme \( \dfrac{1}{x}>0 \) sur \( ]0;+\infty[ \), la fonction \( \ln \) est strictement croissante sur tout son domaine.

Tableau de variations

\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0^+ & & +\infty \\ \hline \ln'(x) & & + & \\ \hline \ln(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \end{array} \]

Dérivée d’une composée

Si \(u(x)>0\), alors \[ (\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)}. \]

Exemples

\[ (\ln(2x-1))'=\frac{2}{2x-1} \qquad \text{pour } x>\frac12 \] \[ (\ln(x^2+1))'=\frac{2x}{x^2+1} \]

6) Limites et asymptote verticale

Limites usuelles

\[ \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty \]

Asymptote

La droite d’équation \[ x=0 \] est une asymptote verticale à la courbe de \( \ln \).

Comparaison de croissance

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0. \] Donc \( \ln(x) \) est négligeable devant \(x\) quand \(x\to+\infty\).

Exemple de limite

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3\ln(x)+1}{x} = 3\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x} +\lim_{x\to+\infty}\frac1x =0. \]

7) Équations avec \( \ln \)

Méthode

On détermine d’abord le domaine.
On simplifie si nécessaire avec les propriétés.
On utilise la réciprocité ou l’injectivité.

Cas 1 — \(\ln(u(x))=k\)

Après avoir imposé \(u(x)>0\), \[ \ln(u(x))=k \iff u(x)=e^k. \]

Cas 2 — \(\ln(u(x))=\ln(v(x))\)

Après avoir imposé \(u(x)>0\) et \(v(x)>0\), \[ \ln(u(x))=\ln(v(x)) \iff u(x)=v(x). \]

Exemple 1

Résoudre \[ \ln(2x-1)=3. \] Domaine : \[ x>\frac12. \] Puis \[ 2x-1=e^3 \iff x=\frac{e^3+1}{2}. \]

Exemple 2

Résoudre \[ \ln(x)+\ln(x-1)=0. \] Domaine : \(x>1\). Puis \[ \ln(x(x-1))=0 \iff x(x-1)=1 \] \[ x^2-x-1=0 \] donc \[ x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}. \] Avec \(x>1\), on garde \[ \boxed{x=\frac{1+\sqrt5}{2}}. \]

8) Inéquations avec \( \ln \)

Principe

La fonction \( \ln \) est croissante sur \( ]0;+\infty[ \). Donc \[ \ln(a)\le \ln(b)\iff a\le b \] à condition que \(a>0\) et \(b>0\).

Exemple 1

Résoudre \[ \ln(2x-1)>\ln(x). \] Domaine : \[ x>\frac12. \] Puis \[ 2x-1>x \iff x>1. \] Donc \[ \boxed{x\in]1;+\infty[}. \]

Exemple 2

Résoudre \[ \ln(x)\le 2. \] Domaine : \(x>0\). Puis \[ x\le e^2. \] Donc \[ \boxed{x\in]0;e^2]}. \]

9) Inégalité classique

À connaître

Pour tout \(x>0\), \[ \ln(x)\le x-1. \]

Démonstration

On pose \[ \varphi(x)=x-1-\ln(x). \] Alors \[ \varphi'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}. \] Donc \(\varphi\) décroît sur \(]0;1]\) puis croît sur \([1;+\infty[\). Son minimum est atteint en \(x=1\), et vaut \[ \varphi(1)=0. \] Donc \(\varphi(x)\ge 0\), soit \[ \ln(x)\le x-1. \]

10) Fonctions usuelles liées au logarithme

Fonction	Dérivée	Résultat utile
\(x\ln(x)\)	\(\ln(x)+1\)	minimum en \(x=e^{-1}\)
\(\dfrac{\ln(x)}{x}\)	\(\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\)	maximum en \(x=e\)
\(x-\ln(x)\)	\(1-\dfrac1x\)	minimum en \(x=1\)
\(\ln(x)-x\)	\(\dfrac1x-1\)	maximum en \(x=1\)

Exemple détaillé — \(x-\ln(x)\)

\[ h(x)=x-\ln(x),\qquad h'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}. \] Donc \(h\) décroît sur \(]0;1]\), puis croît sur \([1;+\infty[\). Son minimum vaut \[ h(1)=1. \] Ainsi \[ x-\ln(x)\ge 1. \]

11) Mini-formulaire (à connaître)

Formules de base

\[ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \] \[ \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \] \[ \ln(a^r)=r\ln(a) \]

Dérivées / limites

\[ \ln'(x)=\frac1x \] \[ (\ln(u))'=\frac{u'}{u} \] \[ \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty \]

12) Checklist “copie parfaite”

Je commence toujours par le domaine.
Je sais utiliser les propriétés sans inventer de fausses formules.
Je sais dériver \( \ln(x) \) et \( \ln(u(x)) \).
Je n’oublie pas que \( \ln \) est croissante.
Je vérifie toujours les solutions finales.

Dernier rappel : notation FR : intervalles \([a ; b]\), \(]0 ; +\infty[\).