Terminale Spé — Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

Terminale Spécialité Maths • Cours complet premium
\( \ln \) : définition • propriétés • dérivée • équations • inéquations • comparaisons

Sommaire

0) Objectifs 1) Définition & Domaine 2) Valeurs usuelles & Signe 3) Propriétés 4) Dérivée & Variations 5) Limites & Asymptotes 6) Équations 7) Inéquations 8) Comparaisons Bac 9) Graphe & TKZ 10) Pièges

0. Objectifs

Connaître le domaine de \( \ln \) et ses valeurs usuelles.
Utiliser correctement les propriétés : produit, quotient, puissance.
Maîtriser la dérivée et les variations de \( \ln \).
Résoudre des équations et inéquations avec \( \ln \) (niveau Bac).
Savoir comparer des expressions impliquant \( \ln \) avec une méthode fiable.
Lire un tableau de signe et un tableau de variations.

1. Définition • Domaine

La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est définie sur : \[ \boxed{\,]0,+\infty[\,} \] et à valeurs dans \( \mathbb{R} \).

Définition (inverse de l’exponentielle) :
Pour tout \(x>0\), \( \ln(x) \) est l’unique réel \(y\) tel que : \[ \boxed{\,e^{\ln(x)}=x\,} \] et, pour tout \(y\in\mathbb{R}\) : \[ \boxed{\,\ln(e^y)=y\,} \]

⚠️ Réflexe Bac : dès que tu vois \( \ln(\cdots) \), impose : \[ \boxed{\text{argument } > 0} \] Exemple : \( \ln(2x-1) \) exige \(2x-1>0\Rightarrow x>\dfrac12\).

2. Valeurs usuelles • Signe

Valeur	Résultat	Remarque
\(\ln(1)\)	\(0\)	\(e^0=1\)
\(\ln(e)\)	\(1\)	\(e^1=e\)
\(\ln(e^a)\)	\(a\)	\(a\in\mathbb{R}\)
\(e^{\ln(x)}\)	\(x\)	\(x>0\)

Signe de \( \ln(x) \) : \[ \boxed{ \ln(x)<0 \text{ si } 00 \text{ si } x>1 } \]

Tableau de signe de \( \ln(x) \)

\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & +\infty\\ \hline \ln(x) & - & 0 & + \end{array} \] (domaine : \(x>0\)).

3. Propriétés fondamentales

Pour \(a>0\) et \(b>0\) : \[ \boxed{\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)} \qquad \boxed{\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)} \]

Pour \(a>0\) et \(r\in\mathbb{R}\) : \[ \boxed{\ln(a^r)=r\,\ln(a)} \] (en particulier \( \ln(\sqrt{a})=\dfrac12\ln(a) \)).

⚠️ Interdit : \[ \ln(a+b)\neq \ln(a)+\ln(b) \] Le logarithme ne “distribue” pas sur une somme.

Exemple rapide

\[ \ln(12)-\ln(3)=\ln\!\left(\frac{12}{3}\right)=\ln(4)=\ln(2^2)=2\ln(2). \]

4. Dérivée • Variations

Pour tout \(x>0\), \[ \boxed{\ln'(x)=\frac{1}{x}} \]

Comme \( \dfrac{1}{x}>0 \) sur \( ]0,+\infty[ \), la fonction \( \ln \) est strictement croissante sur \( ]0,+\infty[ \).

Tableau de variations de \( \ln(x) \)

\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0^+ & & +\infty \\ \hline \ln'(x) & & + & \\ \hline \ln(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \end{array} \]

Composition utile : si \(u(x)>0\), alors \[ \boxed{(\ln(u(x)))'=\frac{u'(x)}{u(x)}}. \]

Exemple (dérivée)

\[ f(x)=\ln(2x-1)\quad (x>\tfrac12) \qquad\Rightarrow\qquad f'(x)=\frac{2}{2x-1}. \]

5. Limites usuelles • Asymptotes

\[ \boxed{\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty} \qquad \boxed{\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty} \]

Conséquence géométrique : la courbe admet une asymptote verticale : \[ \boxed{x=0} \]

Comparaison de croissance (utile Bac) : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0} \] donc \( \ln(x) \) croît plus lentement que \(x\).

6. Équations avec \( \ln \)

Méthode Bac :

1) Domaine (argument \(>0\)).
2) Propriétés : regrouper/simplifier.
3) Passer à l’exponentielle (inverse).

Exemple 1 — \(\ln(2x-1)=3\)

Domaine : \(x>\dfrac12\).
\[ \ln(2x-1)=3 \iff 2x-1=e^3 \iff x=\frac{e^3+1}{2}. \]

Exemple 2 — \(\ln(x)+\ln(x-1)=0\)

Domaine : \(x>1\).
\[ \ln(x)+\ln(x-1)=\ln(x(x-1))=0 \iff x(x-1)=1 \iff x^2-x-1=0. \] \[ x=\frac{1+\sqrt5}{2}\quad (\text{l’autre solution est }<1). \]

7. Inéquations avec \( \ln \)

\( \ln \) est croissante sur \( ]0,+\infty[ \).
Pour \(a>0\) et \(b>0\) : \[ \boxed{\ln(a)\le \ln(b)\iff a\le b} \]

Exemple — \(\ln(2x-1) > \ln(x)\)

Domaine : \(x>\dfrac12\).
\[ \ln(2x-1)>\ln(x)\iff 2x-1>x \iff x>1. \] Donc \( \boxed{\,]1,+\infty[\,} \).

Exemple — \(\ln(x)\le 2\)

Domaine : \(x>0\).
\[ \ln(x)\le 2 \iff x\le e^2 \] donc \( \boxed{\,]0,e^2]\,} \).

8. Comparaisons (méthodes Bac)

Deux stratégies sûres :

A) Mettre sous la forme \( \ln(A)\le \ln(B) \) puis comparer \(A\) et \(B\) (avec domaines).
B) Étudier une différence \(f(x)=\ln(x)-g(x)\) (variations + signe).

Inégalité classique : \(\ln(x)\le x-1\) (pour \(x>0\))

Poser \(\phi(x)=x-1-\ln(x)\) sur \(]0,+\infty[\).
\[ \phi'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x} \] donc \(\phi\) a un minimum en \(1\) et \(\phi(1)=0\). Ainsi \(\phi(x)\ge0\) : \[ \boxed{\forall x>0,\ \ln(x)\le x-1}. \]

9. Courbe de \( \ln \) : repères + graphe

Repères : \[ \boxed{\ln(1)=0}\Rightarrow (1,0)\qquad;\qquad \boxed{\ln(e)=1}\Rightarrow (e,1) \] Asymptote verticale : \(\boxed{x=0}\).

Lecture “graphique” (schéma analytique)

\[ \begin{array}{l} \text{Domaine : } x>0 \\ \text{Asymptote : } x=0,\quad \ln(x)\to-\infty \text{ quand } x\to0^+ \\ \text{Variations : }\ \ln \text{ croissante sur } ]0,+\infty[ \\ \text{Points : } (1,0),\ (e,1) \\ \text{Croissance lente : } \dfrac{\ln(x)}{x}\to 0 \text{ quand } x\to+\infty \end{array} \]

BONUS — Code LaTeX TKZ (tableaux + graphe “beau”) à compiler

⚠️ TKZ/PGFPLOTS ne se rend pas dans MathJax. Compile ce code en PDF (LuaLaTeX / pdfLaTeX), puis intègre le PDF ou une image dans ton chapitre.

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\usepackage{geometry}
\geometry{margin=1.6cm}

\begin{document}

\section*{Fonction logarithme népérien : tableaux + graphe}

% Tableau de signe de ln(x)
\[
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.4,espcl=2.2]{$x$/1,$\ln(x)$/1.2}{$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\]

% Tableau de variations de ln(x)
\[
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.4,espcl=2.2]{$x$/1,$\ln'(x)$/1,$\ln(x)$/1.8}{$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$, +/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\]

% Graphe (PGFPLOTS)
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
  axis lines=middle,
  xlabel={$x$}, ylabel={$y$},
  xmin=-0.5, xmax=6,
  ymin=-4, ymax=3,
  samples=250,
  domain=0.05:6,
  width=12cm, height=7cm,
  grid=both,
  minor tick num=1,
]
\addplot {ln(x)};
\addplot[dashed] coordinates {(0,-4) (0,3)}; % asymptote x=0
\addplot[only marks] coordinates {(1,0) (2.7182818,1)};
\node[below right] at (axis cs:1,0) {$ (1,0)$};
\node[above right] at (axis cs:2.7182818,1) {$ (e,1)$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}

10. Pièges classiques

Oublier le domaine : \( \ln(u(x)) \) exige \(u(x)>0\).
Écrire \( \ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b) \) (FAUX).
Résoudre \( \ln(u)=\ln(v) \) sans imposer \(u>0\) et \(v>0\).
Transformer \( \ln(u)\le \ln(v) \) sans vérifier \(u,v>0\).
Oublier que \( \ln \) est croissante (donc on garde le sens).

Réflexe : « Je pose le domaine, puis j’applique les propriétés/la croissance. »