Quiz SOLID Bac — Fonction logarithme népérien : domaine • dérivée • équations • inéquations • variations • paramètres (30 questions)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Type Bac • solide • réponses exactes • toujours vérifier le domaine.
Q2. Donner l’ensemble de définition de \(f(x)=\ln(2x-5)\).
Non vérifié
Indice
\(\ln(u)\) impose \(u>0\).
Correction
On exige \(2x-5>0\Rightarrow x>\dfrac{5}{2}\). Donc \(D_f=\left]\dfrac{5}{2},+\infty\right[\).
Q3. Donner le domaine de \(g(x)=\ln(x^2-9)\).
Non vérifié
Indice
Résoudre \((x-3)(x+3)>0\).
Correction
\(x^2-9>0\iff (x-3)(x+3)>0\Rightarrow x<-3\) ou \(x>3\).
Q4. Donner le domaine de \(h(x)=\ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)\).
Non vérifié
Indice
Fraction > 0 : étude de signe (points -2 et 1).
Correction
On veut \(\dfrac{x-1}{x+2}>0\) (et \(x\ne-2\)). Signe : positif sur \(]-\infty,-2[\cup]1,+\infty[\).
Q5. Résoudre : \(\ln(x)=0\).
Non vérifié
Indice
\(\ln(1)=0\).
Correction
Domaine : \(x>0\). \(\ln(x)=0\iff x=e^0=1\).
Q6. Simplifier : \(\ln(12)-\ln(3)\).
Non vérifié
Indice
\(\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)\).
Correction
\(\ln(12)-\ln(3)=\ln(4)=2\ln(2)\).
Q7. Simplifier : \(\ln(\sqrt{x})\) pour \(x>0\).
Non vérifié
Indice
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) et \(\ln(x^a)=a\ln(x)\).
Correction
\(\ln(\sqrt{x})=\ln(x^{1/2})=\dfrac12\ln(x)\).
Q8. Simplifier : \(\ln\left(\dfrac{e^3}{x}\right)\) (avec \(x>0\)).
Non vérifié
Indice
\(\ln(A/B)=\ln(A)-\ln(B)\) et \(\ln(e^3)=3\).
Correction
\(\ln(e^3/x)=\ln(e^3)-\ln(x)=3-\ln(x)\).
Q9. Vrai ou faux : \(\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)\) pour \(a,b>0\).
Non vérifié
Indice
Le logarithme ne “distribue” pas sur une somme.
Correction
Faux : seule la propriété sur le produit/quotient existe. \(\ln(a+b)\) ne se simplifie pas.
Q10. Dériver \(f(x)=\ln(3x-1)\) et donner son domaine.
Non vérifié
Indice
Domaine : \(3x-1>0\). Puis \((\ln u)'=u'/u\).
Correction
Domaine : \(x>\dfrac13\). Dérivée : \(f'(x)=\dfrac{3}{3x-1}\).
Q11. Dériver \(g(x)=\ln(x^2+1)\).
Non vérifié
Indice
Ici \(x^2+1>0\) toujours.
Correction
\(g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).
Q12. Dériver \(h(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)\) (sur son domaine).
Non vérifié
Indice
Poser \(u=(x-1)/(x+2)\), puis \((\ln u)'=u'/u\).
Correction
On obtient \(h'(x)=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}\) sur le domaine \(x\in]-\infty,-2[\cup]1,+\infty[\).
Q13. Équation de la tangente à \(y=\ln(x)\) au point d’abscisse \(1\).
Non vérifié
Indice
Tangente : \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\) avec \(a=1\).
Correction
\(f(1)=0\), \(f'(1)=1\). Donc \(y=0+1(x-1)=x-1\).
Q14. Sur \(]0,+\infty[\), \(\ln\) est : (croissante / décroissante).
Non vérifié
Indice
\(\ln'(x)=1/x>0\) si \(x>0\).
Correction
Strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
Q15. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)\).
Non vérifié
Indice
Asymptote verticale en \(x=0\).
Correction
\(\ln(x)\to-\infty\) quand \(x\to0^+\).
Q16. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}\).
Non vérifié
Indice
\(\ln(x)\) est négligeable devant \(x\).
Correction
Limite classique : \(\dfrac{\ln(x)}{x}\to0\).
Q17. Étudier \(f(x)=\ln(x)-x\) sur \(]0,+\infty[\) : abscisse du maximum.
Non vérifié
Indice
\(f'(x)=1/x-1\).
Correction
\(f'(x)=\dfrac{1-x}{x}\) donc maximum en \(x=1\).
Q18. Résoudre sur son domaine : \(\ln(2x-1)=\ln(5)\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(2x-1>0\), puis égalité des arguments.
Correction
Domaine \(x>\frac12\). \(2x-1=5\Rightarrow x=3\).
Q19. Résoudre : \(\ln(x)=2\).
Non vérifié
Indice
Inverse : \(\ln(x)=a\iff x=e^a\).
Correction
Solution : \(x=e^2\) (avec \(x>0\)).
Q20. Résoudre sur son domaine : \(\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(3)\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(x>2\). Regrouper : \(\ln(x(x-2))\).
Correction
Domaine \(x>2\). \(x(x-2)=3\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=3\) (\(-1\) exclu).
Q21. Résoudre : \(\ln(x^2-1)=0\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(x^2-1>0\). Puis \(\ln(A)=0\iff A=1\).
Correction
Domaine : \(x<-1\) ou \(x>1\). \(\ln(x^2-1)=0\iff x^2-1=1\iff x^2=2\iff x=\pm\sqrt2\) (ok dans le domaine).
Q22. Résoudre : \(\ln(x)\ge 0\).
Non vérifié
Indice
\(\ln\) croissante et \(\ln(1)=0\).
Correction
Sur \(x>0\), \(\ln(x)\ge0\iff x\ge1\).
Q23. Résoudre : \(\ln(2x-1)\le 3\).
Non vérifié
Indice
Domaine \(2x-1>0\), puis croissance : \(2x-1\le e^3\).
Correction
Domaine : \(x>\frac12\). Inéquation : \(2x-1\le e^3\Rightarrow x\le\frac{e^3+1}{2}\). Donc \(x\in]\frac12,\frac{e^3+1}{2}]\).
Q24. Résoudre : \(\ln(x)\le \ln(3x-2)\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(x>0\) et \(3x-2>0\Rightarrow x>2/3\).
Correction
Sur le domaine \(x>\frac23\), \(\ln\) croissante : \(x\le 3x-2\iff x\ge1\). Donc \([1,+\infty[\).
Q25. Résoudre : \(\ln(x-1)>\ln(2-x)\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(x-1>0\) et \(2-x>0\). Puis comparer les arguments.
Correction
Domaine : \(x\in]1,2[\). Croissance : \(x-1>2-x\iff 2x>3\iff x>\frac32\). Donc \(x\in]\frac32,2[\).
Q26. Résoudre : \(\ln(x)\le x-1\) pour \(x>0\).
Non vérifié
Indice
Étudier \(\phi(x)=x-1-\ln(x)\).
Correction
Poser \(\phi(x)=x-1-\ln(x)\) sur \(]0,+\infty[\). \(\phi'(x)=1-1/x=(x-1)/x\), minimum en \(1\), \(\phi(1)=0\), donc \(\phi(x)\ge0\). Ainsi \(\ln(x)\le x-1\) pour tout \(x>0\).
Q27. Sur \(]0,+\infty[\), donner le signe de \(\varphi(x)=\ln(x)-\dfrac{x-1}{x}\).
Non vérifié
Indice
Dériver : \(\varphi'(x)=\dfrac{x-1}{x^2}\), puis \(\varphi(1)=0\).
Correction
\(\varphi'(x)=\dfrac{x-1}{x^2}\) donc minimum en \(x=1\). Or \(\varphi(1)=0\). Donc \(\varphi(x)\ge 0\) pour tout \(x>0\).
Q28. Résoudre (sur \(]0,+\infty[\)) : \(\ln(x)=a\) (a réel).
Non vérifié
Indice
Inverse de \(\ln\) : exponentielle.
Correction
Pour tout réel \(a\), \(\ln(x)=a\iff x=e^a\).
Q29. Résoudre : \(\ln(x) = \ln(2-x)\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(x>0\) et \(2-x>0\Rightarrow x<2\). Puis égalité des arguments.
Correction
Domaine : \(x\in]0,2[\). \(\ln(x)=\ln(2-x)\iff x=2-x\iff x=1\).
Q30. Résoudre : \(\ln(x)=x\). (donner la(les) solution(s) exacte(s) si possible)
Non vérifié
Indice
Étudier \(f(x)=\ln(x)-x\) : maximum en \(1\) vaut \(-1\).
Correction
Poser \(f(x)=\ln(x)-x\) sur \(]0,+\infty[\). Maximum en \(x=1\) et \(f(1)=-1<0\). Donc \(f(x)<0\) pour tout \(x>0\) : aucune solution.
Q31. Discuter le nombre de solutions de \(\ln(x)=ax\) sur \(]0,+\infty[\) selon \(a\). (répondre : \(a\le0:1\ ;\ 0e^{-1}:0\))
Non vérifié
Indice
Étudier \(\psi(x)=\ln(x)-ax\). Si \(a>0\), maximum en \(x=1/a\) de valeur \(-\ln(a)-1\).
Correction
Poser \(\psi(x)=\ln(x)-ax\). \(\psi'(x)=\frac{1}{x}-a\).
- Si \(a\le0\), \(\psi'\!>0\) donc 1 solution.
- Si \(a>0\), maximum en \(x=1/a\) : \(\psi(1/a)=-\ln(a)-1\). Alors :
• si \(ae^{-1}\) : 0 solution.
Bilan demandé : \(a\le0:1;\ 0e^{-1}:0\).
Clavier