Quiz combiné SOLID + BAC — Fonction logarithme népérien

30 questions solides et avancées : domaine • propriétés • dérivée • limites • variations • équations • inéquations • optimisation • paramètres. Toujours vérifier le domaine avant de répondre.
Quiz combiné SOLID + BAC — Fonction logarithme népérien

30 questions solides et avancées : domaine • propriétés • dérivée • limites • variations • équations • inéquations • optimisation • paramètres. Toujours vérifier le domaine avant de répondre.

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Q1. Donner l’ensemble de définition de \(f(x)=\ln(2x-5)\). Non vérifié
Indice
\(\ln(u)\) impose \(u>0\).
Correction
On exige \(2x-5>0\Rightarrow x>\dfrac{5}{2}\). Donc \(D_f=\left]\dfrac{5}{2},+\infty\right[\).
Q2. Donner le domaine de \(g(x)=\ln(x^2-9)\). Non vérifié
Indice
Résoudre \((x-3)(x+3)>0\).
Correction
\(x^2-9>0\iff (x-3)(x+3)>0\Rightarrow x<-3\) ou \(x>3\).
Q3. Donner le domaine de \(h(x)=\ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)\). Non vérifié
Indice
Fraction > 0 : étude de signe aux points critiques \(-2\) et \(1\).
Correction
On veut \(\dfrac{x-1}{x+2}>0\) avec \(x\neq -2\). La fraction est positive quand numérateur et dénominateur sont de même signe, donc sur \(]-\infty,-2[\cup]1,+\infty[\).
Q4. Donner le domaine de \(\ln(x^2-5x+6)\). Non vérifié
Indice
Factoriser \(x^2-5x+6\).
Correction
\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). On veut \((x-2)(x-3)>0\), donc à l’extérieur des racines : \(x<2\) ou \(x>3\).
Q5. Résoudre : \(\ln(x)=0\). Non vérifié
Indice
\(\ln(1)=0\).
Correction
Sur le domaine \(x>0\), on a \(\ln(x)=0\iff x=e^0=1\).
Q6. Simplifier : \(\ln(12)-\ln(3)\). Non vérifié
Indice
\(\ln(a)-\ln(b)=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)\).
Correction
\(\ln(12)-\ln(3)=\ln(12/3)=\ln(4)=2\ln(2)\).
Q7. Simplifier : \(\ln(\sqrt{x})\) pour \(x>0\). Non vérifié
Indice
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) puis \(\ln(x^a)=a\ln(x)\).
Correction
\(\ln(\sqrt{x})=\ln(x^{1/2})=\dfrac12\ln(x)\).
Q8. Simplifier : \(\ln\left(\dfrac{e^3}{x}\right)\) avec \(x>0\). Non vérifié
Indice
\(\ln(A/B)=\ln(A)-\ln(B)\).
Correction
\(\ln(e^3/x)=\ln(e^3)-\ln(x)=3-\ln(x)\).
Q9. Vrai ou faux : \(\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)\) pour \(a,b>0\). Non vérifié
Indice
Le logarithme ne distribue pas sur une somme.
Correction
C’est faux. On a des propriétés pour le produit, le quotient et les puissances, mais pas pour une somme.
Q10. Compléter : pour \(x\neq 0\), \(\ln(x^2)=\ ?\) Non vérifié
Indice
Attention : \(x\) peut être négatif.
Correction
Comme \(x^2>0\) pour \(x\neq 0\), on peut écrire \(x^2=(|x|)^2\), donc \(\ln(x^2)=2\ln(|x|)\).
Q11. Donner le domaine de \(f(x)=\ln(3x-1)\). Non vérifié
Indice
On doit avoir \(3x-1>0\).
Correction
On exige \(3x-1>0\Rightarrow x>\dfrac13\). Donc le domaine est \(]1/3;+\infty[\).
Q12. Dériver \(f(x)=\ln(3x-1)\). Non vérifié
Indice
Utiliser \((\ln u)'=u'/u\).
Correction
Avec \(u(x)=3x-1\), on a \(u'(x)=3\), donc \(f'(x)=\dfrac{3}{3x-1}\).
Q13. Dériver \(g(x)=\ln(x^2+1)\). Non vérifié
Indice
\((\ln u)'=u'/u\).
Correction
Comme \(x^2+1>0\) pour tout réel \(x\), la fonction est définie sur \(\mathbb{R}\), et \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).
Q14. Dériver \(h(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)\) sur son domaine. Non vérifié
Indice
Poser \(u=\dfrac{x-1}{x+2}\), puis \((\ln u)'=u'/u\).
Correction
On pose \(u(x)=\dfrac{x-1}{x+2}\). Alors \(u'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}\), donc \(h'(x)=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}\).
Q15. Dériver \(\ln(x^2+3x+1)\). Non vérifié
Indice
Ici encore : \((\ln u)'=u'/u\).
Correction
Avec \(u(x)=x^2+3x+1\), on a \(u'(x)=2x+3\), donc \(\dfrac{u'}{u}=\dfrac{2x+3}{x^2+3x+1}\).
Q16. Équation de la tangente à \(y=\ln(x)\) au point d’abscisse \(1\). Non vérifié
Indice
Utiliser \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\).
Correction
Pour \(f(x)=\ln(x)\), on a \(f(1)=0\) et \(f'(1)=1\). Donc la tangente est \(y=0+1(x-1)=x-1\).
Q17. Sur \(]0;+\infty[\), la fonction \(\ln\) est-elle croissante ou décroissante ? Non vérifié
Indice
Étudier le signe de \(\ln'(x)\).
Correction
Comme \(\ln'(x)=\dfrac1x>0\) pour tout \(x>0\), la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
Q18. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)\). Non vérifié
Indice
Il y a une asymptote verticale en \(x=0\).
Correction
Quand \(x\to0^+\), on s’approche de 0 par valeurs positives, et \(\ln(x)\to -\infty\).
Q19. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}\). Non vérifié
Indice
Comparer les croissances.
Correction
La fonction \(\ln(x)\) croît beaucoup plus lentement que \(x\). Donc \(\dfrac{\ln(x)}{x}\to0\).
Q20. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+} x\ln(x)\). Non vérifié
Indice
Écrire \(x\ln(x)=\dfrac{\ln(x)}{1/x}\).
Correction
Sous la forme quotient, on a \(\dfrac{\ln(x)}{1/x}\). Quand \(x\to0^+\), c’est une forme \(\dfrac{-\infty}{+\infty}\), et la limite vaut 0.
Q21. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}\). Non vérifié
Indice
C’est une limite usuelle.
Correction
On sait que \(\ln(1+x)\sim x\) lorsque \(x\to0\). Donc \(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to1\).
Q22. Étudier \(f(x)=\ln(x)-x\) sur \(]0;+\infty[\) : donner l’abscisse du maximum. Non vérifié
Indice
Calculer \(f'(x)\).
Correction
\(f'(x)=\dfrac1x-1=\dfrac{1-x}{x}\). Cette dérivée s’annule en \(x=1\), est positive avant 1 et négative après 1, donc \(f\) admet un maximum en \(x=1\).
Q23. Donner la valeur minimale de \(x-\ln(x)\) sur \(]0;+\infty[\). Non vérifié
Indice
Étudier \(f(x)=x-\ln(x)\).
Correction
\(f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}\), donc minimum en \(x=1\). Sa valeur minimale est \(f(1)=1-0=1\).
Q24. Donner la valeur maximale de \(\dfrac{\ln(x)}{x}\) sur \(]0;+\infty[\). Non vérifié
Indice
Étudier la dérivée de \(u(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\).
Correction
\(u'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\). Donc \(u'(x)=0\iff \ln(x)=1\iff x=e\). La valeur maximale vaut alors \(u(e)=\dfrac{1}{e}\).
Q25. Sur \(]0;+\infty[\), donner le signe de \(\varphi(x)=\ln(x)-\dfrac{x-1}{x}\). Non vérifié
Indice
Étudier \(\varphi'(x)\) puis \(\varphi(1)\).
Correction
\(\varphi'(x)=\dfrac{x-1}{x^2}\). Donc \(\varphi\) décroît sur \(]0;1]\) puis croît sur \([1;+\infty[\). Son minimum est atteint en \(x=1\), et \(\varphi(1)=0\). Donc \(\varphi(x)\ge0\).
Q26. Résoudre : \(\ln(x)\le x-1\) pour \(x>0\). Non vérifié
Indice
Poser \(\phi(x)=x-1-\ln(x)\).
Correction
On considère \(\phi(x)=x-1-\ln(x)\). On montre que \(\phi\) admet un minimum en \(x=1\), avec \(\phi(1)=0\). Donc \(\phi(x)\ge0\), soit \(\ln(x)\le x-1\) pour tout \(x>0\).
Q27. Résoudre sur son domaine : \(\ln(2x-1)=\ln(5)\). Non vérifié
Indice
Égalité de logarithmes = égalité des arguments.
Correction
Le domaine impose \(2x-1>0\iff x>\dfrac12\). Puis \(\ln(2x-1)=\ln(5)\iff 2x-1=5\iff x=3\), qui appartient au domaine.
Q28. Résoudre : \(\ln(x)=2\). Non vérifié
Indice
Appliquer l’exponentielle.
Correction
La fonction exponentielle est la réciproque du logarithme népérien : \(\ln(x)=2\iff x=e^2\).
Q29. Résoudre sur son domaine : \(\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(3)\). Non vérifié
Indice
Regrouper les logarithmes.
Correction
Le domaine impose \(x>2\). On a \(\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(x(x-2))\), donc \(x(x-2)=3\). Cela donne \(x^2-2x-3=0\iff (x-3)(x+1)=0\). Seule la solution \(x=3\) convient.
Q30. Résoudre sur \(]0;+\infty[\) : \(\ln(x)=x-1\). Non vérifié
Indice
Utiliser l’inégalité classique \(\ln(x)\le x-1\).
Correction
Pour tout \(x>0\), on sait que \(\ln(x)\le x-1\), avec égalité seulement pour \(x=1\). Donc l’unique solution de \(\ln(x)=x-1\) est \(x=1\).