Quiz SOLID Bac — Fonction logarithme népérien : domaine • dérivée • équations • inéquations • variations • paramètres (30 questions)
Réponds puis clique Vérifier (ou Tout vérifier). Type Bac • solide • réponses exactes • toujours vérifier le domaine.
Exercice 1. Donner l’ensemble de définition de \(f(x)=\ln(2x-5)\).
Non vérifié
Indice
\(\ln(u)\) impose \(u>0\).
Exercice 2. Donner le domaine de \(g(x)=\ln(x^2-9)\).
Non vérifié
Indice
Résoudre \((x-3)(x+3)>0\).
Exercice 3. Donner le domaine de \(h(x)=\ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)\).
Non vérifié
Indice
Fraction > 0 : étude de signe (points -2 et 1).
Exercice 4. Résoudre : \(\ln(x)=0\).
Non vérifié
Indice
\(\ln(1)=0\).
Exercice 5. Simplifier : \(\ln(12)-\ln(3)\).
Non vérifié
Indice
\(\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)\).
Exercice 6. Simplifier : \(\ln(\sqrt{x})\) pour \(x>0\).
Non vérifié
Indice
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) et \(\ln(x^a)=a\ln(x)\).
Exercice 7. Simplifier : \(\ln\left(\dfrac{e^3}{x}\right)\) (avec \(x>0\)).
Non vérifié
Indice
\(\ln(A/B)=\ln(A)-\ln(B)\) et \(\ln(e^3)=3\).
Exercice 8. Vrai ou faux : \(\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)\) pour \(a,b>0\).
Non vérifié
Indice
Le logarithme ne “distribue” pas sur une somme.
Exercice 9. Dériver \(f(x)=\ln(3x-1)\) et donner son domaine.
Non vérifié
Indice
Domaine : \(3x-1>0\). Puis \((\ln u)'=u'/u\).
Exercice 10. Dériver \(g(x)=\ln(x^2+1)\).
Non vérifié
Indice
Ici \(x^2+1>0\) toujours.
Exercice 11. Dériver \(h(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)\) (sur son domaine).
Non vérifié
Indice
Poser \(u=(x-1)/(x+2)\), puis \((\ln u)'=u'/u\).
Exercice 12. Équation de la tangente à \(y=\ln(x)\) au point d’abscisse \(1\).
Non vérifié
Indice
Tangente : \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\) avec \(a=1\).
Exercice 13. Sur \(]0,+\infty[\), \(\ln\) est : (croissante / décroissante).
Non vérifié
Indice
\(\ln'(x)=1/x>0\) si \(x>0\).
Exercice 14. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)\).
Non vérifié
Indice
Asymptote verticale en \(x=0\).
Exercice 15. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}\).
Non vérifié
Indice
\(\ln(x)\) est négligeable devant \(x\).
Exercice 16. Étudier \(f(x)=\ln(x)-x\) sur \(]0,+\infty[\) : abscisse du maximum.
Non vérifié
Indice
\(f'(x)=1/x-1\).
Exercice 17. Résoudre sur son domaine : \(\ln(2x-1)=\ln(5)\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(2x-1>0\), puis égalité des arguments.
Exercice 18. Résoudre : \(\ln(x)=2\).
Non vérifié
Indice
Inverse : \(\ln(x)=a\iff x=e^a\).
Exercice 19. Résoudre sur son domaine : \(\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(3)\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(x>2\). Regrouper : \(\ln(x(x-2))\).
Exercice 20. Résoudre : \(\ln(x^2-1)=0\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(x^2-1>0\). Puis \(\ln(A)=0\iff A=1\).
Exercice 21. Résoudre : \(\ln(x)\ge 0\).
Non vérifié
Indice
\(\ln\) croissante et \(\ln(1)=0\).
Exercice 22. Résoudre : \(\ln(2x-1)\le 3\).
Non vérifié
Indice
Domaine \(2x-1>0\), puis croissance : \(2x-1\le e^3\).
Exercice 23. Résoudre : \(\ln(x)\le \ln(3x-2)\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(x>0\) et \(3x-2>0\Rightarrow x>2/3\).
Exercice 24. Résoudre : \(\ln(x-1)>\ln(2-x)\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(x-1>0\) et \(2-x>0\). Puis comparer les arguments.
Exercice 25. Résoudre : \(\ln(x)\le x-1\) pour \(x>0\).
Non vérifié
Indice
Étudier \(\phi(x)=x-1-\ln(x)\).
Exercice 26. Sur \(]0,+\infty[\), donner le signe de \(\varphi(x)=\ln(x)-\dfrac{x-1}{x}\).
Non vérifié
Indice
Dériver : \(\varphi'(x)=\dfrac{x-1}{x^2}\), puis \(\varphi(1)=0\).
Exercice 27. Résoudre (sur \(]0,+\infty[\)) : \(\ln(x)=a\) (a réel).
Non vérifié
Indice
Inverse de \(\ln\) : exponentielle.
Exercice 28. Résoudre : \(\ln(x) = \ln(2-x)\).
Non vérifié
Indice
Domaine : \(x>0\) et \(2-x>0\Rightarrow x<2\). Puis égalité des arguments.
Exercice 29. Résoudre : \(\ln(x)=x\). (donner la(les) solution(s) exacte(s) si possible)
Non vérifié
Indice
Étudier \(f(x)=\ln(x)-x\) : maximum en \(1\) vaut \(-1\).
Exercice 30. Discuter le nombre de solutions de \(\ln(x)=ax\) sur \(]0,+\infty[\) selon \(a\). (répondre : \(a\le0:1\ ;\ 0e^{-1}:0\))
Non vérifié
Indice
Étudier \(\psi(x)=\ln(x)-ax\). Si \(a>0\), maximum en \(x=1/a\) de valeur \(-\ln(a)-1\).