- Une série à deux variables est un ensemble de couples \((x_i ; y_i)\).
- On cherche à décrire et parfois modéliser \(y\) en fonction de \(x\).
- Le premier outil est le nuage de points.
- Un ajustement affine est pertinent seulement si les points sont globalement alignés.
- Une corrélation forte n’implique pas une relation de cause à effet.
\(x\) augmente ⟹ \(y\) augmente globalement.
Ajustement affine souvent pertinent.
\(x\) augmente ⟹ \(y\) diminue globalement.
Ajustement affine possible (pente négative).
Points très dispersés.
Modèle affine peu pertinent.
Courbe (parabole, saturation, exponentielle…).
Une droite peut être trompeuse.
On modélise par une droite : \[ y \approx ax + b \]
- Pente \(a\) : variation moyenne de \(y\) quand \(x\) augmente de 1.
- Ordonnée à l’origine \(b\) : valeur modélisée de \(y\) pour \(x = 0\) (à interpréter seulement si \(x=0\) a un sens).
En choisissant deux points \(A(x_1 ; y_1)\) et \(B(x_2 ; y_2)\) : \[ a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \qquad b=y_1-ax_1 \]
Méthode approximative mais acceptée si elle est cohérente avec le nuage.
- La droite de régression est calculée par la méthode des moindres carrés.
- On sait utiliser l’équation \(y=ax+b\) fournie.
- On fait des prévisions avec prudence.
\(x\) est dans l’intervalle observé.
Prévision généralement fiable.
\(x\) est en dehors des données.
Toujours signaler l’incertitude.
Le coefficient de corrélation \(r\) vérifie : \[ -1 \le r \le 1 \]
- \(r \approx 1\) : forte corrélation positive.
- \(r \approx -1\) : forte corrélation négative.
- \(r \approx 0\) : absence de corrélation linéaire marquée.
Corrélation élevée ≠ causalité. Un lien peut être dû à une variable cachée ou à une simple coïncidence.
- Décrire l’allure du nuage (croissante, décroissante, non linéaire…).
- Dire si un ajustement affine est pertinent.
- Donner ou utiliser l’équation \(y=ax+b\).
- Préciser interpolation ou extrapolation.
- Conclure avec esprit critique (corrélation ≠ causalité).
- Conclure trop fortement à partir d’une extrapolation.
- Interpréter \(b\) alors que \(x=0\) n’a aucun sens réel.
- Dire “pas de lien” parce que \(r \approx 0\).
- Confondre corrélation et causalité.