Exercices premium — Statistiques à deux variables
8 exercices (progressifs + pièges) avec corrigés détaillés : nuage, ajustement affine,
régression, corrélation, interpolation/extrapolation, esprit critique.
Exercice 1 — Ajustement affine “à la main” (piège unités)
On étudie l’effet du temps de révision \(x\) (en heures) sur la note \(y\) (sur 20). On a relevé les couples \((x ; y)\) suivants :
| \(x\) (h) | 2 | 3 | 5 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) (/20) | 7 | 9 | 12 | 13 | 16 | 18 |
- Décrire la tendance globale du nuage (sans calcul).
- On choisit \(A(2 ; 7)\) et \(B(10 ; 18)\) pour une droite d’ajustement. Calculer \(a\) et \(b\), puis donner un modèle \(y \approx ax+b\).
- Interpréter \(a\) dans le contexte (en précisant l’unité).
- Estimer la note pour \(x=7\). Dire si c’est interpolation ou extrapolation.
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Astuce : pente \(a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\), puis \(b=y-ax\).
Corrigé
- Tendance croissante : quand \(x\) augmente, \(y\) augmente globalement.
- \[ a=\frac{18-7}{10-2}=\frac{11}{8}=1{,}375 \qquad b=7-1{,}375\times 2=7-2{,}75=4{,}25 \] Donc \(y \approx 1{,}375x + 4{,}25\).
- \(a \approx 1{,}375\) signifie : 1 heure de révision en plus correspond en moyenne à environ 1,38 point de plus sur 20.
- \[ \widehat{y}=1{,}375\times 7+4{,}25=9{,}625+4{,}25=13{,}875\approx 13{,}9 \] Comme \(7\in[2;10]\), c’est une interpolation.
Exercice 2 — Régression linéaire : prévisions et limites
Une calculatrice fournit, à partir de données de consommation d’un véhicule, la droite de régression : \[ y = 0{,}62x + 4{,}1 \] où \(x\) est la vitesse (en dizaines de km/h) et \(y\) la consommation (en L/100 km). Les données observées correspondent à \(x \in [5; 13]\) (soit de 50 à 130 km/h).
- Interpréter \(a=0{,}62\) dans le contexte.
- Estimer la consommation à 90 km/h.
- Un élève estime la consommation à 170 km/h avec ce modèle. Expliquer précisément le problème.
- Donner une phrase “Bac” correcte pour conclure sur la fiabilité à 170 km/h.
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Astuce : \(x\) est en dizaines de km/h (90 km/h ⟹ \(x=9\)).
Corrigé
- \(x\) augmente de 1 quand la vitesse augmente de 10 km/h. Donc +10 km/h ⟹ +0,62 L/100 km (en moyenne).
- 90 km/h ⟹ \(x=9\). \[ y=0{,}62\times 9+4{,}1=5{,}58+4{,}1=9{,}68 \] Donc \(\approx 9{,}7\) L/100 km (interpolation car \(9\in[5;13]\)).
- 170 km/h ⟹ \(x=17\) qui n’appartient pas à \([5;13]\). C’est une extrapolation : le comportement du véhicule peut changer (aérodynamique, régime moteur…), la droite peut devenir fausse.
- “L’estimation à 170 km/h est une extrapolation hors du domaine des données \([50;130]\) km/h : elle est donc peu fiable et doit être prise avec prudence.”
Exercice 3 — Corrélation faible… mais lien évident (non linéaire)
On observe les couples \((x ; y)\) suivants : \[ (-3 ; 9),\, (-2 ; 4),\, (-1 ; 1),\, (0 ; 0),\, (1 ; 1),\, (2 ; 4),\, (3 ; 9) \]
- Sans calcul, quelle relation simple semble relier \(x\) et \(y\) ?
- Expliquer pourquoi un ajustement affine est inadapté.
- Que peut-on dire d’un coefficient de corrélation \(r\) calculé sur ces données ?
- Conclure : “\(r\) proche de 0” signifie-t-il “aucun lien” ?
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Astuce : un lien fort peut être non linéaire (ex : \(y=x^2\)).
Corrigé
- On reconnaît \(y=x^2\).
- Le nuage forme une courbe (parabole), pas un alignement : une droite décrit mal la tendance.
- Par symétrie, une corrélation linéaire peut être proche de 0.
- Non : \(r\approx 0\) indique seulement une absence de lien linéaire marqué. Ici le lien est fort mais non linéaire.
Exercice 4 — Valeur aberrante : faut-il l’enlever ?
On mesure \(x\) = âge (en années) et \(y\) = prix (en milliers d’euros) d’un modèle de téléphone d’occasion. Données :
| \(x\) | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 0,62 | 0,58 | 0,44 | 0,41 | 0,31 | 0,28 | 1,20 |
- Décrire la tendance globale en ignorant le dernier point \((4 ; 1{,}20)\).
- Pourquoi \((4 ; 1{,}20)\) est-il suspect ? Donner 2 hypothèses réalistes.
- Expliquer l’effet probable de ce point sur la droite de régression et sur \(r\).
- Proposer une démarche “propre” (esprit critique) avant d’enlever ce point.
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Astuce : un outlier peut “tirer” la droite et faire chuter \(|r|\).
Corrigé
- Sans le dernier point : tendance décroissante (plus l’âge augmente, plus le prix baisse).
- Il contredit la tendance. Hypothèses : (i) erreur de saisie (1,20 au lieu de 0,20), (ii) modèle différent / “édition rare”, (iii) prix neuf ou lot avec accessoires.
- Il tire la droite vers le haut à \(x=4\) : pente moins négative voire positive, et il peut fortement diminuer \(|r|\) (nuage moins aligné).
- Vérifier la source : même modèle ? même unité ? erreur de virgule ? justificatifs ? Puis décider : soit correction, soit séparation en deux séries, soit maintien avec commentaire.
Exercice 5 — Deux modèles : lequel choisir ?
On modélise une relation entre \(x\) (en années) et \(y\) (en milliers d’€). Deux ajustements sont proposés :
Modèle A
\(\;y = -1{,}8x + 22{,}0\)
Corrélation : \(r = -0{,}93\)
Modèle B
\(\;y = -2{,}1x + 25{,}5\)
Corrélation : \(r = -0{,}96\)
Les données observées correspondent à \(x \in [3; 7]\).
- Quel modèle semble le plus “aligné” au sens de la corrélation ?
- Estimer \(y\) pour \(x=5\) avec chaque modèle.
- Peut-on choisir le modèle uniquement parce que \(|r|\) est plus grand ? Expliquer.
- Donner 2 critères supplémentaires (concrets) pour départager A et B.
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Astuce : \(|r|\) aide, mais on doit aussi regarder les résidus et le domaine.
Corrigé
- \(|r_B|=0,96\) est un peu plus grand : nuage a priori un peu plus proche d’une droite pour B.
- \(x=5\) : \[ y_A=-1{,}8\times 5 + 22 = -9 + 22 = 13 \] \[ y_B=-2{,}1\times 5 + 25{,}5 = -10{,}5 + 25{,}5 = 15 \]
- Non : \(r\) mesure l’alignement global mais ne garantit pas la pertinence contextuelle (unités, sens de \(b\), cohérence avec la situation, outliers, domaine, etc.).
- Exemples de critères : (i) vérifier les résidus (écarts aux points), (ii) cohérence de \(b\) avec \(x=0\), (iii) performance sur des données de test, (iv) stabilité si on enlève un outlier.
Exercice 6 — Inversion des variables : attention au sens
On étudie la relation entre \(x\) = température (°C) et \(y\) = ventes (en centaines). Une droite \(y=ax+b\) est proposée pour prévoir les ventes à partir de la température.
- Pourquoi le choix “prévoir \(y\) à partir de \(x\)” doit-il être justifié ?
- Donner un exemple où inverser les rôles (prévoir la température à partir des ventes) n’a pas de sens.
- Expliquer pourquoi “la droite d’ajustement” dépend du choix de l’axe \(x\).
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Astuce : la régression minimise des écarts verticaux (donc dépend du choix de \(x\)).
Corrigé
- On modélise un lien directionnel : ici on suppose que la température influence les ventes, pas l’inverse. On choisit \(x\) comme variable explicative.
- Exemple : les ventes dépendent de la météo ; prévoir la météo à partir des ventes est absurde (les ventes ne “causent” pas la température).
- La régression minimise des écarts verticaux : changer \(x\) et \(y\) change ce qui est minimisé, donc on obtient une autre droite.
Exercice 7 — Prévision : annoncer l’incertitude
Une droite de régression obtenue sur des données d’une ville est : \[ y = 1{,}12x + 3{,}8 \] où \(x\) est le nombre d’années depuis 2015 et \(y\) la consommation d’eau (en millions de m\(^3\)). Les données utilisées couvrent 2015 à 2023.
- Traduire “2015 à 2023” en intervalle pour \(x\).
- Estimer \(y\) pour 2021.
- Estimer \(y\) pour 2030. Indiquer la nature de l’estimation et formuler une conclusion prudente.
- Donner 2 raisons possibles pour lesquelles le modèle pourrait échouer après 2023.
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Astuce : 2015 ⟹ \(x=0\), 2023 ⟹ \(x=8\).
Corrigé
- 2015 ⟹ \(x=0\). 2023 ⟹ \(x=8\). Donc \(x\in[0;8]\).
- 2021 ⟹ \(x=6\) : \[ y=1{,}12\times 6+3{,}8=6{,}72+3{,}8=10{,}52 \] Donc \(\approx 10{,}5\).
- 2030 ⟹ \(x=15\) hors \([0;8]\) : extrapolation. \[ y=1{,}12\times 15+3{,}8=16{,}8+3{,}8=20{,}6 \] Conclusion Bac : estimation peu fiable car hors des données ; à prendre avec prudence.
- Exemples : politiques d’économie d’eau, changement climatique, évolution de population, nouvelles infrastructures, restrictions, etc.
Exercice 8 — Corrélation illusoire : argumenter correctement
Un article affirme : “Le nombre de films vus au cinéma par mois est fortement corrélé au niveau en maths. Donc aller plus au cinéma améliore le niveau en maths.”
- Identifier précisément l’erreur de raisonnement.
- Proposer une variable cachée plausible expliquant la corrélation.
- Proposer une méthode d’enquête (type scientifique) pour tester l’hypothèse de causalité.
- Rédiger une conclusion courte et correcte (style Bac).
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Astuce : corrélation ≠ causalité (variable cachée).
Corrigé
- Corrélation ≠ causalité : une corrélation ne prouve pas que l’une cause l’autre.
- Ex : niveau socio-culturel, temps libre, accès aux ressources éducatives, motivation générale, etc.
- Étude contrôlée : comparer deux groupes similaires, isoler la variable “cinéma”, ou analyser un grand échantillon en contrôlant des variables (temps de travail, milieu social…).
- “Même si une corrélation est observée, elle ne prouve pas un lien de cause à effet. D’autres facteurs peuvent expliquer cette relation ; on ne peut donc pas conclure.”