Cours — Pourcentages (6e)
Proportions • passer de fraction à décimal à pourcentage • calculer un pourcentage d’une quantité • comparer des parts.
Objectif : comprendre que “%” signifie “sur 100”.
Idée clé : un pourcentage est une proportion.
Dire “\(25\%\)” signifie “\(25\) sur \(100\)”, donc \(\dfrac{25}{100}\).
1) Définition : “%” = “sur 100”
Un pourcentage \(p\%\) correspond à la fraction :
\[
p\% = \dfrac{p}{100}
\]
et donc à un nombre décimal.
Exemples
- \(10\% = \dfrac{10}{100} = 0,10\)
- \(25\% = \dfrac{25}{100} = 0,25\)
- \(50\% = \dfrac{50}{100} = 0,5\)
- \(100\% = \dfrac{100}{100} = 1\)
Comprendre une proportion
Dire “\(12\%\) des élèves” signifie :
“sur 100 élèves, 12 seraient concernés” (même si la classe n’a pas 100 élèves).
Pourcentage = part du total.
2) Convertir : fraction ↔ décimal ↔ %
En 6e, on utilise surtout des fractions “faciles” (dénominateur 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100…)
et des décimaux simples.
A) Décimal → %
Pour passer d’un décimal à un pourcentage, on multiplie par 100 :
\[
0,37 = 37\%
\]
On “déplace” la virgule de 2 rangs vers la droite.
B) % → décimal
On divise par 100 :
\[
12\% = 0,12
\]
On “déplace” la virgule de 2 rangs vers la gauche.
C) Fraction → % (méthode)
On transforme la fraction en “sur 100” (quand c’est possible), ou on passe par le décimal.
\[
\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 75\%
\]
D) % → fraction (méthode)
On écrit “sur 100”, puis on simplifie :
\[
20\% = \dfrac{20}{100} = \dfrac{1}{5}
\]
Table de conversions utiles (à connaître)
- \(\dfrac{1}{2} = 0,5 = 50\%\)
- \(\dfrac{1}{4} = 0,25 = 25\%\)
- \(\dfrac{3}{4} = 0,75 = 75\%\)
- \(\dfrac{1}{5} = 0,2 = 20\%\)
- \(\dfrac{1}{10} = 0,1 = 10\%\)
- \(\dfrac{1}{20} = 0,05 = 5\%\)
- \(\dfrac{1}{25} = 0,04 = 4\%\)
- \(\dfrac{3}{5} = 0,6 = 60\%\)
Piège : \(0,5 = 50\%\) (et pas \(5\%\)).
Multiplier par 100, c’est essentiel.
3) Calculer un pourcentage d’une quantité
Pour calculer \(p\%\) d’une quantité \(Q\), on utilise :
\[
p\%\text{ de }Q = \dfrac{p}{100}\times Q
\]
En 6e, on privilégie les méthodes simples : décomposition, fraction opérateur, ou calcul en étapes.
Méthode A — Passer en fraction sur 100
Exemple : calculer \(25\%\) de 80.
\(25\%=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}\).
Donc \(25\%\) de 80 = \(\dfrac{1}{4}\) de 80 = \(80 \div 4 = 20\).
Résultat : 20
Méthode B — Utiliser 10% / 5% / 1%
Exemple : calculer \(15\%\) de 60.
- \(10\%\) de 60 = 6 (on divise par 10)
- \(5\%\) de 60 = 3 (c’est la moitié de 10%)
- \(15\%\) = \(10\%+5\%\) → \(6+3=9\)
Résultat : 9
Méthode C — Décomposer le pourcentage
Exemple : \(37\%\) de 200.
- \(1\%\) de 200 = 2
- \(37\%\) = \(30\% + 7\%\)
- \(30\%\) de 200 = \(3\times 10\%\) = \(3\times 20 = 60\)
- \(7\%\) de 200 = \(7\times 2 = 14\)
Résultat : \(60+14=74\)
Astuce : pour \(10\%\), on divise par 10. Pour \(1\%\), on divise par 100.
Pour \(5\%\), c’est la moitié de \(10\%\).
4) Retrouver un pourcentage à partir d’une situation
Si une part vaut \(A\) sur un total \(T\), la proportion est :
\[
\text{proportion} = \dfrac{A}{T}
\]
et le pourcentage est :
\[
\text{pourcentage} = \dfrac{A}{T}\times 100\%
\]
En 6e, on choisit des exemples où le calcul reste simple.
Exemple 1
Sur 20 élèves, 5 portent des lunettes.
Proportion : \(\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}\) → \(25\%\).
Exemple 2
Un sac contient 50 billes, dont 10 rouges.
Proportion : \(\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}\) → \(20\%\).
Piège : toujours vérifier que le total \(T\) correspond bien à “100%”.
5) Idée d’augmentation / réduction (niveau 6e)
En 6e, on traite surtout le sens :
augmenter de \(p\%\) signifie “ajouter \(p\%\) de la valeur”.
Diminuer de \(p\%\) signifie “retirer \(p\%\) de la valeur”.
Augmenter de \(10\%\)
Exemple : un prix passe de 50 € à “+10%”.
- \(10\%\) de 50 = 5
- Nouveau prix = \(50 + 5 = 55\)
Résultat : 55 €
Réduire de \(20\%\)
Exemple : un prix de 80 € avec “-20%”.
- \(20\%\) de 80 = 16
- Nouveau prix = \(80 - 16 = 64\)
Résultat : 64 €
Réflexe : “+ \(p\%\)” = valeur + \(p\%\) de la valeur.
“- \(p\%\)” = valeur - \(p\%\) de la valeur.
6) Problèmes types (proportions)
Type A — “Sur …, …”
Sur 40 élèves, 30 mangent à la cantine.
Proportion : \(\dfrac{30}{40}=\dfrac{3}{4}\) → \(75\%\).
Réponse : 75%
Type B — Calculer une part en %
Une bouteille contient 2 L. On boit 25% de la bouteille.
\(25\%=\dfrac{1}{4}\) → \(\dfrac{1}{4}\) de 2 L = 0,5 L.
Réponse : 0,5 L
Type C — Remise simple
Un pull coûte 30 €. Remise de 10%.
\(10\%\) de 30 = 3 → nouveau prix = \(30 - 3 = 27\) €.
Réponse : 27 €
Synthèse — Checklist
- Je sais que \(p\% = \dfrac{p}{100}\).
- Je sais passer : décimal ↔ % (×100 ou ÷100).
- Je connais quelques conversions : \(\dfrac{1}{2}=50\%\), \(\dfrac{1}{4}=25\%\), \(\dfrac{3}{4}=75\%\), \(\dfrac{1}{5}=20\%\), \(\dfrac{1}{10}=10\%\).
- Je sais calculer \(p\%\) de \(Q\) (fraction sur 100 ou méthode 10%/5%/1%).
- Je sais retrouver un pourcentage à partir de \(\dfrac{A}{T}\).
Phrase clé : “Pourcentage = part / total, écrit sur 100.”