Configurations Planes
6EME • MATHS — Learna
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Exercices — Configurations planes (6e) • Niveau dur
Objectif : apprendre à déclencher la bonne propriété (milieu, médiatrice, cercle, triangle, symétrie) et à rédiger une justification propre. Corrigés détaillés à ouvrir/fermer.
Rappels express (à utiliser dans les solutions)
  • Milieu : \(I\) milieu de \([AB]\) ⇄ \(I\in[AB]\) et \(IA=IB\).
  • Médiatrice : \(M\) sur médiatrice de \([AB]\) ⇄ \(MA=MB\).
  • Cercle : \(M\) sur cercle \((O,r)\) ⇄ \(OM=r\).
  • Triangle : somme des angles = \(180^\circ\).
  • Isocèle : \(AB=AC\) ⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{BCA}\).
  • Symétrie axiale : conserve longueurs et angles ; l’axe est la médiatrice de \([AA']\).
  • Rédaction : “On sait que … Or … Donc …”.
Exercice 1 — Notations : segment, droite, longueur (pièges)
Répondre par une phrase correcte.
  1. Que représente \([AB]\) ? Et que représente \(AB\) ?
  2. Que représente \((AB)\) ?
  3. Compléter : “La distance entre \(A\) et \(B\) est …”
  4. Vrai ou faux : “\(AB\) est un segment.”
  5. Vrai ou faux : “\([AB]\) est une longueur.”
Correction
  • 1) \([AB]\) est le segment. \(AB\) est la longueur du segment (la distance).
  • 2) \((AB)\) est la droite passant par \(A\) et \(B\).
  • 3) La distance entre \(A\) et \(B\) est \(AB\).
  • 4) Faux : \(AB\) est une longueur, pas un segment.
  • 5) Faux : \([AB]\) est un objet géométrique (segment), pas une longueur.
Exercice 2 — Milieu : prouver correctement (dur)
On sait que \(A\), \(I\), \(B\) sont alignés et que \(IA=IB\).
1) Peut-on conclure que \(I\) est le milieu de \([AB]\) ?
2) Quelle information manque-t-il parfois ? Donne un exemple de cas où on ne peut pas conclure.
Correction détaillée
1)
Non, pas toujours. Pour que \(I\) soit le milieu de \([AB]\), il faut : \[ I\in[AB]\ \text{et}\ IA=IB \] L’alignement ne suffit pas : il faut aussi que \(I\) soit entre \(A\) et \(B\) (sur le segment).
2)
L’info qui peut manquer : “\(I\) est sur le segment \([AB]\)” (donc entre \(A\) et \(B\)). Exemple : si \(A\), \(B\), \(I\) sont alignés mais \(I\) est à l’extérieur du segment (au-delà de \(B\)), on peut avoir \(IA=IB\) impossible ici si \(A\neq B\) ? (en réalité, sur une même droite, un point extérieur ne peut pas être à égale distance de \(A\) et \(B\) sauf si c’est le milieu). Mais le bon raisonnement attendu est : il faut prouver \(I\in[AB]\), pas seulement l’alignement.
Rédaction type : “On sait que \(IA=IB\) et que \(I\in[AB]\). Donc \(I\) est le milieu de \([AB]\).”
Exercice 3 — Médiatrice ⇄ équidistance (dur)
Compléter par la bonne conclusion (et justifier par une propriété).
  1. On sait que \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\). Alors …
  2. On mesure \(PA=PB\). Alors …
  3. On sait que \(X\) est à égale distance de \(C\) et \(D\). Alors …
  4. On sait que \(Y\) appartient à la médiatrice de \([CD]\). Alors …
Correction
  • 1) \(MA=MB\) (propriété de la médiatrice).
  • 2) \(P\) est sur la médiatrice de \([AB]\) (réciproque).
  • 3) \(X\) est sur la médiatrice de \([CD]\).
  • 4) \(YC=YD\).
Exercice 4 — Cercle : centre/rayon (dur)
Répondre en utilisant la propriété du cercle.
  1. Sur le cercle de centre \(O\) et rayon 4 cm, placer un point \(M\). Que vaut \(OM\) ?
  2. On a \(OA=6\) cm et \(OB=6\) cm. Que peut-on dire des points \(A\) et \(B\) par rapport au cercle de centre \(O\) et rayon 6 cm ?
  3. On a \(OC=5\) cm. Peut-on affirmer que \(C\) est sur le cercle de centre \(O\) et rayon 4 cm ?
  4. On veut construire un cercle passant par \(P\) tel que \(OP=3\) cm. Quel rayon choisir ?
Correction
  • 1) \(OM=4\) cm.
  • 2) \(A\) et \(B\) sont sur le cercle de centre \(O\) et de rayon 6 cm (car \(OA=OB=6\)).
  • 3) Non : pour être sur ce cercle il faut \(OC=4\) cm.
  • 4) Rayon = \(OP=3\) cm.
Exercice 5 — Angles : 180° / 360° (dur)
Calculer l’angle manquant et justifier par une phrase.
  1. Sur une même droite : un angle mesure \(128^\circ\). L’angle adjacent vaut …
  2. Autour d’un point : on a \(110^\circ\), \(95^\circ\), \(80^\circ\). L’angle restant vaut …
  3. Un angle est obtus et mesure \(x^\circ\). Donner un encadrement de \(x\).
  4. Un angle est aigu et mesure \(y^\circ\). Donner un encadrement de \(y\).
Correction détaillée
1)
Sur une droite : somme = \(180^\circ\). \[ 180^\circ-128^\circ=52^\circ \] Angle adjacent = \(52^\circ\).
2)
Autour d’un point : somme = \(360^\circ\). \[ 360^\circ-(110^\circ+95^\circ+80^\circ)=360^\circ-285^\circ=75^\circ \] Angle restant = \(75^\circ\).
3)
Un angle obtus est strictement entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\) : \[ 90^\circ < x < 180^\circ \]
4)
Un angle aigu est strictement entre \(0^\circ\) et \(90^\circ\) : \[ 0^\circ < y < 90^\circ \]
Exercice 6 — Triangles : somme des angles (très dur)
Dans chaque triangle, calculer l’angle manquant. Puis dire si le triangle peut être rectangle / isocèle / équilatéral (si possible) et justifier.
  1. \(\widehat{A}=35^\circ\), \(\widehat{B}=72^\circ\). Calculer \(\widehat{C}\).
  2. \(\widehat{D}=90^\circ\), \(\widehat{E}=40^\circ\). Calculer \(\widehat{F}\). Nature ?
  3. \(\widehat{G}=60^\circ\), \(\widehat{H}=60^\circ\). Calculer \(\widehat{I}\). Nature ?
  4. \(\widehat{J}=48^\circ\), \(\widehat{K}=66^\circ\). Calculer \(\widehat{L}\). Peut-il être isocèle ?
Correction détaillée
1)
\[ \widehat{C}=180^\circ-(35^\circ+72^\circ)=180^\circ-107^\circ=73^\circ \]
Nature : pas rectangle (aucun angle 90°), pas équilatéral (pas 60° partout).
2)
\[ \widehat{F}=180^\circ-(90^\circ+40^\circ)=50^\circ \]
Nature : triangle rectangle (car un angle = 90°).
3)
\[ \widehat{I}=180^\circ-(60^\circ+60^\circ)=60^\circ \]
Nature : triangle équilatéral (3 angles de 60°).
4)
\[ \widehat{L}=180^\circ-(48^\circ+66^\circ)=66^\circ \]
Deux angles égaux (\(66^\circ\) et \(66^\circ\)) → le triangle est isocèle (angles à la base égaux).
Exercice 7 — Isocèle + médiatrice (raisonnement dur)
On considère un triangle \(ABC\). On sait que \(B\) est sur la médiatrice de \([AC]\).
1) Comparer \(BA\) et \(BC\).
2) Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ? (justifier)
Correction
1)
\(B\) sur la médiatrice de \([AC]\) ⇒ \(BA=BC\).
2)
Comme \(BA=BC\), le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\).
Piège : isocèle “en \(B\)” signifie que les côtés égaux touchent \(B\) : \(BA\) et \(BC\).
Exercice 8 — Symétrie axiale (dur)
\(A'\) est l’image de \(A\) par symétrie axiale d’axe \(d\). \(B'\) est l’image de \(B\).
1) Comparer \(AB\) et \(A'B'\).
2) Si \(\widehat{ABC}=37^\circ\), que vaut \(\widehat{A'B'C'}\) (où \(C'\) est l’image de \(C\)) ?
3) Si \(A\) est sur l’axe \(d\), que devient \(A'\) ?
Correction
  • 1) La symétrie conserve les longueurs : \(AB = A'B'\).
  • 2) Elle conserve aussi les angles : \(\widehat{A'B'C'}=37^\circ\).
  • 3) Un point sur l’axe ne bouge pas : \(A'=A\).
Défi (bonus) — Problème complet (très dur)
On a un segment \([AB]\). On construit sa médiatrice \(m\). On choisit un point \(M\) sur \(m\). On trace le cercle de centre \(M\) passant par \(A\).

1) Montrer que ce cercle passe aussi par \(B\). 2) Expliquer pourquoi le triangle \(MAB\) est isocèle, et préciser en quel sommet.
Correction (raisonnement)
1) Le cercle passe par B
Comme \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\), on a \(MA=MB\). Le cercle de centre \(M\) passant par \(A\) a pour rayon \(MA\). Or \(MB=MA\), donc \(B\) est à la même distance du centre \(M\) : il appartient aussi au cercle.
2) Triangle isocèle
On a \(MA=MB\) donc le triangle \(MAB\) est isocèle en \(M\) (les côtés égaux touchent \(M\)).
Chaîne d’idées : médiatrice ⇒ \(MA=MB\) ⇒ même rayon ⇒ même cercle ⇒ isocèle.