Exercices corrigés — Étude De Configurations Planes (6e)
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 6ème sur Étude De Configurations Planes. Tu vas t’entraîner sur notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en 6ème, exemples guidés, exercices d’application avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
✏️ Exercices — Étude de configurations planes
Thèmes : distances • milieux • cercles et disques • médiatrice • angles • bissectrice • triangles • cercle circonscrit • symétrie axiale.
Objectif : maîtriser les attendus officiels de 6e avec des constructions, des raisonnements et une seule passerelle clairement identifiée vers la 5e.
Exercice 1 — Vocabulaire et notations de base
6e • Maths • *Associer chaque écriture à l'objet géométrique correspondant.
1.
Que désigne \( [AB] \) ? Que désigne \(AB\) ?
2.
Que désigne la droite \((AB)\) ?
3.
Que désigne la demi-droite \([AB)\) ?
4.
Écrire la distance entre les points \(C\) et \(D\).
5.
Vrai ou faux : \(AB\) est un segment. Justifier brièvement.
Exercice 2 — Distance et milieu d'un segment
6e • Maths • *La figure est codée : les deux sous-segments portent le même codage.
1.
Que signifie le codage porté par \([AI]\) et \([IB]\) ?
2.
Si \(AB=8\) cm et I est le milieu de \([AB]\), calculer \(AI\) et \(IB\).
3.
Si \(AI=3{,}7\) cm et \(IB=3{,}7\) cm avec \(I\in[AB]\), calculer \(AB\).
4.
Énoncer les deux conditions qui permettent d'affirmer que I est le milieu de \([AB]\).
5.
Un point J vérifie seulement \(JA=JB\). Peut-on conclure que J est le milieu de \([AB]\) ?
Exercice 3 — Cercle, disque, rayon, diamètre et corde
6e • Maths • *Observer la figure puis employer le vocabulaire précis.
1.
Nommer le centre du cercle.
2.
Quel segment représenté est un rayon ?
3.
Quel segment représenté est un diamètre ?
4.
Le segment \([CD]\) joint deux points du cercle sans nécessairement passer par le centre. Comment s'appelle-t-il ?
5.
Un point P vérifie \(OP
Exercice 4 — Reconnaître et nommer les angles
6e • Maths • *Classer des angles à partir de leur mesure.
1.
Classer un angle de \(35^\circ\).
2.
Classer un angle de \(90^\circ\).
3.
Classer un angle de \(128^\circ\).
4.
Classer un angle de \(180^\circ\).
5.
Classer un angle de \(360^\circ\).
Exercice 5 — Triangles particuliers et codages
6e • Maths • *Identifier la nature de triangles à partir d'informations codées ou numériques.
1.
Un triangle possède trois côtés égaux. Quelle est sa nature ?
2.
Un triangle possède exactement deux côtés égaux. Quelle information permet de le nommer isocèle ?
3.
Un triangle possède un angle droit. Quelle est sa nature ?
4.
Dans un triangle isocèle en C, quels côtés sont égaux ?
5.
Dans un triangle équilatéral, que peut-on dire de ses trois angles ?
Exercice 6 — Axes de symétrie
6e • Maths • *Répondre sans construire de symétrique.
1.
Combien d'axes de symétrie possède un carré ?
2.
Combien un rectangle non carré en possède-t-il ?
3.
Combien un triangle équilatéral en possède-t-il ?
4.
Combien un triangle isocèle non équilatéral en possède-t-il ?
5.
Un triangle quelconque peut-il posséder un axe de symétrie ?
Exercice 7 — Le plus court chemin
6e • Maths • **On compare plusieurs chemins entre deux points A et B.
1.
Un chemin passant par C mesure \(AC=3{,}2\) cm et \(CB=4{,}1\) cm. Calculer sa longueur.
2.
Si \(AB=6{,}5\) cm, quel chemin est le plus court : le segment direct ou le passage par C ?
3.
Peut-on avoir \(AC+CB
4.
Si \(AC+CB=AB\), où se situe nécessairement C ?
5.
Expliquer en une phrase pourquoi une ligne brisée ne peut pas être plus courte que le segment direct.
Exercice 8 — Construire et contrôler un milieu
6e • Maths • **On veut construire le milieu I d'un segment \([AB]\) de 9,6 cm.
1.
Quelle longueur doit avoir \(AI\) ?
2.
Quelle longueur doit avoir \(IB\) ?
3.
Décrire une construction avec une règle graduée.
4.
Décrire une manière de contrôler la construction avec un compas.
5.
Pourquoi l'information \(AI=IB\) ne suffit-elle pas, à elle seule, pour définir un milieu ?
Exercice 9 — Cercle ou disque : où se trouve le point ?
6e • Maths • **On considère un cercle de centre O et de rayon 4,5 cm.
1.
Si \(OA=4{,}5\) cm, où se trouve A ?
2.
Si \(OB=2{,}8\) cm, où se trouve B ?
3.
Si \(OC=5{,}1\) cm, où se trouve C ?
4.
On veut placer tous les points situés à exactement 4,5 cm de O. Quel ensemble obtient-on ?
5.
On veut placer tous les points situés à au plus 4,5 cm de O. Quel ensemble obtient-on ?
Exercice 10 — Médiatrice : propriété et réciproque
6e • Maths • **La droite \((d)\) est la médiatrice du segment \([AB]\).
1.
M est sur \((d)\). Comparer \(MA\) et \(MB\).
2.
P vérifie \(PA=PB\). Que peut-on conclure sur P ?
3.
Si \(MA=5{,}2\) cm, déterminer \(MB\).
4.
La médiatrice doit-elle passer par le milieu de \([AB]\) ?
5.
La médiatrice est-elle perpendiculaire à \((AB)\) ?
Exercice 11 — Mesurer un angle avec un rapporteur
6e • Maths • **La figure est tracée à l'échelle. Sur la feuille imprimée, mesurer l'angle \(\widehat{AOB}\) au rapporteur.
1.
Donner la mesure de l'angle représenté.
2.
Classer cet angle.
3.
Quelle graduation du rapporteur faut-il lire si OA est le côté de départ orienté vers la droite ?
4.
Construire sur la feuille un autre angle de \(42^\circ\).
5.
Expliquer pourquoi une simple estimation visuelle ne remplace pas la mesure.
Exercice 12 — Construire une bissectrice
6e • Maths • **La demi-droite en pointillés partage l'angle \(\widehat{AOB}\) en deux angles de même mesure.
1.
Quelle est la mesure de \(\widehat{AOB}\) ?
2.
Comment s'appelle la demi-droite en pointillés ?
3.
Donner la définition de la bissectrice d'un angle.
4.
Si \(\widehat{AOB}=116^\circ\), quelles mesures obtient-on après bissectrice ?
5.
Décrire une construction possible au rapporteur.
Exercice 13 — Construire un triangle à partir de trois côtés
6e • Maths • **On veut construire des triangles avec règle et compas.
1.
Décrire la construction d'un triangle ABC tel que \(AB=6\) cm, \(AC=5\) cm et \(BC=4\) cm.
2.
Combien de positions symétriques par rapport à \((AB)\) peut-on obtenir pour C ?
3.
Essayer de construire un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 8 cm : que constate-t-on ?
4.
Dans cette seconde situation, que se passe-t-il pour les deux arcs de cercle ?
5.
Pourquoi est-il utile de faire varier la position des triangles sur la feuille ?
Exercice 14 — Somme des angles d'un triangle
6e • Maths • **Utiliser la somme des angles d'un triangle.
1.
Dans ABC, \(\widehat A=48^\circ\) et \(\widehat B=67^\circ\). Calculer \(\widehat C\).
2.
Dans DEF, \(\widehat D=90^\circ\) et \(\widehat E=32^\circ\). Calculer \(\widehat F\).
3.
Un triangle a deux angles de \(60^\circ\). Quelle est sa nature ?
4.
Un triangle isocèle a un angle au sommet de \(40^\circ\). Calculer chacun des deux autres angles.
5.
Vrai ou faux : un triangle peut avoir deux angles droits. Justifier.
Exercice 15 — Angles opposés, adjacents et supplémentaires
6e • Maths • ***Deux droites se coupent en O. Un des angles mesure \(68^\circ\).
1.
Déterminer \(x\), angle opposé par le sommet à l'angle de \(68^\circ\).
2.
Déterminer \(y\), angle adjacent à l'angle de \(68^\circ\) sur une même droite.
3.
Justifier pourquoi les deux angles opposés ont la même mesure.
4.
Donner la mesure du quatrième angle.
5.
Combien vaut la somme d'un angle et de son angle adjacent formant un angle plat ?
Exercice 16 — Pourquoi la construction au compas donne la médiatrice
6e • Maths • ***On trace deux arcs de même rayon, l'un de centre A et l'autre de centre B. Ils se coupent en C et D.
1.
Comparer \(CA\) et \(CB\).
2.
Que peut-on conclure pour le point C ?
3.
Comparer \(DA\) et \(DB\).
4.
Que peut-on conclure pour D ?
5.
Pourquoi la droite \((CD)\) est-elle la médiatrice de \([AB]\) ?
Exercice 17 — Bissectrice et angle inconnu
6e • Maths • ***La demi-droite \([Ox)\) est la bissectrice de l'angle \(\widehat{AOB}\).
1.
Si \(\widehat{AOx}=27^\circ\), calculer \(\widehat{xOB}\).
2.
En déduire \(\widehat{AOB}\).
3.
Si \(\widehat{AOB}=154^\circ\), calculer chacun des deux angles formés par la bissectrice.
4.
Un élève affirme : « une bissectrice partage toujours un angle en deux angles droits ». Corriger son erreur.
5.
Quelle condition faudrait-il sur l'angle initial pour obtenir deux angles droits ?
Exercice 18 — Deux contraintes de distance
6e • Maths • ***A et B sont deux points. On cherche des points qui sont à la fois à égale distance de A et B et situés à 5 cm de A.
1.
Sur quelle droite doivent se trouver les points équidistants de A et B ?
2.
Sur quel cercle doivent se trouver les points situés à 5 cm de A ?
3.
Comment obtenir graphiquement toutes les solutions ?
4.
Si la médiatrice ne coupe pas le cercle, combien y a-t-il de solutions ?
5.
Si elle coupe le cercle en deux points, pourquoi ces deux points conviennent-ils ?
Exercice 19 — Médiatrices d'un triangle et cercle circonscrit
6e • Maths • ***Dans le triangle ABC, deux médiatrices sont tracées et se coupent en O.
1.
Que peut-on dire de \(OA\) et \(OB\) ?
2.
Que peut-on dire de \(OB\) et \(OC\) ?
3.
En déduire une relation entre \(OA,OB,OC\).
4.
Quel cercle peut-on alors tracer ?
5.
Comment s'appelle le point O ?
Exercice 20 — Construire un triangle avec côtés et angle
6e • Maths • ***Construire un triangle ABC tel que \(AB=7\) cm, \(AC=5\) cm et \(\widehat{BAC}=50^\circ\).
1.
Quel élément tracer en premier ?
2.
Comment placer la direction de C ?
3.
Comment fixer la position exacte de C ?
4.
La construction fournit-elle une position unique si le côté de l'angle est imposé au-dessus de \((AB)\) ?
5.
Comment vérifier la construction ?
Exercice 21 — Triangle isocèle : raisonner sur les angles
6e • Maths • ***ABC est isocèle en A et \(\widehat{BAC}=34^\circ\).
1.
Quels côtés sont égaux ?
2.
Quels angles sont égaux ?
3.
Calculer la somme des deux angles de base.
4.
Calculer \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{BCA}\).
5.
Un élève trouve \(73^\circ\) et \(74^\circ\). Pourquoi sa réponse est-elle impossible ?
Exercice 22 — Construire le symétrique sur quadrillage
6e • Maths • ***La droite verticale \((d)\) est l'axe de symétrie. Reproduire la figure sur le quadrillage puis construire son image.
1.
Construire l'image A' de A.
2.
Construire l'image B' de B.
3.
Quelle relation géométrique existe entre \((d)\) et le segment \([AA']\) ?
4.
Comparer \(AB\) et \(A'B'\).
5.
Pourquoi suffit-il de construire l'image des sommets pour obtenir l'image du polygone ?
Exercice 23 — Symétrie axiale : conserver pour calculer
6e • Maths • ***Les points A', B' et C' sont les images de A, B et C par symétrie d'axe \((d)\).
1.
Si \(AB=4{,}8\) cm, déterminer \(A'B'\).
2.
Si \(\widehat{ABC}=57^\circ\), déterminer \(\widehat{A'B'C'}\).
3.
Si C appartient à l'axe \((d)\), que vaut C' ?
4.
Si le cercle de centre A et rayon 3 cm est transformé par la symétrie, quel est le centre du cercle image ?
5.
Quel est son rayon ?
Exercice 24 — Carte au trésor : construire un point
6e • Maths • ***Sur une carte, deux arbres A et B sont distants de 8 cm. Le trésor T est à égale distance des deux arbres et à 5 cm de A.
1.
Quel ensemble de points traduit « à égale distance de A et B » ?
2.
Quel ensemble traduit « à 5 cm de A » ?
3.
Décrire la construction de toutes les positions possibles de T.
4.
Combien de positions peut-on obtenir dans cette situation ?
5.
Comment vérifier chaque position sans mesurer la distance à B ?
Exercice 25 — Une preuve avec deux points équidistants
6e • Maths • ****ABC est un triangle tel que \(AB=AC\). I est le milieu du segment \([BC]\).
1.
Pourquoi A appartient-il à la médiatrice de \([BC]\) ?
2.
Pourquoi I appartient-il aussi à la médiatrice de \([BC]\) ?
3.
En déduire que la droite \((AI)\) est la médiatrice de \([BC]\).
4.
Quelle relation en découle entre \((AI)\) et \((BC)\) ?
5.
Expliquer pourquoi cette démonstration ne dépend pas de l'apparence du dessin.
Exercice 26 — Détecter et corriger cinq erreurs
6e • Maths • ****Pour chaque affirmation, décider si elle est correcte. Si elle est fausse, donner un contre-exemple ou corriger la phrase.
1.
« Si \(MA=MB\), alors M est le milieu de \([AB]\). »
2.
« Tout diamètre est une corde d'un cercle. »
3.
« Deux angles supplémentaires sont forcément égaux. »
4.
« Si deux angles d'un triangle mesurent \(60^\circ\), alors le triangle est équilatéral. »
5.
« La symétrie axiale conserve les longueurs mais peut changer les mesures des angles. »
Exercice 27 — Triangle sous deux contraintes de distance
6e • Maths • ****On donne un segment \([AB]\) de 6 cm. Construire tous les points C tels que \(CA=CB=5\) cm.
1.
Quel ensemble de points traduit \(CA=CB\) ?
2.
Quel cercle traduit \(CA=5\) cm ?
3.
Combien de solutions obtient-on ?
4.
Quelle est la nature du triangle ABC pour chacune des solutions ?
5.
Les deux triangles obtenus sont-ils liés par une symétrie ? Si oui, préciser l'axe.
Exercice 28 — Combien de solutions ?
6e • Maths • ****On fixe deux points A et B distants de 10 cm. On cherche un point M qui soit sur la médiatrice de \([AB]\) et à 4 cm de A.
1.
Tracer mentalement ou sur feuille la médiatrice de \([AB]\).
2.
Tracer le cercle de centre A et de rayon 4 cm.
3.
Le cercle coupe-t-il la médiatrice ?
4.
Combien y a-t-il de solutions ?
5.
Modifier seulement le rayon pour obtenir exactement une solution et expliquer le cas limite.
Exercice 29 — Configuration complète : cercle, médiatrice et angles
6e • Maths • ****ABC est un triangle non rectangle. O est le point de concours de ses médiatrices. On sait que \(\widehat{BAC}=52^\circ\) et \(\widehat{ABC}=71^\circ\).
1.
Calculer \(\widehat{ACB}\).
2.
Comparer \(OA,OB,OC\) et justifier.
3.
Quel cercle passe par A, B et C ?
4.
Si A' est le symétrique de A par rapport à la médiatrice de \([BC]\), comparer \(A'B\) à \(AC\), puis \(A'C\) à \(AB\).
5.
Expliquer pourquoi cette dernière conclusion peut être obtenue sans mesurer la figure.
Exercice 30 — Passerelle vers la 5e — le demi-tour
6e • Maths • ****Cet exercice est une passerelle vers la 5e et ne doit pas servir à évaluer la maîtrise normale du programme de 6e. O est le milieu de \([AA']\) et de \([BB']\).
1.
Construire A' lorsque A et O sont donnés en imposant que O soit le milieu de \([AA']\).
2.
Faire de même pour B'.
3.
Quelle transformation de 5e envoie A sur A' et B sur B' ?
4.
Comparer \(AB\) et \(A'B'\).
5.
Expliquer en quoi cette transformation diffère d'une symétrie axiale.
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