Cours — Étude de configurations planes (6e) • Niveau dur
Savoir raisonner sur une figure : distances, milieux, cercles, médiatrice, angles, triangles, symétrie.
Objectif : identifier la bonne propriété et justifier correctement.
Réflexe n°1 : on ne “voit” pas en géométrie : on démontre avec des propriétés.
Réflexe n°2 : écrire proprement : “\(AB\) est la distance entre A et B”, “\(I\) est le milieu de \([AB]\)”, etc.
1) Distances : notations et bases solides
Distance entre deux points
La distance entre deux points \(A\) et \(B\) se note \(AB\).
C’est la longueur du segment \([AB]\).
- \(AB = BA\) (symétrie de la distance)
- \(AB > 0\) et \(AB = 0\) seulement si \(A=B\)
Distance d’un point à une droite (idée 6e)
La distance d’un point \(P\) à une droite \(d\) est la plus courte des distances de \(P\) aux points de \(d\).
Elle correspond à un segment perpendiculaire à \(d\).
En 6e : on utilise surtout l’idée “la plus courte” + la notion de perpendiculaire.
Piège : \(AB\) est une longueur, \([AB]\) est un segment (un objet géométrique).
2) Milieu d’un segment : définition et preuves
Définition
Un point \(I\) est le milieu du segment \([AB]\) si et seulement si :
\[
I \in [AB] \quad \text{et} \quad IA = IB
\]
Pour prouver que \(I\) est le milieu
- Montrer que \(I\) est sur le segment \([AB]\).
- Montrer que \(IA = IB\).
Pour utiliser le fait “\(I\) est milieu”
- On peut écrire directement : \(IA = IB\).
- Et \(A, I, B\) sont alignés.
Erreur fréquente : dire “\(IA = IB\) donc \(I\) est milieu” sans vérifier \(I \in [AB]\).
3) Cercles : centre, rayon, points équidistants
Définition du cercle
Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l’ensemble des points \(M\) tels que :
\[
OM = r
\]
Propriété (à connaître)
- Si \(M\) est sur le cercle de centre \(O\) et rayon \(r\), alors \(OM=r\).
- Si \(OM=r\), alors \(M\) est sur ce cercle.
Points équidistants
Tous les points d’un cercle sont à la même distance du centre (rayon).
“Équidistant de \(O\)” signifie : “à la même distance de \(O\)”.
Piège : ne pas confondre disque (intérieur + cercle) et cercle (bord seulement).
4) Médiatrice d’un segment : l’outil “magique”
Définition
La médiatrice du segment \([AB]\) est la droite :
- perpendiculaire à \((AB)\),
- qui passe par le milieu de \([AB]\).
Propriété fondamentale (à savoir utiliser)
\[
M \in \text{médiatrice de } [AB] \ \Longleftrightarrow\ MA = MB
\]
Traduction : “sur la médiatrice” ⇄ “équidistant de A et B”.
À quoi ça sert ?
- Trouver un point à égale distance de \(A\) et \(B\).
- Justifier qu’un triangle est isocèle (si deux côtés égaux).
- Construire le centre d’un cercle passant par \(A\) et \(B\).
Piège
Ne pas dire “\(MA=MB\) donc M est sur \((AB)\)” : c’est faux.
\(MA=MB\) signifie “M est sur la médiatrice”, pas “sur la droite (AB)”.
5) Angles : savoir lire, classer, calculer
Notation
L’angle \(\widehat{ABC}\) a pour sommet \(B\).
Ses côtés sont les demi-droites \([BA)\) et \([BC)\).
Types d’angles
- Angle aigu : \(0^\circ < \text{mesure} < 90^\circ\)
- Angle droit : \(90^\circ\)
- Angle obtus : \(90^\circ < \text{mesure} < 180^\circ\)
- Angle plat : \(180^\circ\)
Sommes à connaître
- Sur une droite : \(180^\circ\)
- Tour complet : \(360^\circ\)
Réflexe : repérer si on est “sur une droite” (180°) ou “dans un tour” (360°).
6) Triangles : reconnaître et justifier
Somme des angles d’un triangle
\[
\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ
\]
C’est une règle très utilisée en problèmes.
Triangles particuliers
- Isocèle en \(A\) : \(AB=AC\) → \(\widehat{B}=\widehat{C}\).
- Équilatéral : \(AB=BC=CA\) → chaque angle = \(60^\circ\).
- Rectangle : un angle droit.
Justifications propres
- “\(AB=AC\) donc le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\)”
- “Triangle isocèle → angles à la base égaux”
- “Somme des angles = 180° → je calcule l’angle manquant”
Piège : ne pas confondre “isocèle en \(A\)” (les côtés égaux touchent \(A\)) et “isocèle en \(B\)”.
7) Symétrie axiale : propriétés utiles
Définition (6e)
Deux points \(A\) et \(A'\) sont symétriques par rapport à une droite \(d\) si :
- \(d\) est la médiatrice du segment \([AA']\),
- donc \(d \perp (AA')\) et coupe \([AA']\) en son milieu.
Très important : symétrie axiale = “miroir”.
Propriétés (à exploiter)
- La symétrie conserve les distances (longueurs).
- La symétrie conserve les angles (mesures).
- Une droite devient une droite (l’image d’une droite est une droite).
- Si un point est sur l’axe, il ne bouge pas.
Conséquence “dur”
Si une figure est symétrique, alors des segments correspondants ont la même longueur,
et des angles correspondants ont la même mesure → on peut justifier des égalités.
8) Configurations classiques : quoi chercher ?
Configuration 1 — “Équidistant de A et B”
Si on lit ou déduit \(MA=MB\), alors on pense immédiatement :
\[
M \in \text{médiatrice de } [AB]
\]
Et inversement : si \(M\) est sur la médiatrice, on peut écrire \(MA=MB\).
Configuration 2 — “Sur un cercle”
Si \(M\) est sur le cercle de centre \(O\) et rayon \(r\), alors \(OM=r\).
Si on sait que \(OM=r\), alors \(M\) est sur le cercle.
“Sur un cercle” ⇄ “distance au centre constante”.
Configuration 3 — Triangle isocèle caché
Si on obtient \(AB=AC\), alors le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\),
donc \(\widehat{B}=\widehat{C}\).
\[
AB=AC \Longrightarrow \widehat{ABC}=\widehat{BCA}
\]
Configuration 4 — Symétrie
Si \(A\) et \(A'\) sont symétriques par rapport à \(d\), alors \(d\) est la médiatrice de \([AA']\).
On peut donc utiliser la propriété de médiatrice.
Symétrie → médiatrice → équidistance.
9) Exemples guidés (raisonnements)
Exemple A — Médiatrice → égalité de distances
On sait que \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\).
Que peut-on conclure ?
Solution
Par la propriété de la médiatrice : \(MA=MB\).
Conclusion : \(M\) est à égale distance de \(A\) et de \(B\).
Exemple B — Équidistance → médiatrice
On mesure \(PA=PB\). Que peut-on affirmer ?
Solution
Si \(PA=PB\), alors \(P\) est sur la médiatrice du segment \([AB]\).
Exemple C — Triangle : angle manquant
Dans un triangle, deux angles mesurent \(35^\circ\) et \(72^\circ\).
Calculer le troisième.
Solution
\[
\widehat{3}=180^\circ-(35^\circ+72^\circ)=180^\circ-107^\circ=73^\circ
\]
Exemple D — Symétrie : distances conservées
\(A'\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(d\), et \(B'\) celui de \(B\).
Comparer \(AB\) et \(A'B'\).
Solution
La symétrie conserve les distances : \(AB = A'B'\).
Méthode de rédaction : “On sait que … / Or, la propriété … / Donc …”
Synthèse — Checklist “configurations planes”
- Distance : \(AB\) longueur, \([AB]\) segment (objet).
- Milieu : \(I \in [AB]\) et \(IA=IB\).
- Cercle centre \(O\) rayon \(r\) : \(M\) sur cercle ⇄ \(OM=r\).
- Médiatrice de \([AB]\) : \(M\) sur médiatrice ⇄ \(MA=MB\).
- Angles : droite = \(180^\circ\), tour = \(360^\circ\).
- Triangle : somme des angles = \(180^\circ\).
- Isocèle : deux côtés égaux → deux angles à la base égaux.
- Symétrie axiale : conserve longueurs et angles ; axe = médiatrice de \([AA']\).
- En géométrie : on justifie, on ne se contente pas de “voir”.