Exercices corrigés — Probabilités (5e)

Employer correctement le vocabulaire des probabilités dans des situations concrètes.

1. A. On lance un dé équilibré. Comment appelle-t-on cette expérience ?
2. B. Dans ce lancer, citer deux issues possibles.
3. C. « Obtenir un nombre pair » est-il une issue ou un évènement ?
4. D. Une urne contient des jetons rouges, bleus et verts. Citer une issue si l’on note seulement la couleur obtenue.
5. E. « Obtenir une couleur froide » peut-il être un évènement si l’on décide que bleu et vert sont les couleurs froides ?
6. F. Expliquer pourquoi « obtenir 8 » n’est pas une issue lorsqu’on lance un dé numéroté de 1 à 6.

Associer chaque évènement à une probabilité et le positionner mentalement de 0 à 1.

1. A. Sur un dé équilibré, probabilité d’obtenir 7.
2. B. Sur un dé équilibré, probabilité d’obtenir un nombre de 1 à 6.
3. C. Sur une pièce équilibrée, probabilité d’obtenir Pile.
4. D. Sur un dé équilibré, probabilité d’obtenir 6.
5. E. Une urne contient 3 jetons rouges et 1 bleu, indiscernables au toucher. Probabilité d’obtenir rouge.
6. F. Classer les probabilités des questions A, D, C, E, B de la plus petite à la plus grande.

Passer d’une fraction à un décimal, à un pourcentage ou à l’expression « une chance sur ... ».

1. A. Écrire \(\dfrac12\) sous forme décimale et en pourcentage.
2. B. Écrire \(\dfrac14\) sous forme décimale et en pourcentage.
3. C. Écrire \(\dfrac35\) sous forme décimale et en pourcentage.
4. D. Écrire 0,2 sous forme fractionnaire irréductible et en pourcentage.
5. E. Écrire 75 % sous forme décimale et fractionnaire irréductible.
6. F. Traduire « une chance sur huit » par une probabilité.

Analyser une expérience aléatoire très simple et calculer des probabilités par équiprobabilité.

1. A. Quelles sont les deux issues possibles ?
2. B. Calculer la probabilité d’obtenir Pile.
3. C. Calculer la probabilité d’obtenir Face.
4. D. Quelle est la probabilité d’obtenir Pile ou Face ?
5. E. Quelle est la probabilité d’obtenir « Tranche » dans ce modèle à deux issues ?
6. F. Une élève dit : « Pile est plus probable parce qu’il est écrit en premier ». Expliquer l’erreur.

Calculer des probabilités en listant les issues favorables.

1. A. Probabilité d’obtenir 5.
2. B. Probabilité d’obtenir un nombre pair.
3. C. Probabilité d’obtenir un nombre strictement supérieur à 4.
4. D. Probabilité d’obtenir un multiple de 3.
5. E. Probabilité d’obtenir un nombre premier.
6. F. Probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 6.

Lire une roue dont les secteurs sont de même taille et calculer des probabilités simples.

1. A. Combien la roue possède-t-elle de secteurs équiprobables ?
2. B. Calculer la probabilité d’obtenir rouge.
3. C. Calculer la probabilité d’obtenir bleu.
4. D. Calculer la probabilité d’obtenir vert.
5. E. Comparer les probabilités d’obtenir rouge et bleu.
6. F. Quelle couleur est la moins probable ? Justifier.

Calculer des probabilités dans une urne en supposant les jetons indiscernables au toucher.

1. A. Une urne contient 5 rouges, 4 bleus et 3 verts. Combien y a-t-il de jetons ?
2. B. Probabilité de tirer un rouge.
3. C. Probabilité de tirer un bleu.
4. D. Probabilité de tirer un vert.
5. E. Probabilité de tirer un jeton rouge ou vert, en comptant directement les jetons favorables.
6. F. Quelle couleur est la plus probable ?

Décrire des évènements à partir d’un ensemble fini d’issues équiprobables.

1. A. Probabilité d’obtenir un multiple de 3.
2. B. Probabilité d’obtenir un diviseur de 12.
3. C. Probabilité d’obtenir un nombre strictement supérieur à 8.
4. D. Probabilité d’obtenir un nombre impair.
5. E. Probabilité d’obtenir 1 ou 12.
6. F. Quel évènement, parmi A à E, a la plus petite probabilité ?

Tenir compte des répétitions lorsqu’on tire au hasard une carte portant une lettre.

1. A. On écrit C, O, L, L, E, G, E sur 7 cartes identiques. Combien y a-t-il d’issues matérielles équiprobables ?
2. B. Probabilité d’obtenir la lettre E.
3. C. Probabilité d’obtenir la lettre L.
4. D. Probabilité d’obtenir une voyelle.
5. E. Probabilité d’obtenir une consonne.
6. F. Un élève dit : « Il y a 5 lettres différentes, donc chaque lettre a une chance sur 5 ». Expliquer l’erreur.

Comparer des probabilités sans toujours convertir en décimal.

1. A. Sur un dé : A = « obtenir 1 ou 2 » ; B = « obtenir 5 ou 6 ». Comparer.
2. B. Sur un dé : A = « obtenir un nombre pair » ; B = « obtenir un multiple de 3 ». Lequel est le plus probable ?
3. C. Cartes 1 à 10 : A = « nombre > 7 » ; B = « nombre < 5 ». Lequel est le plus probable ?
4. D. Urne : 4 rouges, 4 bleus, 2 verts. Comparer rouge et bleu.
5. E. Même urne : comparer bleu et vert.
6. F. Expliquer pourquoi comparer les nombres de cas favorables suffit ici.

Décider si l’hypothèse d’équiprobabilité est raisonnable à partir des informations fournies.

1. A. Pièce annoncée équilibrée : Pile et Face peuvent-ils être modélisés comme équiprobables ?
2. B. Dé cubique équilibré : les six faces sont-elles équiprobables ?
3. C. Roue partagée en 6 secteurs égaux et correctement équilibrée : les secteurs sont-ils équiprobables ?
4. D. Roue partagée en 4 secteurs de tailles différentes : peut-on dire que les quatre secteurs sont équiprobables ?
5. E. Sac opaque contenant 10 jetons de même forme et même taille : le tirage d’un jeton est-il raisonnablement équiprobable ?
6. F. Une roue est dessinée, mais on ne sait rien de son équilibre mécanique. Peut-on affirmer que le modèle idéal est exact ?

Repérer une utilisation abusive de la formule « cas favorables / cas possibles ».

1. A. Une roue possède 4 secteurs : un demi-disque rouge et trois autres secteurs plus petits. Un élève écrit \(P(\text{rouge})=\dfrac14\). Pourquoi ce raisonnement est-il faux ?
2. B. Si le rouge occupe exactement un demi-disque d’une roue parfaitement équilibrée, quelle probabilité paraît naturelle par symétrie ?
3. C. Sur une roue à 8 secteurs égaux dont 2 rouges, pourquoi peut-on cette fois écrire \(\dfrac28\) ?
4. D. Simplifier \(\dfrac28\).
5. E. Si les secteurs sont inégaux et qu’aucune information d’angle ou de fréquence n’est donnée, peut-on calculer exactement la probabilité ?
6. F. Quelle question faut-il se poser avant de compter les cas favorables ?

Combiner une propriété numérique et un dénombrement simple.

1. A. On tire un jeton parmi 1 à 15. Probabilité d’obtenir un multiple de 5.
2. B. Probabilité d’obtenir un nombre pair.
3. C. Probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 4.
4. D. Probabilité d’obtenir un multiple de 3 ou de 5, en listant les jetons favorables une seule fois.
5. E. Pourquoi le jeton 15 ne doit-il pas être compté deux fois dans la question D ?
6. F. Probabilité d’obtenir un nombre qui n’est ni multiple de 3 ni multiple de 5, par comptage direct.

Relier la composition d’une urne à des probabilités exprimées sous différentes formes.

1. A. Une urne contient 6 noirs, 9 blancs et 5 gris. Effectif total ?
2. B. Probabilité d’obtenir noir.
3. C. Probabilité d’obtenir blanc.
4. D. Probabilité d’obtenir gris.
5. E. Quelle couleur correspond à « presque une chance sur deux » ?
6. F. Vérifier que les trois probabilités couvrent toutes les issues.

Comparer les chances de gagner de deux joueurs dans des jeux à une seule épreuve.

1. A. Dé : Alice gagne sur un nombre pair, Bilal sur un nombre impair. Jeu équitable ?
2. B. Dé : Alice gagne sur 1 ou 2, Bilal sur 3, 4, 5 ou 6. Jeu équitable ?
3. C. Roue à 8 secteurs égaux : 4 A et 4 B. Jeu équitable ?
4. D. Urne : 5 rouges et 5 bleus ; Alice choisit rouge, Bilal bleu. Jeu équitable ?
5. E. Cartes 1 à 10 : Alice gagne si le numéro est premier, Bilal sinon. Jeu équitable ?
6. F. Proposer une modification simple de la règle E pour obtenir deux ensembles de 5 cartes.

Comparer plusieurs roues à secteurs égaux avant de choisir une stratégie.

1. A. Roue A : 8 secteurs égaux dont 3 gagnants. Probabilité de gagner ?
2. B. Roue B : 10 secteurs égaux dont 4 gagnants. Probabilité de gagner ?
3. C. Roue C : 12 secteurs égaux dont 5 gagnants. Probabilité de gagner ?
4. D. Comparer A et B.
5. E. Comparer B et C.
6. F. Quelle roue choisir pour maximiser la chance de gagner ?

Identifier l’erreur dans chaque raisonnement puis donner une correction précise.

1. A. « Sur un dé, les nombres impairs sont 1 et 3, donc la probabilité vaut \(\dfrac26\). »
2. B. « Dans une urne avec 2 rouges et 8 bleus, rouge et bleu ont chacun probabilité \(\dfrac12\) car il y a deux couleurs. »
3. C. « Une probabilité peut valoir 1,2 si l’évènement est très probable. »
4. D. « Sur 10 cartes, 3 sont gagnantes : la probabilité de gagner est \(\dfrac{10}{3}\). »
5. E. « Une roue a 5 secteurs, donc chaque secteur a probabilité \(\dfrac15\). »
6. F. « J’ai obtenu 47 Pile sur 100 lancers, donc la probabilité théorique de Pile est exactement 0,47. »

Qualifier des évènements et, lorsque c’est possible, donner leur probabilité.

1. A. Dé à six faces : obtenir un entier entre 1 et 6.
2. B. Dé à six faces : obtenir 0.
3. C. Cartes 1 à 20 : obtenir un multiple de 20.
4. D. Urne contenant uniquement 7 jetons jaunes : obtenir jaune.
5. E. Même urne : obtenir vert.
6. F. Dé à six faces : obtenir un nombre pair.

Exploiter les résultats d’une expérience réellement répétée et distinguer fréquence observée et probabilité théorique.

1. A. Lors de 40 lancers, on obtient 23 Pile et 17 Face. Vérifier l’effectif total.
2. B. Calculer la fréquence observée de Pile.
3. C. Calculer la fréquence observée de Face.
4. D. Quelle est la probabilité théorique de Pile pour une pièce équilibrée ?
5. E. La fréquence observée doit-elle être exactement égale à 0,5 sur 40 lancers ?
6. F. Vérifier que les deux fréquences observées donnent 100 % au total.

Lire un tableau de résultats expérimentaux et le comparer avec le modèle du dé équilibré.

1. A. Un dé est lancé 60 fois. Les effectifs des faces 1 à 6 sont 8, 11, 10, 9, 12, 10. Vérifier le total.
2. B. Fréquence observée de la face 5.
3. C. Fréquence observée de la face 1.
4. D. Probabilité théorique de chaque face si le dé est équilibré.
5. E. Quelle face est apparue le plus souvent dans cette série ?
6. F. Le fait que la face 5 apparaisse 12 fois prouve-t-il que le dé est truqué ?

Calculer plusieurs fréquences observées à partir d’un tableau et les confronter à une roue théorique à 4 secteurs égaux.

1. A. On effectue 100 lancers : rouge 28, bleu 21, vert 26, jaune 25. Vérifier le total.
2. B. Fréquence observée de rouge.
3. C. Fréquence observée de bleu.
4. D. Probabilité théorique de chaque couleur si les 4 secteurs sont égaux.
5. E. Quelle couleur a une fréquence observée exactement égale à la probabilité théorique ?
6. F. Les autres fréquences rendent-elles le modèle des 4 secteurs égaux impossible ?

Distinguer clairement deux nombres qui ne sont pas calculés de la même manière.

1. A. « Sur un dé équilibré, la chance d’obtenir 2 est \(\dfrac16\). » Probabilité ou fréquence ?
2. B. « Sur 50 lancers, la face 2 est sortie 7 fois, soit 14 %. » Probabilité ou fréquence ?
3. C. « Une roue a 10 secteurs égaux dont 4 rouges : 40 %. » Probabilité ou fréquence ?
4. D. « Dans 200 essais, le rouge est apparu 83 fois : 41,5 %. » Probabilité ou fréquence ?
5. E. Deux séries de 100 essais identiques doivent-elles avoir exactement les mêmes fréquences ?
6. F. Pourquoi est-il important de ne pas confondre fréquence et probabilité ?

Proposer un dispositif simple répondant à une probabilité imposée.

1. A. Proposer une urne donnant une probabilité \(\dfrac12\) de tirer rouge.
2. B. Proposer une roue à secteurs égaux donnant une probabilité \(\dfrac13\) de gagner.
3. C. Proposer un paquet de cartes identiques donnant une probabilité \(\dfrac34\) d’obtenir une étoile.
4. D. Proposer une urne donnant une probabilité \(\dfrac15\) de tirer vert.
5. E. Proposer un dispositif avec probabilité \(\dfrac23\) de succès.
6. F. Proposer un dispositif où l’évènement choisi est certain.

Déterminer le nombre d’issues favorables connaissant le nombre total d’issues équiprobables et la probabilité.

1. A. 12 jetons, \(P(R)=\dfrac13\). Combien de rouges ?
2. B. 20 jetons, \(P(B)=\dfrac35\). Combien de bleus ?
3. C. 15 cartes, \(P(\text{étoile})=\dfrac23\). Combien d’étoiles ?
4. D. 24 secteurs égaux, \(P(G)=\dfrac14\). Combien de secteurs gagnants ?
5. E. 30 jetons, probabilité 70 % d’obtenir jaune. Combien de jaunes ?
6. F. 40 cartes, probabilité 0,35 d’obtenir un symbole. Combien de cartes portent ce symbole ?

Résoudre un problème de dénombrement plus riche sans utiliser de formule d’union.

1. A. Probabilité d’obtenir un multiple de 4.
2. B. Probabilité d’obtenir un multiple de 6.
3. C. Probabilité d’obtenir un multiple de 4 ou de 6.
4. D. Pourquoi 12 n’est-il compté qu’une seule fois en C ?
5. E. Probabilité d’obtenir un multiple de 4 qui n’est pas multiple de 6.
6. F. Probabilité d’obtenir un nombre ne vérifiant aucune des deux propriétés « multiple de 4 » ou « multiple de 6 ».

Résoudre un problème inverse en reliant effectifs, total et probabilités.

1. A. Une urne contient 20 jetons. La probabilité de tirer rouge vaut 0,4. Combien de rouges ?
2. B. La probabilité de tirer bleu vaut 25 %. Combien de bleus ?
3. C. Tous les autres jetons sont verts. Combien de verts ?
4. D. Calculer la probabilité de tirer vert.
5. E. Quelle couleur est la plus probable ?
6. F. Vérifier que les trois probabilités sont cohérentes.

Comparer plusieurs règles de gain avant de choisir la plus avantageuse.

1. A. Règle A : gagner sur 1, 2 ou 3. Calculer la probabilité de gain.
2. B. Règle B : gagner sur un multiple de 2. Calculer la probabilité de gain.
3. C. Règle C : gagner sur un nombre strictement supérieur à 4. Calculer.
4. D. Règle D : gagner sur un nombre premier. Calculer.
5. E. Quelles règles donnent la meilleure chance de gagner ?
6. F. Un organisateur affirme que la règle C est « presque aussi bonne » que les autres. Comparer les probabilités par un écart.

Vérifier des affirmations à partir d’un lot fini de tickets supposés équiprobables.

1. A. Un lot contient 100 tickets : 8 gros gains, 17 petits gains et 75 tickets perdants. Combien de tickets gagnent quelque chose ?
2. B. Probabilité de gagner quelque chose.
3. C. La publicité « 1 chance sur 4 de gagner » est-elle exacte ?
4. D. Probabilité d’obtenir un gros gain.
5. E. Une affiche dit « presque 1 chance sur 10 de décrocher le gros gain ». Est-ce exact au sens strict ?
6. F. Quelle information essentielle manque encore pour juger si le jeu est financièrement intéressant ?

Passerelle vers la 4e - approfondissement non évaluatif.

Découvrir progressivement la relation entre un évènement et son évènement contraire. Cet exercice est un approfondissement non évaluatif du niveau 5e.

1. A. Dé équilibré : A = « obtenir 6 ». Calculer \(P(A)\).
2. B. Décrire l’évènement contraire de A avec des mots.
3. C. Calculer directement la probabilité de ne pas obtenir 6.
4. D. Vérifier la relation \(1-P(A)\).
5. E. Urne : \(P(R)=\dfrac38\). En utilisant la relation de la passerelle, calculer la probabilité de « non rouge ».
6. F. Pourquoi cet outil est-il particulièrement utile quand l’évènement contraire est plus simple à compter ?

Mobiliser vocabulaire, équiprobabilité, calcul de probabilité, fréquence observée et esprit critique dans une même situation.

1. A. Un jeu utilise 10 cartes identiques numérotées de 1 à 10. Lister les issues possibles.
2. B. On gagne si le numéro est multiple de 3. Calculer la probabilité théorique de gagner.
3. C. Un bonus est obtenu avec un numéro pair. Calculer sa probabilité.
4. D. Quel évènement est le plus probable : gagner ou obtenir le bonus ?
5. E. Sur 200 parties, le gain est observé 64 fois. Calculer la fréquence de gain.
6. F. La fréquence 32 % contredit-elle la probabilité théorique 30 % ? Interpréter.