Cours — Probabilités
Les probabilités permettent d’étudier les situations où le résultat dépend du hasard.
On apprend à reconnaître les issues possibles, les événements, et à calculer
des probabilités simples.
Hasard
Issues
Événements
Probabilités simples
Interprétation
1) Expérience aléatoire
\[
\text{Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.}
\]
On ne peut pas prévoir avec certitude le résultat obtenu avant l’expérience.
- Lancer un dé.
- Lancer une pièce.
- Tirer une boule dans une urne.
2) Les issues
Les issues sont les résultats possibles d’une expérience aléatoire.
\[
\text{Lancer un dé : } 1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6
\]
Ici, il y a 6 issues possibles.
3) Les événements
Un événement est un ou plusieurs résultats que l’on veut observer.
Exemple avec un dé :
- Obtenir un nombre pair.
- Obtenir un 6.
- Obtenir un nombre supérieur à 4.
4) Exemple d’événements avec un dé
| Événement | Issues favorables | Nombre d’issues favorables |
|---|---|---|
| Obtenir un nombre pair | \(2,4,6\) | 3 |
| Obtenir un nombre supérieur à 4 | \(5,6\) | 2 |
| Obtenir 1 | \(1\) | 1 |
5) Calcul d’une probabilité simple
\[
P(\text{événement})=\frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues possibles}}
\]
Exemple :
\[
P(\text{obtenir un nombre pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\]
La probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré est donc :
\[
\frac{1}{2}
\]
6) Événement impossible
Un événement impossible ne peut jamais se produire.
\[
P(\text{obtenir }7\text{ avec un dé})=0
\]
7) Événement certain
Un événement certain se produit toujours.
\[
P(\text{obtenir un nombre entre }1\text{ et }6)=1
\]
8) Interpréter une probabilité
| Valeur de la probabilité | Interprétation |
|---|---|
| \(0\) | Événement impossible |
| Proche de \(0\) | Événement peu probable |
| Proche de \(1\) | Événement très probable |
| \(1\) | Événement certain |
Une probabilité est toujours comprise entre :
\[
0 \text{ et } 1
\]
9) Exemple avec une pièce
Quand on lance une pièce équilibrée, il y a deux issues :
\[
\text{pile} \quad \text{ou} \quad \text{face}
\]
\[
P(\text{pile})=\frac{1}{2}
\qquad\text{et}\qquad
P(\text{face})=\frac{1}{2}
\]
10) Exemple avec une urne
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues.
\[
\text{Nombre total de boules}=5
\]
\[
P(\text{rouge})=\frac{3}{5}
\qquad\text{et}\qquad
P(\text{bleue})=\frac{2}{5}
\]
11) Méthode : calculer une probabilité
- Je repère toutes les issues possibles.
- Je compte les issues favorables à l’événement.
- J’écris la fraction : \[ \frac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}} \]
- Je simplifie si possible.
12) Erreurs fréquentes
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Oublier certaines issues | Il faut d’abord lister toutes les issues possibles |
| Écrire une probabilité supérieure à 1 | Une probabilité est toujours entre \(0\) et \(1\) |
| Confondre événement et issue | Une issue est un résultat ; un événement peut regrouper plusieurs issues |
| Ne pas simplifier une fraction | On simplifie quand c’est possible |
13) À retenir
- Une expérience aléatoire dépend du hasard.
- Les issues sont les résultats possibles.
- Un événement est un ou plusieurs résultats que l’on observe.
- La probabilité d’un événement est : \[ \frac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}} \]
- Une probabilité est toujours comprise entre \(0\) et \(1\).
- \(0\) signifie impossible et \(1\) signifie certain.