Exercices corrigés — Géométrie Plane : Figures Et Parallélisme (5e)

\([AB]\) est le segment d’extrémités \(A\) et \(B\). Les crochets indiquent que les extrémités appartiennent à l’objet.

\((AB)\) est la droite passant par \(A\) et \(B\) ; elle est illimitée dans les deux sens.

\([AB)\) est la demi-droite d’origine \(A\) passant par \(B\).

Les deux conditions de la définition du milieu sont vérifiées : \(M\) appartient au segment et \(AM=MB\). Donc \(M\) est le milieu de \([AB]\).

Un même codage sur deux segments signifie que leurs longueurs sont égales.

Un même arc de codage signifie que les deux angles ont la même mesure.

Comme \(AB=AC\), le triangle \(ABC\) possède deux côtés égaux issus de \(A\) : il est isocèle en \(A\).

Les trois côtés sont égaux : \(DEF\) est équilatéral.

Un triangle possédant un angle droit en \(H\) est rectangle en \(H\).

Il possède un angle droit en \(J\) et deux côtés adjacents égaux \(JK=JL\) : il est rectangle isocèle en \(J\).

Dans un triangle isocèle en \(A\), les angles à la base sont égaux : \(\widehat{ABC}=\widehat{BCA}\).

Les trois angles sont égaux et leur somme vaut \(180^\circ\), donc chacun mesure \(60^\circ\).

Oui : la plus grande longueur est \(5\) et \(3+4=7>5\). Le triangle est non aplati et constructible.

Non : \(2+3=5<6\). Les deux plus petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.

Oui : \(5+5=10>8\). Le triangle est constructible.

Non : \(4+4=8\). On obtiendrait trois points alignés, donc pas un triangle.

Oui : \(4{,}2+5{,}1=9{,}3>8{,}7\). La construction est possible.

Pour un vrai triangle, la somme des deux plus petites longueurs doit être strictement supérieure à la plus grande.

On peut choisir \([AB]\) comme base et tracer \(AB=6\) cm.

Tracer le cercle de centre \(A\) et de rayon \(5\) cm, car \(AC=5\) cm.

Tracer le cercle de centre \(B\) et de rayon \(4\) cm, car \(BC=4\) cm.

Le point \(C\) est une intersection des deux cercles : il est simultanément à \(5\) cm de \(A\) et à \(4\) cm de \(B\).

Deux cercles sécants ont deux points d’intersection symétriques par rapport à la droite des centres \((AB)\).

Tracer \([AB]\) de \(6\) cm ; tracer les deux cercles indiqués ; choisir une intersection pour \(C\) ; relier \(A\) à \(C\) et \(B\) à \(C\).

Tracer \([EF]\) de \(6\) cm fournit une base connue.

Tracer les cercles de centres \(E\) et \(F\), tous deux de rayon \(5\) cm. Leur intersection donne \(D\).

Parce que l’énoncé impose \(DE=DF=5\) cm.

Le sommet principal est \(D\) : les côtés \([DE]\) et \([DF]\) sont égaux.

Placer le même trait de codage sur \([DE]\) et \([DF]\).

Les deux intersections des cercles donnent deux triangles symétriques par rapport à \((EF)\).

Tracer \([AB]\) de \(7\) cm.

L’angle est \(\widehat{BAC}\), donc son sommet est \(A\).

Après avoir tracé une demi-droite formant \(60^\circ\) avec \([AB)\), le point \(C\) se place sur cette demi-droite.

On impose \(AC=5\) cm au compas ou à la règle graduée.

Le rapporteur permet de construire l’angle de \(60^\circ\).

Tracer \([AB]\), construire en \(A\) une demi-droite à \(60^\circ\), placer \(C\) à \(5\) cm de \(A\), puis relier \(B\) à \(C\).

Tracer \([DE]\) de \(6\) cm.

\(\widehat{EDF}\) a pour sommet \(D\) : construire en \(D\) une demi-droite à \(50^\circ\).

\(\widehat{DEF}\) a pour sommet \(E\) : construire en \(E\) une demi-droite à \(65^\circ\).

Le point \(F\) est l’intersection des deux demi-droites.

La somme vaut \(180^\circ\), donc \(\widehat{DFE}=180-50-65=65^\circ\).

Les deux angles et le côté compris fixent la forme ; on peut seulement obtenir l’image miroir de l’autre côté de \((DE)\).

C’est la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par le milieu de \([AB]\).

Avec un même rayon supérieur à la moitié de \(AB\), tracer deux arcs de centres \(A\) et \(B\). La droite joignant leurs intersections est la médiatrice.

Tout point de la médiatrice est équidistant de \(A\) et \(B\) : \(MA=MB\).

La réciproque est vraie : tout point équidistant de \(A\) et \(B\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).

Oui, par définition elle passe par le milieu du segment.

Elle est perpendiculaire à \((AB)\), donc l’angle formé vaut \(90^\circ\).

On a \(M\in[BC]\) et \(BM=MC\).

Le segment joignant un sommet au milieu du côté opposé est une médiane : \([AM]\) est la médiane issue de \(A\).

\([BN]\) est la médiane issue de \(B\).

\([CP]\) est la médiane issue de \(C\).

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point.

Non en général. La médiane ne doit pas être confondue avec la hauteur ; elle n’est perpendiculaire que dans certains triangles particuliers.

Le côté opposé à \(A\) est \([BC]\), porté par la droite \((BC)\).

La hauteur issue de \(A\) est la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\).

Le pied \(H\) est l’intersection de cette hauteur avec la droite \((BC)\).

Dans un triangle aigu, le pied est situé sur le segment \([BC]\).

Oui. Dans un triangle obtus, certaines hauteurs rencontrent le prolongement d’un côté : leur pied peut être extérieur au segment.

La hauteur est définie par une perpendicularité ; la médiane est définie par le milieu du côté opposé.

\(5+x>8\) donne \(x>3\).

\(5+8>x\) donne \(x<13\).

Ainsi \(3

Non, car \(2\le3\) : le triangle ne se ferme pas.

Oui, car \(3<10<13\).

Non : \(x=13\) donne un triangle aplati puisque \(5+8=13\).

Oui, si l’inégalité triangulaire est vérifiée, trois longueurs fixent le triangle à symétrie près.

Non. Sans angle ni troisième longueur, le troisième sommet peut varier continûment.

Oui. Les deux demi-droites construites aux extrémités du côté se coupent en un point déterminé.

Oui. Le côté commun et l’angle compris déterminent la position relative du troisième sommet.

Non pour la taille : tous les triangles ayant ces angles sont semblables mais peuvent être agrandis ou réduits.

Les angles fixent surtout la forme ; au moins une longueur est nécessaire pour fixer l’échelle du triangle.

Comme \(MA=MB\), le point \(M\) est équidistant de \(A\) et \(B\) ; il appartient donc à la médiatrice de \([AB]\).

De même, \(NA=NB\) implique que \(N\) appartient à cette médiatrice.

Deux points distincts déterminent une unique droite ; la droite \((MN)\) est donc la médiatrice de \([AB]\).

Une médiatrice est perpendiculaire au segment : \((MN)\perp(AB)\).

Oui, la médiatrice passe par le milieu de \([AB]\).

On utilise deux fois la réciproque de la propriété d’équidistance, puis l’unicité de la droite passant par deux points.

Construire la médiatrice de \([AB]\).

Construire la médiatrice de \([AC]\) ; deux médiatrices suffisent.

Comme \(O\) est sur la médiatrice de \([AB]\), on a \(OA=OB\).

Comme \(O\) est sur la médiatrice de \([AC]\), on a \(OA=OC\).

Par transitivité, \(OA=OB=OC\).

Tracer le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\) ; les égalités montrent qu’il passe aussi par \(B\) et \(C\).

Tracer par \(A\) la perpendiculaire à \((BC)\).

Tracer par \(B\) la perpendiculaire à \((AC)\).

Dans un triangle aigu, le point d’intersection des hauteurs est à l’intérieur du triangle.

Oui : les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.

Le point commun des hauteurs s’appelle l’orthocentre.

Deux droites non parallèles déterminent déjà leur intersection ; la troisième hauteur sert de vérification de la concurrence.

Non. Dans un triangle obtus, une hauteur peut rencontrer le prolongement du côté opposé.

Il faut prolonger la droite support du côté puis tracer la perpendiculaire.

La même situation peut se produire pour une autre hauteur selon le sommet obtus.

L’orthocentre d’un triangle obtusangle est à l’extérieur du triangle.

La définition utilise la droite contenant le côté opposé ; une perpendiculaire peut donc tomber hors du segment.

Il évite de croire qu’une hauteur doit toujours être contenue à l’intérieur du triangle.

On peut mesurer \(BC\) et en prendre la moitié, ou construire la médiatrice puis son intersection avec \([BC]\).

Le segment \([AM]\) est la médiane issue de \(A\).

Construire le milieu de \([AC]\) puis le relier à \(B\).

Construire le milieu de \([AB]\) puis le relier à \(C\).

Les trois médianes sont concourantes en un même point.

Non. Le centre du cercle circonscrit est l’intersection des médiatrices ; le point de concours des médianes est un autre point en général.

On a \(AB=AC\).

Comme \(M\) est le milieu du côté opposé \([BC]\), \([AM]\) est la médiane issue de \(A\).

Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi une hauteur.

Elle est donc perpendiculaire à \((BC)\) et passe par son milieu : c’est aussi la médiatrice de \([BC]\).

On a \(AB=AC\), \(BM=MC\) et \(AM\) commun ; les deux triangles sont superposables.

\((AM)\) est à la fois médiane, hauteur et médiatrice de la base \([BC]\).

Tout point de la médiatrice de \([BC]\) est équidistant de \(B\) et \(C\), donc \(AB=AC\).

Comme \(AB=5\) cm, on obtient \(AC=5\) cm.

Le triangle possède \(AB=AC\) : il est isocèle en \(A\).

Tracer d’abord \([BC]\) de \(7\) cm puis sa médiatrice.

Intersecter la médiatrice avec le cercle de centre \(B\) et de rayon \(5\) cm.

On obtient généralement deux positions symétriques de \(A\) par rapport à \((BC)\).

Tracer \([AB]\) puis les cercles de centre \(A\), rayon \(5\), et de centre \(B\), rayon \(6\) ; une intersection est \(C\).

L’intersection de deux médiatrices est le centre du cercle circonscrit.

Les médianes se coupent en un même point ; deux suffisent à le localiser.

Les hauteurs se coupent en l’orthocentre.

Non, dans un triangle quelconque ces points remarquables sont généralement distincts.

Dans des triangles très symétriques, notamment équilatéraux, plusieurs droites remarquables et leurs points de concours coïncident.

La condition \(AC=6\) décrit le cercle de centre \(A\) et de rayon \(6\) cm.

La condition \(BC=5\) décrit le cercle de centre \(B\) et de rayon \(5\) cm.

Les deux cercles sont sécants : ils ont deux intersections, donc deux positions de \(C\).

La droite des centres \((AB)\) est un axe de symétrie des deux cercles ; elle échange les deux intersections.

Oui : dans les deux cas \(AB=8\), \(AC=6\), \(BC=5\).

Les deux triangles ont les mêmes trois longueurs ; l’un est l’image miroir de l’autre, ils sont donc superposables.

Deux arcs de même rayon, centrés en \(A\) et \(B\), ont une intersection équidistante de \(A\) et \(B\).

La seconde intersection des mêmes arcs fournit un second point équidistant.

La droite joignant ces deux points est perpendiculaire à \((AB)\) et passe par le milieu de \([AB]\).

Par propriété de la médiatrice, tout point de cette droite est équidistant de \(A\) et \(B\).

Par la réciproque, tout point équidistant de \(A\) et \(B\) appartient à la médiatrice.

Le lieu géométrique est exactement la médiatrice de \([AB]\).

\(MA=MB\) signifie que \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).

\(MA=MC\) signifie que \(M\) appartient à la médiatrice de \([AC]\).

Construire ces deux médiatrices ; leur intersection est \(M\).

On a \(MB=MA\) et \(MA=MC\), donc \(MB=MC\) par transitivité.

\(M\) est le centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

Tracer le cercle de centre \(O\) et de rayon \(MA\) : il passe par \(A,B,C\).

Tous les rayons d’un même cercle ont la même longueur : si \(O\) est le centre, \(OA=OB\).

Le centre \(O\) appartient donc à la médiatrice de \([AB]\).

Comme \(OA=OC\), \(O\) appartient aussi à la médiatrice de \([AC]\).

Construire les deux médiatrices ; leur intersection est le centre \(O\).

Deux droites non parallèles déterminent un unique point d’intersection ; la troisième médiatrice passerait par le même point.

Mesurer ou comparer au compas \(OA,OB,OC\) : les trois distances doivent être égales.

Il faut \(FA=FB=FC\).

Les points vérifiant \(FA=FB\) appartiennent à la médiatrice de \([AB]\).

Utiliser par exemple la médiatrice de \([AC]\).

Le point \(F\) est l’intersection de ces deux médiatrices.

Comme \(FB=FA\) et \(FA=FC\), on obtient \(FB=FC\).

Le cercle de centre \(F\) passe par les trois sommets et matérialise l’égalité des trois distances.

Comme \(C\) est sur la médiatrice de \([AB]\), on a \(CA=CB\).

Deux côtés sont égaux : \(ABC\) est isocèle en \(C\).

Le sommet principal est \(C\), commun aux côtés égaux \([CA]\) et \([CB]\).

Dans un triangle isocèle en \(C\), les angles à la base sont égaux : \(\widehat{CAB}=\widehat{ABC}\).

La médiatrice passe par \(C\) et le milieu \(M\) ; donc \((CM)\perp(AB)\).

Coder \(CA=CB\), \(AM=MB\) et l’angle droit en \(M\).

Non : le point \(C\) peut tourner autour de \(A\) tout en restant à \(5\) cm, avec beaucoup de valeurs possibles de \(BC\).

Oui : trois longueurs compatibles déterminent le triangle à symétrie près.

Oui : tracer \([AB]\), puis les deux angles aux extrémités ; leurs côtés se coupent en \(C\).

Non : les angles fixent la forme mais pas la taille ; on peut agrandir ou réduire le triangle.

Non : on sait seulement que \(A\) est sur la médiatrice de \([BC]\), mais sa distance à la base reste libre.

Une donnée redondante permet de vérifier qu’une construction ou un calcul est cohérent, même si elle n’est pas nécessaire pour déterminer la figure.

Les médiatrices des côtés ; deux suffisent pour localiser leur intersection.

Ce sont les médianes.

Ce sont les hauteurs.

Non : médiatrice = milieu + perpendicularité ; médiane = sommet + milieu ; hauteur = sommet + perpendicularité au côté opposé.

Par symétrie, médianes, hauteurs et médiatrices se confondent deux à deux et leurs points de concours sont le même point.

Le codage garde la trace des propriétés construites et permet de justifier les conclusions sans dépendre de l’apparence du dessin.

\(M\in[AB]\) et \(AM=MB\).

\(N\in[AC]\) et \(AN=NC\).

La propriété admise donne \((MN)\parallel(BC)\).

\(MN=BC/2=10/2=5\) cm.

\(BC=2MN=2\times3{,}5=7\) cm.

La propriété du segment des milieux est étudiée au niveau suivant ; ici elle sert uniquement d’enrichissement et est fournie dans l’énoncé.

Tracer \([AB]\) de \(6\) cm ; intersecter le cercle de centre \(A\), rayon \(5\), avec celui de centre \(B\), rayon \(7\) ; l’intersection choisie est \(C\).

Construire deux médiatrices. Leur intersection \(O\) doit vérifier \(OA=OB=OC\).

Il faut d’abord construire le milieu \(M\) de \([BC]\), puis tracer \([AM]\).

Tracer par \(A\) la perpendiculaire à \((BC)\) et vérifier l’angle droit au pied.

Non, pas dans un triangle quelconque. Elles ne se confondent que dans certains cas particuliers, par exemple si le triangle est isocèle en \(A\).

Contrôler les trois longueurs, les milieux, les angles droits des hauteurs et l’égalité des rayons du cercle circonscrit ; le codage doit refléter ces vérifications.