Exercices — Géométrie plane : figures et parallélisme (avec corrigés)
20 exercices progressifs sur les droites, segments, demi-droites, points alignés, parallélisme, angles, triangles et constructions de base.
Exercice 1 — Vocabulaire de base
Compléter avec les mots : point, segment, droite, demi-droite.
1. \([AB]\) désigne un ________.
2. \((AB)\) désigne une ________.
3. \([AB)\) désigne une ________ d’origine \(A\).
4. \(A\) désigne un ________.
1. \([AB]\) désigne un ________.
2. \((AB)\) désigne une ________.
3. \([AB)\) désigne une ________ d’origine \(A\).
4. \(A\) désigne un ________.
Corrigé :
1. \([AB]\) désigne un segment.
2. \((AB)\) désigne une droite.
3. \([AB)\) désigne une demi-droite d’origine \(A\).
4. \(A\) désigne un point.
2. \((AB)\) désigne une droite.
3. \([AB)\) désigne une demi-droite d’origine \(A\).
4. \(A\) désigne un point.
Exercice 2 — Appartenance
On sait que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés sur la droite \((d)\).
Compléter avec \(\in\) ou \(\notin\) :
\[ A\;...\;(d),\quad B\;...\;(d),\quad C\;...\;(d) \]
Compléter avec \(\in\) ou \(\notin\) :
\[ A\;...\;(d),\quad B\;...\;(d),\quad C\;...\;(d) \]
Corrigé :
Comme \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés sur la droite \((d)\), on écrit :
\[
A\in(d),\quad B\in(d),\quad C\in(d)
\]
Exercice 3 — Points alignés
Que signifie l’expression : “Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés” ?
Corrigé :
Cela signifie que les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent à une même droite.
Exercice 4 — Tracer une figure simple
Tracer trois points \(A\), \(B\), \(C\) non alignés, puis tracer les segments \([AB]\), \([BC]\) et \([AC]\). Quelle figure obtient-on ?
Corrigé :
On obtient un triangle \(ABC\).
Exercice 5 — Parallèles ou non
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
1. Deux droites parallèles ne se coupent jamais.
2. Deux droites parallèles peuvent avoir un point commun.
3. Deux droites confondues sont parallèles.
1. Deux droites parallèles ne se coupent jamais.
2. Deux droites parallèles peuvent avoir un point commun.
3. Deux droites confondues sont parallèles.
Corrigé :
1. Vrai.
2. Faux.
3. Vrai dans le sens large : deux droites confondues ont la même direction. En collège, on distingue souvent les droites parallèles strictes des droites confondues.
2. Faux.
3. Vrai dans le sens large : deux droites confondues ont la même direction. En collège, on distingue souvent les droites parallèles strictes des droites confondues.
Exercice 6 — Reconnaître des positions
Compléter :
1. Si deux droites ont un seul point commun, elles sont ________.
2. Si deux droites n’ont aucun point commun, elles peuvent être ________.
3. Si deux droites ont tous leurs points communs, elles sont ________.
1. Si deux droites ont un seul point commun, elles sont ________.
2. Si deux droites n’ont aucun point commun, elles peuvent être ________.
3. Si deux droites ont tous leurs points communs, elles sont ________.
Corrigé :
1. Elles sont sécantes.
2. Elles peuvent être parallèles.
3. Elles sont confondues.
2. Elles peuvent être parallèles.
3. Elles sont confondues.
Exercice 7 — Segment et milieu
On sait que \(M\in[AB]\), \(AM=4\) cm et \(MB=4\) cm.
Que peut-on dire de \(M\) ?
Que peut-on dire de \(M\) ?
Corrigé :
Comme \(M\) appartient au segment \([AB]\) et que \(AM=MB\), le point \(M\) est le milieu du segment \([AB]\).
Exercice 8 — Construction avec règle
Construire un segment \([AB]\) de longueur \(6\) cm puis placer son milieu \(M\).
Quelle est la longueur de \(AM\) ? de \(MB\) ?
Quelle est la longueur de \(AM\) ? de \(MB\) ?
Corrigé :
Comme \(M\) est le milieu de \([AB]\), on a :
\[
AM=MB=\frac{6}{2}=3
\]
donc :
\[
AM=3\text{ cm} \quad \text{et} \quad MB=3\text{ cm}
\]
Exercice 9 — Triangle et côtés
Dans le triangle \(ABC\), nommer :
1. les sommets ;
2. les côtés ;
3. les angles.
1. les sommets ;
2. les côtés ;
3. les angles.
Corrigé :
Dans le triangle \(ABC\) :
1. les sommets sont \(A\), \(B\), \(C\) ;
2. les côtés sont \([AB]\), \([BC]\), \([AC]\) ;
3. les angles sont \(\widehat{ABC}\), \(\widehat{BCA}\), \(\widehat{CAB}\).
1. les sommets sont \(A\), \(B\), \(C\) ;
2. les côtés sont \([AB]\), \([BC]\), \([AC]\) ;
3. les angles sont \(\widehat{ABC}\), \(\widehat{BCA}\), \(\widehat{CAB}\).
Exercice 10 — Somme des angles d’un triangle
Dans un triangle \(ABC\), on sait que \(\widehat{A}=50^\circ\) et \(\widehat{B}=60^\circ\). Calculer \(\widehat{C}\).
Corrigé :
Dans un triangle, la somme des angles vaut :
\[
180^\circ
\]
Donc :
\[
\widehat{C}=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ
\]
Exercice 11 — Angles alternes-internes
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle mesure \(65^\circ\).
Quelle est la mesure de l’angle alternes-internes correspondant ?
Quelle est la mesure de l’angle alternes-internes correspondant ?
Corrigé :
Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux.
Donc l’angle correspondant mesure aussi : \[ 65^\circ \]
Donc l’angle correspondant mesure aussi : \[ 65^\circ \]
Exercice 12 — Angles correspondants
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle correspondant mesure \(112^\circ\). Quelle est la mesure de l’autre angle correspondant ?
Corrigé :
Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants sont égaux.
Donc l’autre angle mesure : \[ 112^\circ \]
Donc l’autre angle mesure : \[ 112^\circ \]
Exercice 13 — Construction de parallèles
On donne une droite \((d)\) et un point \(A\) n’appartenant pas à \((d)\).
Expliquer comment construire la droite passant par \(A\) et parallèle à \((d)\).
Expliquer comment construire la droite passant par \(A\) et parallèle à \((d)\).
Corrigé :
Avec une règle et une équerre :
1. placer un côté de l’équerre sur \((d)\) ;
2. faire glisser l’équerre le long de la règle ;
3. s’arrêter lorsque l’équerre passe par \(A\) ;
4. tracer la droite par \(A\).
La droite obtenue est parallèle à \((d)\).
1. placer un côté de l’équerre sur \((d)\) ;
2. faire glisser l’équerre le long de la règle ;
3. s’arrêter lorsque l’équerre passe par \(A\) ;
4. tracer la droite par \(A\).
La droite obtenue est parallèle à \((d)\).
Exercice 14 — Interpréter une figure
On sait que \((AB)\parallel(CD)\) et que la droite \((AC)\) coupe ces deux droites.
Citer une paire d’angles égaux que l’on peut affirmer grâce au parallélisme.
Citer une paire d’angles égaux que l’on peut affirmer grâce au parallélisme.
Corrigé :
Comme \((AB)\parallel(CD)\) et \((AC)\) est une sécante, on peut affirmer par exemple que deux angles alternes-internes sont égaux.
Selon la figure, on peut citer une paire d’angles correspondants ou alternes-internes égaux.
Selon la figure, on peut citer une paire d’angles correspondants ou alternes-internes égaux.
Exercice 15 — Figure codée
Sur une figure, deux segments portent le même codage. Que signifie ce codage ?
Deux angles portent le même arc de codage. Que signifie ce codage ?
Deux angles portent le même arc de codage. Que signifie ce codage ?
Corrigé :
Même codage sur deux segments : cela signifie qu’ils ont la même longueur.
Même codage sur deux angles : cela signifie qu’ils ont la même mesure.
Même codage sur deux angles : cela signifie qu’ils ont la même mesure.
Exercice 16 — Propriété avec une sécante
Deux droites parallèles \((d_1)\) et \((d_2)\) sont coupées par une droite \((s)\).
Un angle vaut \(38^\circ\). Donner la mesure d’un angle supplémentaire situé sur la même droite.
Un angle vaut \(38^\circ\). Donner la mesure d’un angle supplémentaire situé sur la même droite.
Corrigé :
Deux angles supplémentaires ont une somme égale à :
\[
180^\circ
\]
Donc l’angle demandé mesure :
\[
180^\circ-38^\circ=142^\circ
\]
Exercice 17 — Triangle isocèle simple
Dans un triangle isocèle en \(A\), on sait que \(\widehat{B}=70^\circ\). Calculer \(\widehat{C}\), puis \(\widehat{A}\).
Corrigé :
Dans un triangle isocèle en \(A\), les angles à la base sont égaux, donc :
\[
\widehat{C}=\widehat{B}=70^\circ
\]
La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), donc :
\[
\widehat{A}=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ
\]
Exercice 18 — Programme de construction
Rédiger un programme de construction pour un triangle \(ABC\) tel que :
\[ AB=5\text{ cm},\quad AC=4\text{ cm},\quad BC=6\text{ cm} \]
\[ AB=5\text{ cm},\quad AC=4\text{ cm},\quad BC=6\text{ cm} \]
Corrigé :
Programme de construction possible :
1. tracer le segment \([AB]\) de longueur \(5\) cm ;
2. tracer le cercle de centre \(A\) et de rayon \(4\) cm ;
3. tracer le cercle de centre \(B\) et de rayon \(6\) cm ;
4. noter \(C\) un point d’intersection des deux cercles ;
5. tracer les segments \([AC]\) et \([BC]\).
1. tracer le segment \([AB]\) de longueur \(5\) cm ;
2. tracer le cercle de centre \(A\) et de rayon \(4\) cm ;
3. tracer le cercle de centre \(B\) et de rayon \(6\) cm ;
4. noter \(C\) un point d’intersection des deux cercles ;
5. tracer les segments \([AC]\) et \([BC]\).
Exercice 19 — Raisonnement géométrique
Expliquer pourquoi deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
Corrigé :
Dans le plan, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles ont la même direction.
On en déduit qu’elles sont parallèles.
On en déduit qu’elles sont parallèles.
Exercice 20 — Problème final
Dans le triangle \(ABC\), on sait que \(\widehat{A}=45^\circ\).
On sait aussi que \(\widehat{B}\) est le double de \(\widehat{A}\).
Calculer \(\widehat{B}\) puis \(\widehat{C}\).
On sait aussi que \(\widehat{B}\) est le double de \(\widehat{A}\).
Calculer \(\widehat{B}\) puis \(\widehat{C}\).
Corrigé :
Comme \(\widehat{B}\) est le double de \(\widehat{A}\), on a :
\[
\widehat{B}=2\times 45^\circ=90^\circ
\]
Puis, dans un triangle :
\[
\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ
\]
donc :
\[
\widehat{C}=180^\circ-45^\circ-90^\circ=45^\circ
\]