Géométrie plane : figures et parallélisme

Angles et droites parallèles (correspondants, alternes-internes) • triangles (sommes d’angles, constructions) • parallélogrammes (propriétés) • raisonnements simples — programme de 5e.

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Cours premium — Géométrie plane : figures et parallélisme
Angles avec des droites parallèles • triangles (angles, constructions) • parallélogrammes • raisonnements simples.
5e Constructions Méthodes
1) Angles : vocabulaire et mesure
Notations
  • Un angle se note : \(\widehat{ABC}\) (sommet : \(B\)).
  • Sa mesure est en degrés : \(m(\widehat{ABC})=35^\circ\).
  • Angles opposés par le sommet : mêmes mesures.
Repères rapides
  • Angle droit : \(90^\circ\).
  • Angle plat : \(180^\circ\).
  • Angle nul : \(0^\circ\).
  • Aigu : \(<90^\circ\) ; obtus : \(>90^\circ\).
Réflexe : pour un raisonnement, écris toujours la phrase : “On cherche \(m(\widehat{...})\).”
2) Angles et droites parallèles
Si deux droites \((d)\) et \((d')\) sont parallèles et coupées par une sécante \((s)\), alors certains angles ont la même mesure.
À retenir (les 2 familles qui font gagner les points)
  • Angles correspondants : mêmes positions → égaux.
  • Angles alternes-internes : “en Z” → égaux.
Et aussi : les angles adjacents sur une droite font \(180^\circ\).
Exemple guidé 1 — “Z” + complément à 180°
On sait \((d)\parallel(d')\). Un angle alterne-interne mesure \(52^\circ\). Trouver l’angle adjacent sur la même droite.
Les alternes-internes sont égaux ⇒ l’angle correspondant “en face” vaut aussi \(52^\circ\). L’angle adjacent sur la même droite est supplémentaire : \[ 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ \]
Réponse : \(\boxed{128^\circ}\)
Piège : “correspondants” ≠ “adjacents”. Avant d’annoncer “égaux”, vérifie la position (même “coin”).
3) Triangles : angles et propriétés
Somme des angles d’un triangle
Dans tout triangle \(ABC\) : \[ m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \]
Triangles particuliers
  • Isocèle : deux côtés égaux ⇒ deux angles à la base égaux.
  • Rectangle : un angle de \(90^\circ\).
  • Équilatéral : trois côtés égaux ⇒ trois angles de \(60^\circ\).
Raisonnement type
  • J’identifie le type de triangle (isocèle, rectangle…).
  • J’utilise l’égalité d’angles ou la somme \(180^\circ\).
  • Je conclus par une phrase : “Donc \(m(\widehat{...})=...^\circ\).”
Exemple guidé 2 — Triangle isocèle
\(ABC\) est isocèle en \(A\) (donc \(AB=AC\)). On sait \(m(\widehat{B})=47^\circ\). Trouver \(m(\widehat{C})\) puis \(m(\widehat{A})\).
Isocèle en \(A\) ⇒ angles à la base égaux : \(m(\widehat{C})=m(\widehat{B})=47^\circ\). Somme des angles : \[ m(\widehat{A})=180^\circ-47^\circ-47^\circ=86^\circ \]
Réponses : \(\boxed{m(\widehat{C})=47^\circ;\ m(\widehat{A})=86^\circ}\)
4) Constructions de triangles (méthodes pas à pas)
Méthode 1 — Construire avec 3 côtés (SSS)
  1. Tracer un segment \([AB]\) de longueur donnée.
  2. Tracer le cercle de centre \(A\) de rayon \(AC\).
  3. Tracer le cercle de centre \(B\) de rayon \(BC\).
  4. Le point \(C\) est à l’intersection des deux cercles (il peut y avoir 2 positions).
Contrôle : vérifier à la règle que \(AC\) et \(BC\) ont les bonnes longueurs.
Méthode 2 — Construire avec 2 côtés + l’angle compris (SAS)
  1. Tracer \([AB]\) (premier côté).
  2. Au point \(A\), construire l’angle \(\widehat{BAC}\) (au rapporteur).
  3. Sur le rayon, placer \(C\) tel que \(AC\) ait la longueur donnée.
  4. Relier \(C\) à \(B\).
Piège : l’angle doit être au bon sommet (ici en \(A\)).
Méthode 3 — Construire avec 1 côté + 2 angles (ASA)
  1. Tracer \([AB]\).
  2. Construire l’angle en \(A\) (direction de \([AC)\)).
  3. Construire l’angle en \(B\) (direction de \([BC)\)).
  4. Le point \(C\) est l’intersection des deux demi-droites.
5) Parallélogrammes : définition et propriétés
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Propriétés à connaître
  • Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
  • Les angles opposés ont la même mesure.
  • Les diagonales se coupent en leur milieu.
Exemple guidé 3 — Diagonales
\(ABCD\) est un parallélogramme. Les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(O\). On sait \(AO=4\) cm. Trouver \(OC\).
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : \[ AO=OC \] Donc \(OC=4\) cm.
Réponse : \(\boxed{OC=4\text{ cm}}\)
Piège : “diagonales égales” n’est pas toujours vrai (c’est vrai pour un rectangle, pas pour tous les parallélogrammes).
6) Raisonnements simples : la méthode Learna
Plan en 4 lignes
  1. Données : je recopie ce qu’on sait (par ex. \((d)\parallel(d')\), triangle isocèle…).
  2. Propriété : j’écris la règle utilisée (correspondants égaux, somme = \(180^\circ\)…).
  3. Calcul : je calcule proprement.
  4. Conclusion : phrase finale (“Donc …”).
Astuce : écrire “car” ou “donc” pour montrer le lien logique.