Cours — Géométrie plane : figures et parallélisme
Tout ce qu’il faut pour reconnaître les figures planes usuelles, comprendre le parallélisme, utiliser les propriétés d’angles et construire proprement des figures.
Droites
Parallèles
Sécantes
Angles
Triangles
Constructions
1) Droites parallèles et droites sécantes
\[
(d_1)\parallel(d_2)
\qquad ; \qquad
(d_3)\cap(d_4)=\{A\}
\]
Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ne se coupent jamais.
Deux droites sont sécantes lorsqu’elles se coupent en un point.
Deux droites sont sécantes lorsqu’elles se coupent en un point.
2) Vocabulaire de base en géométrie plane
| Objet | Description | Exemple |
|---|---|---|
| Point | Position dans le plan | \(A\), \(B\), \(C\) |
| Segment | Portion de droite limitée par deux points | \([AB]\) |
| Droite | Ligne illimitée des deux côtés | \((AB)\) |
| Demi-droite | Ligne d’origine un point | \([AB)\) |
3) Figures planes usuelles
| Figure | Caractéristique | Exemple de propriété |
|---|---|---|
| Triangle | 3 côtés | La somme des angles vaut \(180^\circ\) |
| Quadrilatère | 4 côtés | Peut être rectangle, carré, losange… |
| Cercle | Ensemble des points à même distance d’un centre | Tous les rayons sont égaux |
En géométrie plane, on travaille avec des figures dessinées sur une surface plane.
4) Quand deux droites se coupent
Lorsque deux droites sécantes se coupent, elles forment quatre angles.
Angles opposés par le sommet
\[
\text{Ils ont la même mesure.}
\]
Angles adjacents
\[
\text{Ils ont le même sommet et un côté commun.}
\]
5) Droites parallèles coupées par une sécante
| Type d’angles | Propriété |
|---|---|
| Angles correspondants | Égaux |
| Angles alternes-internes | Égaux |
| Angles internes du même côté | Somme \(=180^\circ\) |
Ces propriétés sont valables lorsque les deux droites sont parallèles.
6) Reconnaître ou justifier un parallélisme
Pour reconnaître
- on observe si les droites ne se rencontrent pas ;
- on peut utiliser une équerre ou une règle ;
- on peut aussi utiliser les propriétés des angles.
Pour justifier
\[
\text{Si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles.}
\]
7) Méthode : tracer une parallèle
\[
\text{On veut tracer une droite parallèle à }(d)\text{ passant par }A.
\]
Méthode avec règle et équerre :
1. Je place un côté de l’équerre sur la droite \((d)\).
2. Je maintiens la règle contre l’équerre.
3. Je fais glisser l’équerre jusqu’au point \(A\).
4. Je trace la droite : elle est parallèle à \((d)\).
1. Je place un côté de l’équerre sur la droite \((d)\).
2. Je maintiens la règle contre l’équerre.
3. Je fais glisser l’équerre jusqu’au point \(A\).
4. Je trace la droite : elle est parallèle à \((d)\).
8) Lien avec les triangles
\[
\text{Dans certaines figures, des droites parallèles créent des angles égaux dans les triangles.}
\]
Le parallélisme intervient très souvent dans l’étude des triangles, des quadrilatères et des constructions géométriques.
9) Exemple simple
\[
(AB)\parallel(CD)
\]
\[
\text{Une droite }(EF)\text{ coupe }(AB)\text{ et }(CD).
\]
Les angles correspondants formés sont égaux.
Les angles alternes-internes formés sont aussi égaux.
Les angles alternes-internes formés sont aussi égaux.
10) Erreurs fréquentes
| Erreur | Pourquoi c’est faux | Correction |
|---|---|---|
| Confondre parallèle et perpendiculaire | Deux droites perpendiculaires se coupent en angle droit | Deux parallèles ne se coupent jamais |
| Dire que deux droites sont parallèles “à vue” sans justification | Le dessin peut être trompeur | Utiliser une propriété ou un instrument |
| Utiliser les propriétés des angles sans vérifier le parallélisme | Les propriétés ne sont pas toujours valables | Vérifier d’abord que les droites sont parallèles |
11)*
À retenir
- Deux droites parallèles ne se coupent jamais.
- Deux droites sécantes se coupent en un point.
- Quand deux droites parallèles sont coupées par une sécante, certains angles sont égaux.
- Les angles alternes-internes et correspondants sont égaux.
- Les angles internes du même côté ont une somme de \(180^\circ\).
- On peut tracer des parallèles avec une règle et une équerre.