Exercices corrigés de maths 5ème : Géométrie de l’espace — Solides et patrons

Le solide A possède six faces carrées : c’est un cube.

Le solide B possède six faces rectangulaires : c’est un pavé droit.

Le solide C possède deux bases triangulaires parallèles et superposables reliées par des faces latérales rectangulaires : c’est un prisme droit triangulaire.

Le solide D possède deux bases circulaires parallèles et une surface latérale courbe : c’est un cylindre de révolution.

Le cylindre est le seul des quatre solides à avoir deux bases circulaires.

Un prisme droit triangulaire possède deux triangles identiques et parallèles comme bases : il s’agit de C.

Un cube possède 6 faces, toutes carrées.

On compte 4 arêtes sur la face avant, 4 sur la face arrière et 4 qui relient ces deux faces : 12 arêtes.

Un pavé droit possède 4 sommets sur chacune de deux faces opposées : 8 sommets.

Il possède 2 bases triangulaires et 3 faces latérales rectangulaires : \(2+3=5\) faces.

Les deux triangles fournissent \(3+3=6\) arêtes et les 3 arêtes latérales relient les sommets correspondants : \(6+3=9\).

Les deux bases d’un cylindre de révolution sont deux disques superposables, parallèles et de même rayon.

Une seule case porte 0 ; les 5 autres cases correspondent à des piles non vides.

On additionne les hauteurs : \(2+1+1+3+2=9\) cubes.

La plus grande valeur du plan de dessus est 3.

Pour chaque colonne, on garde la hauteur maximale entre l’avant et l’arrière : \(\max(2,1)=2\), \(\max(0,3)=3\), \(\max(1,2)=2\).

Sur la rangée avant, la hauteur maximale est 3 ; sur la rangée arrière, elle est 2.

L’empilement comptait 9 cubes. En en retirant un, il en reste \(9-1=8\).

On additionne les hauteurs non nulles : \(1+2+2+2+1=8\).

La case avant-gauche du plan porte le nombre 2.

On prend le maximum dans chaque colonne : \(\max(1,2)=2\), \(\max(2,2)=2\), \(\max(0,1)=1\).

Le maximum de la rangée avant vaut 2 et celui de la rangée arrière vaut également 2.

Plusieurs empilements peuvent avoir la même silhouette vue de face. Il faut d’autres informations, par exemple la vue de dessus.

Il y a trois piles de hauteur 2. Il faut retirer un cube au sommet de chacune : 3 cubes.

La face avant \(ABCD\) est représentée par un rectangle.

Dans un pavé droit, les quatre arêtes d’une même direction sont parallèles : \([AB]\), \([DC]\), \([EF]\) et \([HG]\).

Les pointillés signalent une arête cachée dans cette représentation ; \([AE]\) en est une.

Ces arêtes sont parallèles dans le pavé ; la perspective cavalière conserve ce parallélisme.

Une arête fuyante est représentée selon une convention de perspective ; sa longueur dessinée n’est pas automatiquement sa longueur réelle.

La perspective cavalière rend visibles plusieurs faces et conserve les incidences et parallélismes utiles pour comprendre le solide.

Un cube possède 6 faces carrées et le patron contient bien 6 carrés.

Dans le patron, A et C partagent un côté.

A, B, D et F se replient autour de C ; E vient fermer le cube face à C.

A et D se replient sur deux côtés opposés du cube.

B et F se replient de part et d’autre de C et deviennent opposées.

Deux faces opposées d’un cube sont parallèles et disjointes ; elles ne peuvent donc pas avoir d’arête commune.

Chaque face d’un pavé droit est un rectangle ; on peut donc commencer par une face rectangulaire.

Les arêtes correspondantes du pavé sont parallèles ; la représentation doit conserver ce parallélisme.

Une même direction de l’espace est représentée avec la même convention de réduction ; des arêtes égales restent donc dessinées de même longueur.

Les quatre nouveaux points sont reliés dans le même ordre que les sommets de la face avant.

Le trait pointillé est une convention courante pour signaler une arête non visible.

Dans la convention utilisée au collège, les arêtes parallèles restent parallèles ; elles ne convergent donc pas vers un point de fuite.

Les triangles \(ABC\) et \(DEF\) sont parallèles et superposables : ce sont les bases.

Les sommets correspondants A-D et B-E définissent une face latérale rectangulaire \(AD EB\).

Elles relient les sommets correspondants des deux bases.

Dans un prisme droit, les arêtes latérales sont toutes parallèles et égales.

La base est un triangle ; chaque côté de la base correspond à une face latérale, donc 3 faces latérales.

Il y a 2 bases et 3 faces latérales : \(2+3=5\).

Un cylindre de révolution possède deux bases circulaires identiques et parallèles.

Le segment part du centre de la base et rejoint son bord : c’est un rayon.

La hauteur est la distance entre les deux plans parallèles contenant les bases.

Le dessin plan donne une impression de profondeur ; un cercle horizontal est donc représenté par une ellipse dans cette convention.

Cette partie du bord de la base inférieure n’est pas visible depuis le point de vue choisi.

La hauteur du cylindre correspond à la séparation des deux bases ; elle doit être adaptée tout en gardant la même convention de représentation.

Un pavé droit possède 6 faces, donc son patron comporte 6 rectangles.

Les faces opposées ont les mêmes dimensions : il y a deux rectangles \(6\times4\).

Il y a une paire de faces opposées de dimensions \(6\times3\).

Il y a une paire de faces opposées de dimensions \(4\times3\).

Deux faces qui se rejoignent partagent une même arête du solide ; les côtés correspondants du patron doivent donc avoir la même longueur.

Les trois longueurs 6 cm, 4 cm et 3 cm apparaissent comme dimensions des trois types de faces.

Les deux bases du prisme sont deux triangles identiques.

La base triangulaire a 3 côtés ; il y a donc 3 faces latérales rectangulaires.

Une dimension est la hauteur du prisme, 6 cm ; l’autre est le côté correspondant de la base, 3 cm.

Même raisonnement : hauteur du prisme \(6\) cm et côté de base \(4\) cm.

Le troisième côté de la base mesure 5 cm.

Par définition d’un prisme droit, les deux bases sont des polygones parallèles et superposables.

Les deux disques sont les bases ; le rectangle devient la surface latérale après enroulement.

Les bases du cylindre ont le même rayon que le cylindre : 2 cm.

Lorsque le rectangle est enroulé, cette dimension relie les deux bases : elle correspond à la hauteur du cylindre.

Elle doit faire le tour du disque : \(2\pi r=2\pi\times2=4\pi\) cm.

\(4\pi\approx4\times3{,}14=12{,}56\) cm.

Sinon le rectangle ne ferait pas exactement un tour autour du disque et le patron ne pourrait pas former le cylindre.

\(V=4^3=64\). Le volume est \(64\,\text{cm}^3\).

\(V=7\times3\times5=105\). Le volume est \(105\,\text{cm}^3\).

\(V=\mathcal A_{base}\times h=12\times8=96\,\text{cm}^3\).

\(V=6^3=216\,\text{cm}^3\).

\(V=10\times4\times2=80\,\text{cm}^3\).

\(V=7{,}5\times6=45\,\text{cm}^3\).

On utilise \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{L}\). Donc \(3\,\text{dm}^3=3\,\text{L}\).

\(1000\,\text{cm}^3=1\,\text{L}\), donc \(2500\,\text{cm}^3=2{,}5\,\text{L}\).

\(1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^3\), donc \(1{,}8\times1000=1800\,\text{cm}^3\).

\(1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3\), donc \(0{,}45\times1000=450\,\text{cm}^3\).

On utilise \(1\,\text{mL}=1\,\text{cm}^3\). Donc \(750\,\text{mL}=750\,\text{cm}^3\).

\(1\,\text{m}^3=1000\,\text{L}\), donc \(2{,}4\times1000=2400\,\text{L}\).

La perspective cavalière représente le solide dans le plan en donnant une impression de profondeur.

Un patron est une mise à plat des faces destinée à être pliée pour reformer le solide.

La vue de face donne seulement les dimensions de la face visible ; la profondeur est perpendiculaire à cette face et n’y apparaît pas.

\(V=6\times4\times3=72\,\text{cm}^3\).

Deux faces opposées du pavé ont ces dimensions.

La perspective suggère la profondeur alors que le patron met toutes les faces à plat sans superposition.

Sur le dessin, elles n’ont pas la même direction ; c’est incompatible avec le parallélisme réel de ces arêtes.

Leur pente est différente sur ce dessin ; elles devraient être parallèles.

Les quatre arêtes de profondeur représentent une même direction de l’espace et doivent être tracées parallèlement.

La convention de perspective doit être cohérente : une même direction utilise un même facteur de réduction.

Cela évite de confondre les arêtes visibles et cachées tout en gardant la structure complète.

En perspective, certaines faces sont représentées par des parallélogrammes : les angles droits réels ne restent pas tous droits sur le dessin.

Les deux triangles indiqués sont tous deux des triangles 3-4-5.

Une dimension vaut la hauteur du prisme, 6 cm ; l’autre parcourt successivement les trois côtés de la base.

Le troisième côté du triangle mesure 5 cm ; la face latérale correspondante doit donc avoir une largeur de 5 cm.

Une arête de 5 cm de la base devrait se raccorder à un côté de 5 cm du rectangle ; avec 4 cm, le raccord est impossible.

On retrouve ainsi exactement un rectangle pour chacun des côtés 3, 4 et 5 cm de la base.

Il contient 2 triangles et 3 rectangles, soit 5 faces au total.

\(\mathcal A=\pi r^2=\pi\times3^2=9\pi\,\text{cm}^2\).

\(9\pi\approx9\times3{,}14=28{,}26\,\text{cm}^2\).

\(V=\mathcal A_{base}\times h=9\pi\times7=63\pi\,\text{cm}^3\).

\(63\pi\approx63\times3{,}14=197{,}82\,\text{cm}^3\).

\(1000\,\text{cm}^3=1\,\text{L}\), donc \(197{,}82\,\text{cm}^3=0{,}19782\,\text{L}\).

Dans \(V=\pi r^2h\), si \(r\) ne change pas et si \(h\) est doublée, le volume est doublé.

\(\mathcal A=\dfrac{6\times4}{2}=12\,\text{cm}^2\).

\(V=12\times9=108\,\text{cm}^3\).

La hauteur est doublée, donc le volume est doublé : \(108\times2=216\,\text{cm}^3\).

La nouvelle aire vaut \(12\div3=4\,\text{cm}^2\), donc \(V=4\times9=36\,\text{cm}^3\).

La base est triangulaire : son aire est \(\dfrac{6\times4}{2}\), pas \(6\times4\).

Les trois dimensions sont exprimées en centimètres ; un volume s’exprime donc en centimètres cubes.

\(V=50\times30\times40=60000\,\text{cm}^3\).

\(60000\,\text{cm}^3=60\,\text{L}\) car \(1000\,\text{cm}^3=1\,\text{L}\).

\(\dfrac34\times60=45\). Il contient 45 L.

La base mesure \(50\times30=1500\,\text{cm}^2\). Sur 1 cm de hauteur : \(1500\,\text{cm}^3=1{,}5\,\text{L}\).

\(30\,\text{L}=30000\,\text{cm}^3\). La base vaut \(1500\,\text{cm}^2\), donc la hauteur est \(30000\div1500=20\,\text{cm}\).

La capacité maximale est 60 L ; 65 L dépasse cette capacité de 5 L.

\(8\times5=40\), donc \(h=120\div40=3\,\text{cm}\).

\(7\times6=42\), donc \(h=210\div42=5\,\text{cm}\).

\(h=96\div12=8\,\text{cm}\).

\(\mathcal A_{base}=135\div9=15\,\text{cm}^2\).

On cherche \(c\) tel que \(c^3=125\). Or \(5^3=125\), donc \(c=5\,\text{cm}\).

\(12\times4=48\), donc la largeur vaut \(288\div48=6\,\text{cm}\).

Deux cases valent 0, donc \(9-2=7\) cases correspondent à des piles non vides.

\(2+1+2+3+1+1+2=12\) cubes.

Pour chaque colonne, on prend le maximum : \(\max(2,0,1)=2\), \(\max(1,3,2)=3\), \(\max(2,1,0)=2\).

Les maxima des trois rangées sont respectivement 2, 3 et 2.

Ces vues ne donnent que les hauteurs maximales le long de certaines directions ; plusieurs distributions internes peuvent produire les mêmes silhouettes.

Ce plan indique la position et la hauteur de chaque pile, ce qui lève les ambiguïtés des seules vues de face et de côté.

Après enroulement, cette dimension relie les deux bases : elle vaut donc 8 cm.

Le rectangle doit faire un tour complet : \(2\pi r=2\pi\times3=6\pi\,\text{cm}\).

\(6\pi\approx6\times3{,}14=18{,}84\,\text{cm}\).

Il faut environ 18,84 cm ; 18 cm est trop court de 0,84 cm.

\(19-18{,}84=0{,}16\) cm.

La longueur vaut \(2\pi r\) ; doubler \(r\) double le périmètre et donc la longueur du rectangle.

Un cube possède six faces rectangulaires ; elles sont même toutes carrées. Il vérifie donc la définition d’un pavé droit.

Un pavé de dimensions 2 cm, 3 cm et 4 cm n’a pas toutes ses arêtes égales : ce n’est pas un cube.

La base triangulaire possède trois côtés ; chacun correspond à une face latérale rectangulaire.

La perspective cavalière utilisée au collège conserve le parallélisme des arêtes d’une même direction.

Ces deux disques deviennent les deux bases superposables du cylindre.

\(\text{cm}^2\) est une unité d’aire ; un volume s’exprime en \(\text{cm}^3\).

Ces caractéristiques sont exactement celles d’un cube.

La présence de deux bases triangulaires identiques et de trois rectangles caractérise ce prisme.

Les disques sont les bases et le rectangle forme la surface latérale.

L’aire de base vaut \(24\,\text{cm}^2\). Donc \(h=144\div24=6\,\text{cm}\).

La vue de face ne donne pas la profondeur et plusieurs solides peuvent avoir cette même vue.

L’identification fiable repose sur le croisement de propriétés géométriques et de représentations.

Les trois types de faces sont \(8\times5\), \(8\times3\) et \(5\times3\). Les plus grandes sont \(8\times5\).

Une face utilise exactement ces deux directions du pavé.

Elles utilisent les deux autres directions : largeur 5 cm et hauteur 3 cm.

Un pavé droit possède 6 faces : deux de chaque type.

\(V=8\times5\times3=120\,\text{cm}^3\).

Il manquerait une face : la boîte ne serait pas fermée. Il faut les 6 faces du pavé.

\(\mathcal A\approx3{,}14\times10^2=314\,\text{cm}^2\).

\(V\approx314\times30=9420\,\text{cm}^3\).

\(9420\,\text{cm}^3=9{,}42\,\text{L}\).

Il faut diviser par 1000, pas par 100 : \(9420\div1000=9{,}42\).

Le pavé circonscrit de base carrée \(20\times20\) et hauteur 30 a un volume de \(12000\,\text{cm}^3=12\,\text{L}\). Le cylindre étant plus petit, 9,42 L est plausible.

\(9{,}42\times0{,}8=7{,}536\,\text{L}\).

Les deux vues indiquent une hauteur maximale égale à 3.

La valeur 3 visible dans les deux silhouettes doit être atteinte par au moins une pile.

La vue de face ne distingue pas la profondeur : la pile peut se trouver sur l’une ou l’autre rangée.

On peut choisir des piles de hauteurs 2, 3 et 2 dans les trois colonnes ; la vue de face est alors respectée.

Si une rangée était entièrement vide, la vue de droite aurait une hauteur nulle pour cette rangée.

On peut placer trois piles de hauteurs 2, 3 et 2, en mettant au moins une pile sur chaque rangée. Le total vaut \(2+3+2=7\) cubes et les deux vues peuvent être satisfaites.

Une pyramide est formée d’une base polygonale et de faces triangulaires qui se rejoignent au sommet principal.

Le cône de révolution possède une base circulaire et un sommet hors du plan de la base.

\(V=\dfrac{24\times9}{3}=72\,\text{cm}^3\).

\(V=\dfrac{\pi\times3^2\times4}{3}=\dfrac{36\pi}{3}=12\pi\,\text{cm}^3\).

\(12\pi\approx12\times3{,}14=37{,}68\,\text{cm}^3\).

En 5e, le programme vise principalement cube, pavé, prisme droit et cylindre. Les pyramides et cônes deviennent des objectifs d’apprentissage en 4e.

Tout pavé droit possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.

Les faces opposées ont les mêmes dimensions : deux rectangles de chacun des trois types.

Une vue orthogonale perpendiculaire à une face en montre la forme rectangulaire et les dimensions correspondantes.

\(V=12\times8\times5=480\,\text{cm}^3\).

\(0{,}6\,\text{L}=600\,\text{cm}^3\), supérieur à la capacité de \(480\,\text{cm}^3\).

La perspective est une représentation plane déformée destinée à visualiser le solide. Sans convention d’échelle connue, on ne peut pas retrouver toutes les longueurs réelles par simple mesure du dessin.