Exercices — Géométrie de l’espace : solides et patrons (avec corrigés)
20 exercices progressifs sur les solides usuels, les faces, arêtes, sommets, les patrons, la reconnaissance en perspective cavalière et les premiers raisonnements dans l’espace.
Exercice 1 — Reconnaître un solide
Associer chaque description au bon solide :
1. Solide ayant 6 faces rectangulaires.
2. Solide ayant 2 bases circulaires superposables et une surface latérale courbe.
3. Solide ayant une base polygonale et des faces latérales triangulaires se rejoignant en un sommet.
1. Solide ayant 6 faces rectangulaires.
2. Solide ayant 2 bases circulaires superposables et une surface latérale courbe.
3. Solide ayant une base polygonale et des faces latérales triangulaires se rejoignant en un sommet.
Corrigé :
1. Pavé droit.
2. Cylindre.
3. Pyramide.
2. Cylindre.
3. Pyramide.
Exercice 2 — Vocabulaire
Compléter avec les mots : face, arête, sommet.
1. Un coin d’un solide est un ________.
2. Le segment d’intersection de deux faces est une ________.
3. Une surface plane d’un solide est une ________.
1. Un coin d’un solide est un ________.
2. Le segment d’intersection de deux faces est une ________.
3. Une surface plane d’un solide est une ________.
Corrigé :
1. Un coin d’un solide est un sommet.
2. Le segment d’intersection de deux faces est une arête.
3. Une surface plane d’un solide est une face.
2. Le segment d’intersection de deux faces est une arête.
3. Une surface plane d’un solide est une face.
Exercice 3 — Pavé droit
Combien un pavé droit possède-t-il de faces, d’arêtes et de sommets ?
Corrigé :
Un pavé droit possède :
\[ 6\text{ faces},\quad 12\text{ arêtes},\quad 8\text{ sommets} \]
\[ 6\text{ faces},\quad 12\text{ arêtes},\quad 8\text{ sommets} \]
Exercice 4 — Cube
Quelle différence principale y a-t-il entre un cube et un pavé droit ?
Corrigé :
Un cube est un cas particulier de pavé droit dans lequel toutes les arêtes ont la même longueur.
Ses 6 faces sont des carrés.
Ses 6 faces sont des carrés.
Exercice 5 — Cylindre
Combien de bases possède un cylindre ? Quelle est leur forme ?
Corrigé :
Un cylindre possède :
\[
2
\]
bases, et ces bases sont des disques de même rayon.
Exercice 6 — Patron simple
Qu’appelle-t-on le patron d’un solide ?
Corrigé :
Le patron d’un solide est une figure plane que l’on peut découper et plier pour reconstituer ce solide.
Exercice 7 — Patron du cube
Combien de carrés contient le patron d’un cube ?
Corrigé :
Le cube a 6 faces carrées, donc son patron contient :
\[
6
\]
carrés.
Exercice 8 — Patron du pavé droit
Un pavé droit de dimensions différentes a-t-il forcément un patron composé de 6 carrés ? Expliquer.
Corrigé :
Non.
Un pavé droit possède 6 faces rectangulaires, mais elles ne sont pas toutes carrées en général.
Son patron est donc composé de rectangles, et parfois de carrés seulement dans certains cas particuliers.
Un pavé droit possède 6 faces rectangulaires, mais elles ne sont pas toutes carrées en général.
Son patron est donc composé de rectangles, et parfois de carrés seulement dans certains cas particuliers.
Exercice 9 — Pyramide
Une pyramide a une base carrée.
Combien a-t-elle de faces ?
Combien a-t-elle de faces ?
Corrigé :
Une base carrée a 4 côtés, donc la pyramide possède :
- 1 face de base carrée ;
- 4 faces latérales triangulaires.
Au total : \[ 5\text{ faces} \]
- 1 face de base carrée ;
- 4 faces latérales triangulaires.
Au total : \[ 5\text{ faces} \]
Exercice 10 — Prisme droit
Un prisme droit à base triangulaire possède deux bases triangulaires. Quelle est la nature de ses autres faces ?
Corrigé :
Dans un prisme droit, les faces latérales sont des rectangles.
Donc un prisme droit à base triangulaire possède : \[ 3 \] faces latérales rectangulaires.
Donc un prisme droit à base triangulaire possède : \[ 3 \] faces latérales rectangulaires.
Exercice 11 — Perspective cavalière
À quoi sert la perspective cavalière ?
Corrigé :
La perspective cavalière sert à représenter un solide de l’espace sur une feuille plane, en donnant une impression de profondeur.
Exercice 12 — Arêtes cachées
Dans une représentation en perspective cavalière, comment trace-t-on en général les arêtes cachées ?
Corrigé :
En général, les arêtes cachées sont tracées en pointillés.
Exercice 13 — Compter sur un solide
Une pyramide a une base pentagonale.
1. Combien a-t-elle de faces ?
2. Combien a-t-elle de sommets ?
1. Combien a-t-elle de faces ?
2. Combien a-t-elle de sommets ?
Corrigé :
Une base pentagonale a 5 côtés.
1. La pyramide possède 1 base et 5 faces triangulaires, donc : \[ 6\text{ faces} \] 2. Elle possède 5 sommets sur la base et 1 sommet principal, donc : \[ 6\text{ sommets} \]
1. La pyramide possède 1 base et 5 faces triangulaires, donc : \[ 6\text{ faces} \] 2. Elle possède 5 sommets sur la base et 1 sommet principal, donc : \[ 6\text{ sommets} \]
Exercice 14 — Décrire un patron
Décrire le patron d’un cylindre.
Corrigé :
Le patron d’un cylindre est composé :
- de deux disques superposables pour les bases ;
- d’un rectangle pour la surface latérale.
- de deux disques superposables pour les bases ;
- d’un rectangle pour la surface latérale.
Exercice 15 — Solide impossible
Peut-on obtenir un cube avec un assemblage de 5 carrés seulement ? Expliquer.
Corrigé :
Non.
Un cube possède : \[ 6 \] faces carrées.
Il faut donc au minimum 6 carrés pour obtenir un patron de cube.
Un cube possède : \[ 6 \] faces carrées.
Il faut donc au minimum 6 carrés pour obtenir un patron de cube.
Exercice 16 — Solide du quotidien
Donner un exemple d’objet du quotidien ayant la forme :
1. d’un cylindre ;
2. d’un pavé droit ;
3. d’une sphère.
1. d’un cylindre ;
2. d’un pavé droit ;
3. d’une sphère.
Corrigé :
Exemples possibles :
1. un cylindre : une canette ;
2. un pavé droit : une boîte à chaussures ;
3. une sphère : un ballon.
1. un cylindre : une canette ;
2. un pavé droit : une boîte à chaussures ;
3. une sphère : un ballon.
Exercice 17 — Raisonnement sur un prisme
Un prisme droit a une base hexagonale.
Combien a-t-il de faces latérales ?
Combien a-t-il de faces latérales ?
Corrigé :
Un hexagone a :
\[
6
\]
côtés.
Dans un prisme droit, il y a une face latérale par côté de la base.
Le prisme possède donc : \[ 6\text{ faces latérales} \]
Dans un prisme droit, il y a une face latérale par côté de la base.
Le prisme possède donc : \[ 6\text{ faces latérales} \]
Exercice 18 — Comparer deux solides
Quelle différence y a-t-il entre un prisme droit et une pyramide ?
Corrigé :
Un prisme droit possède :
\[
2
\]
bases parallèles et superposables.
Une pyramide possède : \[ 1 \] seule base, et toutes ses faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet.
Une pyramide possède : \[ 1 \] seule base, et toutes ses faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet.
Exercice 19 — Construction mentale
Pourquoi tous les assemblages de 6 carrés ne sont-ils pas forcément des patrons de cube ?
Corrigé :
Parce qu’au pliage, certains assemblages provoquent des superpositions de faces ou ne permettent pas de refermer correctement le solide.
Il faut que les 6 carrés soient placés de manière compatible avec le pliage du cube.
Il faut que les 6 carrés soient placés de manière compatible avec le pliage du cube.
Exercice 20 — Problème final
On considère une pyramide à base triangulaire.
1. Combien a-t-elle de faces ?
2. Combien a-t-elle d’arêtes ?
3. Combien a-t-elle de sommets ?
1. Combien a-t-elle de faces ?
2. Combien a-t-elle d’arêtes ?
3. Combien a-t-elle de sommets ?
Corrigé :
Une pyramide à base triangulaire est aussi appelée tétraèdre.
- Elle possède 1 base triangulaire et 3 faces latérales triangulaires, donc : \[ 4\text{ faces} \] - La base a 3 arêtes, et il y a 3 arêtes reliant le sommet principal aux sommets de la base, donc : \[ 6\text{ arêtes} \] - Elle possède 3 sommets sur la base et 1 sommet principal, donc : \[ 4\text{ sommets} \]
- Elle possède 1 base triangulaire et 3 faces latérales triangulaires, donc : \[ 4\text{ faces} \] - La base a 3 arêtes, et il y a 3 arêtes reliant le sommet principal aux sommets de la base, donc : \[ 6\text{ arêtes} \] - Elle possède 3 sommets sur la base et 1 sommet principal, donc : \[ 4\text{ sommets} \]