Cours — Calculs et priorités opératoires
Tout ce qu’il faut pour calculer correctement une expression numérique : parenthèses, priorités, calcul exact ou approché, arrondis et contrôles.
Expression numérique
Parenthèses
Multiplication / division
Addition / soustraction
Calcul exact
Valeur approchée
Contrôle
1) Qu’est-ce qu’une expression numérique ?
\[
7+3\times 4
\]
Une expression numérique est un calcul écrit avec des nombres, des parenthèses et des opérations.
Pour la calculer correctement, il faut respecter les priorités opératoires.
Pour la calculer correctement, il faut respecter les priorités opératoires.
2) Pourquoi faut-il respecter les priorités ?
\[
7+3\times 4=7+12=19
\]
Dans cette expression, on commence par la multiplication.
Si on faisait \((7+3)\times 4\), on obtiendrait \(40\), ce qui n’est pas la même expression.
Les priorités permettent donc d’obtenir le bon résultat.
Si on faisait \((7+3)\times 4\), on obtiendrait \(40\), ce qui n’est pas la même expression.
Les priorités permettent donc d’obtenir le bon résultat.
3) Ordre des priorités opératoires
| Ordre | Ce qu’on calcule | Exemple |
|---|---|---|
| 1 | Les expressions entre parenthèses | \((8-3)\times 2\) |
| 2 | Les multiplications et divisions, de gauche à droite | \(12\div 3\times 2\) |
| 3 | Les additions et soustractions, de gauche à droite | \(10-4+7\) |
Règle essentielle : on calcule d’abord les expressions entre parenthèses,
puis les multiplications et les divisions de gauche à droite,
et enfin les additions et les soustractions de gauche à droite.
4) Calculer avec des parenthèses
\[
A=(9-4)\times 3
\]
\[
A=5\times 3
\]
\[
A=15
\]
On commence toujours par calculer ce qui est à l’intérieur des parenthèses.
5) Multiplication et division avant addition et soustraction
\[
B=10-2\times 4
\]
\[
B=10-8
\]
\[
B=2
\]
Même s’il y a un signe \(+\) ou \( - \), on effectue d’abord les multiplications et les divisions.
6) Quand les opérations ont la même priorité
Additions et soustractions
\[
18-5+2
\]
\[
=13+2
\]
\[
=15
\]
Multiplications et divisions
\[
24\div 3\times 2
\]
\[
=8\times 2
\]
\[
=16
\]
Quand plusieurs opérations ont la même priorité, on calcule de gauche à droite.
7) Bien rédiger un calcul
\[
C=25-(6+4)\div 2
\]
\[
C=25-10\div 2
\]
\[
C=25-5
\]
\[
C=20
\]
Il faut écrire les étapes dans le bon ordre.
À chaque ligne, on effectue en priorité l’opération demandée, en gardant une rédaction claire.
À chaque ligne, on effectue en priorité l’opération demandée, en gardant une rédaction claire.
8) Exemple complet avec plusieurs priorités
\[
D=24-(6+2)\times 3+5
\]
\[
D=24-8\times 3+5
\]
\[
D=24-24+5
\]
\[
D=0+5
\]
\[
D=5
\]
Dans cet exemple, on voit bien l’enchaînement :
parenthèses, puis multiplication, puis additions et soustractions de gauche à droite.
9) Calcul exact et valeur approchée
| Notion | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Calcul exact | On donne la valeur précise du résultat | \(12\div 4=3\) |
| Valeur approchée | On donne une valeur proche du résultat exact | \(10\div 3 = 3{,}333\ldots\) |
Attention :
\[
10\div 3 = 3{,}333\ldots
\]
et, au centième,
\[
10\div 3 \approx 3{,}33
\]
Le symbole \(\approx\) signifie : est approximativement égal à.
10) Arrondir un résultat
\[
4{,}786
\]
| Demande | Résultat |
|---|---|
| À l’unité | \(5\) |
| Au dixième | \(4{,}8\) |
| Au centième | \(4{,}79\) |
Pour arrondir, on regarde le chiffre juste à droite du rang demandé.
• S’il vaut \(0,1,2,3\) ou \(4\), on garde.
• S’il vaut \(5,6,7,8\) ou \(9\), on augmente d’une unité.
• S’il vaut \(0,1,2,3\) ou \(4\), on garde.
• S’il vaut \(5,6,7,8\) ou \(9\), on augmente d’une unité.
11) Contrôler la vraisemblance d’un résultat
\[
198\times 4
\]
On peut estimer mentalement :
\[
198\approx 200
\qquad \text{donc} \qquad
198\times 4 \approx 200\times 4=800
\]
Le résultat exact \(792\) est donc cohérent, car il est proche de \(800\).
12) Vérifier avec l’opération inverse
\[
84\div 4=21
\]
On peut vérifier avec l’opération inverse :
\[
21\times 4=84
\]
C’est une bonne méthode pour contrôler un résultat.
13) Erreurs fréquentes à éviter
| Erreur | Pourquoi c’est faux | Correction |
|---|---|---|
| \(5+3\times 2=16\) | On a additionné avant de multiplier | \(5+3\times 2=5+6=11\) |
| \((12-4)\div 2=12-2\) | On n’a pas respecté les parenthèses | \((12-4)\div 2=8\div 2=4\) |
| \(7\div 2=3\) | \(3\times 2=6\) et non \(7\), donc le quotient exact n’est pas \(3\) | \(7\div 2=3{,}5\) |
14) Exemple concret du quotidien
\[
\text{Prix total}=12+3\times 4
\]
\[
=12+12
\]
\[
=24
\]
Si un cahier coûte \(12\) € et qu’on ajoute \(3\) stylos à \(4\) € chacun,
on calcule d’abord le prix des stylos, puis on ajoute le prix du cahier.
15) Méthode à suivre
Étapes :
1. Je repère les parenthèses.
2. Je calcule les parenthèses.
3. Je calcule les multiplications et les divisions de gauche à droite.
4. Je termine par les additions et les soustractions de gauche à droite.
5. Je vérifie si mon résultat paraît cohérent.
1. Je repère les parenthèses.
2. Je calcule les parenthèses.
3. Je calcule les multiplications et les divisions de gauche à droite.
4. Je termine par les additions et les soustractions de gauche à droite.
5. Je vérifie si mon résultat paraît cohérent.
16)*
À retenir
- Une expression numérique se calcule en respectant les priorités opératoires.
- On calcule d’abord les expressions entre parenthèses.
- Puis on effectue les multiplications et divisions de gauche à droite.
- Enfin, on termine par les additions et soustractions de gauche à droite.
- Un résultat peut être donné sous forme exacte ou sous forme approchée.
- On peut contrôler un résultat par un ordre de grandeur ou avec l’opération inverse.