Calcul littéral (initiation)

Écriture avec des lettres • réduction simple (ax + bx) • programmes de calcul • tests numériques • premières démonstrations simples — programme de 5e.

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Exercices premium — Calcul littéral (initiation)
Progressif (écritures → réduction → tests) + programmes de calcul + premières démonstrations. Corrigés masquables.
Progressif Corrigés masquables Niveau solide
Exercice 1 — Traduire en écriture littérale
On note \(x\) le nombre. Écrire l’expression :
  • a) “le triple du nombre”
  • b) “le nombre augmenté de 7”
  • c) “le double du nombre diminué de 5”
  • d) “la moitié du nombre”
  • e) “le carré du nombre, puis on ajoute 1”
  • f) “le produit de 4 par la somme du nombre et 3”
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  • a) \(3x\)
  • b) \(x+7\)
  • c) \(2x-5\)
  • d) \(\frac{x}{2}\)
  • e) \(x^2+1\)
  • f) \(4(x+3)\)
Réponses : \(\boxed{3x;\ x+7;\ 2x-5;\ \frac{x}{2};\ x^2+1;\ 4(x+3)}\)
Exercice 2 — Réduire (regrouper les termes semblables)
Réduire :
  • a) \(2x+7x\)
  • b) \(9x-4x\)
  • c) \(3x+5+2x-1\)
  • d) \(6x-2+4x+9\)
  • e) \(10x-3x+8-5\)
  • f) \(4x+3x^2\) (dire si on peut réduire)
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  • a) \(2x+7x=9x\)
  • b) \(9x-4x=5x\)
  • c) \((3x+2x)+(5-1)=5x+4\)
  • d) \((6x+4x)+(-2+9)=10x+7\)
  • e) \((10-3)x+(8-5)=7x+3\)
  • f) On ne peut pas réduire : \(4x\) et \(3x^2\) ne sont pas semblables.
Réponses : \(\boxed{9x;\ 5x;\ 5x+4;\ 10x+7;\ 7x+3;\ \text{non}}\)
Piège : \(3x+5\) ne se réduit pas (ce n’est pas \(8x\) !).
Exercice 3 — Tests numériques (substitution)
Calculer la valeur de chaque expression :
a) pour \(x=2\) ; b) pour \(x=5\).
  • 1) \(A(x)=3x+4\)
  • 2) \(B(x)=2x-7\)
  • 3) \(C(x)=x^2+1\)
  • 4) \(D(x)=4(x+3)\)
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  • \(A(2)=3\times2+4=10\) ; \(A(5)=3\times5+4=19\)
  • \(B(2)=2\times2-7=-3\) ; \(B(5)=2\times5-7=3\)
  • \(C(2)=2^2+1=5\) ; \(C(5)=5^2+1=26\)
  • \(D(2)=4(2+3)=4\times5=20\) ; \(D(5)=4(5+3)=4\times8=32\)
Résultats : \(\boxed{A(2)=10,\ A(5)=19;\ B(2)=-3,\ B(5)=3;\ C(2)=5,\ C(5)=26;\ D(2)=20,\ D(5)=32}\)
Réflexe : quand on remplace \(x\), on le remplace partout, et on garde les parenthèses.
Exercice 4 — Programme de calcul : traduire en expression
On note \(x\) le nombre de départ. Traduire puis réduire si possible.
Programme 1
  • Choisir un nombre.
  • Ajouter 6.
  • Multiplier par 3.
Programme 2
  • Choisir un nombre.
  • Multiplier par 5.
  • Retrancher 2.
  • Ajouter le nombre de départ.
Programme 3
  • Choisir un nombre.
  • Multiplier par 4.
  • Ajouter 7.
  • Retrancher 2 fois le nombre de départ.
Programme 4
  • Choisir un nombre.
  • Ajouter 3.
  • Multiplier par 2.
  • Soustraire 6.
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  • P1 : \(\;3(x+6)=3x+18\)
  • P2 : \(\;5x-2+x=6x-2\)
  • P3 : \(\;4x+7-2x=2x+7\)
  • P4 : \(\;2(x+3)-6=2x+6-6=2x\)
Expressions finales : \(\boxed{3x+18;\ 6x-2;\ 2x+7;\ 2x}\)
Piège : “multiplier par 3 après avoir ajouté 6” donne \(3(x+6)\), pas \(3x+6\).
Exercice 5 — Retrouver le programme de calcul
Pour chaque expression, écrire un programme de calcul (en 3–4 étapes) qui donne cette expression.
  • a) \(2x+9\)
  • b) \(5x-3\)
  • c) \(3(x+4)\)
  • d) \(x^2+1\)
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  • a) Choisir \(x\) → multiplier par 2 → ajouter 9.
  • b) Choisir \(x\) → multiplier par 5 → soustraire 3.
  • c) Choisir \(x\) → ajouter 4 → multiplier par 3.
  • d) Choisir \(x\) → calculer le carré → ajouter 1.
Remarque : plusieurs programmes peuvent convenir (du moment que l’expression obtenue est correcte).
Exercice 6 — Deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ?
Programme A
  • Choisir un nombre.
  • Ajouter 3.
  • Multiplier par 2.
Programme B
  • Choisir un nombre.
  • Multiplier par 2.
  • Ajouter 6.
1) Écrire l’expression obtenue pour A et pour B. 2) Tester avec \(x=1\) puis \(x=5\). 3) Conclure : mêmes résultats pour tous \(x\) ? (oui/non) et expliquer.
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Pour A : \(2(x+3)=2x+6\). Pour B : \(2x+6\).
Test : \(x=1\) → \(2\times1+6=8\) dans les deux cas ; \(x=5\) → \(2\times5+6=16\) dans les deux cas.
Conclusion : \(\boxed{\text{Oui, A et B donnent toujours le même résultat : }2x+6.}\)
Exercice 7 — Mini-démonstration (simple)
Démontrer que : “la somme de deux nombres consécutifs est toujours impaire”.
Indication : note le premier \(n\) et le suivant \(n+1\).
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Deux nombres consécutifs : \(n\) et \(n+1\). Leur somme vaut : \[ n+(n+1)=2n+1 \] Or \(2n\) est pair, donc \(2n+1\) est impair.
Conclusion : \(\boxed{\text{La somme de deux nombres consécutifs est toujours impaire.}}\)