Exercices corrigés — Calcul Littéral (Initiation) (5e)
Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 5ème sur Calcul Littéral (Initiation). Tu vas t’entraîner sur réduction d’expressions, développement, factorisation, identités remarquables avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
Exercices — Calcul littéral (initiation) (avec corrigés)
20 exercices progressifs sur les expressions littérales, la substitution, la réduction simple et les programmes de calcul.
Exercice 1 — Reconnaître une expression littérale
Parmi les écritures suivantes, indiquer celles qui sont des expressions littérales :
\[ 7+3,\quad x+5,\quad 12,\quad 4a-1,\quad 9\times 2 \]
\[ 7+3,\quad x+5,\quad 12,\quad 4a-1,\quad 9\times 2 \]
Corrigé :
Une expression littérale contient au moins une lettre.
Les expressions littérales sont donc : \[ x+5 \quad \text{et} \quad 4a-1 \]
Les expressions littérales sont donc : \[ x+5 \quad \text{et} \quad 4a-1 \]
Exercice 2 — Traduire une écriture
Exprimer en écriture littérale :
1. la somme de \(x\) et de \(7\) ;
2. le produit de \(3\) par \(a\) ;
3. la différence entre \(y\) et \(4\).
1. la somme de \(x\) et de \(7\) ;
2. le produit de \(3\) par \(a\) ;
3. la différence entre \(y\) et \(4\).
Corrigé :
1. La somme de \(x\) et de \(7\) :
\[
x+7
\]
2. Le produit de \(3\) par \(a\) :
\[
3a
\]
3. La différence entre \(y\) et \(4\) :
\[
y-4
\]
Exercice 3 — Comprendre la notation simplifiée
Réécrire sans le signe \(\times\) lorsqu’il est inutile :
\[ 3\times x,\quad 5\times a,\quad 2\times b+1,\quad 7\times y-4 \]
\[ 3\times x,\quad 5\times a,\quad 2\times b+1,\quad 7\times y-4 \]
Corrigé :
On écrit :
\[
3x,\quad 5a,\quad 2b+1,\quad 7y-4
\]
Exercice 4 — Valeur d’une expression
Calculer la valeur de chaque expression pour \(x=4\) :
\[ A=x+3,\quad B=2x,\quad C=5x-1 \]
\[ A=x+3,\quad B=2x,\quad C=5x-1 \]
Corrigé :
En remplaçant \(x\) par \(4\) :
\[ A=4+3=7 \] \[ B=2\times 4=8 \] \[ C=5\times 4-1=20-1=19 \]
\[ A=4+3=7 \] \[ B=2\times 4=8 \] \[ C=5\times 4-1=20-1=19 \]
Exercice 5 — Substitution simple
Calculer pour \(a=2\) et \(b=5\) :
\[ A=a+b,\quad B=3a,\quad C=b-2a \]
\[ A=a+b,\quad B=3a,\quad C=b-2a \]
Corrigé :
\[
A=2+5=7
\]
\[
B=3\times 2=6
\]
\[
C=5-2\times 2=5-4=1
\]
Exercice 6 — Phrase vers expression
Écrire une expression littérale pour :
1. le double d’un nombre \(x\) augmenté de \(3\) ;
2. la somme de \(a\) et du triple de \(b\) ;
3. le quart de \(n\).
1. le double d’un nombre \(x\) augmenté de \(3\) ;
2. la somme de \(a\) et du triple de \(b\) ;
3. le quart de \(n\).
Corrigé :
1. Le double de \(x\) augmenté de \(3\) :
\[
2x+3
\]
2. La somme de \(a\) et du triple de \(b\) :
\[
a+3b
\]
3. Le quart de \(n\) :
\[
\frac{n}{4}
\]
Exercice 7 — Réduction de termes semblables
Réduire les expressions suivantes :
\[ 3x+x,\quad 5a-2a,\quad 7y+4y,\quad 9b-b \]
\[ 3x+x,\quad 5a-2a,\quad 7y+4y,\quad 9b-b \]
Corrigé :
On additionne ou soustrait les coefficients :
\[ 3x+x=4x \] \[ 5a-2a=3a \] \[ 7y+4y=11y \] \[ 9b-b=8b \]
\[ 3x+x=4x \] \[ 5a-2a=3a \] \[ 7y+4y=11y \] \[ 9b-b=8b \]
Exercice 8 — Réduction avec nombres
Réduire :
\[ 2x+5+x,\quad 4a-3+2a,\quad 6y+y+1,\quad 8b-2-b \]
\[ 2x+5+x,\quad 4a-3+2a,\quad 6y+y+1,\quad 8b-2-b \]
Corrigé :
\[
2x+5+x=3x+5
\]
\[
4a-3+2a=6a-3
\]
\[
6y+y+1=7y+1
\]
\[
8b-2-b=7b-2
\]
Exercice 9 — Peut-on réduire ?
Dire si on peut réduire puis écrire le résultat si c’est possible :
\[ 3x+2x,\quad 4a+5,\quad 7y-3y,\quad 2b+b+6 \]
\[ 3x+2x,\quad 4a+5,\quad 7y-3y,\quad 2b+b+6 \]
Corrigé :
\[
3x+2x=5x
\]
\[
4a+5
\]
ne se réduit pas davantage car \(4a\) et \(5\) ne sont pas des termes semblables.
\[ 7y-3y=4y \] \[ 2b+b+6=3b+6 \]
\[ 7y-3y=4y \] \[ 2b+b+6=3b+6 \]
Exercice 10 — Valeur après réduction
Réduire puis calculer pour \(x=3\) :
\[ A=2x+x+4,\quad B=5x-2x,\quad C=3+x+4x \]
\[ A=2x+x+4,\quad B=5x-2x,\quad C=3+x+4x \]
Corrigé :
On réduit d’abord :
\[ A=3x+4 \] donc pour \(x=3\) : \[ A=3\times 3+4=9+4=13 \] \[ B=3x \] donc : \[ B=3\times 3=9 \] \[ C=5x+3 \] donc : \[ C=5\times 3+3=15+3=18 \]
\[ A=3x+4 \] donc pour \(x=3\) : \[ A=3\times 3+4=9+4=13 \] \[ B=3x \] donc : \[ B=3\times 3=9 \] \[ C=5x+3 \] donc : \[ C=5\times 3+3=15+3=18 \]
Exercice 11 — Périmètre d’une figure
Un rectangle a pour longueur \(L\) et pour largeur \(\ell\). Écrire une expression de son périmètre.
Corrigé :
Le périmètre d’un rectangle est :
\[
P=2L+2\ell
\]
On peut aussi écrire :
\[
P=2(L+\ell)
\]
Exercice 12 — Programme de calcul simple
On choisit un nombre \(x\), on le multiplie par \(4\), puis on ajoute \(7\).
1. Écrire l’expression obtenue.
2. Calculer le résultat pour \(x=5\).
1. Écrire l’expression obtenue.
2. Calculer le résultat pour \(x=5\).
Corrigé :
1. L’expression obtenue est :
\[
4x+7
\]
2. Pour \(x=5\) :
\[
4\times 5+7=20+7=27
\]
Exercice 13 — Comparer deux programmes
Programme A : choisir un nombre \(x\), ajouter \(3\), puis multiplier par \(2\).
Programme B : choisir \(x\), multiplier par \(2\), puis ajouter \(3\).
1. Écrire les deux expressions.
2. Sont-elles égales ?
Programme B : choisir \(x\), multiplier par \(2\), puis ajouter \(3\).
1. Écrire les deux expressions.
2. Sont-elles égales ?
Corrigé :
Programme A :
\[
2(x+3)
\]
Programme B :
\[
2x+3
\]
On développe mentalement le programme A :
\[
2(x+3)=2x+6
\]
Donc les deux expressions ne sont pas égales en général, car :
\[
2x+6 \neq 2x+3
\]
Exercice 14 — Déterminer une expression
Écrire une expression qui représente :
1. la somme de \(x\) et de son double ;
2. la différence entre le triple de \(a\) et \(5\) ;
3. la somme de deux nombres consécutifs \(n\) et \(n+1\).
1. la somme de \(x\) et de son double ;
2. la différence entre le triple de \(a\) et \(5\) ;
3. la somme de deux nombres consécutifs \(n\) et \(n+1\).
Corrigé :
1. Somme de \(x\) et de son double :
\[
x+2x=3x
\]
2. Différence entre le triple de \(a\) et \(5\) :
\[
3a-5
\]
3. Somme de \(n\) et \(n+1\) :
\[
n+(n+1)=2n+1
\]
Exercice 15 — Réduction plus avancée
Réduire les expressions suivantes :
\[ 4x+3+2x-1,\quad 7a-a+5,\quad 3y+2+y+8 \]
\[ 4x+3+2x-1,\quad 7a-a+5,\quad 3y+2+y+8 \]
Corrigé :
\[
4x+3+2x-1=6x+2
\]
\[
7a-a+5=6a+5
\]
\[
3y+2+y+8=4y+10
\]
Exercice 16 — Tester une égalité
Dire si l’égalité suivante est vraie pour \(x=4\) :
\[ 2x+3=x+7 \]
\[ 2x+3=x+7 \]
Corrigé :
On calcule chaque membre pour \(x=4\) :
Premier membre : \[ 2x+3=2\times 4+3=8+3=11 \] Deuxième membre : \[ x+7=4+7=11 \] Les deux membres sont égaux, donc l’égalité est vraie pour \(x=4\).
Premier membre : \[ 2x+3=2\times 4+3=8+3=11 \] Deuxième membre : \[ x+7=4+7=11 \] Les deux membres sont égaux, donc l’égalité est vraie pour \(x=4\).
Exercice 17 — Formule d’âge
L’âge de Lina est \(a\). Son frère a 3 ans de plus. Écrire l’âge du frère puis la somme de leurs âges.
Corrigé :
Âge du frère :
\[
a+3
\]
Somme de leurs âges :
\[
a+(a+3)=2a+3
\]
Exercice 18 — Problème de cahiers
Un cahier coûte \(c\) euros. On achète 4 cahiers et un stylo à 2 euros.
1. Écrire la dépense totale.
2. Calculer pour \(c=3\).
1. Écrire la dépense totale.
2. Calculer pour \(c=3\).
Corrigé :
1. Dépense totale :
\[
4c+2
\]
2. Pour \(c=3\) :
\[
4\times 3+2=12+2=14
\]
La dépense totale est de \(14\) euros.
Exercice 19 — Encadrer une expression par le sens
On choisit un nombre \(x\). On ajoute \(5\), puis on retranche \(2\).
1. Écrire l’expression obtenue.
2. Réduire cette expression.
1. Écrire l’expression obtenue.
2. Réduire cette expression.
Corrigé :
1. L’expression est :
\[
x+5-2
\]
2. On réduit :
\[
x+5-2=x+3
\]
Exercice 20 — Problème final
Dans un club, il y a \(x\) garçons et \(x+4\) filles.
1. Écrire le nombre total d’enfants.
2. Réduire l’expression.
3. Calculer ce total pour \(x=12\).
1. Écrire le nombre total d’enfants.
2. Réduire l’expression.
3. Calculer ce total pour \(x=12\).
Corrigé :
1. Nombre total :
\[
x+(x+4)
\]
2. Réduction :
\[
x+(x+4)=2x+4
\]
3. Pour \(x=12\) :
\[
2\times 12+4=24+4=28
\]
Il y a donc \(28\) enfants.
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