Cours premium — Calcul littéral (initiation)
Écrire avec des lettres • réduire des expressions • programmer un calcul • tester avec des valeurs • premières démonstrations.
1) Écrire avec des lettres : à quoi ça sert ?
Le calcul littéral consiste à utiliser des lettres (comme \(x\), \(a\), \(n\)) pour représenter des nombres.
C’est utile pour :
- écrire une règle valable pour toutes les valeurs (pas seulement un exemple) ;
- décrire un programme de calcul ;
- simplifier un calcul, comparer deux méthodes, ou démontrer une propriété.
Exemple : “multiplier un nombre par 3 puis ajouter 5” s’écrit : \(\boxed{3x+5}\).
2) Conventions d’écriture (à respecter)
Les 5 règles indispensables
- On écrit \(3x\) (et pas \(3\times x\) en général).
- On écrit \(x^2\) pour “\(x\) au carré”.
- \(2(x+3)\) signifie \(2\times(x+3)\).
- \(x\cdot y\) peut s’écrire \(xy\) (mais attention aux confusions).
- On évite \(x\times x\) : on préfère \(\boxed{x^2}\).
Piège : \(3x\) n’est pas “le nombre 3 suivi de x” : c’est \(\boxed{3\times x}\).
3) Réduction simple : regrouper les termes “semblables”
Réduire, c’est écrire une expression plus simple en regroupant ce qui se ressemble :
Termes semblables
- \(2x\) et \(5x\) sont semblables (même lettre \(x\)).
- \(3x\) et \(3x^2\) ne sont pas semblables.
- \(7\) et \(+2\) sont des constantes (semblables entre elles).
Règle clé (ax + bx)
\[
ax + bx = (a+b)x
\]
Exemple :
\[
3x + 5x = (3+5)x = 8x
\]
Piège : \(3x+5\) ne se réduit pas (ce ne sont pas des termes semblables).
4) Exemples guidés : réduire proprement
Exemple 1
Réduire : \(2x + 7x\).
On additionne les coefficients : \((2+7)x = 9x\).
Réponse : \(\boxed{9x}\)
Exemple 2
Réduire : \(5x - 3x + 4\).
On regroupe les \(x\) :
\[
5x - 3x = (5-3)x = 2x
\]
donc :
\[
5x - 3x + 4 = 2x + 4
\]
Réponse : \(\boxed{2x+4}\)
Exemple 3 (avec plusieurs “familles”)
Réduire : \(3x + 2 + 4x - 5\).
Termes en \(x\) : \(3x+4x=7x\).
Constantes : \(2-5=-3\).
\[
3x + 2 + 4x - 5 = 7x - 3
\]
Réponse : \(\boxed{7x-3}\)
5) Programme de calcul : traduire en expression
Méthode
- Je choisis une lettre pour le nombre de départ (souvent \(x\)).
- Je traduis chaque étape (multiplier, ajouter, soustraire, diviser).
- Si possible, je réduis l’expression finale.
Exemple guidé 4 — Traduction
Programme : “Choisir un nombre. Le multiplier par 4. Ajouter 7. Retrancher 2 fois le nombre de départ.”
Nombre de départ : \(x\).
Après \(\times4\) : \(4x\).
Puis \(+7\) : \(4x+7\).
Retrancher \(2x\) : \(4x+7-2x = 2x+7\).
Expression finale : \(\boxed{2x+7}\)
6) Tests numériques : substituer une valeur
Tester une expression, c’est remplacer la lettre par un nombre et calculer.
On écrit toujours la substitution clairement.
Exemple guidé 5
Calculer la valeur de \(2x+7\) pour \(x=3\).
\[
2x+7 = 2\times3+7 = 6+7 = 13
\]
Réponse : \(\boxed{13}\)
Piège : pour \(x=3\), on n’écrit pas “\(2x=23\)”.
On écrit \(2\times3\).
7) Premières démonstrations simples (avec des lettres)
Propriété-type
Affirmation : “La somme de deux nombres consécutifs est toujours impaire.”
On note le premier nombre \(n\). Le suivant est \(n+1\).
Alors :
\[
n+(n+1)=2n+1
\]
Or \(2n\) est toujours pair, donc \(2n+1\) est impair.
Conclusion : \(\boxed{\text{La somme de deux consécutifs est toujours impaire.}}\)
Ce qu’il faut retenir : une démonstration = une suite de phrases + calculs, où chaque étape est justifiée.