Exercices — Aires et périmètres de figures planes (avec corrigés)
20 exercices progressifs sur les périmètres, les aires du carré, du rectangle, du triangle rectangle simple, les figures composées, les unités d’aire et les raisonnements de comparaison.
Exercice 1 — Reconnaître périmètre et aire
Compléter :
1. Le ________ d’une figure est la longueur de son contour.
2. L’________ d’une figure est la mesure de sa surface.
1. Le ________ d’une figure est la longueur de son contour.
2. L’________ d’une figure est la mesure de sa surface.
Corrigé :
1. Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.
2. L’aire d’une figure est la mesure de sa surface.
2. L’aire d’une figure est la mesure de sa surface.
Exercice 2 — Périmètre d’un carré
Un carré a un côté de \(6\) cm. Calculer son périmètre.
Corrigé :
Le périmètre d’un carré vaut :
\[
P=4\times \text{côté}
\]
Donc :
\[
P=4\times 6=24
\]
Le périmètre est :
\[
24\text{ cm}
\]
Exercice 3 — Aire d’un carré
Un carré a un côté de \(6\) cm. Calculer son aire.
Corrigé :
L’aire d’un carré vaut :
\[
A=\text{côté}\times \text{côté}
\]
Donc :
\[
A=6\times 6=36
\]
L’aire est :
\[
36\text{ cm}^2
\]
Exercice 4 — Périmètre d’un rectangle
Un rectangle a pour longueur \(9\) cm et largeur \(4\) cm. Calculer son périmètre.
Corrigé :
Le périmètre d’un rectangle vaut :
\[
P=2(L+\ell)
\]
Donc :
\[
P=2(9+4)=2\times 13=26
\]
Le périmètre est :
\[
26\text{ cm}
\]
Exercice 5 — Aire d’un rectangle
Un rectangle a pour longueur \(9\) cm et largeur \(4\) cm. Calculer son aire.
Corrigé :
L’aire d’un rectangle vaut :
\[
A=L\times \ell
\]
Donc :
\[
A=9\times 4=36
\]
L’aire est :
\[
36\text{ cm}^2
\]
Exercice 6 — Comparer sans confondre
Un carré de côté \(5\) cm et un rectangle de longueur \(10\) cm et largeur \(2\) cm ont-ils le même périmètre ? Ont-ils la même aire ?
Corrigé :
Carré :
\[ P=4\times 5=20\text{ cm} \] \[ A=5\times 5=25\text{ cm}^2 \] Rectangle :
\[ P=2(10+2)=24\text{ cm} \] \[ A=10\times 2=20\text{ cm}^2 \] Ils n’ont donc ni le même périmètre, ni la même aire.
\[ P=4\times 5=20\text{ cm} \] \[ A=5\times 5=25\text{ cm}^2 \] Rectangle :
\[ P=2(10+2)=24\text{ cm} \] \[ A=10\times 2=20\text{ cm}^2 \] Ils n’ont donc ni le même périmètre, ni la même aire.
Exercice 7 — Triangle rectangle simple
Un triangle rectangle a pour base \(8\) cm et pour hauteur \(5\) cm. Calculer son aire.
Corrigé :
L’aire d’un triangle vaut :
\[
A=\frac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}
\]
Donc :
\[
A=\frac{8\times 5}{2}=\frac{40}{2}=20
\]
L’aire est :
\[
20\text{ cm}^2
\]
Exercice 8 — Unités d’aire
Compléter avec l’unité qui convient :
1. L’aire d’un cahier peut s’exprimer en ________.
2. L’aire d’une salle de classe peut s’exprimer en ________.
3. L’aire d’un timbre peut s’exprimer en ________.
1. L’aire d’un cahier peut s’exprimer en ________.
2. L’aire d’une salle de classe peut s’exprimer en ________.
3. L’aire d’un timbre peut s’exprimer en ________.
Corrigé :
1. L’aire d’un cahier peut s’exprimer en :
\[
\text{cm}^2
\]
2. L’aire d’une salle de classe peut s’exprimer en :
\[
\text{m}^2
\]
3. L’aire d’un timbre peut s’exprimer en :
\[
\text{cm}^2
\]
ou éventuellement en \(\text{mm}^2\) selon la précision voulue.
Exercice 9 — Conversion simple
Convertir :
\[ 3\text{ cm}^2 = \, ?\, \text{ mm}^2 \] et \[ 500\text{ cm}^2 = \, ?\, \text{ m}^2 \]
\[ 3\text{ cm}^2 = \, ?\, \text{ mm}^2 \] et \[ 500\text{ cm}^2 = \, ?\, \text{ m}^2 \]
Corrigé :
Comme :
\[
1\text{ cm}=10\text{ mm}
\]
alors :
\[
1\text{ cm}^2=100\text{ mm}^2
\]
Donc :
\[
3\text{ cm}^2=300\text{ mm}^2
\]
De plus :
\[
1\text{ m}^2=10\,000\text{ cm}^2
\]
donc :
\[
500\text{ cm}^2=0{,}05\text{ m}^2
\]
Exercice 10 — Figure composée en L
Une figure en L est formée de deux rectangles :
- un rectangle de \(8\) cm sur \(3\) cm ;
- un rectangle de \(4\) cm sur \(2\) cm.
Calculer l’aire totale.
- un rectangle de \(8\) cm sur \(3\) cm ;
- un rectangle de \(4\) cm sur \(2\) cm.
Calculer l’aire totale.
Corrigé :
On additionne les aires des deux rectangles :
\[
A_1=8\times 3=24
\]
\[
A_2=4\times 2=8
\]
Donc l’aire totale vaut :
\[
24+8=32
\]
soit :
\[
32\text{ cm}^2
\]
Exercice 11 — Carré ou rectangle
Un rectangle a pour dimensions \(7\) cm et \(7\) cm. Quelle est sa nature ? Calculer son aire.
Corrigé :
Comme ses deux dimensions sont égales, ce rectangle est en fait un carré.
Son aire vaut : \[ 7\times 7=49 \] Donc : \[ 49\text{ cm}^2 \]
Son aire vaut : \[ 7\times 7=49 \] Donc : \[ 49\text{ cm}^2 \]
Exercice 12 — Périmètre d’une figure composée
Une figure est formée de deux carrés accolés de côté \(3\) cm. Calculer le périmètre de la figure obtenue.
Corrigé :
Deux carrés accolés forment un rectangle de longueur \(6\) cm et de largeur \(3\) cm.
Son périmètre vaut : \[ P=2(6+3)=18 \] Donc : \[ 18\text{ cm} \]
Son périmètre vaut : \[ P=2(6+3)=18 \] Donc : \[ 18\text{ cm} \]
Exercice 13 — Retrouver une longueur
L’aire d’un rectangle vaut \(48\text{ cm}^2\). Sa largeur vaut \(6\) cm. Calculer sa longueur.
Corrigé :
On sait que :
\[
A=L\times \ell
\]
Donc :
\[
48=L\times 6
\]
d’où :
\[
L=48\div 6=8
\]
La longueur vaut :
\[
8\text{ cm}
\]
Exercice 14 — Retrouver un côté du carré
Le périmètre d’un carré est \(36\) cm. Calculer la longueur d’un côté puis son aire.
Corrigé :
Pour un carré :
\[
P=4c
\]
donc :
\[
36=4c
\]
\[
c=36\div 4=9
\]
Son aire vaut alors :
\[
A=9\times 9=81
\]
Donc :
\[
c=9\text{ cm}\quad \text{et} \quad A=81\text{ cm}^2
\]
Exercice 15 — Même aire, périmètres différents
Montrer qu’un carré de côté \(4\) cm et un rectangle de dimensions \(2\) cm et \(8\) cm ont la même aire mais pas le même périmètre.
Corrigé :
Carré :
\[
A=4\times 4=16\text{ cm}^2
\]
\[
P=4\times 4=16\text{ cm}
\]
Rectangle :
\[
A=2\times 8=16\text{ cm}^2
\]
\[
P=2(2+8)=20\text{ cm}
\]
Ils ont donc la même aire, mais des périmètres différents.
Exercice 16 — Même périmètre, aires différentes
Montrer qu’un rectangle de dimensions \(1\) cm et \(7\) cm, et un carré de côté \(4\) cm, n’ont pas le même périmètre. Puis proposer deux figures rectangulaires de même périmètre et d’aires différentes.
Corrigé :
Rectangle \(1\times 7\) :
\[
P=2(1+7)=16
\]
\[
A=1\times 7=7
\]
Carré de côté \(4\) :
\[
P=4\times 4=16
\]
\[
A=4\times 4=16
\]
Ils ont donc le même périmètre, mais pas la même aire.
Deux exemples de rectangles de même périmètre et d’aires différentes : \[ 2\times 6 \quad \text{et} \quad 3\times 5 \] car : \[ 2(2+6)=16,\quad 2(3+5)=16 \] mais : \[ 2\times 6=12,\quad 3\times 5=15 \]
Deux exemples de rectangles de même périmètre et d’aires différentes : \[ 2\times 6 \quad \text{et} \quad 3\times 5 \] car : \[ 2(2+6)=16,\quad 2(3+5)=16 \] mais : \[ 2\times 6=12,\quad 3\times 5=15 \]
Exercice 17 — Aire d’un triangle issu d’un rectangle
Un rectangle mesure \(10\) cm par \(6\) cm. On le coupe suivant une diagonale. Quelle est l’aire de chacun des deux triangles obtenus ?
Corrigé :
L’aire du rectangle vaut :
\[
10\times 6=60\text{ cm}^2
\]
Une diagonale partage le rectangle en deux triangles de même aire.
Donc chacun a pour aire : \[ 60\div 2=30\text{ cm}^2 \]
Donc chacun a pour aire : \[ 60\div 2=30\text{ cm}^2 \]
Exercice 18 — Problème de carrelage
Une terrasse rectangulaire mesure \(8\) m sur \(5\) m. On veut la carreler avec des dalles d’aire \(1\text{ m}^2\). Combien faut-il de dalles ?
Corrigé :
L’aire de la terrasse vaut :
\[
8\times 5=40\text{ m}^2
\]
Chaque dalle couvre :
\[
1\text{ m}^2
\]
Il faut donc :
\[
40
\]
dalles.
Exercice 19 — Erreur classique
Un élève affirme : “Un rectangle de longueur \(12\) cm et largeur \(3\) cm a une aire de \(30\text{ cm}\).”
Expliquer son erreur et donner le bon résultat.
Expliquer son erreur et donner le bon résultat.
Corrigé :
L’élève a confondu l’unité de longueur et l’unité d’aire.
L’aire d’un rectangle vaut : \[ 12\times 3=36 \] Le bon résultat est donc : \[ 36\text{ cm}^2 \] et non \(30\text{ cm}\).
L’aire d’un rectangle vaut : \[ 12\times 3=36 \] Le bon résultat est donc : \[ 36\text{ cm}^2 \] et non \(30\text{ cm}\).
Exercice 20 — Problème final
Un jardin est formé d’un carré de côté \(10\) m auquel on enlève un petit carré de côté \(4\) m dans un coin.
1. Calculer l’aire restante.
2. Calculer le périmètre de la figure obtenue.
1. Calculer l’aire restante.
2. Calculer le périmètre de la figure obtenue.
Corrigé :
Aire du grand carré :
\[
10\times 10=100\text{ m}^2
\]
Aire du petit carré retiré :
\[
4\times 4=16\text{ m}^2
\]
Aire restante :
\[
100-16=84\text{ m}^2
\]
Pour le périmètre, enlever un carré dans un coin retire deux segments de \(4\) m mais en ajoute deux autres de \(4\) m à l’intérieur du contour.
Le périmètre reste donc celui du grand carré : \[ 4\times 10=40\text{ m} \] Donc : \[ A=84\text{ m}^2,\quad P=40\text{ m} \]
Le périmètre reste donc celui du grand carré : \[ 4\times 10=40\text{ m} \] Donc : \[ A=84\text{ m}^2,\quad P=40\text{ m} \]