Exercices corrigés — Aires Et Périmètres De Figures Planes (5e)

Calculer un périmètre à partir des longueurs des côtés.

1. A. Pour un rectangle de longueur 8 cm et largeur 5 cm, calculer le périmètre.
2. B. Pour un rectangle de longueur 12 cm et largeur 3 cm, calculer le périmètre.
3. C. Pour un carré de côté 6 cm, calculer le périmètre.
4. D. Un carré a un périmètre de 28 cm. Quelle est la longueur de son côté ?
5. E. Quelle unité utilise-t-on pour un périmètre lorsque les longueurs sont en centimètres ?
6. F. Expliquer la différence entre périmètre et aire.

Appliquer les formules usuelles d’aire.

1. A. Calculer l’aire d’un rectangle de 8 cm sur 5 cm.
2. B. Calculer l’aire d’un rectangle de 12 cm sur 3 cm.
3. C. Calculer l’aire d’un carré de côté 7 cm.
4. D. Un rectangle a une aire de 48 cm² et une longueur de 8 cm. Calculer sa largeur.
5. E. Quelle unité utilise-t-on pour une aire lorsque les longueurs sont en centimètres ?
6. F. Pourquoi \(8\times5\) donne-t-il une aire et non un périmètre ?

Utiliser une base et la hauteur correspondante.

1. A. Pour \(BC=8\,\text{cm}\) et \(AH=5\,\text{cm}\), calculer l’aire du triangle ABC.
2. B. Pour une base de 10 cm et une hauteur de 6 cm, calculer l’aire.
3. C. Pour une base de 7 cm et une hauteur de 4 cm, calculer l’aire.
4. D. Un triangle a une aire de 24 cm² et une base de 8 cm. Calculer la hauteur correspondante.
5. E. Dans la figure, pourquoi AH doit-il être perpendiculaire à BC ?
6. F. Le côté AB est-il obligatoirement la hauteur associée à la base BC ?

Utiliser la base et la hauteur perpendiculaire.

1. A. Calculer l’aire d’un parallélogramme de base 9 cm et de hauteur 4 cm.
2. B. Calculer l’aire avec base 12 cm et hauteur 5 cm.
3. C. La base vaut 7,5 cm et la hauteur 6 cm. Calculer l’aire.
4. D. Un parallélogramme a une aire de 56 cm² et une base de 8 cm. Calculer la hauteur.
5. E. Un côté oblique de 6 cm peut-il remplacer la hauteur si ce côté n’est pas perpendiculaire à la base ?
6. F. Citer la formule de l’aire d’un parallélogramme.

Réinvestir les formules du cercle et du disque.

1. A. Un cercle a un rayon de 3 cm. Donner son périmètre exact.
2. B. Avec \(\pi\approx3{,}14\), donner le périmètre approché.
3. C. Calculer l’aire exacte du disque de rayon 3 cm.
4. D. Donner l’aire approchée avec \(\pi\approx3{,}14\).
5. E. Un cercle a un diamètre de 10 cm. Quel est son rayon ?
6. F. Quelle différence y a-t-il entre le cercle et le disque ?

Distinguer les facteurs de conversion.

1. A. Convertir 3,5 m en cm.
2. B. Convertir 420 cm en m.
3. C. Convertir 2 m² en cm².
4. D. Convertir 7 500 cm² en m².
5. E. Convertir 3,2 dm² en cm².
6. F. Expliquer pourquoi passer de m² à cm² multiplie par 10 000 et non par 100.

Utiliser les formules dans le sens inverse.

1. A. Un rectangle a une aire de 72 cm² et une longueur de 9 cm. Calculer sa largeur.
2. B. Un carré a une aire de 81 cm². Déterminer la longueur du côté.
3. C. Un parallélogramme a une aire de 48 cm² et une base de 12 cm. Calculer sa hauteur.
4. D. Un triangle a une aire de 35 cm² et une base de 10 cm. Calculer sa hauteur.
5. E. Vérifier la réponse précédente en recalculant l’aire.
6. F. Quelle opération utilise-t-on généralement pour retrouver une dimension à partir d’une aire ?

Additionner les longueurs du contour.

1. A. Un triangle a pour côtés 5 cm, 7 cm et 8 cm. Calculer son périmètre.
2. B. Un pentagone a cinq côtés de 4 cm. Calculer son périmètre.
3. C. Un hexagone régulier a un côté de 3,5 cm. Calculer son périmètre.
4. D. Un rectangle a un périmètre de 34 cm et une longueur de 10 cm. Calculer sa largeur.
5. E. Un carré a un périmètre de 42 cm. Calculer son côté.
6. F. Pourquoi une diagonale intérieure n’intervient-elle pas dans le périmètre ?

Comparer périmètre et aire.

1. A. Rectangle A : 8 cm sur 4 cm. Calculer son périmètre.
2. B. Calculer son aire.
3. C. Rectangle B : 10 cm sur 2 cm. Calculer son périmètre.
4. D. Calculer son aire.
5. E. Les deux rectangles ont-ils le même périmètre ?
6. F. Ont-ils la même aire ? Que montre cet exemple ?

Combiner segment et arc de cercle.

1. A. Le demi-disque a pour diamètre AB = 10 cm. Calculer son rayon.
2. B. Calculer la longueur de l’arc du demi-cercle sous forme exacte.
3. C. Calculer le périmètre total du demi-disque, diamètre compris.
4. D. Donner une valeur approchée avec \(\pi\approx3{,}14\).
5. E. Calculer l’aire exacte du demi-disque.
6. F. Donner l’aire approchée.

Calculer l’aire et le périmètre d’une figure composée à partir de longueurs cohérentes.

1. A. Nommer les six côtés du contour dans l’ordre en partant de \(A\).
2. B. Calculer l’aire du grand rectangle de dimensions \(6\,\text{cm}\times4\,\text{cm}\).
3. C. Calculer l’aire du rectangle retiré de dimensions \(3\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\).
4. D. En déduire l’aire de la surface orange.
5. E. Calculer le périmètre de la figure \(ABCDEF\).
6. F. Expliquer pourquoi, pour le périmètre, il faut suivre le contour et non soustraire deux périmètres.

Calculer une aire de bordure.

1. A. Un jardin rectangulaire mesure 14 m sur 8 m. Calculer son aire totale.
2. B. Une bordure de 1 m de large est aménagée tout autour à l’intérieur. Quelles sont les dimensions du rectangle central ?
3. C. Calculer l’aire du rectangle central.
4. D. En déduire l’aire de la bordure.
5. E. Calculer le périmètre extérieur du jardin.
6. F. Pourquoi ne peut-on pas obtenir l’aire de la bordure en faisant simplement périmètre extérieur × 1 m ?

Relier aire totale et aire de triangles.

1. A. Un rectangle mesure 12 cm sur 8 cm. Calculer son aire.
2. B. Une diagonale partage le rectangle en deux triangles. Quelle est l’aire de chacun ?
3. C. Justifier sans refaire toute la formule du triangle.
4. D. Calculer l’aire d’un triangle de base 12 cm et de hauteur 8 cm pour vérifier.
5. E. Les deux triangles ont-ils le même périmètre ?
6. F. Pourquoi une diagonale d’un rectangle partage-t-elle toujours son aire en deux parts égales ?

Comparer des aires.

1. A. Un parallélogramme a une base de 10 cm et une hauteur de 6 cm. Calculer son aire.
2. B. Un rectangle a une longueur de 10 cm et une largeur de 6 cm. Calculer son aire.
3. C. Comparer les deux aires.
4. D. Le côté oblique du parallélogramme mesure 7 cm. Cette donnée change-t-elle l’aire ?
5. E. Si la hauteur du parallélogramme devient 8 cm, calculer la nouvelle aire.
6. F. Expliquer géométriquement pourquoi un parallélogramme peut avoir la même aire qu’un rectangle de même base et même hauteur.

Soustraire l’aire d’une ouverture.

1. A. Un mur mesure 6 m sur 2,8 m. Calculer son aire totale.
2. B. Une porte mesure 0,9 m sur 2,1 m. Calculer son aire.
3. C. Une fenêtre mesure 1,2 m sur 1,5 m. Calculer son aire.
4. D. Calculer l’aire à peindre en retirant porte et fenêtre.
5. E. Un litre de peinture couvre 8 m². Combien de litres théoriques faut-il ?
6. F. Si la peinture est vendue par pots de 2,5 L, combien de pots faut-il acheter ?

Relier longueur d’un tour et nombre de tours.

1. A. Une piste circulaire a un rayon de 20 m. Donner la longueur exacte d’un tour.
2. B. Donner une valeur approchée avec \(\pi\approx3{,}14\).
3. C. Quelle distance parcourt-on en 5 tours ?
4. D. Combien de tours complets faut-il pour dépasser 1 km ?
5. E. Calculer la distance de 8 tours.
6. F. Pourquoi utilise-t-on le périmètre du cercle et non l’aire du disque ?

Calculer une aire par différence de deux disques.

1. A. Un disque extérieur a un rayon de 6 cm. Calculer son aire exacte.
2. B. Un disque intérieur concentrique a un rayon de 4 cm. Calculer son aire exacte.
3. C. En déduire l’aire exacte de la couronne.
4. D. Donner une valeur approchée avec \(\pi\approx3{,}14\).
5. E. Écrire directement une formule avec les deux rayons.
6. F. Pourquoi faut-il soustraire les aires et non les périmètres ?

Utiliser aire, conversions et conditionnement.

1. A. Une pièce rectangulaire mesure 5,4 m sur 3,6 m. Calculer son aire.
2. B. Les carreaux sont des carrés de 30 cm de côté. Convertir 30 cm en mètres.
3. C. Calculer l’aire d’un carreau en m².
4. D. Combien de carreaux faut-il théoriquement pour couvrir la pièce sans pertes ?
5. E. On prévoit 8 % de marge. Combien de carreaux prévoir au minimum ?
6. F. Les carreaux sont vendus par cartons de 12. Combien de cartons acheter ?

Décomposer la surface en un rectangle et un triangle, puis étudier le contour extérieur.

1. A. Calculer l’aire du rectangle \(ABCD\), sachant que \(AB=5\) cm et \(AD=6\) cm.
2. B. Dans le triangle \(BCE\), la hauteur \([EH]\) relative à \([BC]\) mesure 4 cm. Calculer son aire.
3. C. Calculer l’aire totale de la figure.
4. D. Sachant que \(BE=CE=5\) cm, calculer le périmètre extérieur \(ABECD\).
5. E. Pourquoi le segment \([BC]\) n’intervient-il pas dans ce périmètre extérieur ?
6. F. Quelle serait l’aire totale si la hauteur \(EH\) passait de 4 cm à 6 cm ?

Identifier les confusions fréquentes entre périmètre et aire.

1. A. « Un rectangle 8 cm sur 5 cm a une aire de 26 cm². » Corriger.
2. B. « Un carré de côté 6 cm a un périmètre de 36 cm. » Corriger.
3. C. « \(2\,\text{m}^2=200\,\text{cm}^2\). » Corriger.
4. D. « Aire d’un triangle : \(b\times h\). » Corriger.
5. E. « Aire d’un disque de rayon 4 cm : \(8\pi\,\text{cm}^2\). » Corriger.
6. F. « Périmètre d’un cercle de diamètre 10 cm : \(20\pi\,\text{cm}\). » Corriger.

Comparer plusieurs aires à périmètre fixé.

1. A. Trois rectangles ont tous un périmètre de 24 cm : A = 8 cm × 4 cm, B = 9 cm × 3 cm, C = 10 cm × 2 cm. Vérifier le périmètre de A.
2. B. Vérifier le périmètre de B et de C.
3. C. Calculer l’aire de A.
4. D. Calculer les aires de B et C.
5. E. Classer les trois aires.
6. F. Quelle tendance observe-t-on lorsque les côtés deviennent plus équilibrés ?

Étudier une surface composée d’un carré et de deux demi-disques construits vers l’extérieur.

1. A. Le carré \(ABCD\) a pour côté 5 cm. Quel est le rayon de chacun des demi-disques de diamètres \([AB]\) et \([AD]\) ?
2. B. Calculer l’aire exacte du carré.
3. C. Calculer l’aire exacte d’un demi-disque.
4. D. En déduire l’aire exacte de toute la surface bleue.
5. E. Donner une valeur approchée de cette aire avec \(\pi\approx3{,}14\).
6. F. Calculer le périmètre extérieur de la surface bleue sous forme exacte puis approchée.

Combiner un rectangle et deux demi-disques pour calculer aire et longueur du contour.

1. A. La partie rectangulaire mesure 8 m de long et 4 m de large. Quel est le rayon des deux demi-disques ?
2. B. Calculer l’aire du rectangle.
3. C. Montrer que les deux demi-disques ont ensemble l’aire d’un disque de rayon 2 m.
4. D. Calculer l’aire exacte puis approchée de toute la piste.
5. E. Calculer le périmètre extérieur exact de la piste.
6. F. Un coureur effectue 12 tours. Quelle distance parcourt-il environ ?

Comparer aire intérieure et aire totale.

1. A. Un terrain rectangulaire mesure 20 m × 12 m. Calculer son aire.
2. B. On ajoute une allée extérieure de 1,5 m de large tout autour. Quelles sont les dimensions du grand rectangle ?
3. C. Calculer l’aire totale avec l’allée.
4. D. En déduire l’aire de l’allée.
5. E. Calculer le périmètre du terrain initial.
6. F. Calculer le périmètre extérieur après ajout de l’allée.

Calculer une aire en ajoutant un demi-disque puis en retirant un disque intérieur.

1. A. Le rectangle mesure 12 m sur 6 m. Calculer son aire.
2. B. Le demi-disque ajouté a un diamètre de 6 m. Calculer son aire exacte.
3. C. Le disque blanc retiré a un rayon de 1,5 m. Calculer son aire exacte.
4. D. Écrire puis calculer l’aire exacte de la surface orange.
5. E. Donner une valeur approchée avec \(\pi\approx3{,}14\).
6. F. Expliquer pourquoi l’ordre « rectangle + demi-disque - disque » permet d’éviter tout double comptage.

Résoudre un problème mêlant aire et périmètre.

1. A. Projet A : rectangle 18 m × 10 m. Calculer l’aire.
2. B. Calculer la longueur de clôture nécessaire.
3. C. Projet B : rectangle 15 m × 12 m. Calculer l’aire.
4. D. Calculer sa clôture.
5. E. Quel projet offre la plus grande aire ?
6. F. Quel projet demande le moins de clôture ? Interpréter.

Utiliser une diagonale et des aires égales.

1. A. Un parallélogramme a une base de 14 cm et une hauteur de 8 cm. Calculer son aire.
2. B. Une diagonale le partage en deux triangles. Quelle est l’aire de chaque triangle ?
3. C. Vérifier avec la formule du triangle en utilisant base 14 cm et hauteur 8 cm.
4. D. Si l’aire d’un des triangles est 70 cm² et la base reste 14 cm, retrouver la hauteur.
5. E. Une autre diagonale partagerait-elle aussi l’aire en deux parts égales ?
6. F. Justifier la réponse précédente.

Combiner échelle, longueurs et aire.

1. A. Sur un plan à l’échelle 1:100, une pièce rectangulaire mesure 5 cm sur 3,5 cm. Quelles sont les dimensions réelles en mètres ?
2. B. Calculer le périmètre réel de la pièce.
3. C. Calculer son aire réelle.
4. D. Sur le plan, calculer l’aire du rectangle en cm².
5. E. Comparer numériquement l’aire réelle en m² et l’aire sur le plan en cm².
6. F. Expliquer pourquoi une échelle 1:100 sur les longueurs ne signifie pas que l’aire est divisée par 100.

Approfondissement non évaluatif : observer l’effet d’un agrandissement.

1. A. Un rectangle mesure 6 cm sur 4 cm. Calculer son aire.
2. B. On double toutes ses longueurs. Quelles sont les nouvelles dimensions ?
3. C. Calculer la nouvelle aire.
4. D. Par quel facteur l’aire a-t-elle été multipliée ?
5. E. Si toutes les longueurs sont multipliées par 3, par quel facteur l’aire est-elle multipliée ?
6. F. Formuler une règle conjecturée pour un agrandissement de rapport \(k\).

Combiner rectangle, disque, couronne circulaire, périmètre et coût dans une situation complète.

1. A. Un jardin rectangulaire mesure 14 m sur 10 m. Calculer son aire.
2. B. Le bassin circulaire a un rayon de 3 m. Calculer son aire exacte puis approchée.
3. C. Une allée de 0,6 m de large entoure le bassin. Quel est le rayon extérieur de l’allée ?
4. D. Calculer l’aire exacte puis approchée de l’allée annulaire.
5. E. Calculer l’aire de pelouse restante dans le jardin, en dehors du bassin et de l’allée.
6. F. L’allée coûte 48 € par m² et une bordure est posée sur le cercle extérieur à 22 € par mètre. Estimer le coût total.