Fonctions Variations
1ERE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Fonctions et variations
Notion de fonction • image et antécédent • représentation graphique • lecture de courbe • sens de variation
1) Définition d’une fonction
Une fonction associe à chaque nombre \(x\) d’un ensemble de départ une unique valeur notée \(f(x)\).
On peut voir une fonction comme une machine :
- on entre un nombre \(x\),
- la fonction effectue un calcul,
- on obtient un résultat appelé image de \(x\).
Exemple
Si :
\[
f(x)=2x+3
\]
alors :
\[
f(1)=2\times 1+3=5
\]
et
\[
f(4)=2\times 4+3=11.
\]
2) Image et antécédent
Image
L’image de \(x\) par la fonction \(f\) est le nombre \(f(x)\).
Exemple :
\[
f(3)=7
\]
signifie que l’image de \(3\) est \(7\).
Antécédent
Un antécédent de \(y\) est un nombre \(x\) tel que :
\[
f(x)=y.
\]
Exemple : si \(f(3)=7\), alors \(3\) est un antécédent de \(7\).
Une valeur peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou parfois aucun.
3) Représentation graphique
Une fonction peut être représentée par une courbe dans un repère.
Chaque point de la courbe a pour coordonnées :
\[
(x ; f(x)).
\]
Lire une image
Pour lire \(f(a)\), on part de \(a\) sur l’axe horizontal, on rejoint la courbe, puis on lit l’ordonnée correspondante.
Lire un antécédent
Pour trouver un antécédent de \(b\), on part de \(b\) sur l’axe vertical, on rejoint la courbe, puis on lit l’abscisse.
Idée importante
Dire que le point \(A(2;5)\) appartient à la courbe de \(f\), c’est dire que :
\[
f(2)=5.
\]
4) Sens de variation
Fonction croissante
La fonction est croissante sur un intervalle lorsque, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi.
Fonction décroissante
La fonction est décroissante sur un intervalle lorsque, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue.
Étudier les variations d’une fonction, c’est décrire comment ses valeurs évoluent lorsque \(x\) change.
Exemple
Si, lorsque \(x\) passe de 1 à 5, la valeur de \(f(x)\) passe de 3 à 10, alors la fonction augmente sur cet intervalle.
5) Tableau de variation
Le tableau de variation résume le comportement d’une fonction sur un ou plusieurs intervalles.
Ce qu’on y lit
- les intervalles étudiés,
- les valeurs importantes de \(x\),
- si la fonction monte ou descend,
- les valeurs minimales ou maximales éventuelles.
Le tableau de variation ne donne pas seulement des nombres : il permet d’interpréter globalement la fonction.
6) Applications simples
Les fonctions servent à modéliser de nombreuses situations :
En économie
évolution d’un coût, d’une recette, d’un bénéfice, d’un prix ou d’un chiffre d’affaires.
Dans la vie courante
distance parcourue en fonction du temps, température au cours de la journée, consommation en fonction de l’usage, etc.
Savoir lire une fonction, c’est savoir interpréter une situation réelle à partir d’un modèle mathématique.
7) Formulaire
\[
f(x)=\text{image de }x
\]
\[
f(a)=b \iff \text{l’image de }a\text{ est }b
\]
\[
f(x)=y \iff x\text{ est un antécédent de }y
\]
\[
\text{point de la courbe : }(x ; f(x))
\]
\[
\text{fonction croissante : quand }x\text{ augmente, }f(x)\text{ augmente}
\]
\[
\text{fonction décroissante : quand }x\text{ augmente, }f(x)\text{ diminue}
\]