Fiche de révision — Orthogonalité Et Distances Dans L’espace (Tle spé)
Cette fiche de révision de maths en Terminale Spécialité résume le chapitre Orthogonalité Et Distances Dans L’espace. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
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Terminale Spé
Chapitres
\(\newcommand{\coord}[3]{\begin{pmatrix}#1\\#2\\#3\end{pmatrix}}\)
Fiche ultra-synthèse — Orthogonalité et distances dans l’espace
Produit scalaire • vecteurs normaux • plans • projections orthogonales • distances • positions relatives.
1) Produit scalaire et orthogonalité
Calcul
Si \(\vec u\coord{a}{b}{c}\) et \(\vec v\coord{a'}{b'}{c'}\), alors :
\[\vec u\cdot\vec v=aa'+bb'+cc'.\]
Critère
\[\vec u\perp\vec v\iff \vec u\cdot\vec v=0.\]
2) Vecteur normal et plan
Plan cartésien
Pour \(\mathcal P:ax+by+cz+d=0\), un vecteur normal est :
\[\vec n\coord{a}{b}{c}.\]
Plan passant par un point
Si \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\) et \(\vec n\coord{a}{b}{c}\), alors :
\[
M\in\mathcal P\iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0.
\]
Donc :
\[
a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.
\]
3) Projetés orthogonaux et distances
Méthode Bac : on construit le projeté orthogonal \(H\), on prouve l’orthogonalité, puis on calcule la distance par \(d=MH\).
Point → droite
- Droite : \(H=A+t\vec u\), avec \(t\in\mathbb R\).
- Condition de projeté : \(\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0\).
- Distance : \(d(M,(d))=MH\).
Point → plan
- Plan de normale \(\vec n\) : écrire \(H=M+t\vec n\).
- Imposer \(H\in\mathcal P\).
- Comme \(\overrightarrow{MH}\parallel\vec n\), alors \((MH)\perp\mathcal P\).
- Distance : \(d(M,\mathcal P)=MH\).
Ne pas utiliser une formule directe de distance point-plan si elle n’a pas été démontrée dans le cours demandé : construire le projeté.
4) Positions relatives utiles
| Situation | Test | Conclusion |
|---|---|---|
| Droite / plan | Comparer \(\vec u\) et \(\vec n\), puis tester un point ou l’intersection. | Incluse, strictement parallèle, sécante, perpendiculaire. |
| Deux plans | Comparer les normales. | Parallèles, confondus, sécants, perpendiculaires. |
| Deux droites | Comparer les directeurs puis résoudre le système. | Sécantes, parallèles, confondues, non coplanaires. |
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