Orthogonalite Et Distances Dans Lespace
TERMINALE-SPE • MATHS — Learna
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\(\newcommand{\coord}[3]{\begin{pmatrix}#1\\#2\\#3\end{pmatrix}}\)
Cours — Orthogonalité et distances dans l’espace
Produit scalaire • vecteur normal • équations de plans • projetés orthogonaux • distances • positions relatives.
1) Objectifs
Savoir-faire
- Calculer un produit scalaire dans l’espace.
- Tester l’orthogonalité de deux directions.
- Lire un vecteur normal dans une équation de plan.
- Écrire l’équation d’un plan avec un point et une normale.
- Construire un projeté orthogonal sur une droite ou sur un plan.
- Calculer une distance par \(MH\) après preuve du projeté.
Règle de rédaction
Une distance point-droite ou point-plan doit être justifiée : on construit \(H\), on prouve que \(H\) est le projeté orthogonal, puis on écrit \(d=MH\).
2) Produit scalaire dans l’espace
Définition par coordonnées
Si \(\vec u\coord{a}{b}{c}\) et \(\vec v\coord{a'}{b'}{c'}\), alors \[\vec u\cdot\vec v=aa'+bb'+cc'.\]
Orthogonalité
\[\vec u\perp\vec v\iff \vec u\cdot\vec v=0.\]
Exemple corrigé
Pour \(\vec u\coord{3}{-1}{2}\) et \(\vec v\coord{1}{4}{-2}\) : \[\vec u\cdot\vec v=3\times1+(-1)\times4+2\times(-2)=3-4-4=-5.\] Les vecteurs ne sont donc pas orthogonaux.
3) Plans et vecteurs normaux
Équation cartésienne
Un plan \(\mathcal P\) peut s’écrire : \[ax+by+cz+d=0.\] Un vecteur normal est : \[\vec n\coord{a}{b}{c}.\]
Avec un point et une normale
Si \(A\coord{x_A}{y_A}{z_A}\) et \(\vec n\coord{a}{b}{c}\), alors \[M\in\mathcal P\iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0.\] Donc \[a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.\]
Exemple corrigé
Plan passant par \(A\coord{1}{-2}{3}\) et de normale \(\vec n\coord{2}{1}{-1}\). Pour \(M\coord{x}{y}{z}\), \[\overrightarrow{AM}=\coord{x-1}{y+2}{z-3}.\] On impose \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\) : \[2(x-1)+(y+2)-(z-3)=0,\] donc \[\boxed{2x+y-z+3=0}.\]
4) Projetés orthogonaux et distances
Point vers une droite
- Écrire \(H=A+t\vec u\), \(t\in\mathbb R\), car \(H\in(d)\).
- Imposer \(\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0\).
- Résoudre pour trouver \(t\), puis \(H\).
- Calculer \(MH\).
Point vers un plan
- Prendre une normale \(\vec n\) du plan.
- Écrire \(H=M+t\vec n\), \(t\in\mathbb R\).
- Imposer \(H\in\mathcal P\).
- Comme \(\overrightarrow{MH}\parallel\vec n\), \((MH)\perp\mathcal P\).
- Calculer \(MH\).
Dans ce chapitre, on privilégie la méthode de construction du projeté orthogonal. Elle est plus sûre et évite les formules hors programme.
5) Positions relatives
| Objets | Test | Conclusion |
|---|---|---|
| Droite / plan | Produit \(\vec u\cdot\vec n\), puis test d’un point ou intersection. | Sécante, incluse, strictement parallèle, perpendiculaire. |
| Deux plans | Comparer les normales. | Parallèles, confondus, sécants, perpendiculaires. |
| Deux droites | Comparer les directeurs, puis résoudre le système. | Sécantes, parallèles, confondues, non coplanaires. |
6) Méthodes Bac — rédaction solide
Pour prouver un projeté sur une droite
Montrer : \[H\in(d)\quad\text{et}\quad \overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0.\] Alors \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((d)\).
Pour prouver un projeté sur un plan
Montrer : \[H\in\mathcal P\quad\text{et}\quad \overrightarrow{MH}\parallel\vec n.\] Alors \((MH)\perp\mathcal P\), donc \(H\) est le projeté orthogonal.