Quiz — Divisibilité Et Congruences (Tle expertes)
Ce quiz de mathématiques en Terminale Maths expertes permet de vérifier rapidement tes acquis sur Divisibilité Et Congruences. Les questions ciblent notamment notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale Maths expertes, exemples guidés, exercices d’application pour repérer les points à revoir.
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Quiz de maths Terminale Maths expertes : Divisibilité Et Congruences
Terminale Maths expertes
Chapitres
Quiz HARD — Arithmétique : divisibilité & congruences (20 questions)
Divisibilité • PGCD • Bézout • congruences modulo n • inverses • pièges classiques Maths Expertes
Q1. Pour tout entier \(n\), lequel des entiers suivants est toujours divisible par \(6\) ?
A) \(n^2-n\)
B) \(n^3-n\)
C) \(n^4-n\)
D) \(n^5-n\)
Non vérifié
Indice
Factoriser et regarder la parité + modulo 3.
Correction
\(n^3-n=n(n-1)(n+1)\) est le produit de trois entiers consécutifs : divisible par \(2\) et par \(3\), donc par \(6\).
Q2. Pour tout entier \(n\), \(n^2-1\) est divisible par :
A) \(2\) seulement
B) \(3\) seulement
C) \(4\)
D) \(n\)
Non vérifié
Indice
Écrire \(n^2-1=(n-1)(n+1)\).
Correction
Deux entiers consécutifs pairs entourent \(n\) si \(n\) est impair ⇒ produit divisible par \(4\). Si \(n\) est pair, les deux sont impairs mais espacés de 2 ⇒ encore divisible par 4.
Q3. Vrai ou faux :
Si \(a\mid b\) et \(a\mid c\), alors \(a\mid bc\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(b=a k\).
Correction
Si \(b=ak\), alors \(bc=a(kc)\), donc \(a\mid bc\).
Q4. Calculer le reste de \(7^{202}\) dans la division par \(6\).
Non vérifié
Indice
\(7\equiv 1\pmod 6\).
Correction
\(7\equiv1\pmod6\Rightarrow 7^{202}\equiv1^{202}\equiv1\pmod6\).
Q5. Quel est le reste de \(5^{100}+3^{100}\) modulo \(4\) ?
Non vérifié
Indice
Réduire chaque base modulo 4.
Correction
\(5\equiv1\pmod4\Rightarrow5^{100}\equiv1\). \(3^2\equiv1\pmod4\Rightarrow3^{100}\equiv1\). Somme = 2.
Q6. Vrai ou faux :
\(a\equiv b\pmod n\Rightarrow a^2\equiv b^2\pmod n\).
Non vérifié
Indice
Multiplier la congruence par elle-même.
Correction
La multiplication conserve les congruences.
Q7. Vrai ou faux :
De \(6x\equiv6y\pmod{15}\) on peut déduire \(x\equiv y\pmod{15}\).
Non vérifié
Indice
Regarder \(\gcd(6,15)\).
Correction
\(\gcd(6,15)=3\neq1\). On ne peut pas simplifier une congruence par un non-inversible.
Q8. Résoudre \(4x\equiv2\pmod6\). Combien de solutions modulo 6 ?
Non vérifié
Indice
\(\gcd(4,6)=2\).
Correction
On divise par 2 : \(2x\equiv1\pmod3\Rightarrow x\equiv2\pmod3\). Deux solutions modulo 6.
Q9. Calculer \(\gcd(252,198)\).
Non vérifié
Indice
Algorithme d’Euclide.
Correction
Euclide : \(252=198+54\), \(198=54\times3+36\), \(54=36+18\), \(36=18\times2\).
Q10. Vrai ou faux :
\(\gcd(a,b)=\gcd(a,b-a)\).
Non vérifié
Indice
Propriété d’Euclide.
Correction
Les combinaisons linéaires ne changent pas le PGCD.
Q11. L’entier \(7\) est-il inversible modulo \(26\) ?
Non vérifié
Indice
Calculer \(\gcd(7,26)\).
Correction
\(\gcd(7,26)=1\Rightarrow7\) est inversible modulo \(26\).
Q12. Quel est l’inverse de \(5\) modulo \(12\) ?
Non vérifié
Indice
Tester \(5\times5\).
Correction
\(5\times5=25\equiv1\pmod{12}\).
Q13. Résoudre \(3x\equiv1\pmod5\).
Non vérifié
Indice
Inverse de 3 modulo 5.
Correction
\(3^{-1}\equiv2\pmod5\Rightarrow x\equiv2\).
Q14. Résoudre \(10x\equiv5\pmod{15}\).
Non vérifié
Indice
\(\gcd(10,15)=5\).
Correction
On obtient \(2x\equiv1\pmod3\Rightarrow x\equiv2\pmod3\). Trois solutions modulo 15.
Q15. L’équation \(14x+21y=1\) admet-elle des solutions entières ?
Non vérifié
Indice
Comparer avec le PGCD.
Correction
\(\gcd(14,21)=7\nmid1\). Aucune solution.
Q16. L’équation \(14x+21y=7\) admet-elle des solutions entières ?
Non vérifié
Indice
\(7\mid7\).
Correction
Condition de Bézout vérifiée.
Q17. Quel est l’ensemble des restes possibles de \(x^2\) modulo \(4\) ?
Non vérifié
Indice
Tester 0,1,2,3.
Correction
Les carrés modulo 4 valent uniquement 0 ou 1.
Q18. Vrai ou faux :
Si \(x\) est impair, alors \(x^2\equiv1\pmod8\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(x=2k+1\).
Correction
\((2k+1)^2=4k(k+1)+1\) avec \(k(k+1)\) pair.
Q19. Le système
\[x\equiv1\pmod4,\quad x\equiv1\pmod6\]
admet-il une solution ?
Non vérifié
Indice
Comparer les congruences.
Correction
Les deux imposent que \(x\equiv1\) modulo \(\gcd(4,6)=2\). Compatible.
Q20. Le système
\[x\equiv1\pmod4,\quad x\equiv2\pmod6\]
admet-il une solution ?
Non vérifié
Indice
Comparer modulo 2.
Correction
\(1\equiv1\pmod2\) mais \(2\equiv0\pmod2\) : contradiction.
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