Arithmetique Divisibilite Congruences
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Quiz HARD — Arithmétique : divisibilité & congruences (20 questions)
Divisibilité • PGCD • Bézout • congruences modulo n • inverses • pièges classiques Maths Expertes
Q2. Pour tout entier \(n\), lequel des entiers suivants est toujours divisible par \(6\) ?
A) \(n^2-n\)
B) \(n^3-n\)
C) \(n^4-n\)
D) \(n^5-n\)
Non vérifié
Indice
Factoriser et regarder la parité + modulo 3.
Correction
\(n^3-n=n(n-1)(n+1)\) est le produit de trois entiers consécutifs : divisible par \(2\) et par \(3\), donc par \(6\).
Q3. Pour tout entier \(n\), \(n^2-1\) est divisible par :
A) \(2\) seulement
B) \(3\) seulement
C) \(4\)
D) \(n\)
Non vérifié
Indice
Écrire \(n^2-1=(n-1)(n+1)\).
Correction
Deux entiers consécutifs pairs entourent \(n\) si \(n\) est impair ⇒ produit divisible par \(4\). Si \(n\) est pair, les deux sont impairs mais espacés de 2 ⇒ encore divisible par 4.
Q4. Vrai ou faux :
Si \(a\mid b\) et \(a\mid c\), alors \(a\mid bc\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(b=a k\).
Correction
Si \(b=ak\), alors \(bc=a(kc)\), donc \(a\mid bc\).
Q5. Calculer le reste de \(7^{202}\) dans la division par \(6\).
Non vérifié
Indice
\(7\equiv 1\pmod 6\).
Correction
\(7\equiv1\pmod6\Rightarrow 7^{202}\equiv1^{202}\equiv1\pmod6\).
Q6. Quel est le reste de \(5^{100}+3^{100}\) modulo \(4\) ?
Non vérifié
Indice
Réduire chaque base modulo 4.
Correction
\(5\equiv1\pmod4\Rightarrow5^{100}\equiv1\). \(3^2\equiv1\pmod4\Rightarrow3^{100}\equiv1\). Somme = 2.
Q7. Vrai ou faux :
\(a\equiv b\pmod n\Rightarrow a^2\equiv b^2\pmod n\).
Non vérifié
Indice
Multiplier la congruence par elle-même.
Correction
La multiplication conserve les congruences.
Q8. Vrai ou faux :
De \(6x\equiv6y\pmod{15}\) on peut déduire \(x\equiv y\pmod{15}\).
Non vérifié
Indice
Regarder \(\gcd(6,15)\).
Correction
\(\gcd(6,15)=3\neq1\). On ne peut pas simplifier une congruence par un non-inversible.
Q9. Résoudre \(4x\equiv2\pmod6\). Combien de solutions modulo 6 ?
Non vérifié
Indice
\(\gcd(4,6)=2\).
Correction
On divise par 2 : \(2x\equiv1\pmod3\Rightarrow x\equiv2\pmod3\). Deux solutions modulo 6.
Q10. Calculer \(\gcd(252,198)\).
Non vérifié
Indice
Algorithme d’Euclide.
Correction
Euclide : \(252=198+54\), \(198=54\times3+36\), \(54=36+18\), \(36=18\times2\).
Q11. Vrai ou faux :
\(\gcd(a,b)=\gcd(a,b-a)\).
Non vérifié
Indice
Propriété d’Euclide.
Correction
Les combinaisons linéaires ne changent pas le PGCD.
Q12. L’entier \(7\) est-il inversible modulo \(26\) ?
Non vérifié
Indice
Calculer \(\gcd(7,26)\).
Correction
\(\gcd(7,26)=1\Rightarrow7\) est inversible modulo \(26\).
Q13. Quel est l’inverse de \(5\) modulo \(12\) ?
Non vérifié
Indice
Tester \(5\times5\).
Correction
\(5\times5=25\equiv1\pmod{12}\).
Q14. Résoudre \(3x\equiv1\pmod5\).
Non vérifié
Indice
Inverse de 3 modulo 5.
Correction
\(3^{-1}\equiv2\pmod5\Rightarrow x\equiv2\).
Q15. Résoudre \(10x\equiv5\pmod{15}\).
Non vérifié
Indice
\(\gcd(10,15)=5\).
Correction
On obtient \(2x\equiv1\pmod3\Rightarrow x\equiv2\pmod3\). Trois solutions modulo 15.
Q16. L’équation \(14x+21y=1\) admet-elle des solutions entières ?
Non vérifié
Indice
Comparer avec le PGCD.
Correction
\(\gcd(14,21)=7\nmid1\). Aucune solution.
Q17. L’équation \(14x+21y=7\) admet-elle des solutions entières ?
Non vérifié
Indice
\(7\mid7\).
Correction
Condition de Bézout vérifiée.
Q18. Quel est l’ensemble des restes possibles de \(x^2\) modulo \(4\) ?
Non vérifié
Indice
Tester 0,1,2,3.
Correction
Les carrés modulo 4 valent uniquement 0 ou 1.
Q19. Vrai ou faux :
Si \(x\) est impair, alors \(x^2\equiv1\pmod8\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(x=2k+1\).
Correction
\((2k+1)^2=4k(k+1)+1\) avec \(k(k+1)\) pair.
Q20. Le système
\[x\equiv1\pmod4,\quad x\equiv1\pmod6\]
admet-il une solution ?
Non vérifié
Indice
Comparer les congruences.
Correction
Les deux imposent que \(x\equiv1\) modulo \(\gcd(4,6)=2\). Compatible.
Q21. Le système
\[x\equiv1\pmod4,\quad x\equiv2\pmod6\]
admet-il une solution ?
Non vérifié
Indice
Comparer modulo 2.
Correction
\(1\equiv1\pmod2\) mais \(2\equiv0\pmod2\) : contradiction.
Clavier