Quiz HARD — Arithmétique : divisibilité & congruences (20 questions)
Divisibilité • PGCD • Bézout • congruences modulo n • inverses • pièges classiques Maths Expertes
Exercice 1. Pour tout entier \(n\), lequel des entiers suivants est toujours divisible par \(6\) ?
A) \(n^2-n\)
B) \(n^3-n\)
C) \(n^4-n\)
D) \(n^5-n\)
Non vérifié
Indice
Factoriser et regarder la parité + modulo 3.
Exercice 2. Pour tout entier \(n\), \(n^2-1\) est divisible par :
A) \(2\) seulement
B) \(3\) seulement
C) \(4\)
D) \(n\)
Non vérifié
Indice
Écrire \(n^2-1=(n-1)(n+1)\).
Exercice 3. Vrai ou faux :
Si \(a\mid b\) et \(a\mid c\), alors \(a\mid bc\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(b=a k\).
Exercice 4. Calculer le reste de \(7^{202}\) dans la division par \(6\).
Non vérifié
Indice
\(7\equiv 1\pmod 6\).
Exercice 5. Quel est le reste de \(5^{100}+3^{100}\) modulo \(4\) ?
Non vérifié
Indice
Réduire chaque base modulo 4.
Exercice 6. Vrai ou faux :
\(a\equiv b\pmod n\Rightarrow a^2\equiv b^2\pmod n\).
Non vérifié
Indice
Multiplier la congruence par elle-même.
Exercice 7. Vrai ou faux :
De \(6x\equiv6y\pmod{15}\) on peut déduire \(x\equiv y\pmod{15}\).
Non vérifié
Indice
Regarder \(\gcd(6,15)\).
Exercice 8. Résoudre \(4x\equiv2\pmod6\). Combien de solutions modulo 6 ?
Non vérifié
Indice
\(\gcd(4,6)=2\).
Exercice 9. Calculer \(\gcd(252,198)\).
Non vérifié
Indice
Algorithme d’Euclide.
Exercice 10. Vrai ou faux :
\(\gcd(a,b)=\gcd(a,b-a)\).
Non vérifié
Indice
Propriété d’Euclide.
Exercice 11. L’entier \(7\) est-il inversible modulo \(26\) ?
Non vérifié
Indice
Calculer \(\gcd(7,26)\).
Exercice 12. Quel est l’inverse de \(5\) modulo \(12\) ?
Non vérifié
Indice
Tester \(5\times5\).
Exercice 13. Résoudre \(3x\equiv1\pmod5\).
Non vérifié
Indice
Inverse de 3 modulo 5.
Exercice 14. Résoudre \(10x\equiv5\pmod{15}\).
Non vérifié
Indice
\(\gcd(10,15)=5\).
Exercice 15. L’équation \(14x+21y=1\) admet-elle des solutions entières ?
Non vérifié
Indice
Comparer avec le PGCD.
Exercice 16. L’équation \(14x+21y=7\) admet-elle des solutions entières ?
Non vérifié
Indice
\(7\mid7\).
Exercice 17. Quel est l’ensemble des restes possibles de \(x^2\) modulo \(4\) ?
Non vérifié
Indice
Tester 0,1,2,3.
Exercice 18. Vrai ou faux :
Si \(x\) est impair, alors \(x^2\equiv1\pmod8\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(x=2k+1\).
Exercice 19. Le système
\[x\equiv1\pmod4,\quad x\equiv1\pmod6\]
admet-il une solution ?
Non vérifié
Indice
Comparer les congruences.
Exercice 20. Le système
\[x\equiv1\pmod4,\quad x\equiv2\pmod6\]
admet-il une solution ?
Non vérifié
Indice
Comparer modulo 2.