Exercices — Nombres complexes (applications)
Forme trigonométrique • puissances (De Moivre) • racines n-ièmes • résolution d’équations • similitudes • transformations
Niveau : Maths Expertes • 19–20/20
Niveau : Maths Expertes • 19–20/20
Trigonométrique
De Moivre
Racines
Équations
Similitudes
Interprétation
Exercice 1 — Puissances complexes (De Moivre)
On considère :
\[
z = 1 - i\sqrt{3}.
\]
- Écrire \(z\) sous forme trigonométrique.
- Calculer \(z^6\).
- Donner l’interprétation géométrique de \(z^6\).
Correction Afficher / Masquer
\[
|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2.
\]
On a \(\Re(z)=1>0\) et \(\Im(z)=-\sqrt3<0\), donc \(z\) est dans le 4e quadrant, avec
\[
\cos\theta=\frac{1}{2},\quad \sin\theta=-\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow \theta=-\frac{\pi}{3}.
\]
Donc
\[
z=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).
\]
Par De Moivre :
\[
z^6=2^6\left(\cos\left(6\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)+i\sin\left(6\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)
=64(\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi))=64.
\]
Interprétation : \(z^6\) est réel positif \(\Rightarrow\) point sur l’axe réel, à droite de \(O\).
Exercice 2 — Racines n-ièmes et géométrie
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :
\[
z^4 = -16.
\]
- Écrire \(-16\) sous forme trigonométrique.
- Déterminer les 4 solutions.
- Décrire la configuration géométrique des solutions.
Correction Afficher / Masquer
\[
-16 = 16(\cos\pi+i\sin\pi).
\]
Les racines quatrièmes :
\[
z_k = 2\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)\quad (k=0,1,2,3).
\]
\[
\boxed{
\begin{aligned}
z_0&=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\\
z_1&=2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\\
z_2&=2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)\\
z_3&=2\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)
\end{aligned}}
\]
Géométrie : \( |z_k|=2 \) et les arguments sont espacés de \(\frac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow\)
les solutions sont les sommets d’un carré centré en \(O\), sur le cercle \(|z|=2\).
Exercice 3 — Similitude directe : rapport, angle, centre
On considère la transformation :
\[
z'=(1-i)z+2.
\]
- Montrer que c’est une similitude directe.
- Déterminer son rapport et son angle.
- Calculer l’affixe de son centre \(\omega\) (point fixe).
Correction Afficher / Masquer
On est dans le cas \(z' = az + b\) avec \(a\neq 0\) \(\Rightarrow\) similitude directe.
\[
a=1-i,\quad b=2.
\]
Rapport :
\[
k=|a|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2.
\]
Argument :
\[
\arg(a)=\arg(1-i)=-\frac{\pi}{4}.
\]
Conclusion : similitude directe de rapport \(\sqrt2\) et d’angle \(-\frac{\pi}{4}\).
Centre \(\omega\) : point fixe \(z' = z\) donc
\[
\omega = a\omega + b
\iff (1-a)\omega=b
\iff \omega=\frac{b}{1-a}.
\]
\[
\omega=\frac{2}{1-(1-i)}=\frac{2}{i}=-2i.
\]
\[
\boxed{\omega=-2i.}
\]
⚠️ Piège : ne pas oublier le parenthésage \(1-a\), sinon erreur de signe.
Exercice 4 — Transformation : module, argument, interprétation
Soit \(z\neq0\) et
\[
z'=\frac{1+i}{z}.
\]
- Exprimer \(|z'|\) en fonction de \(|z|\).
- Exprimer \(\arg(z')\) en fonction de \(\arg(z)\).
- Interpréter géométriquement la transformation.
Correction Afficher / Masquer
Module :
\[
|z'|=\left|\frac{1+i}{z}\right|=\frac{|1+i|}{|z|}=\frac{\sqrt2}{|z|}.
\]
Argument (division \(\Rightarrow\) soustraction) :
\[
\arg(z')=\arg(1+i)-\arg(z)=\frac{\pi}{4}-\arg(z)\quad [2\pi].
\]
Interprétation :
- inversion \(z\mapsto \dfrac{1}{z}\) (envoie \(r e^{i\theta}\) sur \(\dfrac{1}{r}e^{-i\theta}\)),
- puis rotation d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\),
- et homothétie de rapport \(\sqrt2\).
✔️ Réflexe : écrire \(z=r e^{i\theta}\) \(\Rightarrow\) \(z'=\dfrac{\sqrt2 e^{i\pi/4}}{r e^{i\theta}}
=\dfrac{\sqrt2}{r} e^{i(\pi/4-\theta)}\).
Exercice 5 — Résoudre \(z^3=8i\) (racines + géométrie)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :
\[
z^3=8i.
\]
- Mettre \(8i\) sous forme trigonométrique.
- Donner les trois solutions sous forme trigonométrique.
- Donner leur position géométrique (cercle + angles).
Correction Afficher / Masquer
\[
8i = 8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right).
\]
Les racines cubiques :
\[
z_k = 2\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)
\quad (k=0,1,2).
\]
\[
\boxed{
\begin{aligned}
z_0 &= 2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\\
z_1 &= 2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)\\
z_2 &= 2\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)
\end{aligned}}
\]
Géométrie : les solutions sont sur le cercle \(|z|=2\), et leurs arguments sont espacés de \(\frac{2\pi}{3}\).
Exercice 6 — Trouver \(n\) tel que \(z^n\in\mathbb{R}_+\) (piège modulo)
Soit
\[
z=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).
\]
- Exprimer \(z^n\) sous forme trigonométrique.
- Déterminer tous les entiers \(n\ge 1\) tels que \(z^n\) soit un réel strictement positif.
Correction Afficher / Masquer
Par De Moivre :
\[
z^n=(\sqrt2)^n\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right)=2^{n/2}\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right).
\]
Pour que \(z^n\in\mathbb{R}\), il faut \(\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)=0\Rightarrow \frac{n\pi}{4}\equiv 0\) ou \(\pi\) \([2\pi]\),
donc \(n\equiv 0\) ou \(4\pmod 8\).
Pour que \(z^n\in\mathbb{R}_+\), il faut en plus \(\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)=1\Rightarrow \frac{n\pi}{4}\equiv 0\ [2\pi]\),
donc
\[
\boxed{n\equiv 0\pmod 8.}
\]
⚠️ Piège : “réel” n’est pas “réel positif”. \(n\equiv 4\pmod 8\) donne un réel négatif.
Exercice 7 — Racines de l’unité : somme nulle et interprétation
On note \(\omega=e^{2i\pi/3}\).
- Montrer que \(\omega^3=1\) et \(\omega\neq1\).
- Montrer que \(1+\omega+\omega^2=0\).
- Interpréter géométriquement l’égalité \(1+\omega+\omega^2=0\).
Correction Afficher / Masquer
\[
\omega^3=e^{2i\pi}=1,\quad \omega=e^{2i\pi/3}\neq 1.
\]
Comme \(\omega\neq1\) et \(\omega^3-1=0\), on factorise :
\[
\omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0.
\]
Puisque \(\omega-1\neq 0\), on a :
\[
\boxed{\omega^2+\omega+1=0\ \Rightarrow\ 1+\omega+\omega^2=0.}
\]
Géométrie : \(1,\omega,\omega^2\) sont trois points sur le cercle unité, formant un triangle équilatéral centré en \(O\).
La somme nulle correspond au “barycentre” au centre \(O\).
Fin — Applications (complexes)
Si tu veux, je continue avec la fiche récap (formules + pièges) ou le Quiz HARD (20 questions).
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