Exercices corrigés de maths Terminale Maths expertes : Arithmétique — divisibilité et congruences

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Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en Terminale Maths expertes sur Arithmétique — divisibilité et congruences. Tu vas t’entraîner sur notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en Terminale Maths expertes, exemples guidés, exercices d’application avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.

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Exercices — Nombres complexes (applications)
Forme trigonométrique • puissances (De Moivre) • racines n-ièmes • résolution d’équations • similitudes • transformations
Niveau : Maths Expertes • 19–20/20
Trigonométrique De Moivre Racines Équations Similitudes Interprétation
Exercice 1 — Puissances complexes (De Moivre)
On considère : \[ z = 1 - i\sqrt{3}. \]
  1. Écrire \(z\) sous forme trigonométrique.
  2. Calculer \(z^6\).
  3. Donner l’interprétation géométrique de \(z^6\).
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\[ |z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2. \] On a \(\Re(z)=1>0\) et \(\Im(z)=-\sqrt3<0\), donc \(z\) est dans le 4e quadrant, avec \[ \cos\theta=\frac{1}{2},\quad \sin\theta=-\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow \theta=-\frac{\pi}{3}. \] Donc \[ z=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right). \] Par De Moivre : \[ z^6=2^6\left(\cos\left(6\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)+i\sin\left(6\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right) =64(\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi))=64. \]
Interprétation : \(z^6\) est réel positif \(\Rightarrow\) point sur l’axe réel, à droite de \(O\).
Exercice 2 — Racines n-ièmes et géométrie
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \[ z^4 = -16. \]
  1. Écrire \(-16\) sous forme trigonométrique.
  2. Déterminer les 4 solutions.
  3. Décrire la configuration géométrique des solutions.
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\[ -16 = 16(\cos\pi+i\sin\pi). \] Les racines quatrièmes : \[ z_k = 2\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)\quad (k=0,1,2,3). \] \[ \boxed{ \begin{aligned} z_0&=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\\ z_1&=2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\\ z_2&=2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)\\ z_3&=2\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right) \end{aligned}} \]
Géométrie : \( |z_k|=2 \) et les arguments sont espacés de \(\frac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow\) les solutions sont les sommets d’un carré centré en \(O\), sur le cercle \(|z|=2\).
Exercice 3 — Similitude directe : rapport, angle, centre
On considère la transformation : \[ z'=(1-i)z+2. \]
  1. Montrer que c’est une similitude directe.
  2. Déterminer son rapport et son angle.
  3. Calculer l’affixe de son centre \(\omega\) (point fixe).
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On est dans le cas \(z' = az + b\) avec \(a\neq 0\) \(\Rightarrow\) similitude directe. \[ a=1-i,\quad b=2. \] Rapport : \[ k=|a|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2. \] Argument : \[ \arg(a)=\arg(1-i)=-\frac{\pi}{4}. \]
Conclusion : similitude directe de rapport \(\sqrt2\) et d’angle \(-\frac{\pi}{4}\).
Centre \(\omega\) : point fixe \(z' = z\) donc \[ \omega = a\omega + b \iff (1-a)\omega=b \iff \omega=\frac{b}{1-a}. \] \[ \omega=\frac{2}{1-(1-i)}=\frac{2}{i}=-2i. \] \[ \boxed{\omega=-2i.} \]
⚠️ Piège : ne pas oublier le parenthésage \(1-a\), sinon erreur de signe.
Exercice 4 — Transformation : module, argument, interprétation
Soit \(z\neq0\) et \[ z'=\frac{1+i}{z}. \]
  1. Exprimer \(|z'|\) en fonction de \(|z|\).
  2. Exprimer \(\arg(z')\) en fonction de \(\arg(z)\).
  3. Interpréter géométriquement la transformation.
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Module : \[ |z'|=\left|\frac{1+i}{z}\right|=\frac{|1+i|}{|z|}=\frac{\sqrt2}{|z|}. \] Argument (division \(\Rightarrow\) soustraction) : \[ \arg(z')=\arg(1+i)-\arg(z)=\frac{\pi}{4}-\arg(z)\quad [2\pi]. \]
Interprétation :
  • inversion \(z\mapsto \dfrac{1}{z}\) (envoie \(r e^{i\theta}\) sur \(\dfrac{1}{r}e^{-i\theta}\)),
  • puis rotation d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\),
  • et homothétie de rapport \(\sqrt2\).
✔️ Réflexe : écrire \(z=r e^{i\theta}\) \(\Rightarrow\) \(z'=\dfrac{\sqrt2 e^{i\pi/4}}{r e^{i\theta}} =\dfrac{\sqrt2}{r} e^{i(\pi/4-\theta)}\).
Exercice 5 — Résoudre \(z^3=8i\) (racines + géométrie)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \[ z^3=8i. \]
  1. Mettre \(8i\) sous forme trigonométrique.
  2. Donner les trois solutions sous forme trigonométrique.
  3. Donner leur position géométrique (cercle + angles).
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\[ 8i = 8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right). \] Les racines cubiques : \[ z_k = 2\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right) \quad (k=0,1,2). \] \[ \boxed{ \begin{aligned} z_0 &= 2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\\ z_1 &= 2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)\\ z_2 &= 2\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right) \end{aligned}} \]
Géométrie : les solutions sont sur le cercle \(|z|=2\), et leurs arguments sont espacés de \(\frac{2\pi}{3}\).
Exercice 6 — Trouver \(n\) tel que \(z^n\in\mathbb{R}_+\) (piège modulo)
Soit \[ z=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \]
  1. Exprimer \(z^n\) sous forme trigonométrique.
  2. Déterminer tous les entiers \(n\ge 1\) tels que \(z^n\) soit un réel strictement positif.
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Par De Moivre : \[ z^n=(\sqrt2)^n\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right)=2^{n/2}\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right). \] Pour que \(z^n\in\mathbb{R}\), il faut \(\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)=0\Rightarrow \frac{n\pi}{4}\equiv 0\) ou \(\pi\) \([2\pi]\), donc \(n\equiv 0\) ou \(4\pmod 8\). Pour que \(z^n\in\mathbb{R}_+\), il faut en plus \(\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)=1\Rightarrow \frac{n\pi}{4}\equiv 0\ [2\pi]\), donc \[ \boxed{n\equiv 0\pmod 8.} \]
⚠️ Piège : “réel” n’est pas “réel positif”. \(n\equiv 4\pmod 8\) donne un réel négatif.
Exercice 7 — Racines de l’unité : somme nulle et interprétation
On note \(\omega=e^{2i\pi/3}\).
  1. Montrer que \(\omega^3=1\) et \(\omega\neq1\).
  2. Montrer que \(1+\omega+\omega^2=0\).
  3. Interpréter géométriquement l’égalité \(1+\omega+\omega^2=0\).
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\[ \omega^3=e^{2i\pi}=1,\quad \omega=e^{2i\pi/3}\neq 1. \] Comme \(\omega\neq1\) et \(\omega^3-1=0\), on factorise : \[ \omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0. \] Puisque \(\omega-1\neq 0\), on a : \[ \boxed{\omega^2+\omega+1=0\ \Rightarrow\ 1+\omega+\omega^2=0.} \]
Géométrie : \(1,\omega,\omega^2\) sont trois points sur le cercle unité, formant un triangle équilatéral centré en \(O\). La somme nulle correspond au “barycentre” au centre \(O\).
Fin — Applications (complexes)
Si tu veux, je continue avec la fiche récap (formules + pièges) ou le Quiz HARD (20 questions).
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