Exercices corrigés — Divisibilité Et Congruences (Tle expertes)
Montrer que, pour tout entier \(n\), le nombre \(n^3-n\) est divisible par \(6\).
Correction
On écrit \(n^3-n=n(n-1)(n+1)\), produit de trois entiers consécutifs. L’un est pair et l’un est multiple de \(3\). Le produit est donc divisible par \(2\times3=6\).
Résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence \(7x\equiv 5 \pmod{12}\).
Correction
Comme \(7\times7=49\equiv1\pmod{12}\), l’inverse de \(7\) modulo \(12\) est \(7\). Donc \(x\equiv 7\times5\equiv35\equiv11\pmod{12}\).
Déterminer le PGCD de \(252\) et \(198\), puis trouver deux entiers \(u,v\) tels que \(252u+198v=\mathrm{PGCD}(252,198)\).
Correction
Algorithme d’Euclide : \(252=198+54\), \(198=3\times54+36\), \(54=36+18\), \(36=2\times18\). Donc le PGCD vaut \(18\). En remontant : \(18=54-36=54-(198-3\times54)=4\times54-198=4(252-198)-198=4\times252-5\times198\).
Déterminer le reste de \(3^{2026}\) dans la division euclidienne par \(10\).
Correction
Les puissances de \(3\) modulo \(10\) suivent le cycle \(3,9,7,1\), de période \(4\). Or \(2026\equiv2\pmod4\). Donc \(3^{2026}\equiv9\pmod{10}\).
Résoudre dans \(\mathbb Z^2\) : \(15x+21y=6\).
Correction
On divise par \(3\) : \(5x+7y=2\). Une solution particulière est \(x=-1\), \(y=1\). Les solutions sont donc \(x=-1+7k\), \(y=1-5k\), avec \(k\in\mathbb Z\).