On considère deux droites sécantes en un point \(A\). Sur la première droite, on place les points \(A, B, C\). Sur la seconde, on place les points \(A, D, E\).
Les points sont placés dans le même ordre :
- \(A, B, C\) sont alignés
- \(A, D, E\) sont alignés
- Les droites \((BD)\) et \((CE)\) sont parallèles
👉 On parle alors de triangles emboîtés : les triangles \(ABD\) et \(ACE\) ont le même sommet \(A\).
Énoncé :
Si :
- \(A, B, C\) sont alignés dans cet ordre
- \(A, D, E\) sont alignés dans cet ordre
- \((BD) \parallel (CE)\)
Alors les rapports de longueurs sont égaux :
📌 Les longueurs comparées doivent toujours correspondre : petit sur grand ou grand sur petit, mais jamais mélangées.
- Je vérifie que j’ai deux droites sécantes
- Je vérifie l’alignement des points
- Je vérifie le parallélisme
- J’écris les rapports dans le bon ordre
- Je calcule la longueur demandée
❗ Sans parallélisme → Thalès impossible.
Les droites \((BD)\) et \((CE)\) sont parallèles. Les angles correspondants sont donc égaux.
Les triangles \(ABD\) et \(ACE\) ont :
- un angle commun en \(A\)
- un autre angle égal (angles alternes-internes)
Ils sont donc semblables. Les longueurs correspondantes sont proportionnelles, ce qui donne :
Énoncé :
Si :
- \(A, B, C\) sont alignés
- \(A, D, E\) sont alignés
- \(\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\)
Alors :
👉 La réciproque sert à prouver un parallélisme.
- Écrire des rapports dans le désordre
- Oublier de vérifier l’alignement
- Utiliser Thalès sans parallélisme
- Mélanger longueurs et segments non correspondants