Dans un triangle \(ABC\), les points \(D\) et \(E\) appartiennent respectivement aux segments \([AB]\) et \([AC]\). On sait que \((DE)\parallel(BC)\).
- Citer les deux alignements nécessaires.
- Nommer les deux triangles “emboîtés”.
- Écrire l’égalité de Thalès avec les trois rapports.
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- \(A,D,B\) sont alignés et \(A,E,C\) sont alignés.
- Les triangles emboîtés sont \(ADE\) et \(ABC\).
- \[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC} \]
Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\) et \((DE)\parallel(BC)\). Données : \[ AB=12\text{ cm},\quad AD=5\text{ cm},\quad AC=18\text{ cm} \] Calculer \(AE\).
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Configuration de Thalès vérifiée. D’après Thalès : \[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} \] \[ \frac{5}{12}=\frac{AE}{18} \] \[ AE=\frac{5\times18}{12}=\frac{90}{12}=7{,}5 \] Conclusion : \(AE=7{,}5\) cm.
Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\), \((DE)\parallel(BC)\). Données : \[ AD=4\text{ cm},\quad AB=10\text{ cm},\quad BC=15\text{ cm} \] Calculer \(DE\).
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D’après Thalès : \[ \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC} \] \[ \frac{4}{10}=\frac{DE}{15} \] \[ DE=\frac{4\times15}{10}=6 \] Conclusion : \(DE=6\) cm.
Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\), \((DE)\parallel(BC)\). Données : \[ AD=6\text{ cm},\quad AE=9\text{ cm},\quad AC=15\text{ cm} \] Calculer \(AB\).
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D’après Thalès : \[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} \] \[ \frac{6}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5} \] Donc : \[ \frac{6}{AB}=\frac{3}{5}\Rightarrow 6\times5=3\times AB \Rightarrow 30=3AB \Rightarrow AB=10 \] Conclusion : \(AB=10\) cm.
Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\), \((DE)\parallel(BC)\). Données : \[ AB=1{,}2\text{ m},\quad AD=30\text{ cm},\quad AC=2\text{ m} \] Calculer \(AE\) en mètres.
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Convertir : \(30\text{ cm}=0{,}30\text{ m}\).
Thalès :
\[
\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}
\Rightarrow
\frac{0{,}30}{1{,}2}=\frac{AE}{2}
\]
\[
\frac{0{,}30}{1{,}2}=0{,}25
\Rightarrow
AE=2\times0{,}25=0{,}5
\]
Conclusion : \(AE=0{,}5\) m.
Dans un triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\) et \((DE)\parallel(BC)\). On donne : \[ AB=9\text{ cm},\quad AC=12\text{ cm},\quad AD=6\text{ cm} \] Calculer \(AE\) et rédiger proprement la solution (phrase + formule).
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« Dans le triangle \(ABC\), \(A,D,B\) sont alignés, \(A,E,C\) sont alignés et \((DE)\parallel(BC)\). D’après le théorème de Thalès : \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\). »
\[ \frac{6}{9}=\frac{AE}{12} \Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{AE}{12} \Rightarrow AE=12\times\frac{2}{3}=8 \] Conclusion : \(AE=8\) cm.
Dans le triangle \(ABC\), les points \(D\in[AB]\) et \(E\in[AC]\). Données : \[ AB=10\text{ cm},\quad AD=4\text{ cm},\quad AC=15\text{ cm},\quad AE=6\text{ cm} \] Démontrer que \((DE)\parallel(BC)\).
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On sait que \(A,D,B\) sont alignés et \(A,E,C\) sont alignés (car \(D\in[AB]\) et \(E\in[AC]\)).
Calcul des rapports : \[ \frac{AD}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \] \[ \frac{AE}{AC}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5} \] Les rapports sont égaux.
Conclusion : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((DE)\parallel(BC)\).
Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\). Données : \[ AB=12\text{ cm},\quad AD=5\text{ cm},\quad AC=18\text{ cm},\quad AE=8\text{ cm} \] Peut-on conclure que \((DE)\parallel(BC)\) ? Justifier.
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On compare les rapports : \[ \frac{AD}{AB}=\frac{5}{12} \quad\text{et}\quad \frac{AE}{AC}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9} \] Or \(\frac{5}{12}\neq \frac{4}{9}\) (par exemple \(5\times9=45\) et \(4\times12=48\)).
Conclusion : on ne peut pas appliquer la réciproque, donc on ne peut pas affirmer que \((DE)\parallel(BC)\).
On veut mesurer la largeur d’une rivière sans la traverser. On repère deux points \(A\) et \(B\) sur une berge, avec \(AB=20\) m. On place un point \(D\) sur \([AB]\) tel que \(AD=8\) m. Depuis \(A\), on vise un arbre \(C\) en face sur l’autre berge. On place un point \(E\) sur la demi-droite \([AC)\) tel que \(AE=12\) m, et on obtient \((DE)\parallel(BC)\).
1) Expliquer pourquoi on peut utiliser Thalès.
2) Calculer \(AC\) (la distance de \(A\) à l’arbre).
3) En déduire la largeur de la rivière si la berge est rectiligne et que \(C\) est “en face” de \(A\) (interprétation).
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1) Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\) donc les alignements sont vérifiés, et on sait \((DE)\parallel(BC)\). Configuration de Thalès.
2) Thalès : \[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} \Rightarrow \frac{8}{20}=\frac{12}{AC} \] \[ \frac{8}{20}=\frac{2}{5} \Rightarrow \frac{12}{AC}=\frac{2}{5} \Rightarrow AC=\frac{12\times5}{2}=30 \] Donc \(AC=30\) m.
3) Interprétation : si \(C\) est “en face” de \(A\), alors la largeur correspond à une distance perpendiculaire à la berge, ici on retient la distance estimée \(AC=30\) m (modèle simplifié).
Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\), \((DE)\parallel(BC)\).
Données :
\[
AD=3\text{ cm},\quad AB=7{,}5\text{ cm},\quad BC=18\text{ cm}
\]
1) Calculer le rapport \(\frac{AD}{AB}\).
2) En déduire \(DE\).
3) Conclure par une phrase.
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1) \[ \frac{AD}{AB}=\frac{3}{7{,}5}=0{,}4 \] (ou \(\frac{2}{5}\)).
2) Thalès : \[ \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB} \Rightarrow \frac{DE}{18}=0{,}4 \Rightarrow DE=18\times0{,}4=7{,}2 \]
3) Conclusion : \(DE=7{,}2\) cm.