Exercices corrigés — Statistiques Et Échantillonnage (2nde)

(a) Effectif total et fréquences.

\[ N=2+3+5+7+6+4+2+1=30. \] Fréquences : \(f_i=\dfrac{n_i}{30}\). En % :

• 6 : \(\dfrac{2}{30}=0{,}066\overline{6}\Rightarrow 6{,}7\%\)
• 8 : \(\dfrac{3}{30}=0{,}1\Rightarrow 10{,}0\%\)
• 9 : \(\dfrac{5}{30}=0{,}166\overline{6}\Rightarrow 16{,}7\%\)
• 10 : \(\dfrac{7}{30}=0{,}233\overline{3}\Rightarrow 23{,}3\%\)
• 12 : \(\dfrac{6}{30}=0{,}2\Rightarrow 20{,}0\%\)
• 14 : \(\dfrac{4}{30}=0{,}133\overline{3}\Rightarrow 13{,}3\%\)
• 16 : \(\dfrac{2}{30}=6{,}7\%\)
• 18 : \(\dfrac{1}{30}=3{,}3\%\)

Vérification : la somme des pourcentages vaut environ 100 % (écart éventuel dû aux arrondis).

(b) Cumulés et médiane.

Effectifs cumulés \(N_i\) :

• ≤6 : 2
• ≤8 : 2+3=5
• ≤9 : 10
• ≤10 : 17
• ≤12 : 23
• ≤14 : 27
• ≤16 : 29
• ≤18 : 30

\(N=30\) est pair → valeurs centrales : rangs 15 et 16.
Or jusqu’à 9 on a 10 valeurs, et jusqu’à 10 on a 17 valeurs ⇒ les rangs 11 à 17 valent 10.
Donc les rangs 15 et 16 valent 10 ⇒ médiane \(m=10\).

(c) Quartiles et IQR.

Seuils : \(0{,}25N=7{,}5\) et \(0{,}75N=22{,}5\).
\(Q_1\) = première valeur dont le cumulé ≥ 7,5. Or ≤8 : 5 (trop petit) ; ≤9 : 10 (ok). Donc \(Q_1=9\).
\(Q_3\) = première valeur dont le cumulé ≥ 22,5. Or ≤10 : 17 (trop petit) ; ≤12 : 23 (ok). Donc \(Q_3=12\).
\[ IQR=Q_3-Q_1=12-9=3. \] Interprétation : « La moitié centrale des notes est dans \([9 ; 12]\) ».

(d) Moyenne.

\[ \sum n_i x_i=2\cdot6+3\cdot8+5\cdot9+7\cdot10+6\cdot12+4\cdot14+2\cdot16+1\cdot18. \] Calcul : \(12+24+45+70+72+56+32+18=329\). Donc \[ \bar{x}=\dfrac{329}{30}\approx 10{,}97. \] Conclusion : « La note moyenne est d’environ \(11{,}0\) sur 20. »

(a) Tri + médiane.

Série triée : \[ 8,\ 9,\ 9,\ 9,\ 10,\ 10,\ 10,\ 11,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 40. \] Rang médian = 8 → 8ème valeur = 11 ⇒ médiane \(m=11\) min.

(b) Quartiles.

\(N=15\). Seuil \(0{,}25N=3{,}75\) : on prend la première valeur dont le rang ≥ 3,75 ⇒ rang 4.
4ème valeur = 9 ⇒ \(Q_1=9\).

Seuil \(0{,}75N=11{,}25\) : rang 12. 12ème valeur = 12 ⇒ \(Q_3=12\).
Donc \([Q_1 ; Q_3]=[9 ; 12]\) et \(IQR=12-9=3\).

(c) Moyenne.

Somme : \[ S=14+9+12+11+10+9+8+13+12+11+10+9+12+40+10. \] Calcul : \(S=190\). Donc \[ \bar{t}=\dfrac{190}{15}\approx 12{,}7. \] Comparaison : médiane 11, moyenne 12,7 (plus grande) car 40 tire la moyenne vers le haut.

(d) Sans 40.

Nouvelle somme : \(S'=190-40=150\), nouvel effectif \(N'=14\).
\[ \bar{t}'=\dfrac{150}{14}\approx 10{,}7. \] Conclusion : une valeur extrême peut déformer fortement la moyenne, alors que médiane/quartiles restent beaucoup plus stables.

(a) Fréquences. \(N=40\).

• \([150;160[\) : \(\dfrac{6}{40}=0{,}15=15\%\)
• \([160;170[\) : \(\dfrac{10}{40}=0{,}25=25\%\)
• \([170;180[\) : \(\dfrac{18}{40}=0{,}45=45\%\)
• \([180;190[\) : \(\dfrac{6}{40}=0{,}15=15\%\)

Vérification : \(15+25+45+15=100\%\).

(b) Histogramme et classe modale.

Puisque toutes les classes ont la même amplitude, on peut utiliser directement les effectifs comme hauteurs : \(6;10;18;6\). La barre la plus haute correspond à \([170;180[\). La classe modale est donc \([170;180[\).

(c) Moyenne estimée par les centres de classes.

\[ \bar{x}\approx \dfrac{6\cdot155+10\cdot165+18\cdot175+6\cdot185}{40}. \] La somme pondérée vaut \(930+1650+3150+1110=6840\). Ainsi \[ \bar{x}\approx\dfrac{6840}{40}=171. \] La taille moyenne estimée est donc 171 cm.

(d) Classe médiane.

Les effectifs cumulés sont \(6;16;34;40\). Les rangs 20 et 21 sont donc dans la troisième classe. Ainsi, la médiane appartient à \([170;180[\).

(a) Voiture = \(100-(37{,}5+25+12{,}5)=100-75=25\%\).

(b) Effectifs :

• Bus : \(0{,}375\times32=12\)
• À pied : \(0{,}25\times32=8\)
• Vélo : \(0{,}125\times32=4\)
• Voiture : \(0{,}25\times32=8\)

Vérification : \(12+8+4+8=32\).

(c) Angle « Bus » = \(37{,}5\%\times360^\circ =0{,}375\times360^\circ=135^\circ\).

(d) 12,5 % de 32 = \(0{,}125\times32=4\), pas 5.
Erreur : l’élève a confondu 12,5 % avec 15,625 % (car \(\dfrac{5}{32}\approx0{,}15625\)).

(a) Moyenne pondérée.

Somme des coefficients : \(2+3+1+1=7\).
Somme pondérée : \(11\times2+7\times3+16\times1+12\times1=22+21+16+12=71\).
\[ \bar{x}=\dfrac{71}{7}\approx 10{,}14. \]

(b) Prochain DS (coef 3) noté \(x\).

Nouvelle somme coeffs : \(7+3=10\). Nouvelle somme pondérée : \(71+3x\).
On veut \(\dfrac{71+3x}{10}\ge 11\) : \[ 71+3x\ge 110\Rightarrow 3x\ge 39\Rightarrow x\ge 13. \] Il faut au minimum 13/20.

(c) Sans le DM.

On retire DM : coefficient total \(7-1=6\), somme pondérée \(71-16=55\).
\[ \bar{x}'=\dfrac{55}{6}\approx 9{,}17. \] Impact : baisse forte (~1 point), car le DM était très bon.

(d) Les notes n’ont pas le même “poids” (coef 3 compte 3 fois une interro coef 1). Faire une simple moyenne arithmétique donnerait un résultat faux.

(a) Cumulés.

≤0 : 6
≤1 : 6+11=17
≤2 : 17+14=31
≤3 : 40
≤4 : 46
≤5 : 49
≤6 : 50

(b) Médiane.

Rangs 25 et 26. Or ≤1 : 17 (trop petit), ≤2 : 31 (ok). Donc les rangs 18 à 31 valent 2.
Ainsi rang 25 et 26 → valeur 2 ⇒ médiane \(m=2\).

(c) Quartiles.

Seuil \(12{,}5\) : première valeur avec cumulé ≥ 12,5. Or ≤0 : 6 (non), ≤1 : 17 (oui) ⇒ \(Q_1=1\).
Seuil \(37{,}5\) : première valeur avec cumulé ≥ 37,5. Or ≤2 : 31 (non), ≤3 : 40 (oui) ⇒ \(Q_3=3\).

(d) Interprétation de \(Q_3\).

\(Q_3=3\) signifie : au moins 75 % des élèves ont lu au plus 3 livres ce mois-ci.

(a) \(\hat{p}=\dfrac{78}{250}=0{,}312\). Donc \(31{,}2\%\).

(b) Estimation dans 1200 : \[ 0{,}312\times 1200=374{,}4\approx 374. \] On estime environ 374 élèves.

(c) \(\hat{p}_2=\dfrac{60}{250}=0{,}24=24\%\).
Comparaison : 31,2 % vs 24 % : écart de 7,2 points.
Conclusion raisonnable : les deux fréquences diffèrent : cela illustre la fluctuation d’échantillonnage. Avec ces seules données, on ne peut pas affirmer une proportion exacte pour tout le lycée.

(d) Deux causes de biais (exemples).

• Échantillon pris uniquement à 8h (ceux qui arrivent tôt ≠ tous les élèves).
• Échantillon pris dans une seule classe/section (pas représentatif du lycée).
• Question posée à des volontaires (les volontaires répondent différemment).
• Formulation ambiguë (“goûter” ≠ “boire”).

(a) Le protocole B est le plus fiable, car l’échantillon est tiré au hasard dans la population entière (tous les élèves).

(b) Protocole A est biaisé : on interroge des élèves qui participent à l’AS, donc ils sont plus sportifs que la moyenne du lycée → la proportion observée sera surestimée.

(c) Protocole C (exemple) : tirage aléatoire stratifié :

• on découpe la population en groupes (classes / niveaux),
• on tire au hasard dans chaque groupe un nombre proportionnel à sa taille.

Avantage : meilleure représentativité sans augmenter \(n\).

(d) Phrase correcte (modèle) :
« Sur l’échantillon, on obtient \(\hat{p}=\dfrac{k}{n}\). On estime donc qu’environ \(100\hat{p}\%\) des élèves du lycée font du sport au moins 2 fois par semaine, à condition que l’échantillon soit représentatif. »

(a) Étendue : \(19-4=15\). IQR : \(14-8=6\).

(b) L’intervalle interquartile est \([Q_1 ; Q_3]=[8 ; 14]\) et il contient au moins 50 % des notes.

(c) Médiane = 11 signifie qu’au moins 50 % des élèves ont une note ≤ 11 et qu’au moins 50 % ont une note ≥ 11.

(d) La classe la plus homogène est celle qui a le plus petit IQR : classe B (IQR = 2).
Même médiane, mais dispersion beaucoup plus faible : les notes sont plus regroupées.

(a) Moyennes.

Groupe A : somme \(=6+8+9+10+10+11+11+12+13+20\).
\(6+8=14\), +9=23, +10=33, +10=43, +11=54, +11=65, +12=77, +13=90, +20=110.
Donc \(\bar{x}_A=\dfrac{110}{10}=11\).

Groupe B : somme \(=9+10+10+11+11+11+11+12+12+13\).
Calcul : \(9+10+10+11+11+11+11+12+12+13=110\).
\(\bar{x}_B=\dfrac{110}{10}=11\).
Comparaison : les deux groupes ont exactement la même moyenne : \(11\).

(b) Médianes.

\(N=10\) → médiane = moyenne des rangs 5 et 6.
A (trié déjà) : rang 5 = 10, rang 6 = 11 ⇒ \(m_A=10{,}5\).
B : rang 5 = 11, rang 6 = 11 ⇒ \(m_B=11\).

(c) Quartiles et IQR.

Seuils : \(0{,}25N=2{,}5\Rightarrow\) rang 3 ; \(0{,}75N=7{,}5\Rightarrow\) rang 8.

Groupe A : rang 3 = 9 ⇒ \(Q_{1A}=9\). Rang 8 = 12 ⇒ \(Q_{3A}=12\).
\(IQR_A=12-9=3\). Étendue \(=20-6=14\).

Groupe B : rang 3 = 10 ⇒ \(Q_{1B}=10\). Rang 8 = 12 ⇒ \(Q_{3B}=12\).
\(IQR_B=12-10=2\). Étendue \(=13-9=4\).

(d) Régularité.

Le groupe B est plus régulier : son IQR vaut 2 et son étendue vaut 4, contre un IQR de 3 et une étendue de 14 pour A.
Les deux groupes ont pourtant la même moyenne 11 : la moyenne seule ne décrit donc pas la dispersion.

(a) Les deux sommes valent 50, donc \(\bar{x}_A=\bar{x}_B=\dfrac{50}{5}=10\).

(b) Pour A, les écarts à 10 sont \(-4,-2,0,2,4\). Ainsi \[V_A=\dfrac{16+4+0+4+16}{5}=8,\qquad \sigma_A=\sqrt8\approx2{,}83.\] Pour B, les écarts sont \(-2,-1,0,1,2\) : \[V_B=\dfrac{4+1+0+1+4}{5}=2,\qquad \sigma_B=\sqrt2\approx1{,}41.\]

(c) B est plus homogène car son écart type est plus petit.

(d) La nouvelle moyenne vaut \(10+3=13\), tandis que l’écart type reste \(\sqrt8\approx2{,}83\).

(a) \(N=4+8+16+9+3=40\). Les fréquences sont 10 %, 20 %, 40 %, 22,5 % et 7,5 %.

(b) L’effectif maximal est 16 : la classe modale est \([20;30[\).

(c) \[\bar{x}\approx\dfrac{4\times5+8\times15+16\times25+9\times35+3\times45}{40}=\dfrac{990}{40}=24{,}75.\]

(d) Les cumulés sont 4, 12, 28, 37, 40. Les rangs centraux sont donc dans \([20;30[\). En supposant une répartition uniforme : \[m\approx20+\dfrac{20-12}{16}\times10=25.\] La médiane estimée est donc environ 25 min.

(a) \[\dfrac{104+12x}{8+x}=12{,}5\Rightarrow104+12x=100+12{,}5x\Rightarrow x=8.\]

(b) \(N=3+8+5=16\). Les fréquences sont \(\dfrac3{16}=18{,}75\%\), \(\dfrac8{16}=50\%\), \(\dfrac5{16}=31{,}25\%\).

(c) Les rangs 8 et 9 appartiennent aux huit valeurs égales à 12, donc la médiane vaut 12.

(d) Rang de \(Q_1\) : 4, donc \(Q_1=12\). Rang de \(Q_3\) : 12, donc \(Q_3=16\). Ainsi \(IQR=4\).

(a) A : \(24\times11{,}5=276\). B : \(16\times14=224\).

(b) Somme totale \(=500\), donc \(\bar{x}=\dfrac{500}{40}=12{,}5\).

(c) \[\dfrac{500+17k}{40+k}\ge13\iff500+17k\ge520+13k\iff4k\ge20.\] Il faut donc au minimum \(k=5\) élèves.

(d) Non. Les médianes seules ne permettent pas de connaître les rangs centraux de la réunion des deux séries.

(a) \(18+14+16=48\), \(12+26+14=52\), et \(48+52=100\).

(b) \(f(\text{vélo})=\dfrac{48}{100}=48\%\).

(c) \(f(\text{vélo}\mid2B)=\dfrac{14}{40}=35\%\).

(d) 2A : \(\dfrac{18}{30}=60\%\) ; 2B : 35 % ; 2C : \(\dfrac{16}{30}\approx53{,}3\%\). La proportion est la plus forte en 2A.

(a) Réussites : \(72+54=126\), donc \(\dfrac{126}{200}=63\%\).

(b) Bibliothèque : \(72\%\). Non régulière : \(54\%\).

(c) Écart : \(72-54=18\) points.

(d) Non. Le tableau montre une association dans cet échantillon, mais d’autres facteurs peuvent expliquer une partie de l’écart.

(a) \(\bar{y}=1{,}5\times12-4=14\).

(b) \(\sigma_Y=1{,}5\times2{,}4=3{,}6\).

(c) \(Q_{1Y}=1{,}5\times10-4=11\), médiane \(=14\), \(Q_{3Y}=1{,}5\times13{,}5-4=16{,}25\).

(d) X a pour étendue \(18-6=12\). Y a pour minimum 5 et maximum 23, donc étendue 18, soit \(1{,}5\times12\).

(a) Les deux médianes valent 11.

(b) A : \(IQR=14-8=6\), étendue \(=19-4=15\). B : \(IQR=13-9=4\), étendue \(=16-6=10\).

(c) A : \([8;14]\). B : \([9;13]\). Chacun contient au moins 50 % des valeurs.

(d) B est plus homogène : ses deux indicateurs de dispersion sont plus petits.

(a) Somme initiale : \(10\times42=420\).

(b) Nouvelle somme : \(11\times44=484\). La 11e journée vaut donc \(484-420=64\).

(c) Après retrait de 20 : \(484-20=464\), donc moyenne \(\dfrac{464}{10}=46{,}4\).

(d) La valeur 20 est très inférieure à la moyenne 44 ; la supprimer retire une valeur qui tirait la moyenne vers le bas.

(a) La somme connue vaut \(4+6+8+12+14+16=60\). La somme totale doit valoir 70, donc \(x=10\).

(b) La 4e valeur vaut 10 : médiane 10.

(c) \(Q_1\) est la valeur de rang \(\lceil7/4\rceil=2\), donc 6. \(Q_3\) est de rang \(\lceil21/4\rceil=6\), donc 14.

(d) \(IQR=14-6=8\). Étendue \(=16-4=12\).

(a) \(N=40\) et \[\bar{x}\approx\dfrac{5\times5+10\times15+15\times25+10\times35}{40}=\dfrac{900}{40}=22{,}5.\]

(b) \[\overline{x^2}\approx\dfrac{5\times25+10\times225+15\times625+10\times1225}{40}=\dfrac{24000}{40}=600.\] Donc \(V\approx600-22{,}5^2=93{,}75\).

(c) \(\sigma\approx\sqrt{93{,}75}\approx9{,}68\).

(d) La moyenne devient 27,5 ; l’écart type reste environ 9,68.

(a) Entre 10 et 20, F passe de 0,10 à 0,35. La fraction du segment est \(\dfrac{0{,}25-0{,}10}{0{,}35-0{,}10}=0{,}6\). Donc \(Q_1\approx10+0{,}6\times10=16\).

(b) Entre 20 et 30 : \[m\approx20+\dfrac{0{,}50-0{,}35}{0{,}70-0{,}35}\times10\approx24{,}29.\]

(c) Entre 30 et 40 : \[Q_3\approx30+\dfrac{0{,}75-0{,}70}{0{,}90-0{,}70}\times10=32{,}5.\]

(d) \(F(40)-F(20)=0{,}90-0{,}35=0{,}55\), soit 55 %.

(a) 10 % de chaque niveau : 40 Secondes, 45 Premières et 35 Terminales.

(b) Soutiens : \(24+30+14=68\). Ainsi \(\hat p=\dfrac{68}{120}\approx0{,}5667\), soit 56,7 %.

(c) \(0{,}5667\times1200\approx680\). On estime environ 680 soutiens.

(d) Les volontaires ne constituent pas nécessairement un échantillon représentatif : le mode de sélection peut créer un biais.

(a) \(s\) compte le nombre de succès obtenus parmi 5000 essais.

(b) La fréquence est en général proche de 0,42.

(c) \(\dfrac{2075}{5000}=0{,}415\). L’écart absolu est \(|0{,}415-0{,}42|=0{,}005\).

(d) Avec davantage d’essais, la fréquence observée est en général plus stable autour de 0,42, même si elle n’est pas garantie exactement égale à 0,42.

(a) Taille 50 : somme 2,10, moyenne \(0{,}42\). Taille 800 : somme 2,09, moyenne \(0{,}418\).

(b) Taille 50 : \(0{,}54-0{,}34=0{,}20\). Taille 800 : \(0{,}431-0{,}405=0{,}026\).

(c) Les échantillons de taille 800 sont nettement plus stables.

(d) Les deux séries sont centrées autour d’environ \(0{,}42\), valeur compatible avec la proportion du modèle.

(a) Les écarts sont 0,18 ; 0,06 ; 0,02 ; 0,004 ; 0,001.

(b) Dans cette simulation, la fréquence se rapproche progressivement de 0,42 et se stabilise.

(c) Non. Une trajectoire réelle peut remonter ou redescendre localement ; la stabilisation est une tendance globale.

(d) Non. Une nouvelle simulation produit une trajectoire différente, mais elle présente généralement le même phénomène de stabilisation autour de 0,42 lorsque le nombre d’essais devient grand.

(a) Un intervalle empirique central est \([0{,}365;0{,}505]\).

(b) \(\dfrac{950}{1000}=0{,}95\), soit 95 %.

(c) 0,58 est au-delà de la borne haute 0,505 : c’est une valeur atypique relativement aux 1000 simulations observées, mais pas mathématiquement impossible.

(d) Lorsque la taille des échantillons augmente, les fréquences sont en général plus concentrées et l’intervalle empirique tend à se resserrer.

(a) Retards : \(18+6+9=33\), donc \(\dfrac{33}{200}=16{,}5\%\).

(b) Bus : \(\dfrac{18}{60}=30\%\). Vélo : \(\dfrac6{60}=10\%\). À pied : \(\dfrac9{80}=11{,}25\%\).

(c) Le groupe « Bus » a la fréquence la plus élevée.

(d) Les effectifs des groupes diffèrent ; un nombre brut ne mesure pas la proportion de retard à l’intérieur du groupe.

(a) Club et demi-pensionnaire : \(0{,}60\times110=66\). Club et externe : \(110-66=44\). Sans club et demi-pensionnaire : \(120-66=54\). Il reste \(200-120=80\) externes, donc sans club et externe : \(80-44=36\).

(b) \(\dfrac{66}{120}=55\%\).

(c) \(\dfrac{44}{80}=55\%\).

(d) Dans cet échantillon, la participation au club a la même fréquence dans les deux statuts ; le tableau ne met donc pas en évidence d’association entre ces deux variables.

(a) Somme pondérée : \(6\times10+14\times15+12\times20+8\times30=750\), donc \(\bar{x}=18{,}75\). Cumulés : 6,20,32,40. Les rangs 20 et 21 valent 15 et 20, donc médiane \(=17{,}5\). \(Q_1\) est le rang 10 : 15. \(Q_3\) est le rang 30 : 20.

(b) \[\overline{x^2}=\dfrac{6\times100+14\times225+12\times400+8\times900}{40}=393{,}75.\] Donc \(V=393{,}75-18{,}75^2=42{,}1875\), et \(\sigma\approx6{,}50\) min.

(c) \(\hat p=\dfrac{18}{40}=0{,}45=45\%\). Extrapolation : \(0{,}45\times1200=540\). On estime environ 540 élèves.

(d) Deux limites : le groupe de 40 peut ne pas être représentatif ; la fréquence observée fluctue d’un échantillon à l’autre. L’extrapolation est donc une estimation, pas une valeur exacte.