Exercices corrigés — Statistiques Et Échantillonnage (2nde)

(a) Effectif total et fréquences.

\[ N=2+3+5+7+6+4+2+1=30. \] Fréquences : \(f_i=\dfrac{n_i}{30}\). En % :

• 6 : \(\dfrac{2}{30}=0{,}066\overline{6}\Rightarrow 6{,}7\%\)
• 8 : \(\dfrac{3}{30}=0{,}1\Rightarrow 10{,}0\%\)
• 9 : \(\dfrac{5}{30}=0{,}166\overline{6}\Rightarrow 16{,}7\%\)
• 10 : \(\dfrac{7}{30}=0{,}233\overline{3}\Rightarrow 23{,}3\%\)
• 12 : \(\dfrac{6}{30}=0{,}2\Rightarrow 20{,}0\%\)
• 14 : \(\dfrac{4}{30}=0{,}133\overline{3}\Rightarrow 13{,}3\%\)
• 16 : \(\dfrac{2}{30}=6{,}7\%\)
• 18 : \(\dfrac{1}{30}=3{,}3\%\)

Vérif : la somme des % vaut ~100 % (écarts d’arrondis).

(b) Cumulés et médiane.

Effectifs cumulés \(N_i\) :

• ≤6 : 2
• ≤8 : 2+3=5
• ≤9 : 10
• ≤10 : 17
• ≤12 : 23
• ≤14 : 27
• ≤16 : 29
• ≤18 : 30

\(N=30\) est pair → valeurs centrales : rangs 15 et 16.
Or jusqu’à 9 on a 10 valeurs, et jusqu’à 10 on a 17 valeurs ⇒ les rangs 11 à 17 valent 10.
Donc les rangs 15 et 16 valent 10 ⇒ médiane \(m=10\).

(c) Quartiles et IQR.

Seuils : \(0{,}25N=7{,}5\) et \(0{,}75N=22{,}5\).
\(Q_1\) = première valeur dont le cumulé ≥ 7,5. Or ≤8 : 5 (trop petit) ; ≤9 : 10 (ok). Donc \(Q_1=9\).
\(Q_3\) = première valeur dont le cumulé ≥ 22,5. Or ≤10 : 17 (trop petit) ; ≤12 : 23 (ok). Donc \(Q_3=12\).
\[ IQR=Q_3-Q_1=12-9=3. \] Interprétation : « La moitié centrale des notes est dans \([9 ; 12]\) ».

(d) Moyenne.

\[ \sum n_i x_i=2\cdot6+3\cdot8+5\cdot9+7\cdot10+6\cdot12+4\cdot14+2\cdot16+1\cdot18. \] Calcul : \(12+24+45+70+72+56+32+18=329\). Donc \[ \bar{x}=\frac{329}{30}\approx 10{,}97. \] Conclusion : « La note moyenne est d’environ \(11{,}0\) sur 20. »

(a) Tri + médiane.

Série triée : \[ 8,\ 9,\ 9,\ 9,\ 10,\ 10,\ 10,\ 11,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 40. \] Rang médian = 8 → 8ème valeur = 11 ⇒ médiane \(m=11\) min.

(b) Quartiles.

\(N=15\). Seuil \(0{,}25N=3{,}75\) : on prend la première valeur dont le rang ≥ 3,75 ⇒ rang 4.
4ème valeur = 9 ⇒ \(Q_1=9\).

Seuil \(0{,}75N=11{,}25\) : rang 12. 12ème valeur = 12 ⇒ \(Q_3=12\).
Donc \([Q_1 ; Q_3]=[9 ; 12]\) et \(IQR=12-9=3\).

(c) Moyenne.

Somme : \[ S=14+9+12+11+10+9+8+13+12+11+10+9+12+40+10. \] Calcul : \(S=190\). Donc \[ \bar{t}=\frac{190}{15}\approx 12{,}7. \] Comparaison : médiane 11, moyenne 12,7 (plus grande) car 40 tire la moyenne vers le haut.

(d) Sans 40.

Nouvelle somme : \(S'=190-40=150\), nouvel effectif \(N'=14\).
\[ \bar{t}'=\frac{150}{14}\approx 10{,}7. \] Conclusion : une valeur extrême peut déformer fortement la moyenne, alors que médiane/quartiles restent beaucoup plus stables.

(a) Fréquences. \(N=40\).

\([150;155[\) : \(6/40=0{,}15\Rightarrow 15\%\).
\([155;165[\) : \(10/40=25\%\).
\([165;175[\) : \(18/40=45\%\).
\([175;180[\) : \(6/40=15\%\). (Total = 100 %)

(b) Hauteurs (densités) pour histogramme.

Hauteur \(h=\dfrac{n}{\text{largeur}}\) (en “effectifs par cm”).
Largeurs : 5 ; 10 ; 10 ; 5.

• \([150;155[\) : \(h=6/5=1{,}2\)
• \([155;165[\) : \(h=10/10=1\)
• \([165;175[\) : \(h=18/10=1{,}8\)
• \([175;180[\) : \(h=6/5=1{,}2\)

Point clé : si les largeurs diffèrent, on compare les aires (qui valent les effectifs), donc on ajuste les hauteurs.

(c) Moyenne estimée (centres de classes).

Centres : 152,5 ; 160 ; 170 ; 177,5.
\[ \bar{x}\approx \frac{6\cdot152{,}5+10\cdot160+18\cdot170+6\cdot177{,}5}{40}. \] Calcul : \(6\cdot152{,}5=915\), \(10\cdot160=1600\), \(18\cdot170=3060\), \(6\cdot177{,}5=1065\).
Somme \(=915+1600+3060+1065=6640\). Donc \[ \bar{x}\approx \frac{6640}{40}=166. \] Estimation : moyenne ≈ 166 cm.

(d) Classe médiane.

Cumulés : 6 ; 16 ; 34 ; 40.
Rang 20 et 21 : ils sont entre 17 et 34 ⇒ ils sont dans la classe \([165 ; 175[\).
Donc la médiane se situe dans \([165 ; 175[\).

(a) Voiture = \(100-(37{,}5+25+12{,}5)=100-75=25\%\).

(b) Effectifs :

• Bus : \(0{,}375\times32=12\)
• À pied : \(0{,}25\times32=8\)
• Vélo : \(0{,}125\times32=4\)
• Voiture : \(0{,}25\times32=8\)

Vérif : \(12+8+4+8=32\).

(c) Angle « Bus » = \(37{,}5\%\times360^\circ =0{,}375\times360^\circ=135^\circ\).

(d) 12,5 % de 32 = \(0{,}125\times32=4\), pas 5.
Erreur : l’élève a confondu 12,5 % avec 15,625 % (car \(5/32\approx0{,}15625\)).

(a) Moyenne pondérée.

Somme des coefficients : \(2+3+1+1=7\).
Somme pondérée : \(11\times2+7\times3+16\times1+12\times1=22+21+16+12=71\).
\[ \bar{x}=\frac{71}{7}\approx 10{,}14. \]

(b) Prochain DS (coef 3) noté \(x\).

Nouvelle somme coeffs : \(7+3=10\). Nouvelle somme pondérée : \(71+3x\).
On veut \(\dfrac{71+3x}{10}\ge 11\) : \[ 71+3x\ge 110\Rightarrow 3x\ge 39\Rightarrow x\ge 13. \] Il faut au minimum 13/20.

(c) Sans le DM.

On retire DM : coefficient total \(7-1=6\), somme pondérée \(71-16=55\).
\[ \bar{x}'=\frac{55}{6}\approx 9{,}17. \] Impact : baisse forte (~1 point), car le DM était très bon.

(d) Les notes n’ont pas le même “poids” (coef 3 compte 3 fois une interro coef 1). Faire une simple moyenne arithmétique donnerait un résultat faux.

(a) Cumulés.

≤0 : 6
≤1 : 6+11=17
≤2 : 17+14=31
≤3 : 40
≤4 : 46
≤5 : 49
≤6 : 50

(b) Médiane.

Rangs 25 et 26. Or ≤1 : 17 (trop petit), ≤2 : 31 (ok). Donc les rangs 18 à 31 valent 2.
Ainsi rang 25 et 26 → valeur 2 ⇒ médiane \(m=2\).

(c) Quartiles.

Seuil \(12{,}5\) : première valeur avec cumulé ≥ 12,5. Or ≤0 : 6 (non), ≤1 : 17 (oui) ⇒ \(Q_1=1\).
Seuil \(37{,}5\) : première valeur avec cumulé ≥ 37,5. Or ≤2 : 31 (non), ≤3 : 40 (oui) ⇒ \(Q_3=3\).

(d) Interprétation de \(Q_3\).

\(Q_3=3\) signifie : au moins 75 % des élèves ont lu au plus 3 livres ce mois-ci.

(a) \(\hat{p}=\dfrac{78}{250}=0{,}312\). Donc \(31{,}2\%\).

(b) Estimation dans 1200 : \[ 0{,}312\times 1200=374{,}4\approx 374. \] On estime environ 374 élèves.

(c) \(\hat{p}_2=\dfrac{60}{250}=0{,}24=24\%\).
Comparaison : 31,2 % vs 24 % : écart de 7,2 points.
Conclusion raisonnable : avec deux échantillons, on voit une variabilité ; on ne peut pas affirmer une valeur exacte, mais on peut dire que la proportion est “probablement” autour de 25–30 % (sans outil de précision, on reste prudent).

(d) Deux causes de biais (exemples).

• Échantillon pris uniquement à 8h (ceux qui arrivent tôt ≠ tous les élèves).
• Échantillon pris dans une seule classe/section (pas représentatif du lycée).
• Question posée à des volontaires (les volontaires répondent différemment).
• Formulation ambiguë (“goûter” ≠ “boire”).

(a) Le protocole B est le plus fiable, car l’échantillon est tiré au hasard dans la population entière (tous les élèves).

(b) Protocole A est biaisé : on interroge des élèves qui participent à l’AS, donc ils sont plus sportifs que la moyenne du lycée → la proportion observée sera surestimée.

(c) Protocole C (exemple) : tirage aléatoire stratifié :

• on découpe la population en groupes (classes / niveaux),
• on tire au hasard dans chaque groupe un nombre proportionnel à sa taille.

Avantage : meilleure représentativité sans augmenter \(n\).

(d) Phrase correcte (modèle) :
« Sur l’échantillon, on obtient \(\hat{p}=\dfrac{k}{n}\). On estime donc qu’environ \(100\hat{p}\%\) des élèves du lycée font du sport au moins 2 fois par semaine, à condition que l’échantillon soit représentatif. »

(a) Étendue : \(19-4=15\). IQR : \(14-8=6\).

(b) 50 % des notes sont dans \([Q_1 ; Q_3]=[8 ; 14]\).

(c) Médiane = 11 signifie : environ la moitié des élèves a une note ≤ 11 et environ la moitié a une note ≥ 11.

(d) La classe la plus homogène est celle qui a le plus petit IQR : classe B (IQR = 2).
Même médiane, mais dispersion beaucoup plus faible : les notes sont plus regroupées.

(a) Moyennes.

Groupe A : somme \(=6+8+9+10+10+11+11+12+13+20\).
\(6+8=14\), +9=23, +10=33, +10=43, +11=54, +11=65, +12=77, +13=90, +20=110.
Donc \(\bar{x}_A=110/10=11\).

Groupe B : somme \(=9+10+10+10+10+10+10+10+11+12\).
On a huit 10 : \(8\times10=80\). Donc somme \(=9+80+11+12=112\).
\(\bar{x}_B=112/10=11{,}2\).
Comparaison : B a une moyenne légèrement plus grande.

(b) Médianes.

\(N=10\) → médiane = moyenne des rangs 5 et 6.
A (trié déjà) : rang 5 = 10, rang 6 = 11 ⇒ \(m_A=10{,}5\).
B : rang 5 = 10, rang 6 = 10 ⇒ \(m_B=10\).

(c) Quartiles et IQR.

Seuils : \(0{,}25N=2{,}5\Rightarrow\) rang 3 ; \(0{,}75N=7{,}5\Rightarrow\) rang 8.

Groupe A : rang 3 = 9 ⇒ \(Q_{1A}=9\). Rang 8 = 12 ⇒ \(Q_{3A}=12\).
\(IQR_A=12-9=3\). Étendue \(=20-6=14\).

Groupe B : rang 3 = 10 ⇒ \(Q_{1B}=10\). Rang 8 = 10 ⇒ \(Q_{3B}=10\).
\(IQR_B=10-10=0\). Étendue \(=12-9=3\).

(d) Régularité.

Le groupe B est beaucoup plus régulier : son IQR est 0 (la moitié centrale est concentrée sur 10) et son étendue est 3, contre 14 pour A.
Même si A a une moyenne proche, il est très dispersé (présence d’un 20 et d’un 6).