Classe de 2nde · Mathématiques

Généralités sur les fonctions

Comprendre ce qu’est une fonction, comment la représenter (tableau, graphique, expression), lire une image et un antécédent, et interpréter des variations.

Objectifs : savoir passer d’un contexte à une fonction, lire un graphique, exploiter un tableau de valeurs, reconnaître des fonctions usuelles simples.

Notion de fonction Tableau de valeurs Courbe représentative Image / antécédent Variations
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1. Définition, notation et vocabulaire

Une fonction numérique (ou simplement « fonction ») est une relation qui, à chaque réel \(x\) d’un ensemble \(D\) (appelé ensemble de définition), associe un unique réel noté \(f(x)\).

On note souvent : \[ f : D \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto f(x). \]

  • \(f(x)\) est l’image de \(x\) par la fonction \(f\) ;
  • \(x\) est un antécédent de \(f(x)\) par la fonction \(f\).

Exemple : si \(f(x) = 3x^2 + 1\), alors \(f(2) = 13\). On dit que 13 est l’image de 2 par \(f\) et que 2 est un antécédent de 13.

2. Ensemble de définition

L’ensemble de définition de \(f\), noté \(D_f\), est l’ensemble des réels \(x\) pour lesquels l’expression \(f(x)\) a un sens.

  • Pour un polynôme, par exemple \(f(x) = 3x^2 - 6x + 2\), la fonction est définie pour tout réel : \(D_f = \mathbb{R}\).
  • Pour une fraction, par exemple \(g(x) = \dfrac{5-2x}{3x+2}\), on exclut les valeurs qui annulent le dénominateur : ici \(3x+2 \neq 0\), donc \(x \neq -\dfrac{2}{3}\) et \(D_g = \mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{2}{3}\right\}\).
  • Pour une racine carrée, par exemple \(h(x) = \sqrt{x-1}\), on impose que l’intérieur de la racine soit positif ou nul : \(x-1\ge0\), donc \(D_h = [1;+\infty[\).

On écrira par exemple : « \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\) », ou « \(f\) est définie sur \([0;+\infty[\) », etc.

3. Courbe représentative d’une fonction

Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D_f\). Dans un repère, la courbe représentative de \(f\) est l’ensemble des points \(M(x;y)\) tels que \(x \in D_f\) et \(y = f(x)\).

L’égalité \(y = f(x)\) est appelée équation de la courbe.

Exemple graphique : comparer \(f(x)\), \(g(x)\) et \(h(x)\)

Sur la figure ci-dessous, on a représenté trois fonctions sur le même repère : la droite verte \(C_f\), la parabole rouge \(C_g\) et la droite bleue \(C_h\). On va s’en servir pour lire des inéquations du type \(g(x) > 2\), \(g(x)\ge 2\), comparer les signes de \(f\), \(g\), \(h\) et résoudre des égalités comme \(f(x)=h(x)\) ou \(g(x)=h(x)\).

Courbes Cf, Cg et Ch sur un même repère

Notations :

  • \(C_f\) est la courbe de la fonction \(f\) (droite verte décroissante) ;
  • \(C_g\) est la courbe de la fonction \(g\) (parabole rouge) ;
  • \(C_h\) est la courbe de la fonction \(h\) (droite bleue).

a) Résoudre graphiquement \(g(x) > 2\) et \(g(x) \ge 2\)

On trace mentalement la droite horizontale d’ordonnée \(2\). On regarde ensuite où la parabole rouge \(C_g\) est au-dessus ou sur ce niveau.

  • La courbe \(C_g\) coupe la droite \(y=2\) en deux points, de coordonnées (en lecture graphique) \(A(-2;2)\) et \(B(0;2)\).
  • Entre ces deux abscisses, la parabole est au-dessus de la droite \(y=2\), donc \(g(x)>2\) pour \(x\in]-2;0[\).
  • Aux abscisses \(x=-2\) et \(x=0\), la parabole coupe exactement la droite \(y=2\), donc \(g(-2)=2\) et \(g(0)=2\).

On obtient donc, graphiquement : \[ g(x) > 2 \quad \text{pour } x\in]-2;0[, \qquad g(x) \ge 2 \quad \text{pour } x\in[-2;0]. \] (Les valeurs \(-2\) et \(0\) sont lues directement sur le graphique.)

b) Signe de \(f\), \(g\) et \(h\)

On utilise maintenant le graphique pour répondre à :

  • Sur quel ensemble \(f\) est-elle positive ?
  • Sur quel ensemble \(g\) est-elle négative ?
  • Sur quel ensemble \(h\) est-elle strictement positive ?

Fonction \(f\) (droite verte) :

  • \(f(x)>0\) lorsque la droite verte est au-dessus de l’axe des abscisses (au-dessus de \(y=0\)).
  • On lit que \(C_f\) coupe l’axe des abscisses au point \((-2;0)\). À gauche de \(-2\), la droite est au-dessus de l’axe, à droite elle est en dessous.

Ainsi, graphiquement : \[ f(x)\ge 0 \text{ pour } x\le -2 \quad (\text{sur la fenêtre du dessin : } [-6;-2]), \] et \(f(x)>0\) pour \(x<-2\).

Fonction \(g\) (parabole rouge) :

  • \(g(x)<0\) lorsque la courbe rouge est en dessous de l’axe des abscisses.
  • On lit deux points d’intersection avec l’axe des abscisses, d’abscisses approximatives \(-2{,}7\) et \(0{,}7\).
  • Entre ces deux valeurs, la courbe est au-dessus de l’axe (donc \(g(x)>0\)); en dehors, elle est en dessous (donc \(g(x)<0\)).

On peut donc répondre : \[ g(x) < 0 \quad \text{pour } x \lesssim -2{,}7 \text{ et pour } x \gtrsim 0{,}7 \quad (\text{en lecture graphique}). \]

Fonction \(h\) (droite bleue) :

  • La droite bleue passe par l’origine et est au-dessus de l’axe des abscisses dès que \(x>0\).

Ainsi : \[ h(x) > 0 \quad \text{pour } x>0. \]

c) Interpréter des égalités et inégalités entre \(f\), \(g\) et \(h\)

Dans certains exercices, on rencontre des phrases du type :

  • « Si \(f(x) = g(2)\), … »
  • « Si \(f(x) = h(x)\), … »
  • « Si \(g(x) > f(x)\), … »
  • « Si \(g(x) = h(x)\), … »

Sur le graphique, cela se traduit ainsi :

  • \(g(2)\) est l’ordonnée du point de \(C_g\) d’abscisse \(2\). L’équation \(f(x)=g(2)\) signifie que l’on cherche les abscisses des points de \(C_f\) situés sur la droite horizontale \(y=g(2)\).
  • \(f(x)=h(x)\) signifie que l’on cherche les abscisses des points communs aux courbes \(C_f\) et \(C_h\) (leurs points d’intersection).
  • \(g(x)>f(x)\) signifie que la courbe rouge est au-dessus de la courbe verte pour ces valeurs de \(x\).
  • \(g(x)=h(x)\) signifie que la courbe rouge et la courbe bleue se coupent : les abscisses des points d’intersection sont les solutions de cette équation.

Règle générale : pour résoudre graphiquement \(f(x)\le a\), \(f(x)>g(x)\), \(g(x)\ge h(x)\), on regarde toujours qui est au-dessus / en dessous de qui et on lit les abscisses correspondantes sur le repère.

4. Fonctions paire et impaire

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\).

  • \(f\) est paire si, pour tout réel \(x\), on a \(f(-x)=f(x)\). La courbe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • \(f\) est impaire si, pour tout réel \(x\), on a \(f(-x)=-f(x)\). La courbe est alors symétrique par rapport à l’origine du repère.

La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires.

5. Résolution graphique d’équations et d’inéquations

Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D_f\) et \(a\) un réel.

  • Résoudre graphiquement l’équation \(f(x)=a\), c’est lire les abscisses des points de la courbe de \(f\) ayant l’ordonnée \(a\).
  • Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\le a\), c’est lire les abscisses des points de la courbe situés en dessous ou sur la droite horizontale d’ordonnée \(a\).
  • De même, pour deux fonctions \(f\) et \(g\), résoudre \(f(x)=g(x)\) revient à chercher les abscisses des points d’intersection de leurs courbes.

Toutes ces idées se lisent directement sur des graphiques comme celui de l’exemple ci-dessus.

6. Signe d’une fonction

Soit \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\).

  • \(f\) est positive sur un ensemble \(D\subset D_f\) si, pour tout \(x\in D\), \(f(x)\ge 0\).
  • \(f\) est négative sur un ensemble \(D\subset D_f\) si, pour tout \(x\in D\), \(f(x)\le 0\).

Déterminer le signe de \(f\), c’est indiquer sur quels intervalles la fonction est positive, négative, et pour quelles valeurs de \(x\) elle s’annule. On résume souvent le résultat dans un tableau de signes.

7. Variations d’une fonction

Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble de réels \(D_f\) et \(I\) un intervalle inclus dans \(D_f\).

  • \(f\) est croissante sur \(I\) si, pour tout \(a,b\in I\) avec \(a<b\), on a \(f(a)\le f(b)\).
  • \(f\) est décroissante sur \(I\) si, pour tout \(a,b\in I\) avec \(a<b\), on a \(f(a)\ge f(b)\).
  • On dit que \(f\) est constante sur \(I\) si, pour tout \(a,b\in I\), on a \(f(a)=f(b)\).

Lorsque \(f\) ne change pas de sens de variation sur un intervalle, on dit qu’elle est monotone sur cet intervalle.

8. Tableau de variations et extremums

Un tableau de variations résume le comportement de \(f\) : on y indique les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les valeurs prises aux bornes.

Soit \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\).

  • Un minimum de \(f\) sur \(D_f\) est la plus petite valeur de \(f(x)\) lorsque \(x\) parcourt \(D_f\).
  • Un maximum de \(f\) sur \(D_f\) est la plus grande valeur de \(f(x)\) lorsque \(x\) parcourt \(D_f\).

On parle d’extremum pour désigner un minimum ou un maximum. Une fonction peut ne pas avoir de minimum ou de maximum sur tout son ensemble de définition, mais en avoir sur un intervalle donné (par exemple sur \([a;b]\)).

Exercice 1 — Image et antécédent

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x - 1$.

  1. Calculer $f(-1)$, $f(0)$ et $f(3)$.
  2. Résoudre l’équation $f(x) = 5$.
  3. Donner un antécédent de $-1$ par $f$.

Exercice 2 — Tableau de valeurs

On considère une fonction $g$ dont on connaît les valeurs suivantes :

$x$ -2-1012
$g(x)$ 41014
  1. Quelle est l’image de $-1$ par $g$ ? Et celle de $2$ ?
  2. Donner tous les antécédents possibles de $4$ par $g$.
  3. Par lecture du tableau, sur quel intervalle semble-t-on avoir $g(x)\ge 1$ ?

Exercice 3 — Lecture d’un graphique (description verbale)

On considère la courbe d’une fonction $h$ dans un repère. On sait que :

  • pour $x=-2$, le point de la courbe a pour ordonnée $1$ ;
  • pour $x=0$, le point est sur l’axe des abscisses ;
  • pour $x=3$, le point a pour ordonnée $-2$ ;
  • la courbe passe par le point $(1,2)$.
  1. Donner les images $h(-2)$, $h(0)$ et $h(3)$.
  2. Donner un antécédent de $2$ par $h$.
  3. Sur l’intervalle $[-2;3]$, la fonction $h$ prend-elle au moins une valeur positive ? négative ? Justifier.

Exercice 4 — Reconnaître une fonction affine

On sait qu’une fonction $f$ est telle que :

  • $f(0)=3$ ;
  • $f(2)=7$ ;
  • sa courbe représentative est une droite.
  1. Montrer que $f$ est une fonction affine, c’est-à-dire de la forme $f(x) = ax+b$.
  2. Déterminer $a$ et $b$.
  3. Donner l’expression de $f(x)$.

Exercice 5 — Variations d’une fonction

On considère le tableau de variations suivant pour une fonction $u$ :

$x$ -302
$u(x)$ 1 croissant décroissant
40
  1. Sur quel intervalle $u$ est-elle croissante ? décroissante ?
  2. Que vaut $u(-3)$ ? Que vaut $u(2)$ ?
  3. Donner le maximum de $u$ sur $[-3;2]$ et préciser en quel(s) point(s) il est atteint.

Exercice 6 — Positivité d’une fonction

Une fonction $f$ est représentée ci-dessous (on suppose un graphique). On sait que :

  • Pour $x\in[-4;-1]$, la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses.
  • Pour $x\in[-1;2]$, la courbe est en dessous de l’axe des abscisses.
  • Pour $x\in[2;4]$, la courbe est à nouveau au-dessus de l’axe des abscisses.
  1. Sur quels intervalles $f(x) > 0$ ?
  2. Sur quels intervalles $f(x) < 0$ ?
  3. Quels sont les antécédents possibles de $0$ (les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses) ?

Exercice 7 — Modéliser une situation par une fonction

Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production en euros est donné par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;100]$ par \[ C(x) = 200 + 5x, \] où $x$ est le nombre d’objets produits.

  1. Que représente $C(0)$ ? Que représente $C(10)$ ?
  2. Interpréter le nombre $5$ dans l’expression de $C(x)$.
  3. Combien coûte la production de $40$ objets ?

Exercice 8 — Repérer un antécédent sur un graphique

Sur le graphique de la fonction $f$ (non fourni ici), on lit approximativement que :

  • le point $(1;2)$ est sur la courbe ;
  • le point $(3;0)$ est sur la courbe ;
  • le point $(4;-1)$ est sur la courbe.
  1. Donner $f(1)$, $f(3)$ et $f(4)$.
  2. Quel est un antécédent de $0$ par $f$ ?
  3. Sur l’intervalle $[1;4]$, la fonction $f$ prend-elle des valeurs positives ? négatives ?

1. Vocabulaire de base

  • Une fonction associe à chaque $x$ d’un ensemble $D$ au plus un nombre réel $f(x)$.
  • $D$ s’appelle l’ensemble de définition de $f$.
  • $f(x)$ est l’image de $x$ par $f$ ; $x$ est un antécédent de $f(x)$.

2. Représentations d’une fonction

  • Par une formule : $f(x)=2x-1$, $g(x)=x^2$, etc.
  • Par un tableau de valeurs : quelques couples $(x,f(x))$.
  • Par un graphique (courbe) dans un repère.

Sur un graphique, chaque point de la courbe a pour coordonnées $(x,f(x))$.

3. Lecture d’image et d’antécédent

  • Pour lire une image $f(x_0)$, on part de $x_0$ sur l’axe des abscisses, on va jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée.
  • Pour trouver un antécédent de $y_0$, on part de $y_0$ sur l’axe des ordonnées, on va jusqu’à la courbe, puis on lit l’abscisse.

4. Fonctions usuelles

  • Fonction constante : $f(x)=k$ (courbe : droite horizontale).
  • Fonction affine : $f(x)=ax+b$ (courbe : droite non horizontale si $a\neq 0$).
  • Fonction carré : $f(x)=x^2$ (courbe : parabole).

5. Variations d’une fonction

  • $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si pour $x_1 < x_2$ dans $I$, on a $f(x_1) \le f(x_2)$.
  • $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ si pour $x_1 < x_2$ dans $I$, on a $f(x_1) \ge f(x_2)$.
  • On résume souvent les variations dans un tableau de variations.

6. Positivité / négativité

  • $f(x) > 0$ : les points de la courbe sont au-dessus de l’axe des abscisses.
  • $f(x) < 0$ : les points de la courbe sont en dessous de l’axe des abscisses.
  • $f(x) = 0$ : la courbe coupe l’axe des abscisses (zéros de la fonction).

7. Ce qu’il faut savoir faire

  • Lire rapidement des images et des antécédents sur un tableau ou un graphique.
  • Reconnaître une fonction affine, constante, carré à partir d’un tableau ou d’un graphique simple.
  • Décrire les variations à partir d’un graphique ou d’un tableau de variations.
  • Interpréter une situation concrète en termes de fonction (prix, distance, temps...).

Quiz — Généralités sur les fonctions (20 questions)

Clique dans la case de réponse puis utilise le clavier mathématique pour écrire les réponses (par exemple 5, x=2, R, ]-inf;2[U]2;+inf[, croissante, etc.). Ensuite clique sur Vérifier les réponses.

1) On considère \(f(x) = 2x - 3\). Calculer \(f(4)\).
\(f(4) = 2\times 4 - 3 = 8-3 = 5\).
2) Avec la même fonction \(f(x) = 2x - 3\), calculer \(f(-1)\).
\(f(-1) = 2\times(-1) - 3 = -2-3 = -5\).
3) Pour \(f(x) = 2x - 3\), résoudre l'équation \(f(x) = 1\). Écrire la réponse sous la forme x=....
\(2x-3=1 \iff 2x=4 \iff x=2\).
4) Pour \(f(x) = x^2 - 1\), calculer \(f(3)\).
\(f(3)=3^2-1=9-1=8\).
5) Pour \(f(x) = x^2 - 1\), résoudre \(f(x) = 0\). Écrire les solutions sous la forme x=...;x=....
\(x^2-1=0 \iff x^2=1 \iff x=\pm 1\).
6) Donner l'ensemble de définition de la fonction \(f(x)=3x+1\).
Réponse du type R ou ℝ.
Une fonction affine est définie pour tout réel : \(D_f = \mathbb{R}\).
7) Donner l'ensemble de définition de \(g(x) = \dfrac{2}{x-4}\).
Réponse du type R\{4} ou ]-inf;4[U]4;+inf[.
On interdit \(x=4\) (division par 0). Donc \(D_g = \mathbb{R}\setminus\{4\} = ]-\infty;4[ \cup ]4;+\infty[\).
8) Donner l'ensemble de définition de \(h(x) = \sqrt{5-x}\).
Réponse du type ]-inf;5].
On doit avoir \(5-x \geq 0 \iff x \leq 5\). Donc \(D_h = ]-\infty;5]\).
9) Parmi les fonctions suivantes, laquelle est affine ? \(f_1(x)=2x-5\), \(f_2(x)=3x^2+1\), \(f_3(x)=\dfrac{1}{x}\).
Réponds par exemple f1 ou f_1.
Une fonction affine est de la forme \(ax+b\). Ici, seule \(f_1(x)=2x-5\) convient.
10) Soit la fonction affine \(f(x) = -3x + 1\). Sur \(\mathbb{R}\), est-elle croissante, décroissante ou constante ?
Réponds par croissante, decroissante ou constante.
Le coefficient directeur est \(-3<0\), donc la fonction est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
11) Soit la fonction affine \(g(x) = 4x - 2\). Sur \(\mathbb{R}\), est-elle croissante, décroissante ou constante ?
Le coefficient directeur est \(4>0\), donc la fonction est croissante sur \(\mathbb{R}\).
12) Soit \(h(x)=2\). Sur \(\mathbb{R}\), la fonction est-elle croissante, décroissante ou constante ?
La valeur est la même pour tout \(x\), donc la fonction est constante.
13) Une fonction \(C\) modélise le coût (en euros) en fonction de la distance \(x\) (en km) parcourue en taxi : \(C(x) = 5 + 1{,}8x\). Combien coûte une course de \(10\) km ?
\(C(10) = 5 + 1{,}8\times 10 = 5 + 18 = 23\ \text{\euro}.\)
14) Dans le modèle précédent \(C(x) = 5 + 1{,}8x\), que représente le nombre \(5\) ?
Réponds en un mot : forfait, prise, etc. (on acceptera plusieurs variantes).
C'est le coût fixe (forfait de base / prise en charge) même si la distance est nulle.
15) Soit la fonction \(f\) définie par le tableau : \[ \begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 5 & 3 & 2 & 3 & 5 \end{array} \] Donner les antécédents de 3.
Réponse du type x=-1;x=1.
On lit \(f(-1)=3\) et \(f(1)=3\), donc les antécédents de 3 sont \(-1\) et \(1\).
16) Avec le même tableau, quels sont les antécédents de 5 ?
On lit \(f(-2)=5\) et \(f(2)=5\), donc les antécédents de 5 sont \(-2\) et \(2\).
17) Une fonction est-elle une relation qui peut associer plusieurs images à un même antécédent ?
Réponds par oui ou non.
Non, par définition : une fonction associe au plus une image à un même antécédent.
18) Sur un graphique, comment lit-on l'image de \(x_0\) par une fonction \(f\) ?
Réponse courte du type ordonnée du point d'abscisse x0.
On prend le point de la courbe d'abscisse \(x_0\) ; l'image est son ordonnée.
19) Soit \(f(x) = x^2\). La fonction est-elle paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ?
Réponds par paire, impaire ou aucune (question un peu avancée).
\( (-x)^2 = x^2\), donc \(f(-x) = f(x)\) : la fonction carré est paire.
20) Soit \(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Donner son ensemble de définition.
Réponse du type R\{0} ou ]-inf;0[U]0;+inf[.
On interdit \(x=0\) (division par 0) : \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{0\} = ]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[\).
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