Exercices corrigés — Algorithmique — Listes (1ère spé)

On considère la liste Python L = [12, 5, 8, 21, 7].

1. (a) Donner le premier élément de L.
2. (b) Donner l’élément d’indice 2.
3. (c) Donner le dernier élément en utilisant un indice négatif.
4. (d) Donner la taille de la liste et préciser les indices valides non négatifs.

On part de L = [4, 9, 3, 6, 9]. Les opérations des questions (a), (b) et (c) sont exécutées dans cet ordre sur la même liste.

1. (a) Écrire l’instruction qui remplace 3 par 10.
2. (b) Ajouter 15 à la fin de la liste.
3. (c) Supprimer la première occurrence de 9.
4. (d) Donner la liste finale après les trois opérations.

On veut construire la liste des carrés des entiers de 1 à 5.

1. (a) Donner cette liste en extension.
2. (b) Écrire un programme qui la construit par ajouts successifs avec append.
3. (c) Écrire la même liste en compréhension.
4. (d) Expliquer pourquoi les trois écritures produisent la même liste.

On considère L = [-2, 5, 0, 7, -1].

1. (a) Dans la boucle for x in L:, quelles valeurs prend successivement x ?
2. (b) Combien d’éléments de L sont strictement positifs ?
3. (c) Calculer la somme des éléments strictement positifs.
4. (d) Écrire un programme qui calcule cette somme sans utiliser sum.

On considère L = [3, 7, 2, 9, 4].

1. (a) Donner les indices parcourus par range(len(L)).
2. (b) Donner la valeur de L[3].
3. (c) Écrire un programme qui double uniquement les éléments situés à un indice pair.
4. (d) Donner la liste obtenue après exécution du programme.

On considère L = [7, 11, 9, 13, 10].

1. (a) Calculer la somme des éléments.
2. (b) En déduire la moyenne.
3. (c) Écrire une fonction somme(L) qui renvoie la somme sans utiliser sum.
4. (d) Écrire une fonction moyenne(L) qui réutilise la fonction somme.

On considère L = [1, 2, 3, 4, 5, 6].

1. (a) Calculer le produit de tous les éléments de L.
2. (b) Pourquoi un accumulateur de produit doit-il être initialisé à 1 et non à 0 ?
3. (c) Écrire une fonction produit(L) sans utiliser de fonction prédéfinie de produit.
4. (d) Relier le résultat à \(6!\) et donner une compréhension qui génère la liste [1,2,3,4,5,6].

On considère la liste non vide L = [-5, 12, 3, 12, -9, 7].

1. (a) Donner le minimum et le maximum de L.
2. (b) Calculer l’amplitude maximum - minimum.
3. (c) Écrire une fonction extremes(L) qui renvoie la liste [minimum, maximum] sans utiliser min ni max.
4. (d) Justifier la correction de l’algorithme en formulant ce que représentent mini et maxi après chaque itération.

On considère L = [4, 7, 2, 7, 9].

1. (a) La valeur 7 est-elle présente ?
2. (b) Quel est l’indice de sa première occurrence ?
3. (c) Écrire une fonction premier_indice(L, a) qui renvoie le premier indice où a apparaît, et -1 si a est absent.
4. (d) Donner premier_indice(L, 6) et expliquer le rôle du return placé dans la boucle.

On considère L = [5, 12, 17, 9, 21, 6, 14] et le seuil 10.

1. (a) Lister les valeurs strictement supérieures à 10.
2. (b) Combien y en a-t-il ?
3. (c) Calculer leur somme.
4. (d) Écrire une fonction bilan_seuil(L, s) qui renvoie [nombre, somme] des valeurs strictement supérieures à s.

On considère L = [-4, -1, 0, 2, 5, 7, 10]. On veut conserver les valeurs \(x\) telles que \(0\le x<7\).

1. (a) Donner la liste des valeurs conservées.
2. (b) Pourquoi 0 est-il conservé alors que 7 ne l’est pas ?
3. (c) Construire la liste R par ajouts successifs.
4. (d) Écrire la même construction en compréhension.

On exécute L = [n for n in range(-5, 6) if n*n - 4 <= 0].

1. (a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(n^2-4\le0\).
2. (b) En déduire la liste L.
3. (c) Expliquer pourquoi -2 et 2 appartiennent à la liste.
4. (d) On définit R = [2*n + 1 for n in L]. Donner R.

On considère L = [-2, 1, 4, 7, 10, 13].

1. (a) Écrire une fonction dans_intervalle(L, a, b) qui renvoie les éléments de L appartenant à l’intervalle fermé \([a;b]\).
2. (b) Donner dans_intervalle(L, 3, 10).
3. (c) Réécrire le cœur du traitement avec une liste en compréhension.
4. (d) Donner dans_intervalle(L, 0, 5) et expliquer en quoi cette fonction illustre la programmation modulaire.

On définit \(u_n=n^2-3n+2\) pour \(n\in\mathbb{N}\). On construit les valeurs pour \(n=0,1,\ldots,6\).

1. (a) Donner la liste L = [u_n for n in range(7)].
2. (b) Construire la liste R des indices i tels que L[i] == 0.
3. (c) Factoriser \(u_n\) et expliquer le lien avec les indices contenus dans R.
4. (d) Écrire en Python la compréhension qui construit directement R à partir de L.

On définit \(u_0=150\) et, pour tout entier \(n\ge0\), \(u_{n+1}=0{,}8u_n+45\).

1. (a) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. (b) Donner la liste des cinq premiers termes \([u_0,u_1,u_2,u_3,u_4]\).
3. (c) Écrire une boucle while qui détermine le plus petit rang n tel que \(u_n\ge220\).
4. (d) Donner ce rang et vérifier le caractère minimal du résultat avec \(u_{n-1}\) et \(u_n\).

On veut produire les premiers termes de la suite de Fibonacci avec le programme incomplet suivant :

a = 0
b = 1
L = [a, b]
for k in range(6):
    c = ...
    a = ...
    b = ...
    L.append(b)

1. (a) Compléter les trois affectations manquantes.
2. (b) Donner la liste finale L.
3. (c) Quelle est la longueur de L et pourquoi ?
4. (d) Vérifier sur la liste obtenue que chaque terme à partir du troisième est la somme des deux précédents.

On considère \(f(x)=x^2\), le point d’abscisse \(a=1\) et la liste H = [1, 0.5, 0.1, 0.01]. Pour \(h\ne0\), on définit \(m(h)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\).

1. (a) Simplifier exactement \(m(h)\).
2. (b) Construire la liste M des valeurs de \(m(h)\) pour les valeurs de H.
3. (c) Écrire une compréhension Python qui construit M directement à partir de H.
4. (d) À quelle valeur les éléments de M semblent-ils se rapprocher lorsque \(h\) se rapproche de 0 ? Interpréter cette valeur.

Une simulation fournit l’échantillon L = [0, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2].

1. (a) Donner la taille de l’échantillon et la somme des valeurs.
2. (b) Calculer la moyenne de l’échantillon, sous forme exacte puis décimale.
3. (c) Calculer la fréquence d’apparition de la valeur 2, sous forme exacte puis décimale.
4. (d) Écrire une fonction moyenne_echantillon(L) qui renvoie la moyenne sans utiliser sum.

On simule cinq points dans le carré \([-1;1]\times[-1;1]\) à l’aide de deux listes parallèles : X = [0.2, -0.6, 0.8, 0.1, -0.9] et Y = [0.3, 0.4, 0.7, -0.8, 0.3]. Un point est dans le disque unité si \(x^2+y^2\le1\).

1. (a) Écrire le test Python qui décide si le point d’indice i est dans le disque unité.
2. (b) Combien des cinq points sont dans le disque ?
3. (c) L’estimation de \(\pi\) est donnée par \(p=4\dfrac{c}{5}\), où c est le nombre de points dans le disque. Calculer p.
4. (d) Expliquer pourquoi on augmente en pratique le nombre de points simulés lorsqu’on cherche une meilleure estimation.

On construit L = [k*k - 6*k + 10 for k in range(7)] puis R = [x for x in L if x > 0 and x % 2 == 0].

1. (a) Calculer la liste L.
2. (b) Calculer la liste R et expliquer le rôle des deux conditions reliées par and.
3. (c) Calculer la moyenne des éléments de R.
4. (d) Déterminer le minimum de L, préciser à quel indice il est atteint, puis justifier ce résultat en écrivant \(k^2-6k+10\) sous forme canonique.

Deux quantités évoluent selon \(A_n=5000+120n\) et \(B_n=4200\times1{,}04^n\), pour \(n\in\mathbb{N}\).

1. (a) Calculer \(A_9\), \(A_{10}\), \(B_9\) et \(B_{10}\).
2. (b) Écrire un programme Python utilisant une boucle while pour déterminer le premier rang où \(B_n>A_n\).
3. (c) Modifier le programme pour mémoriser, dans deux listes LA et LB, toutes les valeurs calculées jusqu’au dépassement.
4. (d) Donner le premier rang de dépassement et justifier qu’il est minimal.

On définit \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=0{,}6u_n+8\).

1. (a) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. (b) En posant \(v_n=u_n-20\), montrer que \((v_n)\) est géométrique puis établir \(u_n=20-20\times0{,}6^n\).
3. (c) Écrire une boucle qui construit la liste des termes jusqu’au premier rang vérifiant \(|u_n-20|<0{,}05\).
4. (d) Déterminer ce rang et vérifier le caractère minimal avec les deux termes consécutifs concernés.

Une suite de valeurs issue d’un modèle quadratique devrait avoir des secondes différences constantes égales à 4. On reçoit pourtant L = [5, 10, 19, 33, 49, 70].

1. (a) Construire la liste D des premières différences L[i+1]-L[i].
2. (b) Construire la liste E des secondes différences et expliquer pourquoi les données sont incohérentes.
3. (c) On sait qu’une seule donnée est fausse et qu’il s’agit de L[3]. Déterminer sa valeur correcte.
4. (d) Après correction, déterminer l’expression \(u_n=an^2+bn+c\) qui génère la liste.

On dispose de la série L = [18, 20, 19, 25, 26, 27, 21, 20]. Pour chaque indice possible i, on définit la moyenne glissante d’ordre 3 par \(m_i=\dfrac{L[i]+L[i+1]+L[i+2]}{3}\).

1. (a) Combien de moyennes glissantes peut-on calculer ?
2. (b) Construire la liste M de ces moyennes, sous forme exacte puis décimale au centième.
3. (c) Déterminer la plus grande moyenne glissante et les trois mesures qui lui correspondent.
4. (d) Écrire une fonction moyennes_glissantes(L) qui renvoie la liste M.

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1;2)\), \(B(5;-1)\) et la liste de points C = [[4,6], [-2,-2], [7,7], [10,14]].

1. (a) Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
2. (b) Construire la liste des produits scalaires \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC_i}\) pour les quatre points.
3. (c) En déduire les points \(C_i\) pour lesquels le triangle \(ABC_i\) est rectangle en \(A\).
4. (d) Déterminer une équation cartésienne de la droite contenant tous ces points et passant par \(A\).

On lance deux dés équilibrés à six faces. On représente une issue par une liste [a,b], où a et b sont les résultats des deux dés.

1. (a) Que contient issues = [[a,b] for a in range(1,7) for b in range(1,7)] et quelle est sa longueur ?
2. (b) Construire la liste fav des issues pour lesquelles la somme des deux dés est supérieure ou égale à 10, puis donner sa longueur.
3. (c) En déduire la probabilité de l’événement \(S\) : « la somme est au moins 10 ».
4. (d) Sachant que \(S\) est réalisé, calculer la probabilité d’obtenir un double.

Pour un entier \(x\) compris entre 0 et 60, un bénéfice est modélisé par \(B(x)=-2x^2+120x-1000\).

1. (a) Écrire une compréhension Python qui construit la liste P des bénéfices pour x allant de 0 à 60.
2. (b) Écrire un algorithme, sans utiliser max ni index, qui renvoie le bénéfice maximal et la valeur de x correspondante.
3. (c) Donner le résultat de l’algorithme et vérifier les valeurs pour \(x=29,30,31\).
4. (d) Retrouver et justifier ce maximum par l’étude de la dérivée de \(B\) sur \([0;60]\).

Sur 20 individus, on code par 1 la réalisation d’un événement et par 0 son absence. La liste M = [1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0] code l’événement « malade » et T = [1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,1,0] code l’événement « test positif ».

1. (a) Déterminer les effectifs de \(M\), de \(T\) et de \(M\cap T\).
2. (b) En déduire \(P(M)\) et \(P(T)\) dans cet échantillon.
3. (c) Calculer \(P_T(M)\) et \(P_M(T)\).
4. (d) Écrire une fonction proba_conditionnelle(A, B) qui renvoie la fréquence de A==1 parmi les positions où B==1.

On cherche les points à coordonnées entières qui appartiennent simultanément à la droite \(y=x+1\) et au cercle \(x^2+y^2=25\).

1. (a) En remplaçant \(y\) par \(x+1\), résoudre l’équation obtenue.
2. (b) Donner les deux points d’intersection.
3. (c) Écrire une compréhension Python qui construit directement la liste de ces points pour x entier de -5 à 5.
4. (d) Vérifier par le calcul que les deux points obtenus satisfont bien les deux équations.

Un capital initial de 10 000 € subit successivement les taux annuels taux = [3, -2, 5, 4, -1, 6], exprimés en pourcentage. Après un taux \(t\), le capital est multiplié par \(1+\dfrac{t}{100}\).

1. (a) Écrire une fonction capitaux(C0, taux) qui renvoie la liste contenant le capital initial puis le capital après chacune des six années.
2. (b) Calculer les sept capitaux, arrondis au centime pour la présentation.
3. (c) Construire la liste des gains algébriques annuels et déterminer l’année du gain le plus élevé.
4. (d) Calculer le taux d’évolution global sur les six années et expliquer pourquoi il n’est pas égal à la somme des six taux annuels.