Moyenne, médiane, étendue, tableaux, diagrammes, histogrammes,
fréquences et probabilités simples. Une page complète pour s’entraîner
avec des exercices avancés de niveau Brevet.
Pour réussir un exercice de statistiques ou de probabilités, il faut commencer par
organiser les informations : série ordonnée, tableau d’effectifs, effectifs cumulés,
fréquences, diagramme ou arbre de probabilités.
Lire+Organiser+Calculer+Justifier+Conclure
Point clé :
en statistiques, il faut toujours tenir compte des effectifs. En probabilités,
on utilise \(\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\) seulement lorsque
les issues sont équiprobables.
Cette partie vérifie les notions indispensables : effectif, effectif total,
fréquence, moyenne, médiane, étendue, équiprobabilité et événement contraire.
1. Statistiques — vocabulaire direct
Qu’est-ce qu’un effectif ?
Qu’est-ce que l’effectif total ?
Qu’est-ce qu’une fréquence ?
Comment calcule-t-on une fréquence en pourcentage ?
Réponses directes
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît.
L’effectif total est la somme de tous les effectifs.
La fréquence d’une valeur est sa proportion dans la série.
\[
\text{fréquence}=
\frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}.
\]
En pourcentage :
\[
\text{fréquence en \%}=
\frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}\times100.
\]
2. Moyenne, médiane et étendue
Quelle est la formule de la moyenne simple ?
Quelle est la formule de la moyenne pondérée ?
Comment détermine-t-on la médiane ?
Comment calcule-t-on l’étendue ?
Pourquoi faut-il toujours commencer par ranger une série avant de chercher la médiane ?
Réponses directes
Moyenne simple :
\[
\overline{x}=
\frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}.
\]
Réponses finales :
\[
\boxed{\text{médiane}=14{,}5}
\qquad
\boxed{\overline{x}=14{,}5}
\qquad
\boxed{\text{étendue}=24}
\]
Ici, la moyenne et la médiane sont égales.
Exercice avancé 3 — Tableau d’effectifs : contrôle de mathématiques
Le tableau donne la répartition des notes obtenues par \(27\) élèves.
Note
6
8
10
13
14
17
Effectif
3
5
6
7
5
1
Vérifier l’effectif total.
Calculer la moyenne, arrondie à l’unité.
Calculer le pourcentage d’élèves ayant une note supérieure ou égale à \(10\).
Déterminer la médiane.
Indice méthode
Pour la médiane, utilise les effectifs cumulés. Avec \(27\) valeurs,
la médiane est la \(14^\text{e}\) valeur.
Il y a \(30\) familles. La médiane est entre la \(15^\text{e}\) et la \(16^\text{e}\) valeur.
Les \(15^\text{e}\) et \(16^\text{e}\) valeurs sont \(1\) et \(2\).
\[
\text{médiane}=\frac{1+2}{2}=1{,}5.
\]
3. Au plus \(3\) enfants
\[
6+9+6+4=25.
\]
4. Au moins \(3\) enfants
\[
4+3+1+1=9.
\]
Réponses finales :
\[
\boxed{\overline{x}=1{,}9}
\qquad
\boxed{\text{médiane}=1{,}5}
\qquad
\boxed{25\text{ familles au plus }3\text{ enfants}}
\qquad
\boxed{9\text{ familles au moins }3\text{ enfants}}
\]
Exercice avancé 8 — Clés USB et diagramme circulaire
Le tableau donne le nombre de clés USB vendues dans un magasin selon leur capacité.
Capacité en Go
1
2
4
8
Effectif
25
50
60
15
Calculer l’effectif total.
Calculer la capacité moyenne vendue.
Déterminer la médiane.
Calculer l’angle de chaque secteur pour un diagramme circulaire.
Indice méthode
L’angle d’un secteur est :
\[
\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\times360.
\]
Réponses finales :
\[
\boxed{P(2)=\frac{1}{12}}
\qquad
\boxed{P(8)=\frac{1}{12}}
\qquad
\boxed{P(5)=\frac16}
\]
Exercice avancé 12 — Deux boîtes et arbre pondéré
On dispose de deux boîtes.
La boîte \(A\) contient \(3\) billets de \(5\) € et \(1\) billet de \(10\) €.
La boîte \(B\) contient \(1\) billet de \(5\) € et \(1\) billet de \(10\) €.
On choisit une boîte au hasard, puis on prend un billet au hasard dans cette boîte.
Lire sur l’arbre la probabilité de choisir la boîte \(A\).
Calculer la probabilité de choisir la boîte \(A\) et d’obtenir \(5\) €.
Calculer la probabilité de choisir la boîte \(B\) et d’obtenir \(5\) €.
En déduire la probabilité d’obtenir un billet de \(5\) €.
Calculer la probabilité d’obtenir un billet de \(10\) €.
Vérifier que la somme des probabilités finales vaut \(1\).
Indice méthode
Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d’un chemin.
Ensuite, pour regrouper plusieurs chemins qui donnent le même résultat,
on additionne les probabilités obtenues.
Les classes ont toutes la même amplitude \(1\). On trace donc cinq rectangles
de même largeur, avec des hauteurs proportionnelles aux effectifs :
\(8\), \(18\), \(26\), \(20\), \(8\).
Réponses finales :
\[
\boxed{N=80}
\qquad
\boxed{[2;3[\text{ est la classe modale}}
\qquad
\boxed{35\%}
\qquad
\boxed{\overline{x}\approx2{,}53\text{ h}}
\]
Exercice avancé 15 — Diagramme à bâtons et fréquences
Une enquête demande à des élèves le nombre de livres lus pendant un trimestre.
Les résultats sont donnés dans le tableau suivant.
Nombre de livres
0
1
2
3
4
5
Effectif
4
7
10
8
5
2
Calculer l’effectif total.
Calculer la fréquence des élèves ayant lu au moins \(3\) livres.
Calculer le nombre moyen de livres lus.
Déterminer la médiane.
Expliquer comment construire le diagramme à bâtons correspondant.
Indice méthode
Pour un diagramme à bâtons, les valeurs sont placées sur l’axe horizontal
et les effectifs sont représentés par des bâtons verticaux.
Correction détaillée
1. Effectif total
\[
N=4+7+10+8+5+2=36.
\]
2. Fréquence des élèves ayant lu au moins \(3\) livres
Il y a \(36\) élèves. La médiane est entre la \(18^\text{e}\) et la \(19^\text{e}\) valeur.
Les effectifs cumulés sont :
\[
4;\ 11;\ 21;\ 29;\ 34;\ 36.
\]
Les \(18^\text{e}\) et \(19^\text{e}\) valeurs sont \(2\).
\[
\boxed{\text{médiane}=2}.
\]
5. Diagramme à bâtons
On trace un bâton au-dessus de chaque valeur \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\),
avec les hauteurs respectives \(4\), \(7\), \(10\), \(8\), \(5\), \(2\).
Lire une série brute et la ranger dans l’ordre croissant.
Calculer un effectif total.
Calculer une fréquence et une fréquence en pourcentage.
Calculer une moyenne simple ou pondérée.
Déterminer une médiane avec une série brute ou des effectifs cumulés.
Calculer une étendue.
Lire et compléter un tableau statistique.
Construire ou interpréter un diagramme circulaire.
Construire ou interpréter un diagramme à bâtons.
Construire ou interpréter un histogramme avec classes.
Calculer une probabilité dans une situation équiprobable.
Utiliser un événement contraire.
Utiliser un arbre pondéré simple.
Rédiger une conclusion claire dans un exercice type Brevet.
Objectif Brevet :
savoir passer d’un tableau ou d’une série à une interprétation complète :
moyenne, médiane, étendue, fréquence, diagramme, histogramme,
puis probabilité lorsqu’on choisit un individu ou une issue au hasard.