Mathématiques — Révision complète
Révision — Fractions, puissances, racines carrées et arithmétique
Fractions, puissances, racines carrées et arithmétique : divisibilité,
nombres premiers, PGCD et PPCM. Une page complète pour revoir
les automatismes de calcul et s’entraîner avec des exercices avancés.
Fractions
Puissances
Racines carrées
Arithmétique
Racines carrées
Arithmétique
Méthode générale
Pour réussir un exercice de calcul, il faut éviter de transformer l’expression au hasard.
On commence par repérer la structure : somme, produit, quotient, puissance, racine,
forme irréductible, écriture scientifique, décomposition en facteurs premiers ou méthode PGCD/PPCM.
Observer
+
Choisir
+
Transformer
+
Simplifier
+
Conclure
Point clé :
on ne simplifie que des facteurs communs. On ne simplifie jamais directement
deux termes séparés par \(+\) ou \(-\).
Partie I — Questions de cours
Cette partie sert à vérifier rapidement les connaissances indispensables. Les questions
sont courtes, claires et directes. Chaque réponse attendue donne la formule ou la règle
essentielle à connaître avant de passer aux exercices avancés.
1. Fractions — formules directes
- Quelle est la formule pour additionner deux fractions de même dénominateur ?
- Quelle est la formule pour additionner deux fractions de dénominateurs différents ?
- Quelle est la formule pour multiplier deux fractions ?
- Quelle est la formule pour diviser par une fraction non nulle ?
- Quelle condition doit-on toujours vérifier pour une fraction ?
- Quand peut-on simplifier une fraction ?
Réponses directes
-
Même dénominateur :
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}, \qquad b\neq0.
\]
-
Dénominateurs différents :
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}, \qquad b\neq0,\ d\neq0.
\]
-
Produit :
\[
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}, \qquad b\neq0,\ d\neq0.
\]
-
Quotient :
\[
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc},
\qquad b\neq0,\ c\neq0,\ d\neq0.
\]
-
Le dénominateur ne doit jamais être nul :
\[
\frac{A}{B}\ \text{existe seulement si}\ B\neq0.
\]
-
On simplifie seulement un facteur commun non nul :
\[
\frac{kA}{kB}=\frac{A}{B}, \qquad k\neq0,\ B\neq0.
\]
2. Puissances — formules à connaître
- Quelle est la formule de \(a^m\times a^n\) ?
- Quelle est la formule de \(\dfrac{a^m}{a^n}\) ?
- Quelle est la formule de \((a^m)^n\) ?
- Quelle est la formule de \((ab)^n\) ?
- Quelle est la formule de \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\) ?
- Que vaut \(a^0\) ?
- Que signifie \(a^{-n}\) ?
- Quelle erreur faut-il éviter avec une somme ?
Réponses directes
-
\[
a^m\times a^n=a^{m+n}.
\]
-
\[
\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq0.
\]
-
\[
(a^m)^n=a^{mn}.
\]
-
\[
(ab)^n=a^n b^n.
\]
-
\[
\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0.
\]
-
\[
a^0=1, \qquad a\neq0.
\]
-
\[
a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \qquad a\neq0.
\]
-
Attention : une puissance ne se distribue pas sur une addition :
\[
(a+b)^n\neq a^n+b^n \quad \text{en général.}
\]
3. Puissances de 10 et écriture scientifique
- Quelle est la formule de \(10^m\times10^n\) ?
- Quelle est la formule de \(\dfrac{10^m}{10^n}\) ?
- Quelle est la formule de \((10^m)^n\) ?
- Quelle est la forme d’une écriture scientifique ?
- Quelle condition doit vérifier le nombre décimal placé devant \(10^n\) ?
Réponses directes
-
\[
10^m\times10^n=10^{m+n}.
\]
-
\[
\frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}.
\]
-
\[
(10^m)^n=10^{mn}.
\]
-
Une écriture scientifique est de la forme :
\[
a\times10^n.
\]
-
On doit avoir :
\[
1\leq a<10
\]
et \(n\) est un entier relatif.
4. Racines carrées — formules directes
- Que signifie \(\sqrt a\) ?
- Quelle condition doit vérifier \(a\) pour que \(\sqrt a\) existe au collège ?
- Que vaut \((\sqrt a)^2\) ?
- Quelle est la formule de \(\sqrt{ab}\) ?
- Quelle erreur faut-il éviter avec une somme ?
Réponses directes
-
\(\sqrt a\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\).
-
Au collège, on doit avoir :
\[
a\geq0.
\]
-
\[
(\sqrt a)^2=a, \qquad a\geq0.
\]
-
\[
\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b, \qquad a\geq0,\ b\geq0.
\]
-
Attention :
\[
\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b \quad \text{en général.}
\]
8. Arithmétique — vocabulaire direct
- Que signifie « \(a\) est un diviseur de \(b\) » ?
- Que signifie « \(b\) est un multiple de \(a\) » ?
- Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
- Pourquoi \(1\) n’est-il pas un nombre premier ?
- À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?
Réponses directes
-
\(a\) est un diviseur de \(b\) si la division de \(b\) par \(a\) tombe juste.
-
\(b\) est un multiple de \(a\) s’il existe un entier \(k\) tel que :
\[
b=a\times k.
\]
-
Un nombre premier est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même.
-
\(1\) n’est pas premier, car il ne possède qu’un seul diviseur positif.
-
Elle sert à simplifier des fractions, trouver des diviseurs communs et reconnaître les facteurs communs.
Bilan de la Partie I :
cette partie donne les règles et formules directes à connaître. Les exercices avancés
viennent ensuite pour appliquer ces formules dans des calculs plus longs.
Partie II — Cours essentiel
1. Fractions
Pour \(b\neq0\) et \(d\neq0\), on a :
\[
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}
=
\frac{ad+bc}{bd}.
\]
\[
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}
=
\frac{ac}{bd}.
\]
\[
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}
=
\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}.
\]
Attention :
\[
\frac{x+2}{x}\neq2.
\]
On ne simplifie pas un terme dans une somme.
2. Puissances
Formules indispensables à connaître :
\[
a^m a^n=a^{m+n},\qquad
\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\neq0),\qquad
(a^m)^n=a^{mn}.
\]
\[
(ab)^n=a^n b^n,\qquad
\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ (b\neq0),\qquad
a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ (a\neq0).
\]
| Propriété |
Formule |
Condition |
| Produit |
\(a^m\times a^n=a^{m+n}\) |
\(a\neq0\) |
| Quotient |
\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) |
\(a\neq0\) |
| Puissance d’une puissance |
\((a^m)^n=a^{mn}\) |
\(a\neq0\) |
| Puissance d’un produit |
\((ab)^n=a^n b^n\) |
\(a\) et \(b\) réels |
| Puissance d’un quotient |
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\) |
\(b\neq0\) |
| Exposant négatif |
\(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\) |
\(a\neq0\) |
Erreur classique : les formules de puissance se distribuent sur un produit
ou un quotient, mais pas sur une somme :
\[
(a+b)^n\neq a^n+b^n
\]
en général.
3. Racines carrées
Pour \(a\geq0\), \(\sqrt a\) désigne le nombre positif dont le carré vaut \(a\).
\[
(\sqrt a)^2=a.
\]
\[
\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b
\qquad
(a\geq0,\ b\geq0).
\]
\[
\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}
\qquad
(a\geq0,\ b>0).
\]
Erreur classique :
\[
\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b.
\]
4. Arithmétique
En arithmétique, on travaille avec les entiers : diviseurs, multiples,
nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM.
À connaître :
un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même.
Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur
par leur PGCD.
\[
\frac{a}{b}
=
\frac{a\div \operatorname{PGCD}(a;b)}{b\div \operatorname{PGCD}(a;b)}
\qquad (b\neq0).
\]
Méthode Brevet :
dans un problème de paquets identiques, on utilise souvent le PGCD.
Dans un problème de répétition ou de retour en même temps, on utilise souvent le PPCM.
Partie III — Méthodes directes
1. Simplifier une fraction complexe
Pour simplifier une fraction complexe, on calcule séparément le numérateur
et le dénominateur, puis on transforme la division en multiplication par l’inverse.
\[
\frac{\frac ab}{\frac cd}
=
\frac ab\times\frac dc.
\]
Exemple :
\[
\frac{\frac34}{\frac56}
=
\frac34\times\frac65
=
\frac{18}{20}
=
\frac9{10}.
\]
Partie IV — Erreurs classiques à éviter
1. Simplifier dans une somme
L’écriture suivante est fausse :
\[
\frac{x+5}{x}\neq5.
\]
On peut simplifier des facteurs communs, mais pas des termes séparés par \(+\) ou \(-\).
2. Additionner des puissances
L’écriture suivante est fausse :
\[
2^3+2^4\neq2^7.
\]
En réalité :
\[
2^3+2^4=8+16=24.
\]
Partie V — Exercices avancés corrigés
Exercice avancé 1 — Fractions complexes et priorités
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
\[
A=
\frac{
\frac{5}{6}-\frac{3}{4}
}{
\frac{7}{9}+\frac{1}{3}
}
-
\frac{2}{5}\times\frac{15}{8}.
\]
Indice méthode
Calcule séparément le numérateur et le dénominateur de la grande fraction,
puis transforme la division en multiplication par l’inverse.
Correction détaillée
1. Numérateur de la grande fraction
\[
\frac56-\frac34
=
\frac{10}{12}-\frac9{12}
=
\frac1{12}.
\]
2. Dénominateur de la grande fraction
\[
\frac79+\frac13
=
\frac79+\frac39
=
\frac{10}{9}.
\]
3. Grande fraction
\[
\frac{\frac1{12}}{\frac{10}{9}}
=
\frac1{12}\times\frac9{10}
=
\frac9{120}
=
\frac3{40}.
\]
4. Produit restant
\[
\frac25\times\frac{15}{8}
=
\frac{30}{40}
=
\frac34.
\]
5. Conclusion
\[
A=\frac3{40}-\frac34
=
\frac3{40}-\frac{30}{40}
=
-\frac{27}{40}.
\]
Réponse finale :
\[
\boxed{A=-\frac{27}{40}}
\]
Exercice avancé 2 — Puissances et écriture scientifique
Écrire sous forme scientifique :
\[
B=
\frac{
3{,}6\times10^{-4}\times2{,}5\times10^7
}{
1{,}2\times10^{-2}
}.
\]
Indice méthode
Sépare les nombres décimaux et les puissances de \(10\).
Correction détaillée
\[
B=
\frac{3{,}6\times2{,}5}{1{,}2}
\times
\frac{10^{-4}\times10^7}{10^{-2}}.
\]
\[
\frac{3{,}6\times2{,}5}{1{,}2}
=
\frac9{1{,}2}
=
7{,}5.
\]
\[
\frac{10^{-4}\times10^7}{10^{-2}}
=
\frac{10^3}{10^{-2}}
=
10^{3-(-2)}
=
10^5.
\]
Donc :
\[
B=7{,}5\times10^5.
\]
Réponse finale :
\[
\boxed{B=7{,}5\times10^5}
\]
Exercice avancé 3 — Racines carrées et réduction
Simplifier :
\[
C=
2\sqrt{75}
-
3\sqrt{48}
+
5\sqrt{27}
-
\sqrt{300}.
\]
Indice méthode
Écris chaque racine sous la forme \(a\sqrt3\).
Correction détaillée
\[
\sqrt{75}
=
\sqrt{25\times3}
=
5\sqrt3.
\]
\[
\sqrt{48}
=
\sqrt{16\times3}
=
4\sqrt3.
\]
\[
\sqrt{27}
=
\sqrt{9\times3}
=
3\sqrt3.
\]
\[
\sqrt{300}
=
\sqrt{100\times3}
=
10\sqrt3.
\]
Donc :
\[
C=
10\sqrt3-12\sqrt3+15\sqrt3-10\sqrt3.
\]
\[
C=3\sqrt3.
\]
Réponse finale :
\[
\boxed{C=3\sqrt3}
\]
Exercice avancé 4 — Arithmétique et fraction irréductible
Rendre irréductible la fraction :
\[
D=\frac{756}{1260}.
\]
Indice méthode
Décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers.
Correction détaillée
\[
756=2^2\times3^3\times7.
\]
\[
1260=2^2\times3^2\times5\times7.
\]
Donc :
\[
\frac{756}{1260}
=
\frac{2^2\times3^3\times7}
{2^2\times3^2\times5\times7}.
\]
On simplifie les facteurs communs :
\[
D=\frac35.
\]
Réponse finale :
\[
\boxed{D=\frac35}
\]
Exercice avancé 13 — Toutes les formules de puissances
Simplifier les expressions suivantes en utilisant les règles sur les puissances.
Le résultat doit être donné sous forme la plus simple possible.
\[
A=
\frac{(2^3\times5^2)^2}{(2^2\times5)^3}
\times
\left(\frac{10}{4}\right)^2
\]
\[
B=
\frac{(3{,}2\times10^{-5})^2\times5\times10^8}{4\times10^{-3}}
\]
\[
C=
\frac{(a^2b^{-3})^2\times(ab)^3}{a^{-1}b^2}
\qquad(a\neq0,\ b\neq0).
\]
Indice méthode
Commence par appliquer les puissances aux produits et aux quotients, puis regroupe
les puissances de même base. Pour les exposants négatifs, transforme en inverse
seulement si cela rend le calcul plus lisible.
Correction détaillée
1. Simplification de \(A\)
\[
(2^3\times5^2)^2
=2^{3\times2}\times5^{2\times2}
=2^6\times5^4.
\]
\[
(2^2\times5)^3
=2^{2\times3}\times5^3
=2^6\times5^3.
\]
Donc :
\[
\frac{(2^3\times5^2)^2}{(2^2\times5)^3}
=
\frac{2^6\times5^4}{2^6\times5^3}
=5.
\]
De plus :
\[
\left(\frac{10}{4}\right)^2
=
\frac{10^2}{4^2}
=
\frac{100}{16}
=
\frac{25}{4}.
\]
Ainsi :
\[
A=5\times\frac{25}{4}=\frac{125}{4}.
\]
2. Écriture scientifique de \(B\)
\[
(3{,}2\times10^{-5})^2
=3{,}2^2\times(10^{-5})^2
=10{,}24\times10^{-10}.
\]
Donc :
\[
B=
\frac{10{,}24\times10^{-10}\times5\times10^8}{4\times10^{-3}}.
\]
On regroupe les nombres et les puissances de \(10\) :
\[
B=
\frac{10{,}24\times5}{4}
\times
10^{-10+8-(-3)}.
\]
\[
\frac{10{,}24\times5}{4}=12{,}8
\qquad
\text{et}
\qquad
-10+8+3=1.
\]
Donc :
\[
B=12{,}8\times10^1=1{,}28\times10^2.
\]
3. Simplification avec les règles des puissances de \(C\)
\[
(a^2b^{-3})^2=a^4b^{-6}.
\]
\[
(ab)^3=a^3b^3.
\]
Donc :
\[
C=
\frac{a^4b^{-6}\times a^3b^3}{a^{-1}b^2}
=
\frac{a^7b^{-3}}{a^{-1}b^2}.
\]
On soustrait les exposants au quotient :
\[
C=a^{7-(-1)}b^{-3-2}=a^8b^{-5}.
\]
Donc :
\[
C=\frac{a^8}{b^5}.
\]
Réponses finales :
\[
\boxed{A=\frac{125}{4}}
\qquad
\boxed{B=1{,}28\times10^2}
\qquad
\boxed{C=\frac{a^8}{b^5}}
\]
Exercice avancé 17 — Série type Sésamath : simplifier et calculer
Cet exercice reprend l’esprit des fiches de calcul de 3e : simplifier avec les
facteurs premiers, manipuler les puissances de 10 et calculer avec des fractions.
-
Simplifier la fraction suivante jusqu’à obtenir une fraction irréductible :
\[
A=\frac{2^3\times 3^2\times 5\times 7}{2\times 3\times 5^2\times 7}.
\]
-
Écrire sous la forme d’une seule puissance de 10 :
\[
B=\frac{10^7\times 10^{-3}}{10^2}.
\]
-
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :
\[
C=\frac34-\frac12+\frac78.
\]
-
Calculer :
\[
D=\left(\frac23-\frac56\right)\div\left(\frac12+\frac13\right).
\]
-
Calculer mentalement :
\[
E=(2-3)^2+3(2-4)-4(3-2).
\]
Indice méthode
Pour simplifier une fraction avec facteurs premiers, barre uniquement les
facteurs communs. Pour additionner des fractions, commence par chercher un
dénominateur commun. Pour diviser par une fraction, multiplie par son inverse.
Correction détaillée
1. Simplification de \(A\)
\[
A=\frac{2^3\times 3^2\times 5\times 7}{2\times 3\times 5^2\times 7}
=\frac{2^{3-1}\times 3^{2-1}}{5^{2-1}}
=\frac{2^2\times3}{5}
=\frac{12}{5}.
\]
2. Puissances de 10
\[
B=\frac{10^7\times10^{-3}}{10^2}
=\frac{10^{7-3}}{10^2}
=\frac{10^4}{10^2}
=10^2.
\]
3. Calcul de \(C\)
\[
C=\frac34-\frac12+\frac78
=\frac68-\frac48+\frac78
=\frac{9}{8}.
\]
4. Calcul de \(D\)
\[
\frac23-\frac56=\frac46-\frac56=-\frac16.
\]
\[
\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56.
\]
Donc :
\[
D=-\frac16\div\frac56
=-\frac16\times\frac65
=-\frac15.
\]
5. Calcul de \(E\)
\[
E=(2-3)^2+3(2-4)-4(3-2)
=(-1)^2+3\times(-2)-4\times1.
\]
\[
E=1-6-4=-9.
\]
Réponses finales :
\[
\boxed{A=\frac{12}{5}},\quad
\boxed{B=10^2},\quad
\boxed{C=\frac98},\quad
\boxed{D=-\frac15},\quad
\boxed{E=-9}.
\]
Exercice avancé 22 — Devoir maison type Sésamath : fractions, décimaux et puissances
On considère les nombres suivants :
\[
A=\frac{2}{7}-\frac{3}{7}\times\frac{21}{9},
\qquad
B=\frac{10^6\times6\times10^{-3}}{15\times10^4},
\qquad
C=\left(\frac35-\frac14\right)\div\left(1+\frac23\right).
\]
- Calculer chacun des nombres en détaillant toutes les étapes.
- Écrire chaque résultat sous forme de fraction irréductible.
- Préciser, en justifiant, si chaque résultat est un nombre décimal.
Indice méthode
Respecte les priorités : la multiplication et la division se font avant
l’addition ou la soustraction. Pour reconnaître un nombre décimal, regarde
si le dénominateur de la fraction irréductible contient seulement les facteurs
premiers \(2\) et/ou \(5\).
Correction détaillée
Calcul de \(A\)
\[
A=\frac{2}{7}-\frac{3}{7}\times\frac{21}{9}
\]
\[
\frac{3}{7}\times\frac{21}{9}
=\frac{3\times21}{7\times9}
=\frac{3\times3\times7}{7\times3\times3}
=1.
\]
Donc :
\[
A=\frac27-1
=\frac27-\frac77
=-\frac57.
\]
La fraction \(-\frac57\) est irréductible. Son dénominateur contient le facteur
premier \(7\), donc son écriture décimale est illimitée périodique.
\[
\boxed{A=-\frac57\quad\text{et }A\text{ n’est pas un nombre décimal.}}
\]
Calcul de \(B\)
\[
B=\frac{10^6\times6\times10^{-3}}{15\times10^4}
\]
On regroupe les nombres et les puissances de \(10\) :
\[
B=\frac{6}{15}\times\frac{10^6\times10^{-3}}{10^4}
=\frac25\times10^{6-3-4}.
\]
Donc :
\[
B=\frac25\times10^{-1}
=\frac25\times\frac1{10}
=\frac{2}{50}
=\frac1{25}.
\]
Comme \(25=5^2\), le dénominateur ne contient que le facteur premier \(5\).
Le nombre est donc décimal.
\[
\boxed{B=\frac1{25}=0{,}04\quad\text{et }B\text{ est un nombre décimal.}}
\]
Calcul de \(C\)
On calcule d’abord la parenthèse de gauche :
\[
\frac35-\frac14
=\frac{12}{20}-\frac5{20}
=\frac7{20}.
\]
Puis la parenthèse de droite :
\[
1+\frac23=\frac33+\frac23=\frac53.
\]
Donc :
\[
C=\frac7{20}\div\frac53
=\frac7{20}\times\frac35
=\frac{21}{100}.
\]
Comme \(100=2^2\times5^2\), le nombre \(C\) est décimal.
\[
\boxed{C=\frac{21}{100}=0{,}21\quad\text{et }C\text{ est un nombre décimal.}}
\]
Exercice avancé 23 — Fractions composées et écriture scientifique
On pose :
\[
D=-\frac57+\frac5{21}\times\frac9{25},
\qquad
E=\frac{25}{17}\div\frac{15}{24}-\frac{11}{3},
\qquad
F=\frac{12\times10\times(10^3)^2}{24\times10^2}.
\]
- Exprimer \(D\) et \(E\) sous forme de fractions irréductibles.
- Donner l’écriture scientifique de \(F\).
- Expliquer quelle règle de calcul est utilisée à chaque étape.
Indice méthode
Pour \(D\), commence par la multiplication. Pour \(E\), transforme la division
par une fraction en multiplication par son inverse. Pour \(F\), utilise
\((10^3)^2=10^6\), puis regroupe les puissances de \(10\).
Correction détaillée
Calcul de \(D\)
\[
D=-\frac57+\frac5{21}\times\frac9{25}.
\]
On calcule d’abord le produit :
\[
\frac5{21}\times\frac9{25}
=\frac{5\times9}{21\times25}
=\frac{45}{525}
=\frac3{35}.
\]
Donc :
\[
D=-\frac57+\frac3{35}
=-\frac{25}{35}+\frac3{35}
=-\frac{22}{35}.
\]
\[
\boxed{D=-\frac{22}{35}}
\]
Calcul de \(E\)
\[
E=\frac{25}{17}\div\frac{15}{24}-\frac{11}{3}.
\]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[
\frac{25}{17}\div\frac{15}{24}
=\frac{25}{17}\times\frac{24}{15}.
\]
On simplifie :
\[
\frac{25}{17}\times\frac{24}{15}
=\frac{5\times5\times24}{17\times3\times5}
=\frac{5\times8}{17}
=\frac{40}{17}.
\]
Donc :
\[
E=\frac{40}{17}-\frac{11}{3}
=\frac{120}{51}-\frac{187}{51}
=-\frac{67}{51}.
\]
\[
\boxed{E=-\frac{67}{51}}
\]
Écriture scientifique de \(F\)
\[
F=\frac{12\times10\times(10^3)^2}{24\times10^2}.
\]
Comme \((10^3)^2=10^6\), on obtient :
\[
F=\frac{12}{24}\times10^{1+6-2}
=\frac12\times10^5.
\]
Or :
\[
\frac12\times10^5=0{,}5\times10^5=5\times10^4.
\]
\[
\boxed{F=5\times10^4}
\]
Exercice type Brevet 1 — Fractions et programme de calcul
On considère le nombre :
\[
A=\left(\frac{7}{6}-\frac{5}{9}\right)\div\frac{11}{18}
+
\frac{3}{4}\times\frac{8}{15}.
\]
- Calculer \(A\) en détaillant les étapes.
- Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
- Indiquer si \(A\) est supérieur ou inférieur à \(1\).
Indice méthode
Commence par calculer la parenthèse, puis transforme la division par une fraction
en multiplication par son inverse.
Correction détaillée
\[
\frac76-\frac59
=
\frac{21}{18}-\frac{10}{18}
=
\frac{11}{18}.
\]
Donc :
\[
\left(\frac76-\frac59\right)\div\frac{11}{18}
=
\frac{11}{18}\div\frac{11}{18}
=
1.
\]
Ensuite :
\[
\frac34\times\frac{8}{15}
=
\frac{24}{60}
=
\frac25.
\]
Ainsi :
\[
A=1+\frac25=\frac75.
\]
Réponse finale :
\[
\boxed{A=\frac75}
\]
donc \(A>1\).
Exercice type Brevet 2 — Puissances de 10 et écriture scientifique
Une bactérie mesure environ \(2{,}4\times10^{-6}\) m.
On aligne \(5\times10^4\) bactéries identiques.
- Calculer la longueur totale en mètres.
- Donner le résultat en écriture scientifique.
- Convertir cette longueur en centimètres.
Indice méthode
Multiplie les nombres décimaux entre eux, puis additionne les exposants de \(10\).
Correction détaillée
\[
L=2{,}4\times10^{-6}\times5\times10^4.
\]
\[
L=12\times10^{-2}=1{,}2\times10^{-1}\ \text{m}.
\]
Comme \(1\ \text{m}=100\ \text{cm}\), on obtient :
\[
1{,}2\times10^{-1}\ \text{m}=12\ \text{cm}.
\]
Réponses finales :
\[
\boxed{L=1{,}2\times10^{-1}\ \text{m}}
\qquad
\boxed{L=12\ \text{cm}}
\]
Exercice type Brevet 3 — Racines carrées et longueur exacte
Dans un repère, on considère deux points \(A(1;2)\) et \(B(7;5)\).
On admet que la longueur \(AB\) est donnée par :
\[
AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
\]
- Calculer la longueur \(AB\).
- Donner la valeur exacte sous forme \(a\sqrt b\), avec \(b\) le plus petit possible.
- Donner une valeur approchée au dixième.
Indice méthode
Calcule les différences de coordonnées, puis simplifie la racine carrée obtenue.
Correction détaillée
\[
AB=\sqrt{(7-1)^2+(5-2)^2}
=
\sqrt{6^2+3^2}
=
\sqrt{36+9}
=
\sqrt{45}.
\]
Or :
\[
\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt5.
\]
Une valeur approchée est :
\[
3\sqrt5\approx 6{,}7.
\]
Réponses finales :
\[
\boxed{AB=3\sqrt5}
\qquad
\boxed{AB\approx6{,}7}
\]
Exercice type Brevet 4 — PGCD et paquets identiques
Un professeur dispose de \(84\) stylos bleus et de \(126\) stylos rouges.
Il veut préparer le plus grand nombre possible de lots identiques, en utilisant tous les stylos.
- Décomposer \(84\) et \(126\) en produits de facteurs premiers.
- Déterminer le nombre maximal de lots.
- Indiquer la composition de chaque lot.
Indice méthode
Le nombre maximal de lots identiques correspond au PGCD de \(84\) et \(126\).
Correction détaillée
\[
84=2^2\times3\times7,
\qquad
126=2\times3^2\times7.
\]
Les facteurs communs avec les plus petits exposants sont :
\[
2\times3\times7=42.
\]
Donc :
\[
\operatorname{PGCD}(84;126)=42.
\]
On peut préparer \(42\) lots.
Chaque lot contient :
\[
\frac{84}{42}=2\ \text{stylos bleus}
\qquad
\frac{126}{42}=3\ \text{stylos rouges}.
\]
Réponse finale :
\[
\boxed{42\ \text{lots de }2\ \text{stylos bleus et }3\ \text{stylos rouges}}
\]
Exercice type Brevet 5 — PPCM et retour en même temps
Deux bus partent du même arrêt à \(8\) h.
Le premier repasse toutes les \(18\) minutes et le second toutes les \(24\) minutes.
- Décomposer \(18\) et \(24\) en produits de facteurs premiers.
- Déterminer au bout de combien de minutes les deux bus repasseront ensemble.
- Donner l’heure du prochain passage commun.
Indice méthode
On cherche le plus petit multiple commun non nul de \(18\) et \(24\).
Correction détaillée
\[
18=2\times3^2,
\qquad
24=2^3\times3.
\]
Donc :
\[
\operatorname{PPCM}(18;24)=2^3\times3^2=72.
\]
Les deux bus repasseront ensemble au bout de \(72\) minutes,
c’est-à-dire \(1\) h \(12\) min après \(8\) h.
Réponse finale :
\[
\boxed{9\ \text{h}\ 12}
\]
Exercice type Brevet 6 — Décomposition en facteurs premiers
Cet exercice est inspiré de situations classiques du Brevet 2025.
- Décomposer \(1050\) en produit de facteurs premiers.
- Décomposer \(390\) en produit de facteurs premiers.
- En déduire le PGCD de \(1050\) et \(390\).
- Rendre la fraction \(\dfrac{390}{1050}\) irréductible.
Indice méthode
Commencer par diviser par les petits nombres premiers :
\(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), etc.
Correction détaillée
\[
1050 = 105\times 10
= (3\times5\times7)\times(2\times5)
= 2\times3\times5^2\times7.
\]
\[
390 = 39\times10
= (3\times13)\times(2\times5)
= 2\times3\times5\times13.
\]
Les facteurs communs sont :
\[
2,\quad 3,\quad 5.
\]
Donc :
\[
\operatorname{PGCD}(1050;390)=2\times3\times5=30.
\]
On simplifie alors :
\[
\frac{390}{1050}
=
\frac{390\div30}{1050\div30}
=
\frac{13}{35}.
\]
Réponse finale :
\[
\boxed{1050=2\times3\times5^2\times7}
\]
\[
\boxed{390=2\times3\times5\times13}
\]
\[
\boxed{\operatorname{PGCD}(1050;390)=30}
\qquad
\boxed{\frac{390}{1050}=\frac{13}{35}}
\]
Exercice type Brevet 7 — QCM : écriture scientifique
Pour chaque question, choisir la bonne réponse et justifier rapidement.
| Question |
A |
B |
C |
D |
| Quel nombre correspond à \(8,6\times10^{-4}\) ? |
\(86000\) |
\(0,00086\) |
\(-0,00086\) |
\(0,000086\) |
| Quelle est l’écriture scientifique de \(0,0042\) ? |
\(42\times10^{-4}\) |
\(4,2\times10^{-3}\) |
\(0,42\times10^{-2}\) |
\(4,2\times10^3\) |
| Calculer \(3\times10^5\times2\times10^{-2}\). |
\(6\times10^3\) |
\(6\times10^7\) |
\(5\times10^3\) |
\(6\times10^{-10}\) |
Indice méthode
En écriture scientifique, le nombre doit être de la forme
\(a\times10^n\), avec \(1\leq a<10\).
Correction détaillée
\(8,6\times10^{-4}\) signifie que l’on déplace la virgule de
\(4\) rangs vers la gauche :
\[
8,6\times10^{-4}=0,00086.
\]
Donc la bonne réponse à la première question est B.
\[
0,0042 = 4,2\times10^{-3}.
\]
Donc la bonne réponse à la deuxième question est B.
\[
3\times10^5\times2\times10^{-2}
=
6\times10^{5-2}
=
6\times10^3.
\]
Donc la bonne réponse à la troisième question est A.
Réponses finales :
\[
\boxed{B}
\qquad
\boxed{B}
\qquad
\boxed{A}
\]
Exercice type Brevet 8 — Lots de poissons et PGCD
Un magasin a reçu \(350\) poissons de type A et \(300\) poissons de type B.
La responsable veut constituer le plus grand nombre possible de lots identiques.
Dans chaque lot, il doit y avoir le même nombre de poissons de type A,
le même nombre de poissons de type B, et tous les poissons doivent être utilisés.
- Décomposer \(300\) en produit de facteurs premiers.
- Décomposer \(350\) en produit de facteurs premiers.
- Déterminer le nombre maximal de lots identiques que l’on peut constituer.
- Donner la composition de chaque lot.
Indice méthode
Le nombre maximal de lots identiques est le PGCD de \(350\) et \(300\).
Correction détaillée
\[
300 = 3\times100 = 3\times 2^2\times5^2
= 2^2\times3\times5^2.
\]
\[
350 = 35\times10
= (5\times7)\times(2\times5)
= 2\times5^2\times7.
\]
Les facteurs communs sont :
\[
2\times5^2 = 2\times25=50.
\]
Donc :
\[
\operatorname{PGCD}(350;300)=50.
\]
On peut donc constituer \(50\) lots identiques.
Dans chaque lot :
\[
\frac{350}{50}=7
\qquad\text{et}\qquad
\frac{300}{50}=6.
\]
Réponse finale :
\[
\boxed{50\ \text{lots}}
\]
avec
\[
\boxed{7\ \text{poissons de type A et }6\ \text{poissons de type B par lot}.}
\]
Exercice type Brevet 9 — Fractions et quantité utilisée
Un réservoir contient \(60\) litres d’eau.
On utilise d’abord les \(\dfrac{2}{5}\) du réservoir,
puis les \(\dfrac{3}{4}\) de ce qui reste.
- Quelle quantité d’eau est utilisée au premier prélèvement ?
- Quelle quantité d’eau reste-t-il après le premier prélèvement ?
- Quelle quantité d’eau est utilisée au deuxième prélèvement ?
- Quelle quantité d’eau reste-t-il à la fin ?
Indice méthode
Attention : le deuxième prélèvement porte sur ce qui reste,
pas sur la quantité de départ.
Correction détaillée
Premier prélèvement :
\[
\frac{2}{5}\times60
=
2\times12
=
24.
\]
Il reste donc :
\[
60-24=36.
\]
Deuxième prélèvement :
\[
\frac{3}{4}\times36
=
3\times9
=
27.
\]
Il reste finalement :
\[
36-27=9.
\]
Réponse finale :
\[
\boxed{24\ \text{L}}
\qquad
\boxed{36\ \text{L}}
\qquad
\boxed{27\ \text{L}}
\qquad
\boxed{9\ \text{L}}
\]
Exercice type Brevet 10 — Racines carrées et simplification
On considère le nombre :
\[
A = 3\sqrt{50}-2\sqrt{18}+\sqrt{72}.
\]
- Simplifier \(\sqrt{50}\), \(\sqrt{18}\) et \(\sqrt{72}\).
- Écrire \(A\) sous la forme \(a\sqrt{2}\), où \(a\) est un entier.
- Calculer \(A^2\).
Indice méthode
Faire apparaître des carrés parfaits :
\(50=25\times2\), \(18=9\times2\), \(72=36\times2\).
Correction détaillée
\[
\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt2.
\]
\[
\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt2.
\]
\[
\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2.
\]
Donc :
\[
A=3\times5\sqrt2-2\times3\sqrt2+6\sqrt2.
\]
\[
A=15\sqrt2-6\sqrt2+6\sqrt2=15\sqrt2.
\]
Alors :
\[
A^2=(15\sqrt2)^2
=
15^2\times2
=
225\times2
=
450.
\]
Réponse finale :
\[
\boxed{A=15\sqrt2}
\qquad
\boxed{A^2=450}
\]
Partie VI — Bilan méthode
Ce qu’il faut savoir faire sans hésiter
- Réduire une expression avec fractions.
- Manipuler les puissances de \(10\).
- Écrire un nombre en notation scientifique.
- Simplifier une somme de racines carrées.
- Décomposer un entier en facteurs premiers.
- Écrire un nombre en écriture scientifique.
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers.
- Utiliser le PGCD pour rendre une fraction irréductible.
- Utiliser le PPCM pour résoudre un problème de synchronisation.
- Résoudre un problème type Brevet avec des lots identiques, une écriture scientifique ou une fraction d’une quantité.
Conclusion :
cette page reprend exactement le style du fichier de révision fourni :
même hero, mêmes cartes, mêmes encadrés, mêmes détails ouvrants et même structure premium.