Mathématiques — Révision complète

Révision — Fractions, puissances, racines carrées et arithmétique

Fractions, puissances, racines carrées et arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD et PPCM. Une page complète pour revoir les automatismes de calcul et s’entraîner avec des exercices avancés.

Fractions Puissances Racines carrées Arithmétique

Méthode générale

Pour réussir un exercice de calcul, il faut éviter de transformer l’expression au hasard. On commence par repérer la structure : somme, produit, quotient, puissance, racine, forme irréductible, écriture scientifique, décomposition en facteurs premiers ou méthode PGCD/PPCM.

Observer Choisir Transformer Simplifier Conclure

Point clé : on ne simplifie que des facteurs communs. On ne simplifie jamais directement deux termes séparés par \(+\) ou \(-\).

Partie I — Questions de cours

Cette partie sert à vérifier rapidement les connaissances indispensables. Les questions sont courtes, claires et directes. Chaque réponse attendue donne la formule ou la règle essentielle à connaître avant de passer aux exercices avancés.

1. Fractions — formules directes

Quelle est la formule pour additionner deux fractions de même dénominateur ?
Quelle est la formule pour additionner deux fractions de dénominateurs différents ?
Quelle est la formule pour multiplier deux fractions ?
Quelle est la formule pour diviser par une fraction non nulle ?
Quelle condition doit-on toujours vérifier pour une fraction ?
Quand peut-on simplifier une fraction ?

Réponses directes

Même dénominateur : \[ \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}, \qquad b\neq0. \]
Dénominateurs différents : \[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}, \qquad b\neq0,\ d\neq0. \]
Produit : \[ \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}, \qquad b\neq0,\ d\neq0. \]
Quotient : \[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}, \qquad b\neq0,\ c\neq0,\ d\neq0. \]
Le dénominateur ne doit jamais être nul : \[ \frac{A}{B}\ \text{existe seulement si}\ B\neq0. \]
On simplifie seulement un facteur commun non nul : \[ \frac{kA}{kB}=\frac{A}{B}, \qquad k\neq0,\ B\neq0. \]

2. Puissances — formules à connaître

Quelle est la formule de \(a^m\times a^n\) ?
Quelle est la formule de \(\dfrac{a^m}{a^n}\) ?
Quelle est la formule de \((a^m)^n\) ?
Quelle est la formule de \((ab)^n\) ?
Quelle est la formule de \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\) ?
Que vaut \(a^0\) ?
Que signifie \(a^{-n}\) ?
Quelle erreur faut-il éviter avec une somme ?

Réponses directes

\[ a^m\times a^n=a^{m+n}. \]
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq0. \]
\[ (a^m)^n=a^{mn}. \]
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
\[ a^0=1, \qquad a\neq0. \]
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \qquad a\neq0. \]
Attention : une puissance ne se distribue pas sur une addition : \[ (a+b)^n\neq a^n+b^n \quad \text{en général.} \]

3. Puissances de 10 et écriture scientifique

Quelle est la formule de \(10^m\times10^n\) ?
Quelle est la formule de \(\dfrac{10^m}{10^n}\) ?
Quelle est la formule de \((10^m)^n\) ?
Quelle est la forme d’une écriture scientifique ?
Quelle condition doit vérifier le nombre décimal placé devant \(10^n\) ?

Réponses directes

\[ 10^m\times10^n=10^{m+n}. \]
\[ \frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}. \]
\[ (10^m)^n=10^{mn}. \]
Une écriture scientifique est de la forme : \[ a\times10^n. \]
On doit avoir : \[ 1\leq a\lt 10 \] et \(n\) est un entier relatif.

4. Racines carrées — formules directes

Que signifie \(\sqrt a\) ?
Quelle condition doit vérifier \(a\) pour que \(\sqrt a\) existe au collège ?
Que vaut \((\sqrt a)^2\) ?
Quelle est la formule de \(\sqrt{ab}\) ?
Quelle erreur faut-il éviter avec une somme ?

Réponses directes

\(\sqrt a\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\).
Au collège, on doit avoir : \[ a\geq0. \]
\[ (\sqrt a)^2=a, \qquad a\geq0. \]
\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b, \qquad a\geq0,\ b\geq0. \]
Attention : \[ \sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b \quad \text{en général.} \]

5. Arithmétique — vocabulaire direct

Que signifie « \(a\) est un diviseur de \(b\) » ?
Que signifie « \(b\) est un multiple de \(a\) » ?
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Pourquoi \(1\) n’est-il pas un nombre premier ?
À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?

Réponses directes

\(a\) est un diviseur de \(b\) si la division de \(b\) par \(a\) tombe juste.
\(b\) est un multiple de \(a\) s’il existe un entier \(k\) tel que : \[ b=a\times k. \]
Un nombre premier est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même.
\(1\) n’est pas premier, car il ne possède qu’un seul diviseur positif.
Elle sert à simplifier des fractions, trouver des diviseurs communs et reconnaître les facteurs communs.

Bilan de la Partie I : cette partie donne les règles et formules directes à connaître. Les exercices avancés viennent ensuite pour appliquer ces formules dans des calculs plus longs.

Partie II — Cours essentiel

1. Fractions

Pour \(b\neq0\) et \(d\neq0\), on a :

\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}. \] \[ \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}. \] \[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\times\frac{d}{c}. \]

Attention : \[ \frac{x+2}{x}\neq2. \] On ne simplifie pas un terme dans une somme.

2. Puissances

Formules indispensables à connaître : \[ a^m a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\neq0),\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \] \[ (ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ (b\neq0),\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ (a\neq0). \]

Propriété	Formule	Condition
Produit	\(a^m\times a^n=a^{m+n}\)	\(a\neq0\)
Quotient	\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)	\(a\neq0\)
Puissance d’une puissance	\((a^m)^n=a^{mn}\)	\(a\neq0\)
Puissance d’un produit	\((ab)^n=a^n b^n\)	\(a\) et \(b\) réels
Puissance d’un quotient	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)	\(b\neq0\)
Exposant négatif	\(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\)	\(a\neq0\)

Erreur classique : les formules de puissance se distribuent sur un produit ou un quotient, mais pas sur une somme : \[ (a+b)^n\neq a^n+b^n \] en général.

3. Racines carrées

Pour \(a\geq0\), \(\sqrt a\) désigne le nombre positif dont le carré vaut \(a\).

\[ (\sqrt a)^2=a. \] \[ \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b \qquad (a\geq0,\ b\geq0). \] \[ \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b} \qquad (a\geq0,\ b\gt 0). \]

Erreur classique : \[ \sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b. \]

4. Arithmétique

En arithmétique, on travaille avec les entiers : diviseurs, multiples, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM.

À connaître : un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même. Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

\[ \frac{a}{b} = \frac{a\div \operatorname{PGCD}(a;b)}{b\div \operatorname{PGCD}(a;b)} \qquad (b\neq0). \]

Méthode Brevet : dans un problème de paquets identiques, on utilise souvent le PGCD. Dans un problème de répétition ou de retour en même temps, on utilise souvent le PPCM.

Partie III — Méthodes directes

1. Simplifier une fraction complexe

Pour simplifier une fraction complexe, on calcule séparément le numérateur et le dénominateur, puis on transforme la division en multiplication par l’inverse.

\[ \frac{\frac ab}{\frac cd} = \frac ab\times\frac dc. \]

Exemple : \[ \frac{\frac34}{\frac56} = \frac34\times\frac65 = \frac{18}{20} = \frac9{10}. \]

Partie IV — Erreurs classiques à éviter

1. Simplifier dans une somme

L’écriture suivante est fausse :

\[ \frac{x+5}{x}\neq5. \]

On peut simplifier des facteurs communs, mais pas des termes séparés par \(+\) ou \(-\).

2. Additionner des puissances

L’écriture suivante est fausse :

\[ 2^3+2^4\neq2^7. \]

En réalité :

\[ 2^3+2^4=8+16=24. \]

Partie V — Exercices avancés corrigés

Exercice avancé 1 — Fractions complexes et priorités

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

\[ A= \frac{ \frac{5}{6}-\frac{3}{4} }{ \frac{7}{9}+\frac{1}{3} } - \frac{2}{5}\times\frac{15}{8}. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Calcule séparément le numérateur et le dénominateur de la grande fraction, puis transforme la division en multiplication par l’inverse.

Repérer la structure : Commence par identifier les opérations prioritaires : parenthèses, produits ou quotients, puis additions et soustractions.
Préparer les fractions : Pour une somme ou une différence, choisis un dénominateur commun. Pour une division, remplace-la par une multiplication par l’inverse.
Simplifier au bon moment : Simplifie uniquement des facteurs communs non nuls ; ne simplifie jamais à travers un signe \(+\) ou \(-\).
Contrôler le résultat : À la fin, vérifie que la fraction est irréductible et que son signe est cohérent avec les valeurs calculées.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On respecte les priorités de calcul et on traite chaque fraction comme un bloc. Les changements de dénominateur et les simplifications sont justifiés afin d’éviter les simplifications interdites dans une somme.

1. Numérateur de la grande fraction

\[ \frac56-\frac34 = \frac{10}{12}-\frac9{12} = \frac1{12}. \]

2. Dénominateur de la grande fraction

\[ \frac79+\frac13 = \frac79+\frac39 = \frac{10}{9}. \]

3. Grande fraction

\[ \frac{\frac1{12}}{\frac{10}{9}} = \frac1{12}\times\frac9{10} = \frac9{120} = \frac3{40}. \]

4. Produit restant

\[ \frac25\times\frac{15}{8} = \frac{30}{40} = \frac34. \]

5. Conclusion

\[ A=\frac3{40}-\frac34 = \frac3{40}-\frac{30}{40} = -\frac{27}{40}. \]

Réponse finale : \[ \boxed{A=-\frac{27}{40}} \]

Contrôle de la réponse : Vérifie que le dénominateur final est non nul et que numérateur et dénominateur n’ont plus de facteur commun.

Exercice avancé 2 — Puissances et écriture scientifique

Écrire sous forme scientifique :

\[ B= \frac{ 3{,}6\times10^{-4}\times2{,}5\times10^7 }{ 1{,}2\times10^{-2} }. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Sépare les nombres décimaux et les puissances de \(10\).

Séparer les rôles : Traite d’un côté les coefficients numériques et de l’autre les puissances de même base.
Appliquer les lois : Utilise produit : addition des exposants ; quotient : soustraction des exposants ; puissance d’une puissance : multiplication des exposants.
Normaliser : Si une écriture scientifique est demandée, termine sous la forme \(a\times10^n\) avec \(1\leq a\lt 10\).
Vérifier : Contrôle l’ordre de grandeur : le signe et l’exposant final doivent être compatibles avec le nombre de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On sépare la partie numérique de la partie en puissances. Chaque transformation s’appuie sur une loi des exposants, puis on normalise l’écriture finale si une notation scientifique est demandée.

\[ B= \frac{3{,}6\times2{,}5}{1{,}2} \times \frac{10^{-4}\times10^7}{10^{-2}}. \] \[ \frac{3{,}6\times2{,}5}{1{,}2} = \frac9{1{,}2} = 7{,}5. \] \[ \frac{10^{-4}\times10^7}{10^{-2}} = \frac{10^3}{10^{-2}} = 10^{3-(-2)} = 10^5. \] Donc : \[ B=7{,}5\times10^5. \]

Réponse finale : \[ \boxed{B=7{,}5\times10^5} \]

Contrôle de la réponse : Vérifie les exposants en refaisant séparément produit, quotient et puissance d’une puissance ; en écriture scientifique, le coefficient doit être compris entre 1 et 10.

Exercice avancé 3 — Racines carrées et réduction

Simplifier :

\[ C= 2\sqrt{75} - 3\sqrt{48} + 5\sqrt{27} - \sqrt{300}. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Écris chaque racine sous la forme \(a\sqrt3\).

Chercher les carrés parfaits : Écris chaque radicande sous la forme « carré parfait × facteur restant », par exemple \(75=25\times3\).
Extraire les carrés : Utilise \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt b\) lorsque \(a\geq0\).
Réduire : On additionne ou soustrait seulement des termes portant exactement la même racine.
Contrôler : Élève mentalement les facteurs extraits au carré pour vérifier que tu retrouves bien le radicande initial.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On fait apparaître les carrés parfaits sous chaque racine, on les extrait, puis on réduit uniquement les radicaux semblables. Cette méthode conserve une valeur exacte jusqu’à la conclusion.

\[ \sqrt{75} = \sqrt{25\times3} = 5\sqrt3. \] \[ \sqrt{48} = \sqrt{16\times3} = 4\sqrt3. \] \[ \sqrt{27} = \sqrt{9\times3} = 3\sqrt3. \] \[ \sqrt{300} = \sqrt{100\times3} = 10\sqrt3. \] Donc : \[ C= 10\sqrt3-12\sqrt3+15\sqrt3-10\sqrt3. \] \[ C=3\sqrt3. \]

Réponse finale : \[ \boxed{C=3\sqrt3} \]

Contrôle de la réponse : Vérifie que chaque extraction correspond bien à un carré parfait et que seuls des radicaux de même nature ont été regroupés.

Exercice avancé 4 — Arithmétique et fraction irréductible

Rendre irréductible la fraction :

\[ D=\frac{756}{1260}. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers.

Décomposer : Écris les entiers comme produits de facteurs premiers avant de chercher un PGCD, un PPCM ou une simplification.
Choisir les exposants : Pour le PGCD, prends les facteurs communs avec les plus petits exposants ; pour le PPCM, prends tous les facteurs avec les plus grands exposants.
Interpréter : Relie le résultat numérique au contexte : nombre maximal de lots, durée minimale de synchronisation, ou fraction irréductible.
Contrôler : Vérifie que le PGCD divise bien tous les nombres concernés ou que le PPCM est bien un multiple de chacun.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On utilise la décomposition en facteurs premiers pour rendre visibles les facteurs communs et leurs exposants. Le résultat est ensuite interprété dans le contexte du problème.

\[ 756=2^2\times3^3\times7. \] \[ 1260=2^2\times3^2\times5\times7. \] Donc : \[ \frac{756}{1260} = \frac{2^2\times3^3\times7} {2^2\times3^2\times5\times7}. \] On simplifie les facteurs communs : \[ D=\frac35. \]

Réponse finale : \[ \boxed{D=\frac35} \]

Contrôle de la réponse : Recompose les nombres à partir de leurs facteurs premiers et vérifie la propriété attendue du PGCD ou du PPCM.

Exercice avancé 5 — Toutes les formules de puissances

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les règles sur les puissances. Le résultat doit être donné sous forme la plus simple possible.

\[ A= \frac{(2^3\times5^2)^2}{(2^2\times5)^3} \times \left(\frac{10}{4}\right)^2 \] \[ B= \frac{(3{,}2\times10^{-5})^2\times5\times10^8}{4\times10^{-3}} \] \[ C= \frac{(a^2b^{-3})^2\times(ab)^3}{a^{-1}b^2} \qquad(a\neq0,\ b\neq0). \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Commence par appliquer les puissances aux produits et aux quotients, puis regroupe les puissances de même base. Pour les exposants négatifs, transforme en inverse seulement si cela rend le calcul plus lisible.

Séparer les rôles : Traite d’un côté les coefficients numériques et de l’autre les puissances de même base.
Appliquer les lois : Utilise produit : addition des exposants ; quotient : soustraction des exposants ; puissance d’une puissance : multiplication des exposants.
Normaliser : Si une écriture scientifique est demandée, termine sous la forme \(a\times10^n\) avec \(1\leq a\lt 10\).
Vérifier : Contrôle l’ordre de grandeur : le signe et l’exposant final doivent être compatibles avec le nombre de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

1. Simplification de \(A\)

\[ (2^3\times5^2)^2 =2^{3\times2}\times5^{2\times2} =2^6\times5^4. \] \[ (2^2\times5)^3 =2^{2\times3}\times5^3 =2^6\times5^3. \] Donc : \[ \frac{(2^3\times5^2)^2}{(2^2\times5)^3} = \frac{2^6\times5^4}{2^6\times5^3} =5. \] De plus : \[ \left(\frac{10}{4}\right)^2 = \frac{10^2}{4^2} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4}. \] Ainsi : \[ A=5\times\frac{25}{4}=\frac{125}{4}. \]

2. Écriture scientifique de \(B\)

\[ (3{,}2\times10^{-5})^2 =3{,}2^2\times(10^{-5})^2 =10{,}24\times10^{-10}. \] Donc : \[ B= \frac{10{,}24\times10^{-10}\times5\times10^8}{4\times10^{-3}}. \] On regroupe les nombres et les puissances de \(10\) : \[ B= \frac{10{,}24\times5}{4} \times 10^{-10+8-(-3)}. \] \[ \frac{10{,}24\times5}{4}=12{,}8 \qquad \text{et} \qquad -10+8+3=1. \] Donc : \[ B=12{,}8\times10^1=1{,}28\times10^2. \]

3. Simplification avec les règles des puissances de \(C\)

\[ (a^2b^{-3})^2=a^4b^{-6}. \] \[ (ab)^3=a^3b^3. \] Donc : \[ C= \frac{a^4b^{-6}\times a^3b^3}{a^{-1}b^2} = \frac{a^7b^{-3}}{a^{-1}b^2}. \] On soustrait les exposants au quotient : \[ C=a^{7-(-1)}b^{-3-2}=a^8b^{-5}. \] Donc : \[ C=\frac{a^8}{b^5}. \]

Réponses finales : \[ \boxed{A=\frac{125}{4}} \qquad \boxed{B=1{,}28\times10^2} \qquad \boxed{C=\frac{a^8}{b^5}} \]

Exercice avancé 6 — Série type Sésamath : simplifier et calculer

Cet exercice reprend l’esprit des fiches de calcul de 3e : simplifier avec les facteurs premiers, manipuler les puissances de 10 et calculer avec des fractions.

Simplifier la fraction suivante jusqu’à obtenir une fraction irréductible : \[ A=\frac{2^3\times 3^2\times 5\times 7}{2\times 3\times 5^2\times 7}. \]
Écrire sous la forme d’une seule puissance de 10 : \[ B=\frac{10^7\times 10^{-3}}{10^2}. \]
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible : \[ C=\frac34-\frac12+\frac78. \]
Calculer : \[ D=\left(\frac23-\frac56\right)\div\left(\frac12+\frac13\right). \]
Calculer mentalement : \[ E=(2-3)^2+3(2-4)-4(3-2). \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Pour simplifier une fraction avec facteurs premiers, barre uniquement les facteurs communs. Pour additionner des fractions, commence par chercher un dénominateur commun. Pour diviser par une fraction, multiplie par son inverse.

Décomposer : Écris les entiers comme produits de facteurs premiers avant de chercher un PGCD, un PPCM ou une simplification.
Choisir les exposants : Pour le PGCD, prends les facteurs communs avec les plus petits exposants ; pour le PPCM, prends tous les facteurs avec les plus grands exposants.
Interpréter : Relie le résultat numérique au contexte : nombre maximal de lots, durée minimale de synchronisation, ou fraction irréductible.
Contrôler : Vérifie que le PGCD divise bien tous les nombres concernés ou que le PPCM est bien un multiple de chacun.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

1. Simplification de \(A\)

\[ A=\frac{2^3\times 3^2\times 5\times 7}{2\times 3\times 5^2\times 7} =\frac{2^{3-1}\times 3^{2-1}}{5^{2-1}} =\frac{2^2\times3}{5} =\frac{12}{5}. \]

2. Puissances de 10

\[ B=\frac{10^7\times10^{-3}}{10^2} =\frac{10^{7-3}}{10^2} =\frac{10^4}{10^2} =10^2. \]

3. Calcul de \(C\)

\[ C=\frac34-\frac12+\frac78 =\frac68-\frac48+\frac78 =\frac{9}{8}. \]

4. Calcul de \(D\)

\[ \frac23-\frac56=\frac46-\frac56=-\frac16. \] \[ \frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56. \] Donc : \[ D=-\frac16\div\frac56 =-\frac16\times\frac65 =-\frac15. \]

5. Calcul de \(E\)

\[ E=(2-3)^2+3(2-4)-4(3-2) =(-1)^2+3\times(-2)-4\times1. \] \[ E=1-6-4=-9. \]

Réponses finales : \[ \boxed{A=\frac{12}{5}},\quad \boxed{B=10^2},\quad \boxed{C=\frac98},\quad \boxed{D=-\frac15},\quad \boxed{E=-9}. \]

Contrôle de la réponse : Recompose les nombres à partir de leurs facteurs premiers et vérifie la propriété attendue du PGCD ou du PPCM.

Exercice avancé 7 — Devoir maison type Sésamath : fractions, décimaux et puissances

On considère les nombres suivants :

\[ A=\frac{2}{7}-\frac{3}{7}\times\frac{21}{9}, \qquad B=\frac{10^6\times6\times10^{-3}}{15\times10^4}, \qquad C=\left(\frac35-\frac14\right)\div\left(1+\frac23\right). \]

Calculer chacun des nombres en détaillant toutes les étapes.
Écrire chaque résultat sous forme de fraction irréductible.
Préciser, en justifiant, si chaque résultat est un nombre décimal.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Respecte les priorités : la multiplication et la division se font avant l’addition ou la soustraction. Pour reconnaître un nombre décimal, regarde si le dénominateur de la fraction irréductible contient seulement les facteurs premiers \(2\) et/ou \(5\).

Repérer la structure : Commence par identifier les opérations prioritaires : parenthèses, produits ou quotients, puis additions et soustractions.
Préparer les fractions : Pour une somme ou une différence, choisis un dénominateur commun. Pour une division, remplace-la par une multiplication par l’inverse.
Simplifier au bon moment : Simplifie uniquement des facteurs communs non nuls ; ne simplifie jamais à travers un signe \(+\) ou \(-\).
Contrôler le résultat : À la fin, vérifie que la fraction est irréductible et que son signe est cohérent avec les valeurs calculées.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Calcul de \(A\)

\[ A=\frac{2}{7}-\frac{3}{7}\times\frac{21}{9} \] \[ \frac{3}{7}\times\frac{21}{9} =\frac{3\times21}{7\times9} =\frac{3\times3\times7}{7\times3\times3} =1. \] Donc : \[ A=\frac27-1 =\frac27-\frac77 =-\frac57. \]

La fraction \(-\frac57\) est irréductible. Son dénominateur contient le facteur premier \(7\), donc son écriture décimale est illimitée périodique.

\[ \boxed{A=-\frac57\quad\text{et }A\text{ n’est pas un nombre décimal.}} \]

Calcul de \(B\)

\[ B=\frac{10^6\times6\times10^{-3}}{15\times10^4} \] On regroupe les nombres et les puissances de \(10\) : \[ B=\frac{6}{15}\times\frac{10^6\times10^{-3}}{10^4} =\frac25\times10^{6-3-4}. \] Donc : \[ B=\frac25\times10^{-1} =\frac25\times\frac1{10} =\frac{2}{50} =\frac1{25}. \]

Comme \(25=5^2\), le dénominateur ne contient que le facteur premier \(5\). Le nombre est donc décimal.

\[ \boxed{B=\frac1{25}=0{,}04\quad\text{et }B\text{ est un nombre décimal.}} \]

Calcul de \(C\)

On calcule d’abord la parenthèse de gauche : \[ \frac35-\frac14 =\frac{12}{20}-\frac5{20} =\frac7{20}. \] Puis la parenthèse de droite : \[ 1+\frac23=\frac33+\frac23=\frac53. \] Donc : \[ C=\frac7{20}\div\frac53 =\frac7{20}\times\frac35 =\frac{21}{100}. \]

Comme \(100=2^2\times5^2\), le nombre \(C\) est décimal.

\[ \boxed{C=\frac{21}{100}=0{,}21\quad\text{et }C\text{ est un nombre décimal.}} \]

Contrôle de la réponse : Vérifie que le dénominateur final est non nul et que numérateur et dénominateur n’ont plus de facteur commun.

Exercice avancé 8 — Fractions composées et écriture scientifique

On pose :

\[ D=-\frac57+\frac5{21}\times\frac9{25}, \qquad E=\frac{25}{17}\div\frac{15}{24}-\frac{11}{3}, \qquad F=\frac{12\times10\times(10^3)^2}{24\times10^2}. \]

Exprimer \(D\) et \(E\) sous forme de fractions irréductibles.
Donner l’écriture scientifique de \(F\).
Expliquer quelle règle de calcul est utilisée à chaque étape.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Pour \(D\), commence par la multiplication. Pour \(E\), transforme la division par une fraction en multiplication par son inverse. Pour \(F\), utilise \((10^3)^2=10^6\), puis regroupe les puissances de \(10\).

Repérer la structure : Commence par identifier les opérations prioritaires : parenthèses, produits ou quotients, puis additions et soustractions.
Préparer les fractions : Pour une somme ou une différence, choisis un dénominateur commun. Pour une division, remplace-la par une multiplication par l’inverse.
Simplifier au bon moment : Simplifie uniquement des facteurs communs non nuls ; ne simplifie jamais à travers un signe \(+\) ou \(-\).
Contrôler le résultat : À la fin, vérifie que la fraction est irréductible et que son signe est cohérent avec les valeurs calculées.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Calcul de \(D\)

\[ D=-\frac57+\frac5{21}\times\frac9{25}. \] On calcule d’abord le produit : \[ \frac5{21}\times\frac9{25} =\frac{5\times9}{21\times25} =\frac{45}{525} =\frac3{35}. \] Donc : \[ D=-\frac57+\frac3{35} =-\frac{25}{35}+\frac3{35} =-\frac{22}{35}. \] \[ \boxed{D=-\frac{22}{35}} \]

Calcul de \(E\)

\[ E=\frac{25}{17}\div\frac{15}{24}-\frac{11}{3}. \] Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : \[ \frac{25}{17}\div\frac{15}{24} =\frac{25}{17}\times\frac{24}{15}. \] On simplifie : \[ \frac{25}{17}\times\frac{24}{15} =\frac{5\times5\times24}{17\times3\times5} =\frac{5\times8}{17} =\frac{40}{17}. \] Donc : \[ E=\frac{40}{17}-\frac{11}{3} =\frac{120}{51}-\frac{187}{51} =-\frac{67}{51}. \] \[ \boxed{E=-\frac{67}{51}} \]

Écriture scientifique de \(F\)

\[ F=\frac{12\times10\times(10^3)^2}{24\times10^2}. \] Comme \((10^3)^2=10^6\), on obtient : \[ F=\frac{12}{24}\times10^{1+6-2} =\frac12\times10^5. \] Or : \[ \frac12\times10^5=0{,}5\times10^5=5\times10^4. \] \[ \boxed{F=5\times10^4} \]

Contrôle de la réponse : Vérifie que le dénominateur final est non nul et que numérateur et dénominateur n’ont plus de facteur commun.

Exercice type Brevet 1 — Fractions et programme de calcul

On considère le nombre : \[ A=\left(\frac{7}{6}-\frac{5}{9}\right)\div\frac{11}{18} + \frac{3}{4}\times\frac{8}{15}. \]

Calculer \(A\) en détaillant les étapes.
Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Indiquer si \(A\) est supérieur ou inférieur à \(1\).

Indice méthode détaillé

Point de départ : Commence par calculer la parenthèse, puis transforme la division par une fraction en multiplication par son inverse.

Repérer la structure : Commence par identifier les opérations prioritaires : parenthèses, produits ou quotients, puis additions et soustractions.
Préparer les fractions : Pour une somme ou une différence, choisis un dénominateur commun. Pour une division, remplace-la par une multiplication par l’inverse.
Simplifier au bon moment : Simplifie uniquement des facteurs communs non nuls ; ne simplifie jamais à travers un signe \(+\) ou \(-\).
Contrôler le résultat : À la fin, vérifie que la fraction est irréductible et que son signe est cohérent avec les valeurs calculées.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ \frac76-\frac59 = \frac{21}{18}-\frac{10}{18} = \frac{11}{18}. \] Donc : \[ \left(\frac76-\frac59\right)\div\frac{11}{18} = \frac{11}{18}\div\frac{11}{18} = 1. \] Ensuite : \[ \frac34\times\frac{8}{15} = \frac{24}{60} = \frac25. \] Ainsi : \[ A=1+\frac25=\frac75. \]

Réponse finale : \[ \boxed{A=\frac75} \] donc \(A\gt 1\).

Contrôle de la réponse : Vérifie que le dénominateur final est non nul et que numérateur et dénominateur n’ont plus de facteur commun.

Exercice type Brevet 2 — Puissances de 10 et écriture scientifique

Une bactérie mesure environ \(2{,}4\times10^{-6}\) m. On aligne \(5\times10^4\) bactéries identiques.

Calculer la longueur totale en mètres.
Donner le résultat en écriture scientifique.
Convertir cette longueur en centimètres.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Multiplie les nombres décimaux entre eux, puis additionne les exposants de \(10\).

Séparer les rôles : Traite d’un côté les coefficients numériques et de l’autre les puissances de même base.
Appliquer les lois : Utilise produit : addition des exposants ; quotient : soustraction des exposants ; puissance d’une puissance : multiplication des exposants.
Normaliser : Si une écriture scientifique est demandée, termine sous la forme \(a\times10^n\) avec \(1\leq a\lt 10\).
Vérifier : Contrôle l’ordre de grandeur : le signe et l’exposant final doivent être compatibles avec le nombre de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ L=2{,}4\times10^{-6}\times5\times10^4. \] \[ L=12\times10^{-2}=1{,}2\times10^{-1}\ \text{m}. \] Comme \(1\ \text{m}=100\ \text{cm}\), on obtient : \[ 1{,}2\times10^{-1}\ \text{m}=12\ \text{cm}. \]

Réponses finales : \[ \boxed{L=1{,}2\times10^{-1}\ \text{m}} \qquad \boxed{L=12\ \text{cm}} \]

Exercice type Brevet 3 — Racines carrées et longueur exacte

Dans un repère, on considère deux points \(A(1;2)\) et \(B(7;5)\). On admet que la longueur \(AB\) est donnée par : \[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}. \]

Calculer la longueur \(AB\).
Donner la valeur exacte sous forme \(a\sqrt b\), avec \(b\) le plus petit possible.
Donner une valeur approchée au dixième.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Calcule les différences de coordonnées, puis simplifie la racine carrée obtenue.

Chercher les carrés parfaits : Écris chaque radicande sous la forme « carré parfait × facteur restant », par exemple \(75=25\times3\).
Extraire les carrés : Utilise \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt b\) lorsque \(a\geq0\).
Réduire : On additionne ou soustrait seulement des termes portant exactement la même racine.
Contrôler : Élève mentalement les facteurs extraits au carré pour vérifier que tu retrouves bien le radicande initial.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ AB=\sqrt{(7-1)^2+(5-2)^2} = \sqrt{6^2+3^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45}. \] Or : \[ \sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt5. \] Une valeur approchée est : \[ 3\sqrt5\approx 6{,}7. \]

Réponses finales : \[ \boxed{AB=3\sqrt5} \qquad \boxed{AB\approx6{,}7} \]

Contrôle de la réponse : Vérifie que chaque extraction correspond bien à un carré parfait et que seuls des radicaux de même nature ont été regroupés.

Exercice type Brevet 4 — PGCD et paquets identiques

Un professeur dispose de \(84\) stylos bleus et de \(126\) stylos rouges. Il veut préparer le plus grand nombre possible de lots identiques, en utilisant tous les stylos.

Décomposer \(84\) et \(126\) en produits de facteurs premiers.
Déterminer le nombre maximal de lots.
Indiquer la composition de chaque lot.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Le nombre maximal de lots identiques correspond au PGCD de \(84\) et \(126\).

Décomposer : Écris les entiers comme produits de facteurs premiers avant de chercher un PGCD, un PPCM ou une simplification.
Choisir les exposants : Pour le PGCD, prends les facteurs communs avec les plus petits exposants ; pour le PPCM, prends tous les facteurs avec les plus grands exposants.
Interpréter : Relie le résultat numérique au contexte : nombre maximal de lots, durée minimale de synchronisation, ou fraction irréductible.
Contrôler : Vérifie que le PGCD divise bien tous les nombres concernés ou que le PPCM est bien un multiple de chacun.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ 84=2^2\times3\times7, \qquad 126=2\times3^2\times7. \] Les facteurs communs avec les plus petits exposants sont : \[ 2\times3\times7=42. \] Donc : \[ \operatorname{PGCD}(84;126)=42. \] On peut préparer \(42\) lots. Chaque lot contient : \[ \frac{84}{42}=2\ \text{stylos bleus} \qquad \frac{126}{42}=3\ \text{stylos rouges}. \]

Réponse finale : \[ \boxed{42\ \text{lots de }2\ \text{stylos bleus et }3\ \text{stylos rouges}} \]

Contrôle de la réponse : Recompose les nombres à partir de leurs facteurs premiers et vérifie la propriété attendue du PGCD ou du PPCM.

Exercice type Brevet 5 — PPCM et retour en même temps

Deux bus partent du même arrêt à \(8\) h. Le premier repasse toutes les \(18\) minutes et le second toutes les \(24\) minutes.

Décomposer \(18\) et \(24\) en produits de facteurs premiers.
Déterminer au bout de combien de minutes les deux bus repasseront ensemble.
Donner l’heure du prochain passage commun.

Indice méthode détaillé

Point de départ : On cherche le plus petit multiple commun non nul de \(18\) et \(24\).

Décomposer : Écris les entiers comme produits de facteurs premiers avant de chercher un PGCD, un PPCM ou une simplification.
Choisir les exposants : Pour le PGCD, prends les facteurs communs avec les plus petits exposants ; pour le PPCM, prends tous les facteurs avec les plus grands exposants.
Interpréter : Relie le résultat numérique au contexte : nombre maximal de lots, durée minimale de synchronisation, ou fraction irréductible.
Contrôler : Vérifie que le PGCD divise bien tous les nombres concernés ou que le PPCM est bien un multiple de chacun.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ 18=2\times3^2, \qquad 24=2^3\times3. \] Donc : \[ \operatorname{PPCM}(18;24)=2^3\times3^2=72. \] Les deux bus repasseront ensemble au bout de \(72\) minutes, c’est-à-dire \(1\) h \(12\) min après \(8\) h.

Réponse finale : \[ \boxed{9\ \text{h}\ 12} \]

Contrôle de la réponse : Recompose les nombres à partir de leurs facteurs premiers et vérifie la propriété attendue du PGCD ou du PPCM.

Exercice type Brevet 6 — Décomposition en facteurs premiers

Cet exercice est inspiré de situations classiques du Brevet 2025.

Décomposer \(1050\) en produit de facteurs premiers.
Décomposer \(390\) en produit de facteurs premiers.
En déduire le PGCD de \(1050\) et \(390\).
Rendre la fraction \(\dfrac{390}{1050}\) irréductible.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Commencer par diviser par les petits nombres premiers : \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), etc.

Décomposer : Écris les entiers comme produits de facteurs premiers avant de chercher un PGCD, un PPCM ou une simplification.
Choisir les exposants : Pour le PGCD, prends les facteurs communs avec les plus petits exposants ; pour le PPCM, prends tous les facteurs avec les plus grands exposants.
Interpréter : Relie le résultat numérique au contexte : nombre maximal de lots, durée minimale de synchronisation, ou fraction irréductible.
Contrôler : Vérifie que le PGCD divise bien tous les nombres concernés ou que le PPCM est bien un multiple de chacun.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ 1050 = 105\times 10 = (3\times5\times7)\times(2\times5) = 2\times3\times5^2\times7. \] \[ 390 = 39\times10 = (3\times13)\times(2\times5) = 2\times3\times5\times13. \] Les facteurs communs sont : \[ 2,\quad 3,\quad 5. \] Donc : \[ \operatorname{PGCD}(1050;390)=2\times3\times5=30. \] On simplifie alors : \[ \frac{390}{1050} = \frac{390\div30}{1050\div30} = \frac{13}{35}. \]

Réponse finale : \[ \boxed{1050=2\times3\times5^2\times7} \] \[ \boxed{390=2\times3\times5\times13} \] \[ \boxed{\operatorname{PGCD}(1050;390)=30} \qquad \boxed{\frac{390}{1050}=\frac{13}{35}} \]

Contrôle de la réponse : Recompose les nombres à partir de leurs facteurs premiers et vérifie la propriété attendue du PGCD ou du PPCM.

Exercice type Brevet 7 — QCM : écriture scientifique

Pour chaque question, choisir la bonne réponse et justifier rapidement.

Question	A	B	C	D
Quel nombre correspond à \(8,6\times10^{-4}\) ?	\(86000\)	\(0,00086\)	\(-0,00086\)	\(0,000086\)
Quelle est l’écriture scientifique de \(0,0042\) ?	\(42\times10^{-4}\)	\(4,2\times10^{-3}\)	\(0,42\times10^{-2}\)	\(4,2\times10^3\)
Calculer \(3\times10^5\times2\times10^{-2}\).	\(6\times10^3\)	\(6\times10^7\)	\(5\times10^3\)	\(6\times10^{-10}\)

Indice méthode détaillé

Point de départ : En écriture scientifique, le nombre doit être de la forme \(a\times10^n\), avec \(1\leq a<10\).

Séparer les rôles : Traite d’un côté les coefficients numériques et de l’autre les puissances de même base.
Appliquer les lois : Utilise produit : addition des exposants ; quotient : soustraction des exposants ; puissance d’une puissance : multiplication des exposants.
Normaliser : Si une écriture scientifique est demandée, termine sous la forme \(a\times10^n\) avec \(1\leq a\lt 10\).
Vérifier : Contrôle l’ordre de grandeur : le signe et l’exposant final doivent être compatibles avec le nombre de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\(8,6\times10^{-4}\) signifie que l’on déplace la virgule de \(4\) rangs vers la gauche :

\[ 8,6\times10^{-4}=0,00086. \]

Donc la bonne réponse à la première question est B.

\[ 0,0042 = 4,2\times10^{-3}. \]

Donc la bonne réponse à la deuxième question est B.

\[ 3\times10^5\times2\times10^{-2} = 6\times10^{5-2} = 6\times10^3. \]

Donc la bonne réponse à la troisième question est A.

Réponses finales : \[ \boxed{B} \qquad \boxed{B} \qquad \boxed{A} \]

Exercice type Brevet 8 — Lots de poissons et PGCD

Un magasin a reçu \(350\) poissons de type A et \(300\) poissons de type B. La responsable veut constituer le plus grand nombre possible de lots identiques.

Dans chaque lot, il doit y avoir le même nombre de poissons de type A, le même nombre de poissons de type B, et tous les poissons doivent être utilisés.

Décomposer \(300\) en produit de facteurs premiers.
Décomposer \(350\) en produit de facteurs premiers.
Déterminer le nombre maximal de lots identiques que l’on peut constituer.
Donner la composition de chaque lot.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Le nombre maximal de lots identiques est le PGCD de \(350\) et \(300\).

Décomposer : Écris les entiers comme produits de facteurs premiers avant de chercher un PGCD, un PPCM ou une simplification.
Choisir les exposants : Pour le PGCD, prends les facteurs communs avec les plus petits exposants ; pour le PPCM, prends tous les facteurs avec les plus grands exposants.
Interpréter : Relie le résultat numérique au contexte : nombre maximal de lots, durée minimale de synchronisation, ou fraction irréductible.
Contrôler : Vérifie que le PGCD divise bien tous les nombres concernés ou que le PPCM est bien un multiple de chacun.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ 300 = 3\times100 = 3\times 2^2\times5^2 = 2^2\times3\times5^2. \] \[ 350 = 35\times10 = (5\times7)\times(2\times5) = 2\times5^2\times7. \] Les facteurs communs sont : \[ 2\times5^2 = 2\times25=50. \] Donc : \[ \operatorname{PGCD}(350;300)=50. \] On peut donc constituer \(50\) lots identiques.

Dans chaque lot :

\[ \frac{350}{50}=7 \qquad\text{et}\qquad \frac{300}{50}=6. \]

Réponse finale : \[ \boxed{50\ \text{lots}} \] avec \[ \boxed{7\ \text{poissons de type A et }6\ \text{poissons de type B par lot}.} \]

Contrôle de la réponse : Recompose les nombres à partir de leurs facteurs premiers et vérifie la propriété attendue du PGCD ou du PPCM.

Exercice type Brevet 9 — Fractions et quantité utilisée

Un réservoir contient \(60\) litres d’eau. On utilise d’abord les \(\dfrac{2}{5}\) du réservoir, puis les \(\dfrac{3}{4}\) de ce qui reste.

Quelle quantité d’eau est utilisée au premier prélèvement ?
Quelle quantité d’eau reste-t-il après le premier prélèvement ?
Quelle quantité d’eau est utilisée au deuxième prélèvement ?
Quelle quantité d’eau reste-t-il à la fin ?

Indice méthode détaillé

Point de départ : Attention : le deuxième prélèvement porte sur ce qui reste, pas sur la quantité de départ.

Repérer la structure : Commence par identifier les opérations prioritaires : parenthèses, produits ou quotients, puis additions et soustractions.
Préparer les fractions : Pour une somme ou une différence, choisis un dénominateur commun. Pour une division, remplace-la par une multiplication par l’inverse.
Simplifier au bon moment : Simplifie uniquement des facteurs communs non nuls ; ne simplifie jamais à travers un signe \(+\) ou \(-\).
Contrôler le résultat : À la fin, vérifie que la fraction est irréductible et que son signe est cohérent avec les valeurs calculées.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Premier prélèvement : \[ \frac{2}{5}\times60 = 2\times12 = 24. \] Il reste donc : \[ 60-24=36. \] Deuxième prélèvement : \[ \frac{3}{4}\times36 = 3\times9 = 27. \] Il reste finalement : \[ 36-27=9. \]

Réponse finale : \[ \boxed{24\ \text{L}} \qquad \boxed{36\ \text{L}} \qquad \boxed{27\ \text{L}} \qquad \boxed{9\ \text{L}} \]

Contrôle de la réponse : Vérifie que le dénominateur final est non nul et que numérateur et dénominateur n’ont plus de facteur commun.

Exercice type Brevet 10 — Racines carrées et simplification

On considère le nombre : \[ A = 3\sqrt{50}-2\sqrt{18}+\sqrt{72}. \]

Simplifier \(\sqrt{50}\), \(\sqrt{18}\) et \(\sqrt{72}\).
Écrire \(A\) sous la forme \(a\sqrt{2}\), où \(a\) est un entier.
Calculer \(A^2\).

Indice méthode détaillé

Point de départ : Faire apparaître des carrés parfaits : \(50=25\times2\), \(18=9\times2\), \(72=36\times2\).

Chercher les carrés parfaits : Écris chaque radicande sous la forme « carré parfait × facteur restant », par exemple \(75=25\times3\).
Extraire les carrés : Utilise \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt b\) lorsque \(a\geq0\).
Réduire : On additionne ou soustrait seulement des termes portant exactement la même racine.
Contrôler : Élève mentalement les facteurs extraits au carré pour vérifier que tu retrouves bien le radicande initial.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt2. \] \[ \sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt2. \] \[ \sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2. \] Donc : \[ A=3\times5\sqrt2-2\times3\sqrt2+6\sqrt2. \] \[ A=15\sqrt2-6\sqrt2+6\sqrt2=15\sqrt2. \] Alors : \[ A^2=(15\sqrt2)^2 = 15^2\times2 = 225\times2 = 450. \]

Réponse finale : \[ \boxed{A=15\sqrt2} \qquad \boxed{A^2=450} \]

Contrôle de la réponse : Vérifie que chaque extraction correspond bien à un carré parfait et que seuls des radicaux de même nature ont été regroupés.

Partie VI — Bilan méthode

Ce qu’il faut savoir faire sans hésiter

Réduire une expression avec fractions.
Manipuler les puissances de \(10\).
Écrire un nombre en notation scientifique.
Simplifier une somme de racines carrées.
Décomposer un entier en facteurs premiers.
Utiliser le PGCD pour rendre une fraction irréductible.
Utiliser le PPCM pour résoudre un problème de synchronisation.
Résoudre un problème type Brevet avec des lots identiques, une écriture scientifique ou une fraction d’une quantité.

Conclusion : cette page reprend exactement le style du fichier de révision fourni : même hero, mêmes cartes, mêmes encadrés, mêmes détails ouvrants et même structure premium.