Mathématiques — Révision Brevet 3e — Chapitre 6

Chapitre 6 — Grandeurs, espace et mesures

Aires, volumes, conversions, grandeurs composées, solides usuels et problèmes de mesures. Une page complète pour revoir les formules, éviter les erreurs d’unités et s’entraîner avec des exercices solides de niveau Brevet.

Aires Volumes Conversions Vitesses Débits Masse volumique Agrandissements Brevet

Méthode générale

Pour réussir un exercice de grandeurs et mesures, il faut d’abord identifier la grandeur cherchée : longueur, aire, volume, capacité, vitesse, débit ou masse volumique. Ensuite, on choisit la formule, on convertit toutes les données dans des unités cohérentes, puis on conclut avec une unité correcte.

Identifier Choisir la formule Convertir Calculer Conclure

Point clé : en géométrie et dans les problèmes de mesures, la plupart des erreurs viennent des unités. On ne mélange pas des centimètres avec des mètres, ni des litres avec des mètres cubes sans convertir.

Partie I — Questions de cours

Cette partie vérifie les formules et automatismes indispensables : aires, volumes, conversions, grandeurs composées et effets d’un agrandissement ou d’une réduction.

1. Aires — formules directes

Quelle est la formule de l’aire d’un rectangle ?
Quelle est la formule de l’aire d’un triangle ?
Quelle est la formule de l’aire d’un disque ?
Quelle est la formule de l’aire d’un trapèze ?
Quelle différence y a-t-il entre aire et périmètre ?
Dans quelle unité exprime-t-on une aire ?

Réponses directes

Rectangle : \[ A=L\times \ell. \]
Triangle : \[ A=\frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}. \]
Disque : \[ A=\pi r^2. \]
Trapèze : \[ A=\frac{(B+b)\times h}{2}. \]
Le périmètre mesure une longueur autour d’une figure ; l’aire mesure une surface.
Une aire s’exprime en unité carrée : \(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\), \(\text{km}^2\), etc.

2. Volumes — formules directes

Quelle est la formule du volume d’un pavé droit ?
Quelle est la formule du volume d’un cylindre ?
Quelle est la formule du volume d’une pyramide ?
Quelle est la formule du volume d’un cône ?
Quelle est la formule du volume d’une boule ?
Dans quelle unité exprime-t-on un volume ?

Réponses directes

\(V=L\times \ell\times h\).
\(V=\pi r^2h\).
\(V=\dfrac{\text{aire de base}\times h}{3}\).
\(V=\dfrac{\pi r^2h}{3}\).
\(V=\dfrac43\pi r^3\).
Un volume s’exprime en unité cubique : \(\text{cm}^3\), \(\text{m}^3\), etc.

3. Conversions — unités à connaître

Combien de centimètres y a-t-il dans un mètre ?
Combien de centimètres carrés y a-t-il dans un mètre carré ?
Combien de centimètres cubes y a-t-il dans un mètre cube ?
Quel est le lien entre litre et décimètre cube ?
Quel est le lien entre millilitre et centimètre cube ?
Pourquoi \(30\) minutes ne font-elles pas \(0{,}30\) heure ?

Réponses directes

\[ 1\text{ m}=100\text{ cm}. \] \[ 1\text{ m}^2=10\,000\text{ cm}^2. \] \[ 1\text{ m}^3=1\,000\,000\text{ cm}^3. \] \[ 1\text{ L}=1\text{ dm}^3 \qquad\text{et}\qquad 1\text{ mL}=1\text{ cm}^3. \]

Comme \(1\) heure contient \(60\) minutes, on a : \[ 30\text{ min}=\frac{30}{60}\text{ h}=0{,}5\text{ h}. \]

4. Grandeurs composées

Quelle est la formule de la vitesse moyenne ?
Quelle est la formule du débit ?
Quelle est la formule de la masse volumique ?
Si les longueurs sont multipliées par \(k\), par combien les aires sont-elles multipliées ?
Si les longueurs sont multipliées par \(k\), par combien les volumes sont-ils multipliés ?

Réponses directes

\[ v=\frac{d}{t}, \qquad \text{débit}=\frac{\text{volume}}{\text{temps}}, \qquad \rho=\frac{m}{V}. \]

Si les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\).

Bilan de la Partie I : il faut connaître les formules, mais surtout savoir dans quelles unités les appliquer.

Partie II — Cours essentiel

1. Aires usuelles

Figure	Formule	Attention
Rectangle	\(A=L\times \ell\)	Longueur et largeur dans la même unité
Triangle	\(A=\dfrac{b\times h}{2}\)	La hauteur doit correspondre à la base choisie
Disque	\(A=\pi r^2\)	Utiliser le rayon, pas le diamètre
Trapèze	\(A=\dfrac{(B+b)\times h}{2}\)	\(B\) et \(b\) sont les deux bases parallèles

2. Volumes usuels

Solide	Formule	Remarque
Pavé droit	\(V=L\times \ell\times h\)	Produit des trois dimensions
Cylindre	\(V=\pi r^2h\)	Base circulaire
Prisme droit	\(V=\text{aire de base}\times h\)	La base peut être un triangle ou un polygone
Pyramide	\(V=\dfrac{\text{aire de base}\times h}{3}\)	Hauteur perpendiculaire à la base
Cône	\(V=\dfrac{\pi r^2h}{3}\)	Un tiers du cylindre correspondant
Boule	\(V=\dfrac43\pi r^3\)	Utiliser le rayon

3. Solides usuels

Attention : pour le cylindre, le cône, le disque et la boule, les formules utilisent le rayon. Si on donne le diamètre, il faut d’abord le diviser par \(2\).

4. Grandeurs composées

Une grandeur composée relie plusieurs grandeurs simples. Les trois plus fréquentes au Brevet sont la vitesse, le débit et la masse volumique.

\[ v=\frac{d}{t}, \qquad \text{débit}=\frac{\text{volume}}{\text{temps}}, \qquad \rho=\frac{m}{V}. \]

Exemples d’unités : \(\text{km/h}\), \(\text{m/s}\), \(\text{L/min}\), \(\text{m}^3/\text{h}\), \(\text{g/cm}^3\), \(\text{kg/m}^3\).

Partie III — Méthodes directes

1. Résoudre un problème de volume

Identifier le solide ou découper le solide en morceaux simples.
Écrire la formule correcte.
Convertir toutes les longueurs dans la même unité.
Calculer le volume.
Convertir si besoin en litres ou en millilitres.

Exemple : si le volume est en \(\text{m}^3\), alors \[ 1\text{ m}^3=1000\text{ L}. \]

2. Résoudre un problème de vitesse

On utilise toujours la formule :

\[ v=\frac{d}{t}. \]

Pour obtenir une vitesse en \(\text{km/h}\), la distance doit être en kilomètres et le temps en heures.

Ne pas écrire \(45\text{ min}=0{,}45\text{ h}\). En réalité : \[ 45\text{ min}=\frac{45}{60}\text{ h}=0{,}75\text{ h}. \]

3. Utiliser un coefficient d’agrandissement

Si les longueurs sont multipliées par \(k\), alors :

\[ \text{aires multipliées par }k^2, \qquad \text{volumes multipliés par }k^3. \]

Pour une réduction de rapport \(0{,}5\), les volumes sont multipliés par \[ 0{,}5^3=0{,}125. \]

Partie IV — Erreurs classiques à éviter

1. Utiliser le diamètre à la place du rayon

Pour un disque, un cylindre, un cône ou une boule, les formules utilisent le rayon.

Si le diamètre vaut \(18\text{ cm}\), alors le rayon vaut \(9\text{ cm}\), pas \(18\text{ cm}\).

2. Convertir les aires comme des longueurs

Une aire est une grandeur au carré. Donc les conversions ne se font pas comme les longueurs.

\[ 1\text{ m}=100\text{ cm} \qquad\text{mais}\qquad 1\text{ m}^2=10\,000\text{ cm}^2. \]

3. Convertir les volumes comme des longueurs

\[ 1\text{ m}=100\text{ cm} \qquad\text{mais}\qquad 1\text{ m}^3=1\,000\,000\text{ cm}^3. \]

Une unité cubique change de facteur \(100^3\), pas de facteur \(100\).

4. Mal interpréter une vitesse moyenne

Si une pause est incluse dans le temps total, la vitesse moyenne diminue. Il faut donc bien lire l’énoncé : vitesse pendant le déplacement ou vitesse sur toute la durée écoulée.

Partie V — Exercices avancés corrigés

Exercice avancé 1 — Jardin, aire composée et achat de graines

Un jardin rectangulaire mesure \(24\text{ m}\) de long et \(15\text{ m}\) de large. On y installe une terrasse rectangulaire de dimensions \(8\text{ m}\times5\text{ m}\) et un bassin circulaire de rayon \(2{,}5\text{ m}\).

Calculer l’aire totale du jardin.
Calculer l’aire de la terrasse.
Calculer l’aire du bassin.
Calculer l’aire restante de pelouse.
Un sac de graines couvre \(25\text{ m}^2\). Combien de sacs faut-il acheter ?

Indice méthode

Aire de pelouse = aire du jardin − aire de la terrasse − aire du bassin. Pour le nombre de sacs, il faut arrondir à l’entier supérieur.

Correction détaillée

\[ A_{\text{jardin}}=24\times15=360\text{ m}^2. \] \[ A_{\text{terrasse}}=8\times5=40\text{ m}^2. \] \[ A_{\text{bassin}}=\pi\times2{,}5^2=6{,}25\pi\approx19{,}6\text{ m}^2. \] \[ A_{\text{pelouse}}=360-40-6{,}25\pi\approx300{,}4\text{ m}^2. \] \[ \frac{300{,}4}{25}\approx12{,}016. \]

Il faut donc acheter : \[ \boxed{13\text{ sacs}} \]

Exercice avancé 2 — Cuve cylindrique, conversion et remplissage réel

Une cuve cylindrique a un diamètre de \(80\text{ cm}\) et une hauteur de \(1{,}5\text{ m}\). Elle n’est remplie qu’à \(85\%\).

Convertir le diamètre en mètres.
Déterminer le rayon de la cuve.
Calculer son volume total en \(\text{m}^3\).
Convertir ce volume en litres.
Calculer le volume d’eau réellement contenu.

Indice méthode

\(80\text{ cm}=0{,}80\text{ m}\), donc le rayon vaut \(0{,}40\text{ m}\). Puis \(1\text{ m}^3=1000\text{ L}\).

Correction détaillée

\[ d=80\text{ cm}=0{,}80\text{ m}, \qquad r=0{,}40\text{ m}. \] \[ V=\pi r^2h=\pi\times0{,}40^2\times1{,}5 =0{,}24\pi\approx0{,}754\text{ m}^3. \] \[ 0{,}754\text{ m}^3\approx754\text{ L}. \] \[ 754\times0{,}85\approx640{,}9. \]

Volume d’eau réel : \[ \boxed{\approx641\text{ L}} \]

Exercice avancé 3 — Cône réduit et vérification par deux méthodes

Un cône de révolution a un rayon de base \(6\text{ cm}\) et une hauteur de \(18\text{ cm}\). On fabrique une maquette réduite de rapport \(0{,}5\).

Calculer le volume du cône initial.
Par quel nombre le volume est-il multiplié dans la réduction ?
Calculer le volume du cône réduit.
Vérifier en calculant directement avec le rayon réduit et la hauteur réduite.

Correction détaillée

\[ V=\frac{\pi r^2h}{3} =\frac{\pi\times6^2\times18}{3} =216\pi\text{ cm}^3. \]

Pour une réduction de rapport \(k=0{,}5\), le volume est multiplié par :

\[ k^3=0{,}5^3=0{,}125. \] \[ V_{\text{réduit}}=216\pi\times0{,}125=27\pi\approx84{,}8. \]

Vérification : \[ r'=3, \qquad h'=9. \]

\[ V'=\frac{\pi\times3^2\times9}{3}=27\pi. \]

\[ \boxed{V_{\text{réduit}}=27\pi\text{ cm}^3\approx84{,}8\text{ cm}^3} \]

Exercice avancé 4 — Vitesse, pause et moyenne réelle

Un randonneur parcourt \(18\text{ km}\). Il marche pendant \(2\text{ h }15\text{ min}\), puis fait une pause de \(20\) minutes. Ensuite, il marche encore \(45\) minutes.

Calculer le temps total écoulé en heures.
Calculer le temps réel de marche en heures.
Calculer la vitesse moyenne en tenant compte de la pause.
Calculer la vitesse moyenne uniquement pendant la marche.
Comparer les deux vitesses.

Correction détaillée

\[ 2\text{ h }15\text{ min}+20\text{ min}+45\text{ min} =3\text{ h }20\text{ min}. \] \[ 3\text{ h }20\text{ min}=3+\frac{20}{60}=\frac{10}{3}\text{ h}. \] \[ 2\text{ h }15\text{ min}+45\text{ min}=3\text{ h}. \] \[ v_{\text{avec pause}}=\frac{18}{10/3}=5{,}4\text{ km/h}. \] \[ v_{\text{marche}}=\frac{18}{3}=6\text{ km/h}. \]

\[ \boxed{5{,}4\text{ km/h avec pause}} \qquad \boxed{6\text{ km/h en marche réelle}} \]

Exercice avancé 5 — Masse volumique et objet composé

Un objet est formé d’un pavé droit en aluminium et d’un cylindre en acier.

Pavé : \(12\text{ cm}\times 8\text{ cm}\times5\text{ cm}\).
Cylindre : rayon \(3\text{ cm}\), hauteur \(10\text{ cm}\).
Masse volumique de l’aluminium : \(2{,}7\text{ g/cm}^3\).
Masse volumique de l’acier : \(7{,}8\text{ g/cm}^3\).

Calculer le volume du pavé.
Calculer le volume du cylindre.
Calculer la masse du pavé.
Calculer la masse du cylindre.
Calculer la masse totale de l’objet au gramme près.

Correction détaillée

\[ V_{\text{pavé}}=12\times8\times5=480\text{ cm}^3. \] \[ V_{\text{cylindre}}=\pi\times3^2\times10=90\pi\approx282{,}7\text{ cm}^3. \] \[ m_{\text{alu}}=2{,}7\times480=1296\text{ g}. \] \[ m_{\text{acier}}=7{,}8\times90\pi\approx2205\text{ g}. \] \[ m_{\text{totale}}\approx1296+2205=3501\text{ g}. \]

\[ \boxed{m_{\text{totale}}\approx3501\text{ g}} \] soit environ \(3{,}5\text{ kg}\).

Exercice avancé 6 — Piscine, volume et coût de remplissage

Une piscine a la forme d’un pavé droit de longueur \(8\text{ m}\), largeur \(4\text{ m}\) et profondeur \(1{,}5\text{ m}\). On la remplit à \(90\%\). Le prix de l’eau est de \(4{,}20\) € par \(\text{m}^3\).

Calculer le volume maximal de la piscine.
Calculer le volume d’eau réellement versé.
Convertir ce volume en litres.
Calculer le coût du remplissage.

Correction détaillée

\[ V_{\max}=8\times4\times1{,}5=48\text{ m}^3. \] \[ V_{\text{eau}}=48\times0{,}90=43{,}2\text{ m}^3. \] \[ 43{,}2\text{ m}^3=43\,200\text{ L}. \] \[ \text{Coût}=43{,}2\times4{,}20=181{,}44. \]

\[ \boxed{43\,200\text{ L}} \qquad \boxed{181{,}44\text{ €}} \]

Exercice avancé 7 — Débit d’un robinet et durée de remplissage

Un robinet remplit un réservoir de \(450\) litres en \(18\) minutes.

Calculer le débit en litres par minute.
Convertir ce débit en litres par heure.
Combien de temps faut-il pour remplir \(750\) litres au même débit ?
Exprimer ce temps en heures et minutes.

Correction détaillée

\[ \text{débit}=\frac{450}{18}=25\text{ L/min}. \] \[ 25\times60=1500\text{ L/h}. \] \[ t=\frac{750}{25}=30\text{ min}. \]

\[ \boxed{25\text{ L/min}} \qquad \boxed{1500\text{ L/h}} \qquad \boxed{30\text{ min}} \]

Exercice avancé 8 — Pavé droit percé par un cylindre

Un bloc de bois a la forme d’un pavé droit de dimensions \(20\text{ cm}\), \(12\text{ cm}\) et \(8\text{ cm}\). On perce un trou cylindrique de rayon \(2\text{ cm}\) sur toute la hauteur de \(8\text{ cm}\).

Calculer le volume du pavé droit.
Calculer le volume du trou cylindrique.
Calculer le volume de bois restant.
Si la masse volumique du bois est \(0{,}65\text{ g/cm}^3\), calculer la masse restante.

Correction détaillée

\[ V_{\text{pavé}}=20\times12\times8=1920\text{ cm}^3. \] \[ V_{\text{trou}}=\pi\times2^2\times8=32\pi\approx100{,}5\text{ cm}^3. \] \[ V_{\text{restant}}=1920-32\pi\approx1819{,}5\text{ cm}^3. \] \[ m=0{,}65\times1819{,}5\approx1182{,}7\text{ g}. \]

\[ \boxed{V_{\text{restant}}\approx1819{,}5\text{ cm}^3} \qquad \boxed{m\approx1183\text{ g}} \]

Exercice avancé 9 — Boule et boîte cubique

Une boule de rayon \(5\text{ cm}\) est placée dans une boîte cubique de côté \(12\text{ cm}\).

Calculer le volume de la boule.
Calculer le volume de la boîte.
Calculer le volume vide dans la boîte.
Calculer le pourcentage du volume de la boîte occupé par la boule.

Correction détaillée

\[ V_{\text{boule}}=\frac43\pi\times5^3 =\frac{500}{3}\pi\approx523{,}6\text{ cm}^3. \] \[ V_{\text{cube}}=12^3=1728\text{ cm}^3. \] \[ V_{\text{vide}}=1728-523{,}6=1204{,}4\text{ cm}^3. \] \[ \frac{523{,}6}{1728}\times100\approx30{,}3\%. \]

\[ \boxed{\text{La boule occupe environ }30{,}3\%\text{ de la boîte.}} \]

Exercice avancé 10 — Problème complet type Brevet : pots de peinture

Une entreprise fabrique des pots de peinture cylindriques. Chaque pot a un diamètre de \(18\text{ cm}\) et une hauteur de \(25\text{ cm}\). La peinture est vendue \(8{,}90\) € le litre. On remplit chaque pot à \(95\%\).

Calculer le rayon du pot.
Calculer le volume maximal d’un pot en \(\text{cm}^3\).
Convertir ce volume en litres.
Calculer la quantité réelle de peinture dans un pot.
Calculer le prix de la peinture contenue dans un pot.
Une commande contient \(120\) pots. Calculer le volume total de peinture vendu.

Indice méthode

\(1\text{ L}=1000\text{ cm}^3\). Le diamètre vaut \(18\text{ cm}\), donc le rayon vaut \(9\text{ cm}\).

Correction détaillée

\[ r=9\text{ cm}. \] \[ V=\pi r^2h=\pi\times9^2\times25 =2025\pi\approx6361{,}7\text{ cm}^3. \] \[ 6361{,}7\text{ cm}^3\approx6{,}362\text{ L}. \] \[ 6{,}362\times0{,}95\approx6{,}044\text{ L}. \] \[ \text{Prix}=6{,}044\times8{,}90\approx53{,}79\text{ €}. \] \[ 120\times6{,}044\approx725{,}3\text{ L}. \]

\[ \boxed{\text{Un pot contient environ }6{,}04\text{ L}} \] \[ \boxed{\text{Prix de peinture par pot }\approx53{,}79\text{ €}} \] \[ \boxed{\text{Volume total pour }120\text{ pots }\approx725{,}3\text{ L}} \]

Exercice avancé 11 — Agrandissement, aire et volume

Une maquette d’un solide est réalisée à l’échelle \(1:4\). Sur la maquette, une longueur mesure \(7\text{ cm}\), une aire mesure \(45\text{ cm}^2\) et un volume mesure \(120\text{ cm}^3\).

Quel est le coefficient d’agrandissement pour obtenir le solide réel ?
Calculer la longueur réelle correspondante.
Calculer l’aire réelle correspondante.
Calculer le volume réel correspondant.

Correction détaillée

L’échelle \(1:4\) signifie que le réel est \(4\) fois plus grand que la maquette. Donc \(k=4\).

\[ L_{\text{réel}}=7\times4=28\text{ cm}. \] \[ A_{\text{réel}}=45\times4^2=45\times16=720\text{ cm}^2. \] \[ V_{\text{réel}}=120\times4^3=120\times64=7680\text{ cm}^3. \]

\[ \boxed{28\text{ cm}}, \qquad \boxed{720\text{ cm}^2}, \qquad \boxed{7680\text{ cm}^3} \]

Exercice avancé 12 — Synthèse finale : citerne, débit et bidons

Une citerne cylindrique de rayon \(1{,}2\text{ m}\) et de hauteur \(2{,}5\text{ m}\) est remplie à \(80\%\). On l’utilise pour remplir des bidons de \(15\text{ L}\). Le débit de sortie est de \(18\text{ L/min}\).

Calculer le volume maximal de la citerne en \(\text{m}^3\).
Calculer le volume d’eau réel dans la citerne en litres.
Calculer le nombre maximal de bidons de \(15\text{ L}\) que l’on peut remplir entièrement.
Calculer le temps nécessaire pour vider toute l’eau disponible.
Exprimer ce temps en heures et minutes.

Correction détaillée

\[ V_{\max}=\pi r^2h=\pi\times1{,}2^2\times2{,}5 =3{,}6\pi\approx11{,}31\text{ m}^3. \] \[ V_{\text{réel}}=11{,}31\times0{,}80\approx9{,}05\text{ m}^3. \] \[ 9{,}05\text{ m}^3\approx9050\text{ L}. \] \[ \frac{9050}{15}\approx603{,}3. \]

On peut donc remplir \(603\) bidons entièrement.

\[ t=\frac{9050}{18}\approx502{,}8\text{ min}. \] \[ 502{,}8\text{ min}\approx8\text{ h }23\text{ min}. \]

\[ \boxed{603\text{ bidons entièrement remplis}} \qquad \boxed{\text{environ }8\text{ h }23\text{ min}} \]

Partie VI — Bilan méthode

Type de problème	Formule / méthode	Erreur à éviter
Aire composée	Ajouter ou soustraire des aires simples	Oublier une partie de la figure
Volume d’un cylindre	\(V=\pi r^2h\)	Utiliser le diamètre au lieu du rayon
Réduction / agrandissement	Aire : \(k^2\), volume : \(k^3\)	Multiplier seulement par \(k\)
Vitesse	\(v=\dfrac{d}{t}\)	Mal convertir les minutes en heures
Masse volumique	\(m=\rho\times V\)	Mélanger \(\text{cm}^3\), \(\text{m}^3\), g et kg
Débit	\(\text{débit}=\dfrac{\text{volume}}{\text{temps}}\)	Oublier de convertir litres, minutes ou heures

À retenir : les exercices de grandeurs et mesures sont souvent des problèmes longs. Il faut lire la situation, choisir la formule, convertir avec soin et toujours écrire l’unité dans la réponse finale.