Mathématiques — Révision Brevet 3e — Chapitre 5

Chapitre 5 — Géométrie plane

Théorème de Pythagore, réciproque, contraposée, théorème de Thalès, trigonométrie dans le triangle rectangle, agrandissements, réductions et transformations du plan. Une page complète avec figures et exercices avancés corrigés.

Pythagore Thalès Trigonométrie Agrandissement Transformations Brevet

Méthode générale

En géométrie plane, il faut d’abord identifier la configuration : triangle rectangle, droites parallèles, triangle avec longueurs proportionnelles, angle dans un triangle rectangle ou transformation du plan. Ensuite, on choisit le bon théorème et on rédige proprement.

Observer Nommer Choisir Calculer Conclure
Point clé : on ne cite jamais un théorème sans vérifier ses conditions. Pour Pythagore : triangle rectangle. Pour Thalès : alignements et parallélisme. Pour la trigonométrie : triangle rectangle et angle aigu.

Sommaire

  1. Partie I — Questions de cours
  2. Partie II — Cours essentiel
  3. Partie III — Méthodes directes
  4. Partie IV — Erreurs classiques
  5. Partie V — Exercices avancés corrigés
  6. Partie VI — Bilan méthode

Partie I — Questions de cours

Les questions suivantes reprennent les propriétés indispensables à connaître pour traiter les exercices de géométrie plane au Brevet.

1. Théorème de Pythagore

  1. Dans quel type de triangle utilise-t-on le théorème de Pythagore ?
  2. Comment reconnaît-on l’hypoténuse ?
  3. Quelle est la formule si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) ?
  4. À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?
  5. À quoi sert la contraposée du théorème de Pythagore ?
Réponses directes
  1. On l’utilise dans un triangle rectangle.
  2. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est le plus grand côté.
  3. Si \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors : \[ BC^2=AB^2+AC^2. \]
  4. La réciproque sert à prouver qu’un triangle est rectangle.
  5. La contraposée sert à prouver qu’un triangle n’est pas rectangle.

2. Théorème de Thalès

  1. Quelles conditions faut-il vérifier avant d’utiliser le théorème de Thalès ?
  2. Que permet de calculer le théorème de Thalès ?
  3. Dans une configuration avec \((DE)\parallel(BC)\), quelle égalité de rapports peut-on écrire ?
  4. À quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ?
Réponses directes
  1. Il faut des points alignés et deux droites parallèles.
  2. Il permet de calculer des longueurs grâce à la proportionnalité.
  3. Si \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\) et \((DE)\parallel(BC)\), alors : \[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}. \]
  4. Elle sert à prouver que deux droites sont parallèles.

3. Trigonométrie dans le triangle rectangle

  1. Dans quel type de triangle utilise-t-on le cosinus, le sinus et la tangente ?
  2. Quelle est la formule du cosinus d’un angle aigu ?
  3. Quelle est la formule du sinus d’un angle aigu ?
  4. Quelle est la formule de la tangente d’un angle aigu ?
Réponses directes
  1. Dans un triangle rectangle.
  2. \[ \cos(\widehat{x})=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}. \]
  3. \[ \sin(\widehat{x})=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}. \]
  4. \[ \tan(\widehat{x})=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}. \]

4. Transformations du plan

  1. Quelle transformation conserve les longueurs et retourne la figure comme dans un miroir ?
  2. Quelle transformation fait tourner une figure autour d’un point ?
  3. Quelle transformation fait glisser une figure sans la tourner ?
  4. Que conserve une symétrie axiale ?
  5. Que conserve une rotation ?
Réponses directes
  1. La symétrie axiale.
  2. La rotation.
  3. La translation.
  4. Elle conserve les longueurs, les angles, les aires et l’alignement.
  5. Elle conserve aussi les longueurs, les angles, les aires et l’alignement.
Bilan de la Partie I : les théorèmes ne s’utilisent jamais seuls. Il faut d’abord vérifier la configuration, puis écrire clairement la propriété utilisée.

Partie II — Cours essentiel

1. Pythagore : calculer une longueur

Si un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors :

\[ BC^2=AB^2+AC^2. \]
Triangle rectangle pour le théorème de Pythagore Triangle ABC rectangle en A, avec AB horizontal, AC vertical et BC hypoténuse. A C B AC AB BC Hypoténuse : côté opposé à l’angle droit
Attention : l’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit. C’est elle qui est seule dans l’égalité de Pythagore.

2. Thalès : calculer une longueur avec des droites parallèles

Si \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\) et \((DE)\parallel(BC)\), alors :

\[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}. \]
Configuration de Thalès Triangle ABC avec D sur AB, E sur AC et DE parallèle à BC. A B C D E DE ∥ BC Configuration de Thalès
Rédaction type : comme \(D,A,B\) sont alignés, \(E,A,C\) sont alignés et \((DE)\parallel(BC)\), alors d’après le théorème de Thalès, on peut écrire les rapports égaux.

3. Trigonométrie : choisir la bonne formule

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu \(\widehat{x}\), on utilise :

\[ \cos(\widehat{x})=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \sin(\widehat{x})=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \tan(\widehat{x})=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}. \]
Triangle rectangle pour trigonométrie Triangle rectangle avec angle x et côtés opposé, adjacent et hypoténuse. A B C x adjacent opposé hypoténuse

4. Transformations du plan

Les transformations usuelles du plan conservent les longueurs, les angles et les aires. Elles permettent de déplacer ou retourner une figure sans la déformer.

Transformation Idée Éléments conservés
Symétrie axiale Image miroir par rapport à une droite Longueurs, angles, aires
Symétrie centrale Demi-tour autour d’un point Longueurs, angles, aires
Translation Glissement selon un vecteur Longueurs, angles, aires
Rotation Tour autour d’un centre Longueurs, angles, aires

Partie III — Méthodes directes

1. Choisir entre Pythagore, Thalès et trigonométrie

Situation Outil adapté But
Triangle rectangle avec deux longueurs connues Pythagore Calculer une troisième longueur
On veut prouver qu’un triangle est rectangle Réciproque de Pythagore Comparer les carrés
On veut prouver qu’un triangle n’est pas rectangle Contraposée de Pythagore Montrer que l’égalité des carrés est fausse
Points alignés et droites parallèles Thalès Calculer une longueur
Rapports égaux et points dans le même ordre Réciproque de Thalès Prouver un parallélisme
Triangle rectangle avec angle et longueur Trigonométrie Calculer une longueur ou un angle
Image miroir, glissement ou rotation Transformation Construire ou reconnaître une image

2. Méthode de rédaction pour Pythagore

  1. Dire dans quel triangle on travaille.
  2. Dire où se trouve l’angle droit.
  3. Identifier l’hypoténuse.
  4. Écrire le théorème de Pythagore.
  5. Remplacer par les valeurs numériques.
  6. Calculer et conclure avec l’unité.
Exemple de début de rédaction :
« Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), d’après le théorème de Pythagore, on a \(BC^2=AB^2+AC^2\). »

3. Méthode de rédaction pour Thalès

  1. Identifier les deux droites sécantes.
  2. Vérifier les alignements.
  3. Vérifier le parallélisme.
  4. Écrire les rapports égaux.
  5. Calculer la longueur demandée.
Attention : il faut bien associer les côtés correspondants : petit triangle avec grand triangle.

4. Méthode pour la trigonométrie

  1. Vérifier que le triangle est rectangle.
  2. Repérer l’angle utilisé.
  3. Nommer les côtés par rapport à cet angle : opposé, adjacent, hypoténuse.
  4. Choisir entre sinus, cosinus et tangente.
  5. Écrire l’égalité, remplacer, puis calculer.
Pour éviter les erreurs, on peut retenir : \[ \cos=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \sin=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \tan=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}. \]

Partie IV — Erreurs classiques à éviter

1. Se tromper d’hypoténuse

L’hypoténuse n’est pas toujours le côté dessiné en bas ou le côté le plus visible. C’est toujours le côté opposé à l’angle droit.

Si le triangle est rectangle en \(A\), alors l’hypoténuse est \(BC\), pas \(AB\) ni \(AC\).

2. Utiliser Thalès sans parallélisme

Le théorème de Thalès nécessite des droites parallèles. Si le parallélisme n’est pas donné ou démontré, on ne peut pas l’utiliser directement.

Ne pas écrire les rapports de Thalès sans avoir justifié les alignements et le parallélisme.

3. Confondre sinus, cosinus et tangente

Le choix dépend des côtés connus et cherchés par rapport à l’angle considéré : adjacent, opposé et hypoténuse.

Avant d’écrire une formule, entoure l’angle utilisé puis nomme les côtés : opposé, adjacent, hypoténuse.

4. Oublier le coefficient au carré pour les aires

Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\), mais les aires sont multipliées par \(k^2\).

Si les longueurs sont multipliées par \(3\), les aires sont multipliées par \(9\), pas par \(3\).

Partie V — Exercices avancés corrigés

Exercice avancé 1 — Figure composée et double utilisation de Pythagore

On considère la figure ci-dessous. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). Le point \(D\) est sur la demi-droite \([AB)\). On donne :

\[ AB=12\text{ cm},\qquad AC=5\text{ cm},\qquad BD=9\text{ cm}. \]

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

A C B D 5 cm 12 cm 9 cm BC ? CD ?
  1. Calculer la longueur \(BC\).
  2. Calculer la longueur \(AD\).
  3. Calculer la longueur \(CD\).
  4. Comparer \(BC\) et \(CD\).
Indice méthode

Commence dans le triangle rectangle \(ABC\), puis travaille dans le triangle \(ACD\). Comme \(A\), \(B\), \(D\) sont alignés, on a \(AD=AB+BD\).

Correction détaillée

1. Calcul de \(BC\)

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), d’après le théorème de Pythagore :

\[ BC^2=AB^2+AC^2. \] \[ BC^2=12^2+5^2=144+25=169. \] \[ BC=\sqrt{169}=13. \]

2. Calcul de \(AD\)

Comme \(B\) est entre \(A\) et \(D\), on a :

\[ AD=AB+BD=12+9=21. \]

3. Calcul de \(CD\)

Le triangle \(ACD\) est rectangle en \(A\). Donc :

\[ CD^2=AC^2+AD^2. \] \[ CD^2=5^2+21^2=25+441=466. \] \[ CD=\sqrt{466}\approx21{,}6. \]

4. Comparaison

\[ BC=13 \qquad\text{et}\qquad CD\approx21{,}6. \]
Réponses finales : \[ \boxed{BC=13\text{ cm}} \qquad \boxed{AD=21\text{ cm}} \qquad \boxed{CD\approx21{,}6\text{ cm}} \] Donc \(CD>BC\).

Exercice avancé 2 — Réciproque et contraposée dans la même figure

On considère les deux triangles ci-dessous. Les longueurs sont en centimètres.

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

R S T 8 15 17 M N P 7 10 12
  1. Montrer que le triangle \(RST\) est rectangle.
  2. Préciser en quel point le triangle \(RST\) est rectangle.
  3. Montrer que le triangle \(MNP\) n’est pas rectangle.
  4. Expliquer pourquoi on utilise deux raisonnements différents.
Indice méthode

Dans chaque triangle, repère d’abord le plus grand côté. Compare ensuite son carré avec la somme des carrés des deux autres côtés.

Correction détaillée

1. Triangle \(RST\)

Le plus grand côté est \(ST=17\).

\[ ST^2=17^2=289. \] \[ RS^2+RT^2=8^2+15^2=64+225=289. \]

Comme \(ST^2=RS^2+RT^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(RST\) est rectangle en \(R\).

2. Triangle \(MNP\)

Le plus grand côté est \(MP=12\).

\[ MP^2=12^2=144. \] \[ MN^2+NP^2=7^2+10^2=49+100=149. \]

Comme \(MP^2\neq MN^2+NP^2\), d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(MNP\) n’est pas rectangle.

Réponses finales : \[ \boxed{RST\text{ est rectangle en }R} \qquad \boxed{MNP\text{ n’est pas rectangle}} \]

Exercice avancé 3 — Thalès : calculs croisés dans une figure

Dans la figure ci-dessous, les points \(A,D,B\) sont alignés, les points \(A,E,C\) sont alignés et \((DE)\parallel(BC)\). On donne :

\[ AD=6\text{ cm},\qquad DB=9\text{ cm},\qquad AE=8\text{ cm},\qquad DE=10\text{ cm}. \]

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

A B C D E AD = 6 cm DB = 9 cm AE = 8 cm DE = 10 cm EC ? BC ?
  1. Calculer \(AB\).
  2. Calculer \(AC\).
  3. Calculer \(BC\).
  4. En déduire \(EC\).
Indice méthode

D’abord \(AB=AD+DB\). Puis utilise : \[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}. \]

Correction détaillée

1. Calcul de \(AB\)

\[ AB=AD+DB=6+9=15. \]

2. Calcul de \(AC\)

D’après le théorème de Thalès :

\[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}. \] \[ \frac{6}{15}=\frac{8}{AC}. \] \[ 6AC=15\times8=120. \] \[ AC=20. \]

3. Calcul de \(BC\)

\[ \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}. \] \[ \frac{6}{15}=\frac{10}{BC}. \] \[ 6BC=150. \] \[ BC=25. \]

4. Calcul de \(EC\)

\[ EC=AC-AE=20-8=12. \]
Réponses finales : \[ \boxed{AB=15\text{ cm}} \qquad \boxed{AC=20\text{ cm}} \qquad \boxed{BC=25\text{ cm}} \qquad \boxed{EC=12\text{ cm}} \]

Exercice avancé 4 — Réciproque de Thalès et parallélisme

Dans le triangle \(ABC\), les points \(D\) et \(E\) sont placés respectivement sur les côtés \([AB]\) et \([AC]\). On donne :

\[ AD=4\text{ cm},\qquad AB=14\text{ cm},\qquad AE=6\text{ cm},\qquad AC=21\text{ cm}. \]

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

A B C D E AD = 4 cm AE = 6 cm AB = 14 cm AC = 21 cm
  1. Calculer \(\dfrac{AD}{AB}\).
  2. Calculer \(\dfrac{AE}{AC}\).
  3. Les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont-elles parallèles ? Justifier.
  4. Expliquer pourquoi il faut aussi vérifier l’ordre des points.
Indice méthode

Pour utiliser la réciproque de Thalès, il faut comparer les rapports correspondants et vérifier que les points sont placés dans le même ordre.

Correction détaillée \[ \frac{AD}{AB}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}. \] \[ \frac{AE}{AC}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}. \]

Les deux rapports sont égaux. De plus, \(D\) est sur \([AB]\) et \(E\) est sur \([AC]\), donc les points sont dans le même ordre.

D’après la réciproque du théorème de Thalès :

\[ (DE)\parallel(BC). \]
Conclusion : \[ \boxed{(DE)\parallel(BC)} \]

Exercice avancé 5 — Trigonométrie : hauteur inaccessible

Un observateur placé au point \(A\) regarde le sommet \(C\) d’un immeuble. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). On donne :

\[ AB=42\text{ m},\qquad \widehat{BAC}=31^\circ. \]

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

A B C 42 m hauteur ? 31°
  1. Identifier le côté opposé à l’angle \(\widehat{BAC}\).
  2. Choisir la bonne formule trigonométrique.
  3. Calculer la hauteur \(BC\), arrondie au dixième.
  4. Donner une phrase de conclusion.
Indice méthode

Par rapport à l’angle \(\widehat{BAC}\), \(BC\) est le côté opposé et \(AB\) est le côté adjacent. Il faut utiliser la tangente.

Correction détaillée

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\), on a :

\[ \tan(\widehat{BAC})=\frac{BC}{AB}. \] \[ \tan(31^\circ)=\frac{BC}{42}. \] \[ BC=42\times\tan(31^\circ). \] \[ BC\approx42\times0{,}6009\approx25{,}2. \]
Réponse finale : \[ \boxed{BC\approx25{,}2\text{ m}} \] La hauteur de l’immeuble est donc environ \(25{,}2\) m.

Exercice avancé 6 — Trigonométrie et Pythagore dans un même problème

Une rampe \(AC\) permet de monter sur une plateforme. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). On donne :

\[ AC=6{,}8\text{ m},\qquad \widehat{BAC}=12^\circ. \]

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

A B C 6,8 m BC ? AB ? 12°
  1. Calculer la hauteur \(BC\), arrondie au centième.
  2. Calculer la longueur horizontale \(AB\), arrondie au centième.
  3. Vérifier le résultat de \(AB\) avec le théorème de Pythagore.
Indice méthode

Ici, \(AC\) est l’hypoténuse. Pour \(BC\), utilise le sinus. Pour \(AB\), tu peux utiliser le cosinus ou Pythagore.

Correction détaillée

1. Calcul de \(BC\)

\[ \sin(12^\circ)=\frac{BC}{AC}. \] \[ BC=6{,}8\times\sin(12^\circ). \] \[ BC\approx6{,}8\times0{,}2079\approx1{,}41. \]

2. Calcul de \(AB\)

\[ \cos(12^\circ)=\frac{AB}{AC}. \] \[ AB=6{,}8\times\cos(12^\circ). \] \[ AB\approx6{,}8\times0{,}9781\approx6{,}65. \]

3. Vérification par Pythagore

\[ AB^2+BC^2\approx6{,}65^2+1{,}41^2. \] \[ AB^2+BC^2\approx44{,}22+1{,}99=46{,}21. \] \[ AC^2=6{,}8^2=46{,}24. \]

La petite différence vient des arrondis.

Réponses finales : \[ \boxed{BC\approx1{,}41\text{ m}} \qquad \boxed{AB\approx6{,}65\text{ m}} \]

Exercice avancé 7 — Agrandissement, réduction et aire

Le triangle \(ABC\) est agrandi pour obtenir le triangle \(A'B'C'\). Les deux triangles sont semblables. On donne :

\[ AB=5\text{ cm},\quad AC=7\text{ cm},\quad BC=8\text{ cm}, \qquad A'B'=12{,}5\text{ cm}. \]

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

A C B 5 cm 7 cm 8 cm A' C' B' 12,5 cm
  1. Calculer le coefficient d’agrandissement.
  2. Calculer \(A'C'\) et \(B'C'\).
  3. Si l’aire de \(ABC\) est \(17{,}3\text{ cm}^2\), calculer l’aire de \(A'B'C'\).
  4. Expliquer pourquoi l’aire n’est pas multipliée par le même coefficient que les longueurs.
Indice méthode

Les longueurs sont multipliées par \(k\), mais les aires sont multipliées par \(k^2\).

Correction détaillée

1. Coefficient d’agrandissement

\[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{12{,}5}{5}=2{,}5. \]

2. Longueurs du triangle image

\[ A'C'=AC\times k=7\times2{,}5=17{,}5. \] \[ B'C'=BC\times k=8\times2{,}5=20. \]

3. Aire du triangle image

\[ k^2=2{,}5^2=6{,}25. \] \[ \mathcal A'=17{,}3\times6{,}25=108{,}125. \]
Réponses finales : \[ \boxed{k=2{,}5} \qquad \boxed{A'C'=17{,}5\text{ cm}} \qquad \boxed{B'C'=20\text{ cm}} \qquad \boxed{\mathcal A'\approx108{,}1\text{ cm}^2} \]

Exercice avancé 8 — Symétrie axiale et coordonnées

Dans un repère, on considère le triangle \(ABC\) avec :

\[ A(-4;1),\qquad B(-2;4),\qquad C(-1;1). \]

On construit son image par symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées.

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

x y A B C A' B' C' Axe des ordonnées
  1. Donner les coordonnées de \(A'\), \(B'\) et \(C'\).
  2. Que devient l’abscisse d’un point par cette symétrie ?
  3. Que devient l’ordonnée ?
  4. Comparer les aires des triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\).
Indice méthode

Par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, l’abscisse change de signe, mais l’ordonnée reste la même.

Correction détaillée \[ A(-4;1)\quad\Longrightarrow\quad A'(4;1). \] \[ B(-2;4)\quad\Longrightarrow\quad B'(2;4). \] \[ C(-1;1)\quad\Longrightarrow\quad C'(1;1). \]

L’abscisse change de signe. L’ordonnée ne change pas.

Une symétrie axiale conserve les longueurs, les angles et les aires.

\[ \mathcal A_{ABC}=\mathcal A_{A'B'C'}. \]
Réponses finales : \[ \boxed{A'(4;1)} \qquad \boxed{B'(2;4)} \qquad \boxed{C'(1;1)} \]

Exercice avancé 9 — Synthèse Brevet : Pythagore, Thalès et trigonométrie

Dans la figure suivante, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). Les points \(D\) et \(E\) sont placés sur \([AB]\) et \([AC]\), avec \((DE)\parallel(BC)\). On donne :

\[ AB=18\text{ m},\qquad AC=24\text{ m},\qquad AD=12\text{ m}. \]

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

A C B D E AD = 12 m DB ? AC = 24 m BC ? DE ?
  1. Calculer \(BC\).
  2. Calculer \(AE\).
  3. Calculer \(DE\).
  4. Calculer \(DB\).
  5. Calculer l’angle \(\widehat{ABC}\), arrondi au degré.
Indice méthode

Utilise d’abord Pythagore dans le triangle \(ABC\), puis Thalès dans les triangles \(ADE\) et \(ABC\). Enfin, utilise la trigonométrie pour l’angle.

Correction détaillée

1. Calcul de \(BC\)

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) :

\[ BC^2=AB^2+AC^2. \] \[ BC^2=18^2+24^2=324+576=900. \] \[ BC=30. \]

2. Calcul de \(AE\)

Comme \((DE)\parallel(BC)\), d’après le théorème de Thalès :

\[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}. \] \[ \frac{12}{18}=\frac{AE}{24}. \] \[ 18AE=288. \] \[ AE=16. \]

3. Calcul de \(DE\)

\[ \frac{12}{18}=\frac{DE}{30}. \] \[ 18DE=360. \] \[ DE=20. \]

4. Calcul de \(DB\)

\[ DB=AB-AD=18-12=6. \]

5. Calcul de \(\widehat{ABC}\)

Dans le triangle rectangle \(ABC\), par rapport à l’angle \(\widehat{ABC}\), le côté adjacent est \(AB\) et l’hypoténuse est \(BC\).

\[ \cos(\widehat{ABC})=\frac{AB}{BC}=\frac{18}{30}=0{,}6. \] \[ \widehat{ABC}=\arccos(0{,}6)\approx53^\circ. \]
Réponses finales : \[ \boxed{BC=30\text{ m}} \qquad \boxed{AE=16\text{ m}} \qquad \boxed{DE=20\text{ m}} \qquad \boxed{DB=6\text{ m}} \qquad \boxed{\widehat{ABC}\approx53^\circ} \]

Exercice avancé 10 — Cercle, diamètre et triangle rectangle

Le segment \([AB]\) est un diamètre d’un cercle de centre \(O\). Le point \(C\) appartient au cercle. On donne :

\[ AB=10\text{ cm},\qquad AC=6\text{ cm}. \]

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

Cercle de diamètre AB avec triangle ABC rectangle en C Le segment AB est un diamètre de 10 cm, le point C est sur le cercle, AC vaut 6 cm et BC est à calculer. A B C O 10 cm 6 cm BC ?
  1. Expliquer pourquoi le triangle \(ABC\) est rectangle.
  2. Préciser en quel point il est rectangle.
  3. Calculer \(BC\).
  4. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
Indice méthode

Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l’un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle.

Correction détaillée

1. Nature du triangle

Le point \(C\) appartient au cercle de diamètre \([AB]\). Donc le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).

2. Calcul de \(BC\)

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(C\), l’hypoténuse est \(AB\). D’après le théorème de Pythagore :

\[ AB^2=AC^2+BC^2. \] \[ 10^2=6^2+BC^2. \] \[ 100=36+BC^2. \] \[ BC^2=64. \] \[ BC=8. \]

3. Aire du triangle

\[ \mathcal A=\frac{AC\times BC}{2} = \frac{6\times8}{2} = 24. \]
Réponses finales : \[ \boxed{ABC\text{ est rectangle en }C} \qquad \boxed{BC=8\text{ cm}} \qquad \boxed{\mathcal A=24\text{ cm}^2} \]

Exercice avancé 11 — Aire et Pythagore dans un triangle rectangle

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). On donne :

\[ AB=16\text{ cm},\qquad BC=20\text{ cm}. \]

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

A C B 16 cm 20 cm AC ?
  1. Calculer \(AC\).
  2. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
  3. Calculer le périmètre du triangle \(ABC\).
Indice méthode

Dans ce triangle rectangle, \(BC\) est l’hypoténuse. Il faut donc écrire \(BC^2=AB^2+AC^2\).

Correction détaillée

1. Calcul de \(AC\)

\[ BC^2=AB^2+AC^2. \] \[ 20^2=16^2+AC^2. \] \[ 400=256+AC^2. \] \[ AC^2=144. \] \[ AC=12. \]

2. Aire

\[ \mathcal A=\frac{AB\times AC}{2} = \frac{16\times12}{2} = 96. \]

3. Périmètre

\[ P=AB+AC+BC=16+12+20=48. \]
Réponses finales : \[ \boxed{AC=12\text{ cm}} \qquad \boxed{\mathcal A=96\text{ cm}^2} \qquad \boxed{P=48\text{ cm}} \]

Exercice avancé 12 — Translation et coordonnées

Dans un repère, on considère le triangle \(ABC\) avec :

\[ A(1;1),\qquad B(4;1),\qquad C(2;3). \]

On applique la translation qui transforme tout point \(M(x;y)\) en \(M'(x+3;y-1)\).

La figure est donnée pour aider à la compréhension ; elle n’est pas nécessairement à l’échelle.

x y A B C A' B' C' translation : +3 ; -1
  1. Calculer les coordonnées de \(A'\), \(B'\) et \(C'\).
  2. Comparer les longueurs \(AB\) et \(A'B'\).
  3. Comparer les aires des triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\).
  4. Dire ce que conserve une translation.
Indice méthode

On ajoute \(3\) à l’abscisse et on retire \(1\) à l’ordonnée.

Correction détaillée

1. Coordonnées des images

\[ A(1;1)\quad\Longrightarrow\quad A'(1+3;1-1)=A'(4;0). \] \[ B(4;1)\quad\Longrightarrow\quad B'(4+3;1-1)=B'(7;0). \] \[ C(2;3)\quad\Longrightarrow\quad C'(2+3;3-1)=C'(5;2). \]

2. Longueurs et aires

Une translation conserve les longueurs, donc :

\[ AB=A'B'. \]

Elle conserve aussi les aires, donc :

\[ \mathcal A_{ABC}=\mathcal A_{A'B'C'}. \]
Réponses finales : \[ \boxed{A'(4;0)} \qquad \boxed{B'(7;0)} \qquad \boxed{C'(5;2)} \] Une translation conserve les longueurs, les angles, les aires et l’alignement.

Partie VI — Bilan méthode

Ce qu’il faut savoir faire

  • Reconnaître un triangle rectangle.
  • Identifier correctement l’hypoténuse.
  • Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une longueur.
  • Utiliser la réciproque de Pythagore pour prouver qu’un triangle est rectangle.
  • Utiliser la contraposée pour prouver qu’un triangle n’est pas rectangle.
  • Identifier une configuration de Thalès.
  • Écrire correctement les rapports de Thalès.
  • Utiliser la réciproque de Thalès pour prouver un parallélisme.
  • Choisir entre sinus, cosinus et tangente.
  • Calculer une longueur avec la trigonométrie.
  • Calculer un angle avec la trigonométrie.
  • Comprendre les effets d’un agrandissement ou d’une réduction.
  • Savoir que les aires sont multipliées par \(k^2\).
  • Reconnaître une symétrie, une rotation ou une translation.
  • Utiliser des coordonnées avec une symétrie ou une translation.
  • Rédiger une solution complète de type Brevet.
Objectif Brevet : savoir choisir le bon outil selon la figure : Pythagore pour les triangles rectangles, Thalès pour les parallèles, trigonométrie pour les angles et longueurs dans un triangle rectangle, agrandissements/réductions pour les longueurs et les aires, et transformations pour comprendre les images de figures.