Une révision complète pour maîtriser les fonctions, les fonctions linéaires,
les fonctions affines, les pourcentages, les échelles
et les problèmes de synthèse type Brevet. L’objectif est de préparer les exercices
classiques du Brevet avec des méthodes claires.
Questions de cours — à savoir répondre directement
Question
Réponse directe
Qu’est-ce qu’une fonction ?
Une fonction associe à chaque nombre \(x\) un unique nombre \(f(x)\).
Que signifie \(f(3)=7\) ?
L’image de \(3\) par \(f\) est \(7\).
Que signifie “\(3\) est un antécédent de \(7\)” ?
Cela signifie que \(f(3)=7\).
Quelle est la forme d’une fonction linéaire ?
\(f(x)=ax\)
Quelle est la forme d’une fonction affine ?
\(f(x)=ax+b\)
Quand une situation est-elle proportionnelle ?
Quand on passe d’une grandeur à l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
1. Notion de fonction
Une fonction est une règle qui transforme un nombre de départ en un nombre d’arrivée.
Le nombre de départ est souvent noté \(x\), et le résultat est noté \(f(x)\).
\[
x \longmapsto f(x)
\]
Vocabulaire important :
\(f(2)\) se lit : “l’image de \(2\) par \(f\)”.
Si \(f(2)=5\), alors \(5\) est l’image de \(2\).
Si \(f(2)=5\), alors \(2\) est un antécédent de \(5\).
Les trois représentations d’une fonction
Formule
\(f(x)=2x+3\)
Tableau de valeurs
\(x\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(f(x)\)
\(1\)
\(3\)
\(5\)
\(7\)
Graphique
On place les points de coordonnées \((x;f(x))\) dans un repère.
Programme de calcul
Choisir un nombre, le multiplier par \(2\), puis ajouter \(3\).
Méthode — Lire une image sur un graphique
On part de l’abscisse \(x\) sur l’axe horizontal.
On monte ou on descend verticalement jusqu’à la courbe.
On lit l’ordonnée obtenue : c’est \(f(x)\).
Méthode — Lire un antécédent sur un graphique
On part de la valeur \(y\) sur l’axe vertical.
On va horizontalement jusqu’à la courbe.
On lit l’abscisse obtenue : c’est un antécédent.
2. Fonction linéaire et proportionnalité
Une fonction linéaire est une fonction de la forme :
\[
f(x)=ax
\]
Le nombre \(a\) est le coefficient de proportionnalité.
Une fonction linéaire représente donc une situation de proportionnalité.
Exemple :
si \(f(x)=4x\), alors :
\[
f(3)=4\times3=12.
\]
Le coefficient de proportionnalité est \(4\).
Attention :
une fonction linéaire passe toujours par l’origine du repère,
car \(f(0)=a\times0=0\).
3. Fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme :
\[
f(x)=ax+b
\]
\(a\) est le coefficient directeur.
\(b\) est l’ordonnée à l’origine.
La représentation graphique est une droite.
Interprétation :
si \(f(x)=2x+5\), alors \(b=5\), donc la droite coupe l’axe des ordonnées
au point d’ordonnée \(5\).
Variation d’une fonction affine
Forme
Signe de \(a\)
Variation
\(f(x)=ax+b\)
\(a>0\)
\(f\) est croissante
\(f(x)=ax+b\)
\(a<0\)
\(f\) est décroissante
\(f(x)=ax+b\)
\(a=0\)
\(f\) est constante
4. Pourcentages
Un pourcentage est une proportion exprimée sur \(100\).
Calculer \(p\%\) d’une quantité
\[
p\% \text{ de } N = \frac{p}{100}\times N
\]
Augmenter de \(p\%\)
\[
N_{\text{final}}=N_{\text{départ}}\times\left(1+\frac{p}{100}\right)
\]
Diminuer de \(p\%\)
\[
N_{\text{final}}=N_{\text{départ}}\times\left(1-\frac{p}{100}\right)
\]
Trouver un taux d’évolution
\[
\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times100
\]
Erreur classique :
une augmentation de \(20\%\), puis une diminution de \(20\%\),
ne ramène pas forcément à la valeur de départ.
5. Échelles
Une échelle permet de passer d’une longueur réelle à une longueur représentée
sur un plan ou une carte.
\[
\text{échelle}=\frac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}
\]
Exemple :
une échelle \(1:500\) signifie que \(1\) cm sur le plan représente
\(500\) cm dans la réalité, donc \(5\) m.
Exercices bien avancés — Fonctions, proportionnalité et pourcentages
Objectif Brevet solide :
cette série regroupe de vrais problèmes complets : lecture graphique, fonction affine,
proportionnalité, pourcentages successifs, échelles, fonctions affines et lectures graphiques.
Chaque exercice demande de justifier, interpréter et rédiger proprement.
Pour \(4\) heures, les deux magasins coûtent le même prix : \(28\) €.
On compare : \(A(x)4.
\]
Le magasin A est plus avantageux pour une durée supérieure à \(4\) heures.
Graphique — Droite affine et droite linéaire
Exercice 2 — Lire, calculer, vérifier
Le graphique ci-dessous représente deux fonctions \(f\) et \(g\).
La droite bleue représente la fonction affine \(f(x)=x+4\) et la droite verte représente la fonction linéaire \(g(x)=2x\).
Lire graphiquement \(f(0)\), puis \(g(0)\).
Lire graphiquement les coordonnées du point d’intersection \(I\).
Vérifier par le calcul que ce point appartient aux deux droites.
Résoudre \(f(x)>g(x)\).
Interpréter graphiquement l’inégalité précédente.
Indice
Le point d’intersection correspond à l’égalité des deux expressions.
Correction détaillée
On lit \(f(0)=4\) et \(g(0)=0\).
On lit \(I(4;8)\).
\[
f(4)=4+4=8,
\qquad
g(4)=2\times4=8.
\]
Le point \(I(4;8)\) appartient donc aux deux droites.
Un ordinateur coûte initialement \(850\) €. Pendant les soldes, son prix diminue de \(18\%\).
Un mois plus tard, le nouveau prix augmente de \(12\%\).
Calculer le prix après la diminution de \(18\%\).
Calculer le prix après l’augmentation de \(12\%\).
Le prix final est-il inférieur ou supérieur au prix initial ? De combien d’euros ?
Calculer le taux d’évolution global entre le prix initial et le prix final.
Expliquer pourquoi une baisse de \(18\%\) suivie d’une hausse de \(18\%\) ne ramène pas au prix initial.
Indice
Une diminution de \(18\%\) revient à multiplier par \(0{,}82\).
Une augmentation de \(12\%\) revient à multiplier par \(1{,}12\).
Correction détaillée
\[
850\times0{,}82=697.
\]
Le prix après réduction est \(697\) €.
\[
697\times1{,}12=780{,}64.
\]
Le prix final est \(780{,}64\) €.
\[
850-780{,}64=69{,}36.
\]
Le prix final est inférieur au prix initial de \(69{,}36\) €.
\[
\frac{780{,}64-850}{850}\times100
\approx -8{,}16\%.
\]
Le taux global est environ \(-8{,}16\%\).
La hausse ne s’applique pas sur le prix initial, mais sur le prix déjà réduit.
La base de calcul a changé.
Échelle — Plan, conversion et proportionnalité
Exercice 4 — Plan d’un parc
Sur le plan d’un parc, l’échelle est \(1:2500\). Un chemin rectiligne mesure \(7{,}6\) cm sur le plan.
Que signifie l’échelle \(1:2500\) ?
Calculer la longueur réelle du chemin en centimètres.
Convertir cette longueur en mètres.
Sur le même plan, un lac mesure \(4{,}8\) cm de long et \(2{,}5\) cm de large. Calculer ses dimensions réelles en mètres.
Calculer l’aire réelle approximative du lac en \(m^2\), en supposant qu’il est rectangulaire.
Indice
À l’échelle \(1:2500\), \(1\) cm sur le plan représente \(2500\) cm dans la réalité.
Correction détaillée
\(1\) cm sur le plan représente \(2500\) cm dans la réalité.
\[
7{,}6\times2500=19000\text{ cm}.
\]
\(19000\) cm \(=190\) m.
Longueur réelle : \(4{,}8\times2500=12000\) cm \(=120\) m.
Largeur réelle : \(2{,}5\times2500=6250\) cm \(=62{,}5\) m.
\[
120\times62{,}5=7500.
\]
L’aire réelle est environ \(7500\ m^2\).
Fonction affine — Interprétation et équation
Exercice 5 — Réservoir d’eau
Un réservoir contient déjà \(120\) L d’eau. On le remplit à débit constant de \(18\) L par minute.
On note \(V(t)\) le volume d’eau, en litres, après \(t\) minutes.
Exprimer \(V(t)\) en fonction de \(t\).
Calculer \(V(8)\). Interpréter le résultat.
Au bout de combien de minutes le réservoir contient-il \(390\) L ?
La fonction \(V\) est-elle linéaire ? Est-elle affine ? Justifier.
Le réservoir peut contenir au maximum \(500\) L. Pendant combien de minutes peut-on continuer le remplissage sans débordement ?
Indice
Le volume initial correspond au terme constant. Le débit correspond au coefficient de \(t\).
Correction détaillée
\(V(t)=120+18t\).
\[
V(8)=120+18\times8=264.
\]
Après \(8\) minutes, il y a \(264\) L d’eau.
\(V\) est affine, mais pas linéaire car \(V(0)=120\neq0\).
\[
120+18t\leq500
\Longleftrightarrow
18t\leq380
\Longleftrightarrow
t\leq\frac{380}{18}\approx21{,}1.
\]
On peut remplir pendant environ \(21\) minutes sans dépasser \(500\) L.
Synthèse — Programme de calcul et fonction
Exercice 6 — Deux programmes de calcul
On propose deux programmes.
Programme A
Choisir un nombre.
Multiplier par \(3\).
Ajouter \(8\).
Programme B
Choisir un nombre.
Multiplier par \(5\).
Soustraire \(4\).
Calculer le résultat de chaque programme si le nombre choisi est \(2\).
On note \(x\) le nombre choisi. Exprimer les résultats \(A(x)\) et \(B(x)\).
Trouver le nombre pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.
Pour quels nombres le programme B donne-t-il un résultat plus grand que le programme A ?
Le résultat du programme A peut-il être égal à \(0\) ? Si oui, pour quel nombre ?
Indice
Traduire chaque programme par une expression affine.
Correction détaillée
Pour \(2\) : \(A(2)=3\times2+8=14\), et \(B(2)=5\times2-4=6\).
Comme \(n\) est un nombre entier de séances, la formule B devient plus avantageuse à partir de \(12\) séances.
Pour \(30\) séances : \(B(30)=95+420=515\).
\[
\frac{515}{30}\approx17{,}17.
\]
L’affirmation est fausse : le prix moyen est supérieur à \(17\) €.
Défi complet — Fonction, proportionnalité et pourcentage
Exercice 10 — Festival du collège
Le collège organise un festival. Le prix d’un billet est de \(6\) €.
Les frais fixes d’organisation sont de \(420\) €.
Une enquête est faite auprès de \(240\) élèves : \(150\) souhaitent venir, dont \(84\) filles.
On note \(R(x)\) la recette pour \(x\) billets vendus. Donner l’expression de \(R(x)\).
On note \(G(x)\) le gain après paiement des frais fixes. Donner l’expression de \(G(x)\).
Combien de billets faut-il vendre pour que le gain soit positif ?
Si \(150\) billets sont vendus, calculer la recette et le gain.
Calculer le pourcentage d’élèves interrogés qui souhaitent venir.
Parmi les élèves qui souhaitent venir, calculer le pourcentage de filles.
Si le collège veut obtenir un gain d’au moins \(600\) €, combien de billets doit-il vendre au minimum ?
Indice
Le gain est la recette moins les frais fixes : \(G(x)=R(x)-420\).
Correction détaillée
\(R(x)=6x\).
\(G(x)=6x-420\).
\[
6x-420>0
\Longleftrightarrow
6x>420
\Longleftrightarrow
x>70.
\]
Il faut vendre au moins \(71\) billets.
On résout :
\[
6x-420\ge 600
\Longleftrightarrow 6x\ge 1020
\Longleftrightarrow x\ge 170.
\]
Il faut donc vendre au minimum \(170\) billets.
Lecture graphique avancée — Images et antécédents
Exercice 11 — Fonction \(h\) définie par un graphique
Ci-dessous est représentée graphiquement une fonction \(h\) pour \(x\) compris entre \(-3\) et \(9\).
Par lecture graphique, déterminer :
l’image par \(h\) du nombre \(8\) ;
\(h(-1)\) ;
les antécédents par \(h\) du nombre \(0\) ;
l’image par \(h\) du nombre \(-3\) ;
les antécédents par \(h\) du nombre \(-2\) ;
les antécédents par \(h\) du nombre \(2\).
Indice
Pour lire une image, on part de l’axe des abscisses vers la courbe puis vers l’axe des ordonnées.
Pour lire un antécédent, on part de l’axe des ordonnées vers la courbe puis vers l’axe des abscisses.
Correction détaillée
On lit \(h(8)=2\).
On lit \(h(-1)=1\).
Les antécédents de \(0\) sont \(3\) et \(7\).
On lit \(h(-3)=4\).
Les antécédents de \(-2\) sont \(4\) et \(6\).
Les antécédents de \(2\) sont \(-2\), \(0\), \(2\) et \(8\).
\[
x^2+2=6
\Longleftrightarrow x^2=4
\Longleftrightarrow x=-2 \text{ ou } x=2.
\]
Les antécédents de \(6\) sont \(-2\) et \(2\).
\(h(6)=6^2+2=38\).
\[
x^2+2=18
\Longleftrightarrow x^2=16
\Longleftrightarrow x=-4 \text{ ou } x=4.
\]
Les antécédents de \(18\) sont \(-4\) et \(4\).
Lecture graphique — Courbe et antécédents multiples
Exercice 14 — Fonction \(g\) définie par un graphique
La fonction \(g\) est définie par le graphique ci-dessous.
Lire l’image de \(0\).
Lire les antécédents de \(0\).
Lire les antécédents de \(-1\), puis les antécédents de \(1\).
Indice
Les antécédents de \(0\) sont les abscisses des points où la courbe coupe l’axe horizontal.
Correction détaillée
On lit \(g(0)=0\).
Les antécédents de \(0\) sont \(0\) et \(4\).
L’antécédent de \(-1\) est \(1\).
Les antécédents de \(1\) sont \(-3\) et \(-1\).
Bilan final — Ce qu’il faut absolument maîtriser
Fonctions
Calculer une image.
Trouver un antécédent.
Lire un graphique.
Compléter un tableau.
Fonctions linéaires et affines
\(f(x)=ax\)
\(f(x)=ax+b\)
Reconnaître une situation proportionnelle.
Comparer deux formules.
Pourcentages et échelles
Calculer une réduction.
Calculer une augmentation.
Utiliser un coefficient multiplicateur.
Convertir avec une échelle.
Fonctions, proportionnalité et pourcentages
Moyenne.
Médiane.
Étendue.
Probabilité simple.
Conseil Brevet :
dans un problème complet, commence toujours par identifier le type de situation :
fonction, proportionnalité, pourcentage, échelle ou lecture graphique.
Ensuite, écris la formule avant de calculer.