Mathématiques — Révision Brevet 3e — Chapitre 2

Calcul littéral, équations et inéquations

Développements, factorisations, identités remarquables, équations du premier degré, équations produits, inéquations et problèmes de mise en équation. Une page complète pour s’entraîner avec des exercices avancés de niveau Brevet.

Développer Réduire Factoriser Identités remarquables Équations Inéquations

Méthode générale

Pour réussir un exercice de calcul littéral, il faut d’abord identifier la forme de l’expression : somme, produit, carré, différence de deux carrés, équation ou inéquation. Ensuite, on choisit la bonne transformation : développer, factoriser, réduire ou résoudre.

Observer Choisir Transformer Réduire Conclure

Point clé : on ne développe pas et on ne factorise pas au hasard. Il faut reconnaître la structure : facteur commun, produit nul, identité remarquable ou inéquation avec changement de sens.

Partie I — Questions de cours

Cette partie vérifie les règles indispensables avant de passer aux exercices avancés : distributivité, identités remarquables, équations, équations produits et inéquations.

1. Développer — formules directes

Quelle est la formule de distributivité simple ?
Quelle est la formule de double distributivité ?
Quelle erreur faut-il éviter avec le signe moins devant une parenthèse ?

Réponses directes

Distributivité simple : \[ k(a+b)=ka+kb. \]
Double distributivité : \[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. \]
Attention : \[ -(a+b)=-a-b \] et \[ -(a-b)=-a+b. \]

2. Factoriser — formules directes

Comment factoriser avec un facteur commun ?
Comment reconnaître une différence de deux carrés ?
Pourquoi factoriser est utile pour résoudre une équation ?

Réponses directes

Facteur commun : \[ ka+kb=k(a+b). \]
Différence de deux carrés : \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
Factoriser permet parfois d’obtenir une équation produit nul : \[ A\times B=0 \Longleftrightarrow A=0 \text{ ou } B=0. \]

3. Identités remarquables

Développer \((a+b)^2\).
Développer \((a-b)^2\).
Développer \((a+b)(a-b)\).
Pourquoi ces formules sont-elles utiles dans les deux sens ?

Réponses directes

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \] \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \] \[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]

Elles servent à développer rapidement, mais aussi à factoriser une expression.

4. Équations et inéquations

Quelle règle utilise-t-on pour résoudre une équation produit nul ?
Que signifie une équation impossible ?
Que signifie une équation vraie pour tout nombre ?
Quelle règle spéciale faut-il connaître pour les inéquations ?

Réponses directes

\[ AB=0 \Longleftrightarrow A=0 \text{ ou } B=0. \]
Une équation impossible mène à une égalité fausse, par exemple : \[ 3=7. \] Sa solution est : \[ S=\varnothing. \]
Une équation vraie pour tout nombre mène à une identité, par exemple : \[ 2x+4=2x+4. \] Sa solution est : \[ S=\mathbb{R}. \]
Dans une inéquation, lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.

Bilan de la Partie I : les règles de base sont les outils indispensables. Les exercices avancés mélangent souvent plusieurs techniques dans une même question.

Partie II — Cours essentiel

1. Développer et réduire

Développer consiste à transformer un produit en somme. Réduire consiste ensuite à regrouper les termes de même nature.

\[ 3(2x-5)=6x-15. \] \[ (x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8. \]

Erreur classique : \[ -(3x-5)\neq -3x-5. \] En réalité : \[ -(3x-5)=-3x+5. \]

2. Factoriser

Factoriser consiste à transformer une somme en produit. On cherche d’abord un facteur commun.

\[ 6x+18=6(x+3). \] \[ 5x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(5x+3). \]

Méthode : repérer ce qui se répète, le sortir devant une parenthèse, puis vérifier en redéveloppant.

3. Identités remarquables

Formules indispensables : \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \] \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \] \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

Exemples :

\[ (2x-3)^2=4x^2-12x+9. \] \[ 9x^2-25=(3x-5)(3x+5). \]

4. Résoudre une équation

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.

\[ 5x-7=18 \] \[ 5x=25 \] \[ x=5. \]

Attention : dans une équation produit, il faut d’abord obtenir une forme factorisée égale à zéro.

5. Résoudre une inéquation

On résout une inéquation comme une équation, mais le sens de l’inégalité change lorsqu’on divise ou multiplie par un nombre négatif.

\[ -2x \leq 8 \] \[ x \geq -4. \]

Erreur classique : oublier de changer le sens lorsqu’on divise par un nombre négatif.

Partie III — Méthodes directes

1. Développer une expression longue

On développe chaque partie séparément, puis on réduit.

\[ A=2(x-3)(x+5)-4x. \]

Exemple détaillé

\[ (x-3)(x+5)=x^2+5x-3x-15=x^2+2x-15. \] \[ A=2(x^2+2x-15)-4x. \] \[ A=2x^2+4x-30-4x. \] \[ \boxed{A=2x^2-30}. \]

2. Factoriser avant de résoudre

Quand une équation contient un carré ou une différence de deux carrés, on cherche souvent une factorisation.

\[ (x+3)^2-25=0. \]

Exemple détaillé

\[ (x+3)^2-25=(x+3)^2-5^2. \] \[ (x+3)^2-5^2=(x+3-5)(x+3+5). \] \[ (x-2)(x+8)=0. \] Donc : \[ x=2 \quad \text{ou} \quad x=-8. \] \[ \boxed{S=\{-8;2\}}. \]

3. Résoudre une inéquation

Exemple :

\[ -3x+4\geq19. \]

Exemple détaillé

\[ -3x+4\geq19 \] \[ -3x\geq15. \] En divisant par \(-3\), on change le sens : \[ x\leq -5. \] \[ \boxed{S=]-\infty;-5]}. \]

Partie IV — Erreurs classiques à éviter

1. Mauvaise gestion du signe moins

L’écriture suivante est fausse :

\[ -(x+7)=-x+7. \]

La bonne transformation est :

\[ -(x+7)=-x-7. \]

Le signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l’intérieur.

2. Confondre développer et factoriser

Développer :

\[ 3(x+5)=3x+15. \]

Factoriser :

\[ 3x+15=3(x+5). \]

Ce sont deux opérations inverses. Il faut choisir celle qui est demandée.

3. Oublier le changement de sens

Si :

\[ -2x\lt 10, \]

alors :

\[ x\gt -5. \]

En divisant par un nombre négatif, le sens de l’inégalité change.

Partie V — Exercices avancés corrigés

Exercice avancé 1 — Développer, réduire et comparer

On considère les expressions :

\[ A=3(2x-5)-2(x+7) \] et \[ B=4x-29. \]

Développer et réduire \(A\).
Résoudre l’équation \(A=B\).
Interpréter le résultat obtenu.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Développe d’abord \(A\), puis compare l’expression obtenue avec \(B\).

Simplifier les deux membres : Développe seulement si nécessaire, puis regroupe les termes en \(x\) et les constantes.
Choisir la forme utile : Si un produit apparaît, utilise la règle du produit nul ; sinon isole progressivement l’inconnue.
Résoudre sans sauter d’étape : Effectue la même opération dans les deux membres et conserve les égalités intermédiaires.
Vérifier : Remplace \(x\) par la ou les solutions trouvées dans l’équation de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On transforme l’équation par étapes équivalentes. Une fois les solutions obtenues, on les vérifie dans l’équation de départ pour éliminer toute erreur de calcul.

\[ A=3(2x-5)-2(x+7) \] \[ A=6x-15-2x-14 \] \[ A=4x-29. \] Donc : \[ A=B \] pour tout nombre \(x\).

Réponse finale : \[ \boxed{S=\mathbb{R}} \] L’égalité est toujours vraie.

Contrôle de la réponse : Substitue chaque solution dans l’équation de départ ; les deux membres doivent prendre la même valeur.

Exercice avancé 2 — Développements avec identités remarquables

Développer et réduire :

\[ A=(2x-3)^2-(x+4)(3x-1). \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Développe séparément \((2x-3)^2\) et \((x+4)(3x-1)\), puis enlève la deuxième parenthèse.

Développer séparément : Traite chaque parenthèse ou produit comme un bloc indépendant.
Gérer les signes : Un signe moins devant une parenthèse change tous les signes lorsqu’on la supprime.
Réduire : Regroupe les termes en \(x^2\), puis en \(x\), puis les constantes.
Contrôler : Pour une comparaison, mets les deux expressions sous la même forme afin de voir si elles sont identiques ou non.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On développe bloc par bloc en faisant particulièrement attention aux signes, puis on réduit les termes de même nature. La forme finale peut être contrôlée en comparant les coefficients.

\[ (2x-3)^2=4x^2-12x+9. \] \[ (x+4)(3x-1)=3x^2-x+12x-4=3x^2+11x-4. \] Donc : \[ A=4x^2-12x+9-(3x^2+11x-4). \] \[ A=4x^2-12x+9-3x^2-11x+4. \] \[ \boxed{A=x^2-23x+13}. \]

Contrôle de la réponse : Contrôle les coefficients de \(x^2\), de \(x\) et le terme constant ; une erreur de signe se repère souvent à cette étape.

Exercice avancé 3 — Factorisation par facteur commun

Factoriser le plus possible :

\[ B=(x+5)(2x-3)-4(x+5). \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Le facteur commun est \(x+5\).

Reconnaître la structure : Cherche d’abord un facteur commun. S’il n’y en a pas, teste une identité remarquable ou une différence de deux carrés.
Conserver le produit : Évite de développer trop tôt : la forme factorisée doit faire apparaître clairement les facteurs.
Réduire les facteurs : Simplifie l’intérieur des parenthèses avant de conclure.
Vérifier : Redéveloppe rapidement le produit final : tu dois retrouver exactement l’expression de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On privilégie la forme factorisée : facteur commun ou identité remarquable. La factorisation est ensuite contrôlée mentalement en redéveloppant le produit obtenu.

\[ B=(x+5)(2x-3)-4(x+5). \] On met \(x+5\) en facteur : \[ B=(x+5)\big((2x-3)-4\big). \] \[ B=(x+5)(2x-7). \]

Réponse finale : \[ \boxed{B=(x+5)(2x-7)} \]

Contrôle de la réponse : Redéveloppe le produit final : il doit redonner exactement l’expression initiale.

Exercice avancé 4 — Factorisation avec différence de deux carrés

Factoriser :

\[ C=(3x-2)^2-49. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Écris \(49\) sous la forme \(7^2\), puis utilise \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Reconnaître la structure : Cherche d’abord un facteur commun. S’il n’y en a pas, teste une identité remarquable ou une différence de deux carrés.
Conserver le produit : Évite de développer trop tôt : la forme factorisée doit faire apparaître clairement les facteurs.
Réduire les facteurs : Simplifie l’intérieur des parenthèses avant de conclure.
Vérifier : Redéveloppe rapidement le produit final : tu dois retrouver exactement l’expression de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On privilégie la forme factorisée : facteur commun ou identité remarquable. La factorisation est ensuite contrôlée mentalement en redéveloppant le produit obtenu.

\[ C=(3x-2)^2-7^2. \] \[ C=(3x-2-7)(3x-2+7). \] \[ C=(3x-9)(3x+5). \] \[ C=3(x-3)(3x+5). \]

Réponse finale : \[ \boxed{C=3(x-3)(3x+5)} \]

Contrôle de la réponse : Redéveloppe le produit final : il doit redonner exactement l’expression initiale.

Exercice avancé 5 — Résoudre une équation avec parenthèses

Résoudre :

\[ 4(2x-3)-5=x+10. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Développe le membre de gauche, puis regroupe les \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre.

Simplifier les deux membres : Développe seulement si nécessaire, puis regroupe les termes en \(x\) et les constantes.
Choisir la forme utile : Si un produit apparaît, utilise la règle du produit nul ; sinon isole progressivement l’inconnue.
Résoudre sans sauter d’étape : Effectue la même opération dans les deux membres et conserve les égalités intermédiaires.
Vérifier : Remplace \(x\) par la ou les solutions trouvées dans l’équation de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ 4(2x-3)-5=x+10 \] \[ 8x-12-5=x+10 \] \[ 8x-17=x+10. \] \[ 7x=27. \] \[ \boxed{x=\frac{27}{7}}. \]

Contrôle de la réponse : Substitue chaque solution dans l’équation de départ ; les deux membres doivent prendre la même valeur.

Exercice avancé 6 — Équation produit nul

Résoudre :

\[ (3x-9)(2x+1)=0. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Un produit est nul si au moins l’un de ses facteurs est nul.

Simplifier les deux membres : Développe seulement si nécessaire, puis regroupe les termes en \(x\) et les constantes.
Choisir la forme utile : Si un produit apparaît, utilise la règle du produit nul ; sinon isole progressivement l’inconnue.
Résoudre sans sauter d’étape : Effectue la même opération dans les deux membres et conserve les égalités intermédiaires.
Vérifier : Remplace \(x\) par la ou les solutions trouvées dans l’équation de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ (3x-9)(2x+1)=0 \] Donc : \[ 3x-9=0 \quad \text{ou} \quad 2x+1=0. \] \[ x=3 \quad \text{ou} \quad x=-\frac12. \]

Réponse finale : \[ \boxed{S=\left\{-\frac12;3\right\}} \]

Contrôle de la réponse : Substitue chaque solution dans l’équation de départ ; les deux membres doivent prendre la même valeur.

Exercice avancé 7 — Factoriser avant de résoudre

Résoudre :

\[ (x+4)^2-36=0. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Utilise la différence de deux carrés.

Reconnaître la structure : Cherche d’abord un facteur commun. S’il n’y en a pas, teste une identité remarquable ou une différence de deux carrés.
Conserver le produit : Évite de développer trop tôt : la forme factorisée doit faire apparaître clairement les facteurs.
Réduire les facteurs : Simplifie l’intérieur des parenthèses avant de conclure.
Vérifier : Redéveloppe rapidement le produit final : tu dois retrouver exactement l’expression de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On privilégie la forme factorisée : facteur commun ou identité remarquable. La factorisation est ensuite contrôlée mentalement en redéveloppant le produit obtenu.

\[ (x+4)^2-36=0 \] \[ (x+4)^2-6^2=0 \] \[ (x+4-6)(x+4+6)=0 \] \[ (x-2)(x+10)=0. \] Donc : \[ x=2 \quad \text{ou} \quad x=-10. \] \[ \boxed{S=\{-10;2\}}. \]

Contrôle de la réponse : Redéveloppe le produit final : il doit redonner exactement l’expression initiale.

Exercice avancé 8 — Équation vraie ou impossible

Résoudre les équations suivantes :

\[ 3(x+2)=3x+6 \] \[ 5(x-1)=5x+4. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Développe chaque équation. Si tu obtiens une égalité toujours vraie, la solution est \(\mathbb{R}\). Si tu obtiens une égalité fausse, la solution est \(\varnothing\).

Simplifier les deux membres : Développe seulement si nécessaire, puis regroupe les termes en \(x\) et les constantes.
Choisir la forme utile : Si un produit apparaît, utilise la règle du produit nul ; sinon isole progressivement l’inconnue.
Résoudre sans sauter d’étape : Effectue la même opération dans les deux membres et conserve les égalités intermédiaires.
Vérifier : Remplace \(x\) par la ou les solutions trouvées dans l’équation de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Première équation

\[ 3(x+2)=3x+6 \] \[ 3x+6=3x+6. \] Cette égalité est vraie pour tout \(x\). \[ \boxed{S=\mathbb{R}}. \]

Deuxième équation

\[ 5(x-1)=5x+4 \] \[ 5x-5=5x+4. \] En retirant \(5x\) : \[ -5=4. \] C’est impossible. \[ \boxed{S=\varnothing}. \]

Contrôle de la réponse : Substitue chaque solution dans l’équation de départ ; les deux membres doivent prendre la même valeur.

Exercice avancé 9 — Inéquation avec changement de sens

Résoudre et donner la solution sous forme d’intervalle :

\[ 6-5x\lt 2x+20. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Regroupe les termes en \(x\), puis fais attention si tu divises par un nombre négatif.

Modéliser : Écris d’abord l’inéquation qui traduit exactement la comparaison demandée.
Regrouper : Place les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre.
Surveiller le signe : Si tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre négatif, inverse obligatoirement le sens de l’inégalité.
Conclure : Donne l’intervalle solution puis, dans un problème concret, adapte au domaine : entier, quantité positive, nombre de colis, etc.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On effectue des transformations qui conservent l’ensemble solution. Le point sensible est le changement de sens lorsqu’on divise ou multiplie par un nombre négatif ; la conclusion est donnée sous forme d’intervalle ou adaptée au contexte.

\[ 6-5x\lt 2x+20 \] \[ -7x\lt 14. \] En divisant par \(-7\), on change le sens : \[ x\gt -2. \]

Réponse finale : \[ \boxed{S=]-2;+\infty[} \]

Contrôle de la réponse : Teste une valeur située dans l’intervalle solution et une valeur située à l’extérieur ; elles doivent donner respectivement une inégalité vraie et fausse.

Exercice avancé 10 — Programme de calcul

On considère le programme suivant :

Choisir un nombre.
Multiplier ce nombre par \(4\).
Ajouter \(12\).
Multiplier le résultat par \(2\).
Soustraire \(8\) fois le nombre choisi au départ.

Tester ce programme avec \(x=5\).
Écrire l’expression obtenue avec un nombre \(x\).
Développer et réduire cette expression.
Expliquer pourquoi le résultat ne dépend pas du nombre choisi.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Traduis chaque étape du programme avec \(x\), puis développe.

Traduire étape par étape : Note \(x\) le nombre choisi et écris une expression après chaque instruction du programme.
Respecter les dépendances : Lorsqu’une étape utilise le résultat précédent, mets des parenthèses avant de multiplier ou de soustraire.
Réduire : Développe seulement une fois l’expression complète construite, puis regroupe les termes semblables.
Contrôler : Teste avec une valeur simple : le calcul numérique direct et l’expression littérale doivent donner le même résultat.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On traduit successivement chaque instruction par une expression littérale. Le calcul avec une valeur test permet ensuite de vérifier que l’expression obtenue modélise bien le programme.

Test avec \(x=5\)

\[ 4\times5=20 \] \[ 20+12=32 \] \[ 2\times32=64 \] \[ 64-8\times5=24. \]

Avec un nombre \(x\)

\[ 2(4x+12)-8x. \] \[ 2(4x+12)-8x=8x+24-8x. \] \[ \boxed{24}. \]

Le résultat est toujours \(24\), donc il ne dépend pas du nombre choisi.

Contrôle de la réponse : Teste une valeur simple dans le programme et dans l’expression finale ; les deux résultats doivent coïncider.

Exercice avancé 11 — Mise en équation : rectangle

Un rectangle a une longueur qui mesure \(9\) cm de plus que sa largeur. Son périmètre est égal à \(70\) cm.

Choisir une inconnue.
Écrire une équation.
Résoudre cette équation.
Donner les dimensions du rectangle.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Note \(x\) la largeur. La longueur vaut alors \(x+9\).

Choisir l’inconnue : Définis clairement ce que représente \(x\), avec son unité et les contraintes du contexte.
Traduire les données : Écris chaque grandeur en fonction de \(x\) avant de former l’équation ou l’inéquation.
Résoudre : Effectue les transformations algébriques en conservant les conditions de validité.
Interpréter : Écarte toute solution impossible dans le contexte et termine par une phrase avec l’unité demandée.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On passe du texte au modèle algébrique : choix de l’inconnue, écriture des grandeurs, équation ou inéquation, résolution puis contrôle de l’admissibilité de la réponse.

On note \(x\) la largeur. La longueur vaut \(x+9\).

\[ 2(x+x+9)=70. \] \[ 2(2x+9)=70. \] \[ 4x+18=70. \] \[ 4x=52. \] \[ x=13. \]

La largeur vaut \(13\) cm et la longueur vaut :

\[ 13+9=22. \]

Réponse finale : \[ \boxed{\text{largeur }=13\text{ cm et longueur }=22\text{ cm}} \]

Contrôle de la réponse : Vérifie les unités, le signe et l’admissibilité de la valeur obtenue dans la situation concrète.

Exercice avancé 12 — Comparaison de tarifs

Une médiathèque propose deux formules :

Formule A : \(4\) € par livre emprunté.
Formule B : \(18\) € d’abonnement puis \(1{,}50\) € par livre emprunté.

On note \(x\) le nombre de livres empruntés.

Exprimer le prix \(A(x)\) de la formule A.
Exprimer le prix \(B(x)\) de la formule B.
Résoudre l’inéquation \(B(x)\lt A(x)\).
Interpréter le résultat.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Écris les deux prix en fonction de \(x\), puis cherche quand la formule B est moins chère.

Modéliser : Écris d’abord l’inéquation qui traduit exactement la comparaison demandée.
Regrouper : Place les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre.
Surveiller le signe : Si tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre négatif, inverse obligatoirement le sens de l’inégalité.
Conclure : Donne l’intervalle solution puis, dans un problème concret, adapte au domaine : entier, quantité positive, nombre de colis, etc.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ A(x)=4x. \] \[ B(x)=18+1{,}5x. \] On cherche : \[ B(x)\lt A(x). \] \[ 18+1{,}5x\lt 4x. \] \[ 18\lt 2{,}5x. \] \[ x\gt 7{,}2. \]

Comme \(x\) est un nombre entier de livres, la formule B devient plus intéressante à partir de : \[ \boxed{8\text{ livres}}. \]

Contrôle de la réponse : Teste une valeur située dans l’intervalle solution et une valeur située à l’extérieur ; elles doivent donner respectivement une inégalité vraie et fausse.

Exercice avancé 13 — Synthèse calcul littéral

On considère les deux expressions :

\[ A=(2x-5)^2-(x+1)^2 \] et \[ B=(x-6)(3x-4). \]

Développer et réduire \(A\).
Factoriser \(A\).
Développer et réduire \(B\).
Comparer \(A\) et \(B\).
Résoudre l’équation \(A=0\).

Indice méthode détaillé

Point de départ : Pour factoriser \(A\), utilise une différence de deux carrés.

Reconnaître la structure : Cherche d’abord un facteur commun. S’il n’y en a pas, teste une identité remarquable ou une différence de deux carrés.
Conserver le produit : Évite de développer trop tôt : la forme factorisée doit faire apparaître clairement les facteurs.
Réduire les facteurs : Simplifie l’intérieur des parenthèses avant de conclure.
Vérifier : Redéveloppe rapidement le produit final : tu dois retrouver exactement l’expression de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On privilégie la forme factorisée : facteur commun ou identité remarquable. La factorisation est ensuite contrôlée mentalement en redéveloppant le produit obtenu.

1. Développement de \(A\)

\[ (2x-5)^2=4x^2-20x+25. \] \[ (x+1)^2=x^2+2x+1. \] Donc : \[ A=4x^2-20x+25-(x^2+2x+1). \] \[ A=3x^2-22x+24. \]

2. Factorisation de \(A\)

\[ A=(2x-5)^2-(x+1)^2. \] \[ A=\big((2x-5)-(x+1)\big)\big((2x-5)+(x+1)\big). \] \[ A=(x-6)(3x-4). \]

3. Développement de \(B\)

\[ B=(x-6)(3x-4). \] \[ B=3x^2-4x-18x+24. \] \[ B=3x^2-22x+24. \]

4. Comparaison

\[ A=B \] pour tout nombre \(x\).

5. Résolution de \(A=0\)

\[ (x-6)(3x-4)=0. \] Donc : \[ x=6 \quad \text{ou} \quad x=\frac43. \]

Réponse finale : \[ \boxed{S=\left\{\frac43;6\right\}} \]

Contrôle de la réponse : Redéveloppe le produit final : il doit redonner exactement l’expression initiale.

Exercice avancé 14 — Problème type Brevet

Une association loue une salle pour \(240\) €. Au départ, \(x\) personnes participent et se partagent le prix également. Finalement, \(4\) personnes supplémentaires participent. Chaque personne paie alors \(5\) € de moins que prévu.

Exprimer le prix payé au départ par une personne.
Exprimer le prix payé finalement par une personne.
Écrire une équation traduisant la situation.
Montrer que cette équation devient : \[ x^2+4x-192=0. \]
Vérifier que \(x=12\) est solution.
Conclure.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Au départ, une personne paie \(\frac{240}{x}\). Finalement, une personne paie \(\frac{240}{x+4}\).

Choisir l’inconnue : Définis clairement ce que représente \(x\), avec son unité et les contraintes du contexte.
Traduire les données : Écris chaque grandeur en fonction de \(x\) avant de former l’équation ou l’inéquation.
Résoudre : Effectue les transformations algébriques en conservant les conditions de validité.
Interpréter : Écarte toute solution impossible dans le contexte et termine par une phrase avec l’unité demandée.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Comme \(x\) désigne le nombre initial de participants, on a \(x\gt 0\).

Au départ, chaque personne devait payer :

\[ \frac{240}{x}. \]

Finalement, il y a \(x+4\) personnes, donc chaque personne paie :

\[ \frac{240}{x+4}. \]

Chaque personne paie \(5\) € de moins :

\[ \frac{240}{x+4}=\frac{240}{x}-5. \] \[ \frac{240}{x}-\frac{240}{x+4}=5. \] \[ \frac{240(x+4)-240x}{x(x+4)}=5. \] \[ \frac{960}{x(x+4)}=5. \] \[ 960=5x(x+4). \] \[ 960=5x^2+20x. \] \[ 5x^2+20x-960=0. \] En divisant par \(5\) : \[ x^2+4x-192=0. \]

Pour résoudre complètement, on factorise le trinôme :

\[ x^2+4x-192=(x-12)(x+16). \]

En effet, \(-12\times16=-192\) et \(-12+16=4\).

\[ (x-12)(x+16)=0. \]

Par la règle du produit nul :

\[ x=12 \quad\text{ou}\quad x=-16. \]

La valeur \(x=-16\) est impossible car \(x\) représente un nombre de participants. On conserve donc uniquement \(x=12\).

Vérification demandée :

\[ 12^2+4\times12-192=144+48-192=0. \]

La valeur \(x=12\) convient : elle est positive et satisfait l’équation issue du problème.

Il y avait donc \(12\) participants au départ. Finalement, il y a :

\[ 12+4=16 \] personnes.

Le prix final par personne est :

\[ \frac{240}{16}=15. \]

Réponse finale : \[ \boxed{12\text{ participants au départ et }15\text{ € par personne finalement}} \]

Contrôle de la réponse : Vérifie les unités, le signe et l’admissibilité de la valeur obtenue dans la situation concrète.

Exercice avancé 15 — Développement long avec deux identités remarquables

Développer et réduire :

\[ E=(3x-2)^2-(x+5)^2+2(x-1)(x+4). \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Développe séparément les deux carrés et le produit, puis regroupe les termes en \(x^2\), en \(x\) et les constantes.

Développer séparément : Traite chaque parenthèse ou produit comme un bloc indépendant.
Gérer les signes : Un signe moins devant une parenthèse change tous les signes lorsqu’on la supprime.
Réduire : Regroupe les termes en \(x^2\), puis en \(x\), puis les constantes.
Contrôler : Pour une comparaison, mets les deux expressions sous la même forme afin de voir si elles sont identiques ou non.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ (3x-2)^2=9x^2-12x+4. \] \[ (x+5)^2=x^2+10x+25. \] \[ 2(x-1)(x+4)=2(x^2+3x-4)=2x^2+6x-8. \] Donc : \[ E=9x^2-12x+4-(x^2+10x+25)+2x^2+6x-8. \] \[ E=9x^2-12x+4-x^2-10x-25+2x^2+6x-8. \] \[ E=10x^2-16x-29. \]

Réponse finale : \[ \boxed{E=10x^2-16x-29} \]

Contrôle de la réponse : Contrôle les coefficients de \(x^2\), de \(x\) et le terme constant ; une erreur de signe se repère souvent à cette étape.

Exercice avancé 16 — Factorisation mixte

Factoriser le plus possible :

\[ F=(2x-1)^2-(2x-1)(x+3). \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Le facteur commun est \(2x-1\).

Reconnaître la structure : Cherche d’abord un facteur commun. S’il n’y en a pas, teste une identité remarquable ou une différence de deux carrés.
Conserver le produit : Évite de développer trop tôt : la forme factorisée doit faire apparaître clairement les facteurs.
Réduire les facteurs : Simplifie l’intérieur des parenthèses avant de conclure.
Vérifier : Redéveloppe rapidement le produit final : tu dois retrouver exactement l’expression de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On privilégie la forme factorisée : facteur commun ou identité remarquable. La factorisation est ensuite contrôlée mentalement en redéveloppant le produit obtenu.

\[ F=(2x-1)^2-(2x-1)(x+3). \] \[ F=(2x-1)\big((2x-1)-(x+3)\big). \] \[ F=(2x-1)(x-4). \]

Réponse finale : \[ \boxed{F=(2x-1)(x-4)} \]

Contrôle de la réponse : Redéveloppe le produit final : il doit redonner exactement l’expression initiale.

Exercice avancé 17 — Factoriser puis résoudre

Résoudre :

\[ (x-2)^2-(3x+1)^2=0. \]

Indice méthode détaillé

Point de départ : Utilise la formule \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Reconnaître la structure : Cherche d’abord un facteur commun. S’il n’y en a pas, teste une identité remarquable ou une différence de deux carrés.
Conserver le produit : Évite de développer trop tôt : la forme factorisée doit faire apparaître clairement les facteurs.
Réduire les facteurs : Simplifie l’intérieur des parenthèses avant de conclure.
Vérifier : Redéveloppe rapidement le produit final : tu dois retrouver exactement l’expression de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On privilégie la forme factorisée : facteur commun ou identité remarquable. La factorisation est ensuite contrôlée mentalement en redéveloppant le produit obtenu.

\[ (x-2)^2-(3x+1)^2=0. \] \[ \big((x-2)-(3x+1)\big)\big((x-2)+(3x+1)\big)=0. \] \[ (-2x-3)(4x-1)=0. \] Donc : \[ -2x-3=0 \quad \text{ou} \quad 4x-1=0. \] \[ x=-\frac32 \quad \text{ou} \quad x=\frac14. \]

Réponse finale : \[ \boxed{S=\left\{-\frac32;\frac14\right\}} \]

Contrôle de la réponse : Redéveloppe le produit final : il doit redonner exactement l’expression initiale.

Exercice avancé 18 — Inéquation issue d’un problème concret

Un service de livraison propose deux tarifs :

Tarif A : \(3{,}20\) € par colis.
Tarif B : \(12\) € d’abonnement puis \(1{,}70\) € par colis.

On note \(x\) le nombre de colis envoyés.

Exprimer les prix \(A(x)\) et \(B(x)\).
Résoudre l’inéquation permettant de savoir quand le tarif B est moins cher que le tarif A.
Conclure avec un nombre entier de colis.

Indice méthode détaillé

Point de départ : Cherche quand \(B(x)\lt A(x)\).

Modéliser : Écris d’abord l’inéquation qui traduit exactement la comparaison demandée.
Regrouper : Place les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre.
Surveiller le signe : Si tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre négatif, inverse obligatoirement le sens de l’inégalité.
Conclure : Donne l’intervalle solution puis, dans un problème concret, adapte au domaine : entier, quantité positive, nombre de colis, etc.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

\[ A(x)=3{,}2x. \] \[ B(x)=12+1{,}7x. \] On cherche : \[ 12+1{,}7x\lt 3{,}2x. \] \[ 12\lt 1{,}5x. \] \[ x\gt 8. \]

Le tarif B devient strictement moins cher à partir de : \[ \boxed{9\text{ colis}} \]

Contrôle de la réponse : Teste une valeur située dans l’intervalle solution et une valeur située à l’extérieur ; elles doivent donner respectivement une inégalité vraie et fausse.

Exercice avancé 19 — Synthèse Brevet : deux formes d’une expression

On considère :

\[ G=(x-7)^2-16. \]

Développer et réduire \(G\).
Factoriser \(G\).
Calculer \(G\) pour \(x=7\).
Résoudre \(G=0\).

Indice méthode détaillé

Point de départ : Pour factoriser, écris \(16=4^2\).

Reconnaître la structure : Cherche d’abord un facteur commun. S’il n’y en a pas, teste une identité remarquable ou une différence de deux carrés.
Conserver le produit : Évite de développer trop tôt : la forme factorisée doit faire apparaître clairement les facteurs.
Réduire les facteurs : Simplifie l’intérieur des parenthèses avant de conclure.
Vérifier : Redéveloppe rapidement le produit final : tu dois retrouver exactement l’expression de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On privilégie la forme factorisée : facteur commun ou identité remarquable. La factorisation est ensuite contrôlée mentalement en redéveloppant le produit obtenu.

1. Développement

\[ G=(x-7)^2-16. \] \[ G=x^2-14x+49-16. \] \[ G=x^2-14x+33. \]

2. Factorisation

\[ G=(x-7)^2-4^2. \] \[ G=(x-7-4)(x-7+4). \] \[ G=(x-11)(x-3). \]

3. Calcul pour \(x=7\)

\[ G(7)=(7-7)^2-16=-16. \]

4. Résolution de \(G=0\)

\[ (x-11)(x-3)=0. \] Donc : \[ x=11 \quad \text{ou} \quad x=3. \]

Réponses finales : \[ \boxed{G=x^2-14x+33} \qquad \boxed{G=(x-11)(x-3)} \qquad \boxed{S=\{3;11\}} \]

Contrôle de la réponse : Redéveloppe le produit final : il doit redonner exactement l’expression initiale.

Exercice avancé 20 — Synthèse finale type Brevet

On considère les expressions :

\[ H=(2x+3)^2-(x-4)^2 \] et \[ K=(x+7)(3x-1). \]

Factoriser \(H\).
Développer et réduire \(H\).
Développer et réduire \(K\).
Résoudre l’équation \(H=K\).
Résoudre l’équation \(H=0\).

Indice méthode détaillé

Point de départ : Pour \(H\), commence par utiliser une différence de deux carrés : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Reconnaître la structure : Cherche d’abord un facteur commun. S’il n’y en a pas, teste une identité remarquable ou une différence de deux carrés.
Conserver le produit : Évite de développer trop tôt : la forme factorisée doit faire apparaître clairement les facteurs.
Réduire les facteurs : Simplifie l’intérieur des parenthèses avant de conclure.
Vérifier : Redéveloppe rapidement le produit final : tu dois retrouver exactement l’expression de départ.

Conseil Brevet : écris une transformation par ligne et garde une forme exacte jusqu’à la conclusion. L’indice doit guider la méthode sans remplacer le raisonnement.

Correction détaillée

Démarche détaillée : On privilégie la forme factorisée : facteur commun ou identité remarquable. La factorisation est ensuite contrôlée mentalement en redéveloppant le produit obtenu.

1. Factorisation de \(H\)

\[ H=(2x+3)^2-(x-4)^2. \] \[ H=\big((2x+3)-(x-4)\big)\big((2x+3)+(x-4)\big). \] \[ H=(x+7)(3x-1). \]

2. Développement de \(H\)

\[ H=(x+7)(3x-1). \] \[ H=3x^2-x+21x-7. \] \[ H=3x^2+20x-7. \]

3. Développement de \(K\)

\[ K=(x+7)(3x-1). \] \[ K=3x^2+20x-7. \]

4. Résolution de \(H=K\)

Comme \(H=K\) pour tout nombre \(x\), on a : \[ \boxed{S=\mathbb{R}}. \]

5. Résolution de \(H=0\)

\[ (x+7)(3x-1)=0. \] Donc : \[ x=-7 \quad \text{ou} \quad x=\frac13. \]

Réponse finale : \[ \boxed{S=\left\{-7;\frac13\right\}} \]

Contrôle de la réponse : Redéveloppe le produit final : il doit redonner exactement l’expression initiale.

Partie VI — Bilan méthode

Ce qu’il faut savoir faire

Développer une expression avec un facteur devant une parenthèse.
Gérer correctement le signe moins devant une parenthèse.
Développer un produit de deux parenthèses.
Utiliser les identités remarquables dans les deux sens.
Factoriser avec un facteur commun.
Factoriser une différence de deux carrés.
Résoudre une équation du premier degré.
Reconnaître une équation vraie pour tout \(x\) ou impossible.
Résoudre une équation produit nul.
Résoudre une inéquation en changeant le sens si nécessaire.
Traduire un problème en équation ou en inéquation.
Rédiger clairement une réponse dans un problème type Brevet.

Objectif Brevet : être capable de passer d’une expression développée à une expression factorisée, de résoudre une équation, puis d’utiliser le résultat dans un problème concret.