Révision Bac — Suites et récurrence

Si \((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\), alors :

Si le premier terme est \(u_1\) et de raison \(r\), alors :

Si le premier terme est \(u_p\) et de raison \(r\), alors :

Si \((u_n)\) est géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), alors :

Si le premier terme est \(u_1\) et de raison \(q\), alors :

Si le premier terme est \(u_p\) et de raison \(q\), alors :

Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) lorsque :

Cela signifie que la différence entre deux termes consécutifs est constante :

Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) lorsque :

Si \(u_n\neq0\), cela revient aussi à écrire :

Pour une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs est :

Par exemple, pour calculer :

il y a \(n+1\) termes. Donc :

Si \(q\neq1\), alors :

Si \(q=1\), alors :

Comme \((u_n)\) est géométrique, on a :

Donc :

Si \(q\neq1\), alors :

On utilise souvent une démonstration par récurrence.

Pour montrer \(u_n\leq M\), on pose :

Pour montrer \(u_n\geq m\), on pose :

Dans les deux cas, la structure est :

• Initialisation : vérifier la propriété au premier rang.
• Hérédité : supposer la propriété vraie au rang \(n\), puis la prouver au rang \(n+1\).
• Conclusion : conclure par récurrence.

La méthode la plus classique consiste à calculer :

• Si \(u_{n+1}-u_n\geq0\), alors \(u_{n+1}\geq u_n\), donc la suite est croissante.
• Si \(u_{n+1}-u_n\leq0\), alors \(u_{n+1}\leq u_n\), donc la suite est décroissante.

Si tous les termes de la suite sont non nuls et gardent le même signe, on peut aussi étudier le quotient :

• Si \(u_n>0\) pour tout \(n\) et si \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1\), alors \(u_{n+1}\geq u_n\), donc la suite est croissante.
• Si \(u_n>0\) pour tout \(n\) et si \(0<\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq1\), alors \(u_{n+1}\leq u_n\), donc la suite est décroissante.
• Si \(u_n<0\) pour tout \(n\) et si \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1\), alors \(u_{n+1}\leq u_n\), donc la suite est décroissante.
• Si \(u_n<0\) pour tout \(n\) et si \(0<\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq1\), alors \(u_{n+1}\geq u_n\), donc la suite est croissante.

D’après le théorème de convergence monotone :

Une fois la convergence démontrée, on peut noter :

Si la suite vérifie une relation du type :

alors, sous les conditions usuelles de passage à la limite, on obtient :

Comme \(r=-3<0\), la suite est décroissante.

Comme \(0<\frac12<1\), on a :

Donc :

On note \(P(n)\) la propriété :

Initialisation. Pour \(n=0\), on a :

Donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons que \(P(n)\) soit vraie :

En multipliant par \(2>0\), on obtient :

Or \(2n+2\geq n+2\) pour tout \(n\geq0\). Donc :

C’est bien la propriété au rang \(n+1\).

Conclusion. Par récurrence :

1. Premiers termes.

On observe une alternance autour de \(1\).

2. Relation sur \(u_{n+1}-1\).

Comme \(u_n>0\), on a \(2u_n+1>0\), donc \(u_{n+1}-1\) est de signe opposé à \(u_n-1\).

3. Signe de \(u_n-1\).

Comme \(u_0-1=1>0\), puis que le signe change à chaque étape, on en déduit par récurrence que \(u_n-1\) a le même signe que \((-1)^n\).

4. Étude de \(v_n\).

En remplaçant \(u_{n+1}\) par \(\dfrac{u_n+2}{2u_n+1}\), puis en simplifiant, on obtient :

Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(-\dfrac13\).

5. Expression de \(u_n\).

On a :

D’où :

Ainsi :

6. Limite.

Comme \(\left(-\dfrac13\right)^n\to0\), on a \(v_n\to0\), donc :

1. Calcul des premiers termes.

On calcule ensuite :

Les premiers termes semblent se rapprocher de \(3\) en augmentant. On peut donc conjecturer que \((u_n)\) est croissante et converge vers \(3\).

2. Étude avec la suite auxiliaire \(v_n=u_n-3\).

Comme \(u_n=v_n+3\), on remplace dans la relation :

Donc :

3. Montrons par récurrence que \(-1\leq v_n\leq0\).

Initialisation : \(v_0=u_0-3=2-3=-1\), donc \(-1\leq v_0\leq0\).

Hérédité : supposons que \(-1\leq v_n\leq0\). Alors :

En multipliant par \(-\frac12\), on obtient :

Or \(v_{n+1}=-\frac12v_n^2\), donc :

Conclusion : par récurrence,

4. Sens de variation de \((v_n)\).

Comme \(v_n\in[-1;0]\), on a \(-v_n\geq0\). De plus :

Donc :

La suite \((v_n)\) est donc croissante. Elle est aussi majorée par \(0\), donc elle est convergente.

5. Limite.

On note \(\ell=\lim_{n\to+\infty}v_n\). En passant à la limite dans \(v_{n+1}=-\frac12v_n^2\), on obtient :

Donc \(\ell=0\) ou \(\ell=-2\). Comme \(\ell\in[-1;0]\), on a :

Ainsi :

Comme \(u_n=v_n+3\), on obtient :

1. Premiers termes.

La suite semble ensuite croître.

2. Montrons que \(u_n\geq0\) pour tout \(n\geq4\).

On calcule :

Supposons que pour un entier \(n\geq4\), on ait \(u_n\geq0\). Alors :

Comme \(u_n\geq0\), on a \(\frac13u_n\geq0\). De plus, comme \(n\geq4\), on a \(n-2\geq2\). Donc :

Par récurrence :

3. Montrons que pour tout \(n\geq5\), \(u_n\geq n-3\).

Pour \(n\geq5\), on a \(n-1\geq4\), donc \(u_{n-1}\geq0\). Or :

Comme \(u_{n-1}\geq0\), on obtient :

Comme \(n-3\to+\infty\), alors, par comparaison :

4. Suite auxiliaire.

On pose :

En utilisant la relation de récurrence de \((u_n)\), on obtient :

Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac13\).

5. Expression de \(u_n\).

À partir de :

on isole \(u_n\) :

Donc :

6. Somme.

On somme l’expression explicite :

Donc :

Avec :

et

Finalement :

1. Calcul de \(u_2\).

On vérifie alors que les différences et les rapports ne sont pas constants : la suite n’est ni arithmétique ni géométrique.

2. Étude de \((v_n)\).

Ensuite :

Or :

Donc :

Ainsi \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), et :

3. Étude de \((w_n)\).

On a :

Donc :

Comme :

la suite \((w_n)\) est arithmétique de raison \(2\), donc :

4. Expression de \(u_n\).

Comme \(u_n=w_nv_n\), on obtient :

5. Somme.

En admettant ou en montrant par récurrence la formule :

On obtient une expression fermée de la somme des termes.

1. Arbre pondéré.

Au premier niveau, on place \(R_n\) avec probabilité \(p_n\), puis \(\overline{R_n}\) avec probabilité \(1-p_n\). Depuis \(R_n\), la probabilité d’aller vers \(R_{n+1}\) vaut \(0,82\). Depuis \(\overline{R_n}\), elle vaut \(0,46\).

2. Relation de récurrence.

3. Suite auxiliaire.

On cherche le point fixe \(\ell\) :

Comme \(u_n=p_n-\dfrac{23}{32}\), on obtient :

Donc :

La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(0,36\).

4. Expression explicite.

Ainsi :

5. Limite.

Comme \(-1<0,36<1\), on a \(0,36^{n-1}\to 0\). Donc :

À long terme, la probabilité de réussir un exercice se stabilise autour de \(71,9\%\).

6. Seuil.

En utilisant les logarithmes :

Donc le plus petit rang est :

1. Fonction associée.

Sur \([2;+\infty[\), on a \(3x-2>0\) et :

Donc \(f\) est strictement croissante.

2. Encadrement de \((u_n)\).

On a \(u_0=6\) et \(u_1=\sqrt{16}=4\), donc \(2\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant 6\).

Si \(2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 6\), alors comme \(f\) est croissante :

Donc, par récurrence, la propriété est vraie pour tout \(n\).

3. Limite de \((u_n)\).

La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(2\), donc elle converge. Si sa limite est \(\ell\), alors :

Comme \(\ell\geqslant2\), on obtient :

4. Calcul de \(v_1\).

5. Suite auxiliaire.

Donc \((w_n)\) est géométrique de raison \(2\). De plus :

6. Expression de \(v_n\).

Comme \(w_n=\dfrac{v_n-1}{v_n-2}\), on a :

Donc :

Ainsi :

7. Limite de \((v_n)\).

Comme \(\dfrac54\times2^n-1\to+\infty\), on obtient :

8. Rang commun.

Pour \((v_n)\), il suffit de résoudre :

Donc \(n=7\) convient pour \((v_n)\). Pour \((u_n)\), on utilise une calculatrice ou un algorithme de seuil, car la suite n’a pas ici de forme explicite simple. On trouve que \(u_{17}\approx2,009\).

Un rang qui convient pour les deux suites est donc :

1. Premier terme.

2. Croissance de \(g\).

Sur \([4;6]\), on a \(2x>0\) et \(x^2-3>0\). Donc \(g'(x)>0\) et \(g\) est croissante sur \([4;6]\).

3. Stabilité de l’intervalle.

Comme \(g\) est croissante :

Donc :

4. Récurrence.

On a \(u_0=5\in[4;6]\) et \(u_1\approx5,091\), donc \(4\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant6\).

Supposons \(4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant6\). Comme \(g\) est croissante :

Donc \(u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\). Et par stabilité de \([4;6]\), \(4\leqslant u_{n+2}\leqslant6\). La propriété est démontrée.

5. Convergence.

La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(6\). Donc elle converge.

6. Équation de la limite.

La fonction \(g\) est continue sur \([4;6]\). Si \(u_n\to\ell\), alors :

7. Approximation.

En résolvant numériquement \(2+\ln(x^2-3)-x=0\) sur \([4;6]\), on obtient :

1. Interprétation graphique.

Comme \(x^n e^{-x}\geqslant0\) sur \([0;1]\), \(I_n\) représente l’aire située sous la courbe de \(x\mapsto x^n e^{-x}\), entre \(x=0\) et \(x=1\).

2. Calcul de \(I_0\).

3. Comparaison.

Pour \(x\in[0;1]\), multiplier par \(x\) diminue ou conserve la valeur. Donc :

4. Décroissance et convergence.

En multipliant par \(e^{-x}>0\), puis en intégrant sur \([0;1]\), on obtient :

La suite \((I_n)\) est décroissante et minorée par \(0\), donc elle converge.

5. Majoration.

Sur \([0;1]\), on a \(e^{-x}\leqslant1\). Donc :

6. Limite.

Comme \(\dfrac{1}{n+1}\to0\), le théorème d’encadrement donne :

7. Relation de récurrence.

On pose \(u=x^{n+1}\) et \(v' = e^{-x}\). Alors \(u'=(n+1)x^n\) et \(v=-e^{-x}\).

8. Algorithme.

from math import exp

def suite():
    I = 1 - 1/exp(1)
    for n in range(0, 8):
        I = (n + 1)*I - 1/exp(1)
    return I