Terminale Spécialité Mathématiques

Révision Bac — Suites et récurrence

Questions de cours type Bac, applications directes, exercices type Bac avancés et bilan méthode pour maîtriser les suites numériques, le raisonnement par récurrence, la monotonie, la convergence et les limites.

Suites numériques Révision Bac Récurrence Monotonie Convergence Limites

Méthode Bac essentielle

Dans un exercice de Bac sur les suites, la progression classique est : calculer les premiers termes, conjecturer, démontrer par récurrence, étudier la monotonie, montrer la convergence, puis déterminer la limite.

Calculer Conjecturer Démontrer Conclure

Important : pour une récurrence, il faut toujours écrire clairement : initialisation, hypothèse de récurrence, hérédité, puis conclusion. Une démonstration sans conclusion est souvent incomplète.

Partie I — Questions de cours type Bac

Ces questions correspondent aux formules et méthodes que l’on doit savoir mobiliser rapidement dans un exercice de Bac sur les suites.

Question 1 — Formule explicite d’une suite arithmétique

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\). Donner l’expression explicite de \(u_n\).

Indice

À chaque rang, on ajoute la raison \(r\).

Correction détaillée

Si \((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\), alors :

\[ \boxed{u_n=u_0+nr} \]

Si le premier terme est \(u_1\) et de raison \(r\), alors :

\[ \boxed{u_n=u_1+(n-1)r} \]

Si le premier terme est \(u_p\) et de raison \(r\), alors :

\[ \boxed{u_n=u_p+(n-p)r} \]

Erreur classique : de \(u_0\) à \(u_n\), l’indice augmente de \(n\). De \(u_1\) à \(u_n\), l’indice augmente de \(n-1\).

Question 2 — Formule explicite d’une suite géométrique

Soit \((u_n)\) une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\). Donner l’expression explicite de \(u_n\).

Indice

À chaque rang, on multiplie par la raison \(q\).

Correction détaillée

Si \((u_n)\) est géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), alors :

\[ \boxed{u_n=u_0q^n} \]

Si le premier terme est \(u_1\) et de raison \(q\), alors :

\[ \boxed{u_n=u_1q^{\,n-1}} \]

Si le premier terme est \(u_p\) et de raison \(q\), alors :

\[ \boxed{u_n=u_pq^{\,n-p}} \]

Erreur classique : dans une suite géométrique, l’exposant dépend du rang du premier terme.

Question 3 — Formule de récurrence d’une suite arithmétique

Donner la relation de récurrence d’une suite arithmétique de raison \(r\).

Indice

Le terme suivant s’obtient en ajoutant toujours le même nombre.

Correction détaillée

Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) lorsque :

\[ \boxed{u_{n+1}=u_n+r} \]

Cela signifie que la différence entre deux termes consécutifs est constante :

\[ \boxed{u_{n+1}-u_n=r} \]

Question 4 — Formule de récurrence d’une suite géométrique

Donner la relation de récurrence d’une suite géométrique de raison \(q\).

Indice

Le terme suivant s’obtient en multipliant toujours par le même nombre.

Correction détaillée

Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) lorsque :

\[ \boxed{u_{n+1}=q u_n} \]

Si \(u_n\neq0\), cela revient aussi à écrire :

\[ \boxed{\frac{u_{n+1}}{u_n}=q} \]

Question 5 — Somme des termes d’une suite arithmétique

Donner la formule permettant de calculer la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique.

Indice

La somme dépend du nombre de termes, du premier terme et du dernier terme.

Correction détaillée

Pour une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs est :

\[ \boxed{ S=\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2} } \]

Par exemple, pour calculer :

\[ u_0+u_1+\cdots+u_n, \]

il y a \(n+1\) termes. Donc :

\[ \boxed{ u_0+u_1+\cdots+u_n = \frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2} } \]

Erreur classique : de \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n+1\) termes, pas \(n\).

Question 6 — Somme des puissances \(1+q+\cdots+q^n\)

Donner la formule de la somme :

\[ 1+q+q^2+\cdots+q^n. \]

Indice

La formule est valable lorsque \(q\neq1\).

Correction détaillée

Si \(q\neq1\), alors :

\[ \boxed{ 1+q+q^2+\cdots+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} } \]

Si \(q=1\), alors :

\[ 1+q+q^2+\cdots+q^n = 1+1+\cdots+1 = n+1. \]

Erreur classique : la puissance finale est \(q^{n+1}\), car il y a \(n+1\) termes.

Question 7 — Somme des termes d’une suite géométrique

Soit \((u_n)\) une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\neq1\). Donner la formule de :

\[ u_0+u_1+\cdots+u_n. \]

Indice

Factoriser par le premier terme \(u_0\).

Correction détaillée

Comme \((u_n)\) est géométrique, on a :

\[ u_n=u_0q^n. \]

Donc :

\[ u_0+u_1+\cdots+u_n = u_0(1+q+q^2+\cdots+q^n). \]

Si \(q\neq1\), alors :

\[ \boxed{ u_0+u_1+\cdots+u_n = u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} } \]

Erreur classique : ne pas oublier de multiplier par le premier terme \(u_0\).

Question 8 — Comment montrer qu’une suite est bornée ?

Dans un exercice de Bac, quelle méthode utilise-t-on souvent pour montrer que \(u_n\leq M\) ou \(u_n\geq m\) pour tout \(n\in\mathbb N\) ?

Indice

On cherche à prouver une propriété vraie pour tous les entiers.

Correction détaillée

On utilise souvent une démonstration par récurrence.

Pour montrer \(u_n\leq M\), on pose :

\[ P(n):\quad u_n\leq M. \]

Pour montrer \(u_n\geq m\), on pose :

\[ P(n):\quad u_n\geq m. \]

Dans les deux cas, la structure est :

Initialisation : vérifier la propriété au premier rang.
Hérédité : supposer la propriété vraie au rang \(n\), puis la prouver au rang \(n+1\).
Conclusion : conclure par récurrence.

Question 9 — Comment étudier le sens de variation d’une suite ?

Quelle méthode utilise-t-on généralement pour montrer qu’une suite est croissante ou décroissante ?

Indice

Comparer deux termes consécutifs.

Correction détaillée

La méthode la plus classique consiste à calculer :

\[ u_{n+1}-u_n. \]

Si \(u_{n+1}-u_n\geq0\), alors \(u_{n+1}\geq u_n\), donc la suite est croissante.
Si \(u_{n+1}-u_n\leq0\), alors \(u_{n+1}\leq u_n\), donc la suite est décroissante.

Si tous les termes de la suite sont non nuls et gardent le même signe, on peut aussi étudier le quotient :

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}. \]

Si \(u_n>0\) pour tout \(n\) et si \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1\), alors \(u_{n+1}\geq u_n\), donc la suite est croissante.
Si \(u_n>0\) pour tout \(n\) et si \(0<\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq1\), alors \(u_{n+1}\leq u_n\), donc la suite est décroissante.
Si \(u_n<0\) pour tout \(n\) et si \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1\), alors \(u_{n+1}\leq u_n\), donc la suite est décroissante.
Si \(u_n<0\) pour tout \(n\) et si \(0<\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq1\), alors \(u_{n+1}\geq u_n\), donc la suite est croissante.

Attention : la méthode du quotient est utile seulement lorsque les termes \(u_n\) sont non nuls et gardent un signe constant. Si le quotient est négatif, les termes changent de signe, et il vaut mieux revenir à l’étude de \(u_{n+1}-u_n\). Si le quotient vaut exactement \(1\), alors \(u_{n+1}=u_n\) : la suite est constante sur le rang concerné.

Question 10 — Comment montrer la convergence et déterminer la limite ?

Dans un exercice de Bac, on a montré qu’une suite est monotone et bornée. Comment conclure, puis comment déterminer sa limite ?

Indice

Utiliser le théorème de convergence monotone, puis passer à la limite dans la relation de récurrence.

Correction détaillée

D’après le théorème de convergence monotone :

\[ \boxed{ \text{Toute suite croissante et majorée est convergente.} } \] \[ \boxed{ \text{Toute suite décroissante et minorée est convergente.} } \]

Une fois la convergence démontrée, on peut noter :

\[ \ell=\lim_{n\to+\infty}u_n. \]

Si la suite vérifie une relation du type :

\[ u_{n+1}=f(u_n), \]

alors, sous les conditions usuelles de passage à la limite, on obtient :

\[ \boxed{\ell=f(\ell)} \]

Erreur classique : ne jamais écrire \(\ell=f(\ell)\) avant d’avoir prouvé que la suite converge.

Partie II — Applications directes

Ces exercices courts permettent d’appliquer immédiatement les définitions et les méthodes du cours.

Application 1 — Calculer les premiers termes

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ \begin{cases} u_0=3\\ u_{n+1}=2u_n-1 \end{cases} \]

Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

Indice

Remplacer progressivement \(u_n\) par le terme précédent.

Correction détaillée

\[ u_1=2u_0-1=2\times3-1=5. \] \[ u_2=2u_1-1=2\times5-1=9. \] \[ u_3=2u_2-1=2\times9-1=17. \] \[ \boxed{u_1=5,\quad u_2=9,\quad u_3=17} \]

Application 2 — Suite arithmétique

On considère la suite arithmétique \((u_n)\) telle que :

\[ u_0=8 \quad \text{et} \quad r=-3. \]

Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
Calculer \(u_{15}\).
Étudier le sens de variation.

Indice

Pour une suite arithmétique :

\[ u_n=u_0+nr. \]

Correction détaillée

\[ u_n=8+n(-3)=8-3n. \] \[ \boxed{u_n=8-3n} \] \[ u_{15}=8-3\times15=8-45=-37. \] \[ \boxed{u_{15}=-37} \]

Comme \(r=-3<0\), la suite est décroissante.

\[ \boxed{(u_n)\ \text{est décroissante}} \]

Application 3 — Suite géométrique

On considère la suite géométrique \((v_n)\) telle que :

\[ v_0=12 \quad \text{et} \quad q=\frac12. \]

Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
Calculer \(v_4\).
Déterminer la limite de \((v_n)\).

Indice

Pour une suite géométrique :

\[ v_n=v_0q^n. \]

Correction détaillée

\[ v_n=12\left(\frac12\right)^n. \] \[ \boxed{v_n=12\left(\frac12\right)^n} \] \[ v_4=12\left(\frac12\right)^4 =12\times\frac1{16} =\frac34. \] \[ \boxed{v_4=\frac34} \]

Comme \(0<\frac12<1\), on a :

\[ \left(\frac12\right)^n\to 0. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}v_n=0} \]

Application 4 — Récurrence simple

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geq 0\) :

\[ 2^n\geq n+1. \]

Indice

Pour l’hérédité, utiliser le fait que si \(2^n\geq n+1\), alors \(2^{n+1}=2\times2^n\).

Correction détaillée

On note \(P(n)\) la propriété :

\[ P(n):\quad 2^n\geq n+1. \]

Initialisation. Pour \(n=0\), on a :

\[ 2^0=1 \quad \text{et} \quad 0+1=1. \]

Donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons que \(P(n)\) soit vraie :

\[ 2^n\geq n+1. \]

En multipliant par \(2>0\), on obtient :

\[ 2^{n+1}\geq 2(n+1)=2n+2. \]

Or \(2n+2\geq n+2\) pour tout \(n\geq0\). Donc :

\[ 2^{n+1}\geq n+2. \]

C’est bien la propriété au rang \(n+1\).

Conclusion. Par récurrence :

\[ \boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad 2^n\geq n+1} \]

Partie III — Exercices type Bac avancés

Voici des exercices plus proches du vrai Bac : calculs de premiers termes, conjectures, changement de variable, suites auxiliaires, convergence, expression explicite et sommes de termes.

Exercice Bac 1 — Suite homographique et suite auxiliaire

On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par :

\[ u_0=2 \qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=\frac{u_n+2}{2u_n+1}. \]

On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n>0\).

Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\).
Vérifier que, pour \(n=0,1,2,3\), le nombre \(u_n-1\) est de signe alterné.
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) : \[ u_{n+1}-1=\frac{1-u_n}{2u_n+1}. \]
En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n-1\) est du même signe que \((-1)^n\).
On pose, pour tout entier naturel \(n\) : \[ v_n=\frac{u_n-1}{u_n+1}. \] Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
Exprimer \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Indice

Calculer d’abord \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_n\), puis remplacer \(u_{n+1}\) par sa formule.

Correction détaillée

1. Premiers termes.

\[ u_1=\frac{2+2}{2\times2+1}=\frac45. \] \[ u_2=\frac{\frac45+2}{2\times\frac45+1} = \frac{\frac{14}{5}}{\frac{13}{5}} = \frac{14}{13}. \] \[ u_3=\frac{\frac{14}{13}+2}{2\times\frac{14}{13}+1} = \frac{\frac{40}{13}}{\frac{41}{13}} = \frac{40}{41}. \] \[ u_4=\frac{\frac{40}{41}+2}{2\times\frac{40}{41}+1} = \frac{\frac{122}{41}}{\frac{121}{41}} = \frac{122}{121}. \]

On observe une alternance autour de \(1\).

2. Relation sur \(u_{n+1}-1\).

\[ u_{n+1}-1 = \frac{u_n+2}{2u_n+1}-1 = \frac{u_n+2-(2u_n+1)}{2u_n+1} = \frac{1-u_n}{2u_n+1}. \] \[ \boxed{ u_{n+1}-1=\frac{1-u_n}{2u_n+1} } \]

Comme \(u_n>0\), on a \(2u_n+1>0\), donc \(u_{n+1}-1\) est de signe opposé à \(u_n-1\).

3. Signe de \(u_n-1\).

Comme \(u_0-1=1>0\), puis que le signe change à chaque étape, on en déduit par récurrence que \(u_n-1\) a le même signe que \((-1)^n\).

4. Étude de \(v_n\).

\[ v_{n+1} = \frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}. \]

En remplaçant \(u_{n+1}\) par \(\dfrac{u_n+2}{2u_n+1}\), puis en simplifiant, on obtient :

\[ v_{n+1}=-\frac13 v_n. \]

Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(-\dfrac13\).

\[ v_0=\frac{2-1}{2+1}=\frac13. \] \[ \boxed{ v_n=\frac13\left(-\frac13\right)^n } \]

5. Expression de \(u_n\).

On a :

\[ v_n=\frac{u_n-1}{u_n+1}. \]

D’où :

\[ u_n=\frac{1+v_n}{1-v_n}. \]

Ainsi :

\[ \boxed{ u_n=\frac{1+\frac13\left(-\frac13\right)^n}{1-\frac13\left(-\frac13\right)^n} } \]

6. Limite.

Comme \(\left(-\dfrac13\right)^n\to0\), on a \(v_n\to0\), donc :

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=1 } \]

Exercice Bac 2 — Conjecture, validation et convergence

On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par :

\[ u_0=2 \qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=-\frac12u_n^2+3u_n-\frac32. \]

Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de \(u_3\) et \(u_4\).
Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite \((u_n)\).
On pose, pour tout entier naturel \(n\), \[ v_n=u_n-3. \] Montrer que : \[ v_{n+1}=-\frac12v_n^2. \]
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \[ -1\leq v_n\leq 0. \]
Montrer que : \[ v_{n+1}-v_n=-v_n\left(\frac12v_n+1\right). \]
En déduire le sens de variation de \((v_n)\), puis sa convergence.
Déterminer la limite de \((v_n)\), puis celle de \((u_n)\).

Indice

Développer \(u_n= v_n+3\) dans la relation de récurrence pour exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\).

Correction détaillée

1. Calcul des premiers termes.

\[ u_1 = -\frac12\times2^2 + 3\times2 - \frac32 = -2+6-\frac32 = \frac52. \] \[ u_2 = -\frac12\left(\frac52\right)^2 + 3\times\frac52 - \frac32 = -\frac{25}{8} + \frac{15}{2} - \frac32 = \frac{23}{8}. \] \[ \boxed{ u_1=\frac52 \quad\text{et}\quad u_2=\frac{23}{8} } \]

On calcule ensuite :

\[ u_3 = -\frac12\left(\frac{23}{8}\right)^2 + 3\times\frac{23}{8} - \frac32 = \frac{383}{128} \approx 2{,}992. \] \[ u_4 = -\frac12u_3^2 + 3u_3 - \frac32 = \frac{98303}{32768} \approx 3{,}000. \] \[ \boxed{ u_3\approx2{,}992 \quad\text{et}\quad u_4\approx3{,}000 } \]

Les premiers termes semblent se rapprocher de \(3\) en augmentant. On peut donc conjecturer que \((u_n)\) est croissante et converge vers \(3\).

2. Étude avec la suite auxiliaire \(v_n=u_n-3\).

Comme \(u_n=v_n+3\), on remplace dans la relation :

\[ u_{n+1} = -\frac12(v_n+3)^2 + 3(v_n+3) - \frac32. \] \[ u_{n+1} = -\frac12v_n^2 - 3v_n - \frac92 + 3v_n + 9 - \frac32. \] \[ u_{n+1}=3-\frac12v_n^2. \]

Donc :

\[ v_{n+1}=u_{n+1}-3=-\frac12v_n^2. \] \[ \boxed{ v_{n+1}=-\frac12v_n^2 } \]

3. Montrons par récurrence que \(-1\leq v_n\leq0\).

Initialisation : \(v_0=u_0-3=2-3=-1\), donc \(-1\leq v_0\leq0\).

Hérédité : supposons que \(-1\leq v_n\leq0\). Alors :

\[ 0\leq v_n^2\leq1. \]

En multipliant par \(-\frac12\), on obtient :

\[ -\frac12\leq -\frac12v_n^2\leq0. \]

Or \(v_{n+1}=-\frac12v_n^2\), donc :

\[ -1\leq v_{n+1}\leq0. \]

Conclusion : par récurrence,

\[ \boxed{ \forall n\in\mathbb N,\quad -1\leq v_n\leq0 } \]

4. Sens de variation de \((v_n)\).

\[ v_{n+1}-v_n = -\frac12v_n^2-v_n = -v_n\left(\frac12v_n+1\right). \]

Comme \(v_n\in[-1;0]\), on a \(-v_n\geq0\). De plus :

\[ \frac12v_n+1\geq\frac12>0. \]

Donc :

\[ v_{n+1}-v_n\geq0. \]

La suite \((v_n)\) est donc croissante. Elle est aussi majorée par \(0\), donc elle est convergente.

5. Limite.

On note \(\ell=\lim_{n\to+\infty}v_n\). En passant à la limite dans \(v_{n+1}=-\frac12v_n^2\), on obtient :

\[ \ell=-\frac12\ell^2. \] \[ \ell\left(1+\frac12\ell\right)=0. \]

Donc \(\ell=0\) ou \(\ell=-2\). Comme \(\ell\in[-1;0]\), on a :

\[ \ell=0. \]

Ainsi :

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}v_n=0 } \]

Comme \(u_n=v_n+3\), on obtient :

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=3 } \]

Exercice Bac 3 — Suite affine, forme explicite et somme

On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par :

\[ u_0=1 \qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=\frac13u_n+n-2. \]

Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\geq 4\), on a \(u_n\geq 0\).
En déduire que pour tout entier naturel \(n\geq 5\), on a \(u_n\geq n-3\).
Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
On définit la suite \((v_n)\) par : \[ v_n=-2u_n+3n-\frac{21}{2}. \] Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
On pose : \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k. \] Déterminer une expression de \(S_n\) en fonction de \(n\).

Indice

Pour montrer que \((v_n)\) est géométrique, calcule \(v_{n+1}\) à partir de \(u_{n+1}\).

Correction détaillée

1. Premiers termes.

\[ u_1=\frac13\times1+0-2=-\frac53. \] \[ u_2=\frac13\left(-\frac53\right)+1-2=-\frac{14}{9}. \] \[ u_3=\frac13\left(-\frac{14}{9}\right)+2-2=-\frac{14}{27}. \]

La suite semble ensuite croître.

2. Montrons que \(u_n\geq0\) pour tout \(n\geq4\).

On calcule :

\[ u_4= \frac13u_3+3-2 = \frac13\left(-\frac{14}{27}\right)+1 = 1-\frac{14}{81} = \frac{67}{81}>0. \]

Supposons que pour un entier \(n\geq4\), on ait \(u_n\geq0\). Alors :

\[ u_{n+1}=\frac13u_n+n-2. \]

Comme \(u_n\geq0\), on a \(\frac13u_n\geq0\). De plus, comme \(n\geq4\), on a \(n-2\geq2\). Donc :

\[ u_{n+1}\geq2>0. \]

Par récurrence :

\[ \boxed{ \forall n\geq4,\quad u_n\geq0 } \]

3. Montrons que pour tout \(n\geq5\), \(u_n\geq n-3\).

Pour \(n\geq5\), on a \(n-1\geq4\), donc \(u_{n-1}\geq0\). Or :

\[ u_n = \frac13u_{n-1}+(n-1)-2 = \frac13u_{n-1}+n-3. \]

Comme \(u_{n-1}\geq0\), on obtient :

\[ u_n\geq n-3. \] \[ \boxed{ \forall n\geq5,\quad u_n\geq n-3 } \]

Comme \(n-3\to+\infty\), alors, par comparaison :

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty } \]

4. Suite auxiliaire.

On pose :

\[ v_n=-2u_n+3n-\frac{21}{2}. \]

En utilisant la relation de récurrence de \((u_n)\), on obtient :

\[ v_{n+1}=\frac13v_n. \]

Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac13\).

\[ v_0=-2\times1+0-\frac{21}{2}=-\frac{25}{2}. \] \[ \boxed{ v_n=-\frac{25}{2}\left(\frac13\right)^n } \]

5. Expression de \(u_n\).

À partir de :

\[ v_n=-2u_n+3n-\frac{21}{2}, \]

on isole \(u_n\) :

\[ -2u_n=v_n-3n+\frac{21}{2}. \] \[ u_n=-\frac12v_n+\frac32n-\frac{21}{4}. \]

Donc :

\[ \boxed{ u_n=\frac{25}{4}\left(\frac13\right)^n+\frac32n-\frac{21}{4} } \]

6. Somme.

On somme l’expression explicite :

\[ S_n = \sum_{k=0}^{n} \left[ \frac{25}{4}\left(\frac13\right)^k+\frac32k-\frac{21}{4} \right]. \]

Donc :

\[ S_n = \frac{25}{4}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac13\right)^k + \frac32\sum_{k=0}^{n}k - \frac{21}{4}(n+1). \]

Avec :

\[ \sum_{k=0}^{n}\left(\frac13\right)^k = \frac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13} = \frac32\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right) \]

\[ \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}. \]

Finalement :

\[ \boxed{ S_n= \frac{75}{8}\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right) + \frac34n(n+1) - \frac{21}{4}(n+1) } \]

Exercice Bac 4 — Suite d’ordre 2 et suites auxiliaires

On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par :

\[ u_0=-1,\qquad u_1=\frac12, \qquad \text{et pour tout } n\in\mathbb N,\qquad u_{n+2}=u_{n+1}-\frac14u_n. \]

Calculer \(u_2\), puis montrer que la suite \((u_n)\) n’est ni arithmétique ni géométrique.
On définit la suite \((v_n)\) par : \[ v_n=u_{n+1}-\frac12u_n. \] Calculer \(v_0\), puis montrer que \((v_n)\) est géométrique.
Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
On définit la suite \((w_n)\) par : \[ w_n=\frac{u_n}{v_n}. \] Montrer que : \[ w_{n+1}=w_n+2. \]
Exprimer \(w_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
On pose : \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k. \] Déterminer l’expression de \(S_n\).

Indice

Utilise la définition de \(v_n\) pour réécrire \(u_{n+1}\), puis remplace dans \(w_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}\).

Correction détaillée

1. Calcul de \(u_2\).

\[ u_2=u_1-\frac14u_0=\frac12-\frac14(-1)=\frac34. \]

On vérifie alors que les différences et les rapports ne sont pas constants : la suite n’est ni arithmétique ni géométrique.

2. Étude de \((v_n)\).

\[ v_n=u_{n+1}-\frac12u_n. \] \[ v_0=u_1-\frac12u_0=\frac12-\frac12(-1)=1. \]

Ensuite :

\[ v_{n+1}=u_{n+2}-\frac12u_{n+1}. \]

Or :

\[ u_{n+2}=u_{n+1}-\frac14u_n. \]

Donc :

\[ v_{n+1} = \left(u_{n+1}-\frac14u_n\right)-\frac12u_{n+1} = \frac12u_{n+1}-\frac14u_n = \frac12\left(u_{n+1}-\frac12u_n\right). \] \[ \boxed{ v_{n+1}=\frac12v_n } \]

Ainsi \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), et :

\[ \boxed{ v_n=\left(\frac12\right)^n } \]

3. Étude de \((w_n)\).

On a :

\[ u_{n+1}=v_n+\frac12u_n. \]

Donc :

\[ w_{n+1} = \frac{u_{n+1}}{v_{n+1}} = \frac{v_n+\frac12u_n}{\frac12v_n} = 2+\frac{u_n}{v_n} = 2+w_n. \] \[ \boxed{ w_{n+1}=w_n+2 } \]

Comme :

\[ w_0=\frac{u_0}{v_0}=\frac{-1}{1}=-1, \]

la suite \((w_n)\) est arithmétique de raison \(2\), donc :

\[ \boxed{ w_n=-1+2n=2n-1 } \]

4. Expression de \(u_n\).

Comme \(u_n=w_nv_n\), on obtient :

\[ \boxed{ u_n=(2n-1)\left(\frac12\right)^n=\frac{2n-1}{2^n} } \]

5. Somme.

En admettant ou en montrant par récurrence la formule :

\[ \boxed{ S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k = 2-\frac{2n+3}{2^n} } \]

On obtient une expression fermée de la somme des termes.

Partie IV — Bilan méthode

À retenir pour le Bac : un exercice sur les suites suit très souvent le schéma suivant.

Premiers termes Récurrence Monotonie Convergence Limite

Une suite définie explicitement s’étudie directement avec sa formule \(u_n=f(n)\).
Une suite définie par récurrence nécessite souvent une conjecture puis une démonstration.
Pour prouver qu’une suite est bornée, on utilise très souvent une récurrence.
Pour étudier la monotonie, on calcule souvent \(u_{n+1}-u_n\).
Si les termes sont non nuls et gardent un signe constant, on peut aussi étudier \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\). Si \(u_n>0\), le quotient garde le sens ; si \(u_n<0\), le quotient inverse le sens. Si le quotient est négatif, il vaut mieux revenir à \(u_{n+1}-u_n\).
Une suite croissante et majorée est convergente.
Une suite décroissante et minorée est convergente.
Pour trouver une limite dans une relation \(u_{n+1}=f(u_n)\), il faut d’abord montrer que la suite converge.

Erreur classique : ne jamais écrire directement que la limite vérifie \(\ell=f(\ell)\) avant d’avoir montré que la suite \((u_n)\) est convergente.

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