Terminale Spécialité Mathématiques
Une fiche unique pour réviser les outils d’intégration au Bac : primitives usuelles, équations différentielles, intégrales, intégration par parties, aires et valeurs moyennes.
Ces deux chapitres sont naturellement liés : une primitive sert à calculer une intégrale, et les équations différentielles demandent souvent de retrouver une fonction à partir de sa dérivée.
Cette première partie regroupe les définitions, formules et propriétés indispensables pour traiter les exercices de Bac sur les primitives, les équations différentielles et le calcul intégral.
Que signifie : \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) ?
Dire que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) signifie que \(F\) est dérivable sur \(I\) et que, pour tout \(x\in I\),
\[ \boxed{F'(x)=f(x)}. \]Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors toutes les primitives de \(f\) sur \(I\) sont de la forme :
\[ \boxed{F(x)+C} \qquad \text{avec } C\in\mathbb{R}. \]Si \(F\) est une primitive de \(f\), comment déterminer la primitive vérifiant une condition du type \(F(x_0)=y_0\) ?
On commence par écrire la forme générale des primitives :
\[ F(x)=F_0(x)+C. \]Ensuite, on utilise la condition initiale :
\[ F(x_0)=y_0. \]Cela permet de déterminer la constante \(C\).
Donner quelques primitives usuelles à connaître.
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(x^n\) | \(\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq -1\) |
| \(\displaystyle \frac1x\) | \(\ln x\) | \(x>0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
Donner les formes classiques permettant de reconnaître rapidement une primitive.
Si \(u\) est une fonction dérivable, on utilise souvent les formes suivantes :
\[ \boxed{u'(x)e^{u(x)}} \quad \longrightarrow \quad \boxed{e^{u(x)}}. \] \[ \boxed{\frac{u'(x)}{u(x)}} \quad \longrightarrow \quad \boxed{\ln(u(x))} \qquad \text{si } u(x)>0. \] \[ \boxed{u'(x)u(x)^n} \quad \longrightarrow \quad \boxed{\frac{u(x)^{n+1}}{n+1}} \qquad \text{si } n\neq -1. \]Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle contenant \(a\) et \(b\), donner la formule de \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors :
\[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)}. \]On note aussi :
\[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_a^b}. \]Donner la propriété de linéarité de l’intégrale.
Pour toutes fonctions continues \(f\) et \(g\), et pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\), on a :
\[ \boxed{ \int_a^b \left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx }. \]Énoncer la relation de Chasles pour les intégrales.
Si \(f\) est continue sur un intervalle contenant \(a\), \(b\) et \(c\), alors :
\[ \boxed{ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx }. \]Cette propriété permet de découper une intégrale en plusieurs morceaux.
Que peut-on dire de \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) lorsque \(f\geq 0\) sur \([a;b]\), avec \(a\lt b\) ?
Si \(f(x)\geq 0\) pour tout \(x\in[a;b]\), alors :
\[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx\geq 0}. \]Plus généralement, si \(f(x)\leq g(x)\) pour tout \(x\in[a;b]\), alors :
\[ \boxed{ \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx }. \]Donner la valeur moyenne d’une fonction continue \(f\) sur \([a;b]\), avec \(a\lt b\).
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) est :
\[ \boxed{ m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx }. \]Elle représente la hauteur constante qui donnerait la même aire algébrique sur l’intervalle \([a;b]\).
Si \(f\) est continue et positive sur \([a;b]\), quelle aire représente \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) ?
Si \(f(x)\geq 0\) sur \([a;b]\), alors :
\[ \boxed{ \int_a^b f(x)\,dx } \]représente l’aire, en unités d’aire, comprise entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=a\) et \(x=b\).
Si \(f(x)\geq g(x)\) sur \([a;b]\), donner l’aire comprise entre les courbes de \(f\) et de \(g\).
Si \(f(x)\geq g(x)\) sur \([a;b]\), alors l’aire entre les deux courbes est :
\[ \boxed{ \mathcal A=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\,dx }. \]Donner la formule d’intégration par parties pour deux fonctions \(u\) et \(v\) de classe \(\mathcal C^1\) sur \([a;b]\).
La formule d’intégration par parties est :
\[ \boxed{ \int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx }. \]On peut aussi l’écrire sous la forme :
\[ \boxed{ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx }. \]Donner les solutions de l’équation différentielle \(y'=ay\), où \(a\in\mathbb{R}\).
Les solutions de \(y'=ay\) sont les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ \boxed{ y(x)=Ce^{ax} } \qquad C\in\mathbb{R}. \]La constante \(C\) est déterminée si une condition initiale est donnée.
Donner la méthode pour résoudre \(y'=ay+b\), avec \(a\neq 0\).
On cherche d’abord une solution constante \(y=k\). Comme \(y'=0\), on obtient :
\[ 0=ak+b. \]Donc :
\[ k=-\frac{b}{a}. \]Les solutions de l’équation différentielle sont alors :
\[ \boxed{ y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a} } \qquad C\in\mathbb{R}. \]Si on connaît une solution particulière \(y_p\) de \(y'=ay+f(x)\), comment obtenir toutes les solutions ?
Si \(y_p\) est une solution particulière de :
\[ y'=ay+f(x), \]alors toutes les solutions sont de la forme :
\[ \boxed{ y(x)=y_p(x)+Ce^{ax} } \qquad C\in\mathbb{R}. \]Déterminer une primitive sur \(\mathbb R\) de la fonction :
\[ f(x)=4x^3-6x^2+8x-5. \]On primitive terme à terme :
\[ \int 4x^3\,dx=x^4,\qquad \int -6x^2\,dx=-2x^3,\qquad \int 8x\,dx=4x^2,\qquad \int -5\,dx=-5x. \]Donc une primitive de \(f\) sur \(\mathbb R\) est :
\[ \boxed{F(x)=x^4-2x^3+4x^2-5x} \]Vérification :
\[ F'(x)=4x^3-6x^2+8x-5=f(x). \]Calculer exactement :
\[ I=\int_1^3 (3x^2-4x+2)\,dx. \]Une primitive de \(3x^2-4x+2\) est :
\[ F(x)=x^3-2x^2+2x. \]Donc :
\[ I=F(3)-F(1). \]On calcule :
\[ F(3)=27-18+6=15, \] \[ F(1)=1-2+2=1. \]Ainsi :
\[ I=15-1=14. \] \[ \boxed{I=14} \]Déterminer l’unique primitive \(F\) de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=6x^2-4x+3 \]vérifiant \(F(1)=5\).
Les primitives de \(f\) sont :
\[ F(x)=2x^3-2x^2+3x+C. \]On utilise la condition \(F(1)=5\) :
\[ F(1)=2-2+3+C=3+C. \]Donc :
\[ 3+C=5 \quad\Longrightarrow\quad C=2. \]Ainsi :
\[ \boxed{F(x)=2x^3-2x^2+3x+2} \]Déterminer une primitive sur \(\mathbb R\) de :
\[ f(x)=(2x+1)e^{2x^2+2x-1}. \]On reconnaît une forme proche de \(u'e^u\).
On pose :
\[ u(x)=2x^2+2x-1. \]Alors :
\[ u'(x)=4x+2=2(2x+1). \]Donc :
\[ 2x+1=\frac12u'(x). \]Ainsi :
\[ f(x)=(2x+1)e^{2x^2+2x-1} = \frac12 u'(x)e^{u(x)}. \]Une primitive de \(u'e^u\) est \(e^u\). Donc une primitive de \(f\) est :
\[ \boxed{F(x)=\frac12e^{2x^2+2x-1}} \]Vérification :
\[ F'(x)=\frac12(4x+2)e^{2x^2+2x-1} =(2x+1)e^{2x^2+2x-1}=f(x). \]Déterminer une primitive sur \(\mathbb R\) de :
\[ f(x)=\frac{x-1}{x^2-2x+2}. \]On pose :
\[ u(x)=x^2-2x+2. \]Alors :
\[ u'(x)=2x-2=2(x-1). \]Donc :
\[ x-1=\frac12u'(x). \]On vérifie que \(u(x)>0\) pour tout réel \(x\).
Son discriminant est :
\[ \Delta=(-2)^2-4\times1\times2=4-8=-4<0. \]Comme le coefficient dominant est positif, on a bien :
\[ x^2-2x+2>0. \]Ainsi :
\[ f(x) = \frac{x-1}{x^2-2x+2} = \frac12\frac{u'(x)}{u(x)}. \]Donc une primitive est :
\[ \boxed{F(x)=\frac12\ln(x^2-2x+2)} \]Vérification :
\[ F'(x) = \frac12\times\frac{2x-2}{x^2-2x+2} = \frac{x-1}{x^2-2x+2}. \]Calculer exactement :
\[ I=\int_0^1 xe^{x^2}\,dx. \]On reconnaît une forme proche de \(u'e^u\) avec :
\[ u(x)=x^2, \qquad u'(x)=2x. \]Donc :
\[ x=\frac12u'(x). \]Ainsi :
\[ xe^{x^2} = \frac12u'(x)e^{u(x)}. \]Une primitive de \(xe^{x^2}\) est donc :
\[ F(x)=\frac12e^{x^2}. \]Alors :
\[ I=F(1)-F(0) = \frac12e^1-\frac12e^0. \]Donc :
\[ I=\frac{e-1}{2}. \] \[ \boxed{I=\frac{e-1}{2}} \]On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;3]\) par :
\[ f(x)=(x+2)e^{-x}. \]Sur \([0;3]\), on a \(x+2>0\) et \(e^{-x}>0\). Donc :
\[ f(x)>0. \]On dérive \(F\) :
\[ F'(x)=(-1)e^{-x}+(-x-3)(-e^{-x}). \]Donc :
\[ F'(x)=(-1+x+3)e^{-x}=(x+2)e^{-x}=f(x). \]Comme \(f\) est positive, l’aire vaut :
\[ \mathcal A=\int_0^3 (x+2)e^{-x}\,dx. \]Donc :
\[ \mathcal A=F(3)-F(0). \]Or :
\[ F(3)=(-6)e^{-3}=-6e^{-3}, \] \[ F(0)=(-3)e^0=-3. \]Ainsi :
\[ \mathcal A=-6e^{-3}-(-3)=3-6e^{-3}. \] \[ \boxed{\mathcal A=3-\frac6{e^3}} \]On considère la fonction \(f\) définie sur \([1;4]\) par :
\[ f(x)=x+\frac2x. \]Une primitive de \(f\) est :
\[ F(x)=\frac{x^2}{2}+2\ln x. \]Donc :
\[ \int_1^4 f(x)\,dx = F(4)-F(1). \]On calcule :
\[ F(4)=\frac{16}{2}+2\ln4=8+2\ln4, \] \[ F(1)=\frac12+2\ln1=\frac12. \]Donc :
\[ \int_1^4 f(x)\,dx = 8+2\ln4-\frac12 = \frac{15}{2}+2\ln4. \]La valeur moyenne sur \([1;4]\) vaut :
\[ m=\frac1{4-1}\int_1^4 f(x)\,dx. \]Donc :
\[ m=\frac13\left(\frac{15}{2}+2\ln4\right). \] \[ \boxed{m=\frac52+\frac{2\ln4}{3}} \]Calculer exactement :
\[ I=\int_0^1 xe^x\,dx. \]On utilise l’intégration par parties :
\[ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx. \]On choisit :
\[ u(x)=x, \qquad v'(x)=e^x. \]Alors :
\[ u'(x)=1, \qquad v(x)=e^x. \]Donc :
\[ I=\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx. \]On obtient :
\[ I=e-\left[e^x\right]_0^1. \]Donc :
\[ I=e-(e-1)=1. \] \[ \boxed{I=1} \]Calculer exactement :
\[ J=\int_1^e x\ln x\,dx. \]On pose :
\[ u(x)=\ln x, \qquad v'(x)=x. \]Alors :
\[ u'(x)=\frac1x, \qquad v(x)=\frac{x^2}{2}. \]Par intégration par parties :
\[ J= \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,dx. \]Donc :
\[ J=\frac{e^2}{2} - \frac12\int_1^e x\,dx. \]Or :
\[ \int_1^e x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^e = \frac{e^2-1}{2}. \]Ainsi :
\[ J= \frac{e^2}{2} - \frac12\times\frac{e^2-1}{2} = \frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}. \] \[ \boxed{J=\frac{e^2+1}{4}} \]Résoudre sur \(\mathbb R\) :
\[ y'-0,5y=0 \]avec la condition initiale \(y(0)=6\).
L’équation peut s’écrire :
\[ y'=0,5y. \]Les solutions sont :
\[ y(x)=Ce^{0,5x}. \]Avec \(y(0)=6\), on obtient :
\[ C=6. \]Donc :
\[ \boxed{y(x)=6e^{0,5x}} \]Résoudre sur \([0;+\infty[\) :
\[ y'+0,4y=8 \]avec la condition initiale \(y(0)=3\).
On cherche une solution constante \(y=k\).
\[ 0+0,4k=8 \quad\Longrightarrow\quad k=20. \]Les solutions de l’équation homogène \(y'+0,4y=0\) sont :
\[ Ce^{-0,4x}. \]Donc les solutions de l’équation complète sont :
\[ y(x)=20+Ce^{-0,4x}. \]Avec \(y(0)=3\), on obtient :
\[ 3=20+C \quad\Longrightarrow\quad C=-17. \]Donc :
\[ \boxed{y(x)=20-17e^{-0,4x}} \]On considère l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y'+y=(2x+1)e^{-x}. \]Montrer que la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ u(x)=(x^2+x)e^{-x} \]est une solution particulière de \((E)\).
On dérive \(u\), qui est un produit :
\[ u'(x)=(2x+1)e^{-x}+(x^2+x)(-e^{-x}). \]Donc :
\[ u'(x)=\left(2x+1-x^2-x\right)e^{-x}. \]On ajoute \(u(x)\) :
\[ u'(x)+u(x) = \left(2x+1-x^2-x\right)e^{-x} + (x^2+x)e^{-x}. \]Les termes \(-x^2-x\) et \(x^2+x\) se simplifient :
\[ u'(x)+u(x)=(2x+1)e^{-x}. \]Donc :
\[ \boxed{u\text{ est solution particulière de }(E).} \]On considère l’équation différentielle :
\[ (E):\quad y'+y=(2x+1)e^{-x}. \]On admet que \(u(x)=(x^2+x)e^{-x}\) est une solution particulière de \((E)\).
L’équation homogène associée est :
\[ y'+y=0. \]Ses solutions sont :
\[ y_h(x)=Ce^{-x}. \]Donc les solutions de \((E)\) sont :
\[ y(x)=u(x)+y_h(x). \]Ainsi :
\[ y(x)=(x^2+x)e^{-x}+Ce^{-x}. \]Donc :
\[ y(x)=(x^2+x+C)e^{-x}. \]On utilise \(f(0)=4\) :
\[ f(0)=(0+0+C)e^0=C. \]Donc \(C=4\).
\[ \boxed{f(x)=(x^2+x+4)e^{-x}} \]Une quantité \(Q(t)\), exprimée en grammes, est modélisée pour \(t\geq0\) par :
\[ Q(t)=50-35e^{-0,2t}. \]On calcule :
\[ Q(0)=50-35=15. \]Comme \(e^{-0,2t}\to0\) lorsque \(t\to+\infty\), on a :
\[ \lim_{t\to+\infty}Q(t)=50. \]On dérive :
\[ Q'(t)=7e^{-0,2t}. \]Comme \(e^{-0,2t}>0\), on a :
\[ Q'(t)>0. \]Donc \(Q\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
On résout :
\[ 50-35e^{-0,2t}>40. \]Donc :
\[ -35e^{-0,2t}>-10. \]En divisant par \(-35\), on inverse le sens de l’inégalité :
\[ e^{-0,2t}<\frac{2}{7}. \]On applique le logarithme :
\[ -0,2t<\ln\left(\frac27\right). \]Donc :
\[ t>5\ln\left(\frac72\right). \] \[ \boxed{Q(t)>40\quad\Longleftrightarrow\quad t>5\ln\left(\frac72\right)} \]Cette partie reprend les exercices du fichier fourni dans leur structure complète : énoncé, parties, questions et sous-questions. Les graphiques mentionnés sont ceux des annexes du sujet original.
Exercice 3 — 4 points — commun à tous les candidats
On donne la représentation graphique d’une fonction \(f\) définie et continue sur l’intervalle \(I=[-3;8]\).
On définit la fonction \(F\) sur \(I\) par :
\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt. \]![Courbe de la fonction f sur l’intervalle 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Commencer par rappeler que \(F(0)=\int_0^0 f(t)\,dt=0\).
Sur l’annexe 1, la courbe de \(f\) est sous l’axe des abscisses entre \(-3\) et \(0\), puis au-dessus entre \(0\) et \(4\), puis de nouveau sous l’axe après \(4\).
Attention au sens de l’intégrale quand \(x\lt 0\) :
\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt=-\int_x^0 f(t)\,dt. \]Pour les variations, utiliser le théorème fondamental :
\[ F'(x)=f(x). \]Donc \(F\) décroît quand \(f\lt 0\), croît quand \(f\gt 0\), et admet des extremums lorsque \(f\) s’annule.
Pour choisir entre la courbe A et la courbe B, vérifier trois critères : \(F(0)=0\), le sens de variation, puis la présence d’un maximum vers \(x=4\).
1.a) On a immédiatement :
\[ F(0)=\int_0^0 f(t)\,dt=0. \]1.b) Pour \(x\in[0;4]\), la courbe de \(f\) est au-dessus de l’axe des abscisses. Ainsi :
\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\geq0. \]Pour \(x\in[-3;0]\), on inverse les bornes :
\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt=-\int_x^0 f(t)\,dt. \]Or, sur \([x;0]\), la fonction \(f\) est négative, donc \(\int_x^0 f(t)\,dt\leq0\). Par conséquent :
\[ F(x)=-\int_x^0 f(t)\,dt\geq0. \]Donc \(F(x)\) est positive sur les deux intervalles demandés.
1.c) Sur l’annexe 1, \(F(4)\) est l’aire située entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=4\). En comparant cette aire avec des rectangles visibles sur le quadrillage, on obtient bien :
\[ 6\leq F(4)\leq 12. \]2.a) Comme \(f\) est continue sur \(I\), le théorème fondamental donne :
\[ F'(x)=f(x). \]Donc \(f\) est la fonction dérivée de \(F\).
2.b) Le signe de \(F'\) est donc le signe de \(f\). D’après le graphique :
Ainsi, \(F\) admet un minimum en \(x=0\) et un maximum en \(x=4\).
3) On compare avec les courbes candidates de l’annexe 2.
La courbe A ne convient pas, car elle ne passe pas par le point \((0;0)\). La courbe B vérifie les critères précédents.
\[ \boxed{\text{La courbe B peut représenter la fonction }F.} \]Exercice 4 — 7 points — commun à tous les candidats
L’objectif de l’exercice est l’étude d’une fonction et d’une suite liée à cette fonction.
On note \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0;+\infty[\) par :
\[ f(x)=\frac{1}{x^2}e^{\frac1x}. \]On note \(\mathcal C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal. L’unité graphique est \(1\) cm.
Pour tout entier naturel \(n\geq2\), on considère l’intégrale \(I_n\) définie par :
\[ I_n=\int_1^2 \frac{1}{x^n}e^{\frac1x}\,dx. \]Pour les limites, poser \(u=\dfrac1x\). Quand \(x\to0^+\), on a \(u\to+\infty\), et quand \(x\to+\infty\), \(u\to0\).
Pour la dérivée, écrire \(f(x)=x^{-2}e^{1/x}\) puis utiliser la dérivation d’un produit.
Pour \(I_2\), remarquer que :
\[ \bigl(e^{1/x}\bigr)'=-\frac{1}{x^2}e^{1/x}. \]Pour la limite de \((I_n)\), comparer l’intégrande à \(\dfrac{e}{x^n}\) sur \([1;2]\).
Partie A — limites. Quand \(x\to0^+\), \(\dfrac1x\to+\infty\), donc \(e^{1/x}\) domine toute puissance de \(x\) au dénominateur et :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. \]Quand \(x\to+\infty\), on a \(e^{1/x}\to1\) et \(\dfrac1{x^2}\to0\), donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]La courbe \(\mathcal C\) admet donc l’axe des ordonnées comme asymptote verticale et l’axe des abscisses comme asymptote horizontale à droite.
Dérivée.
\[ f'(x)=(-2x^{-3})e^{1/x}+x^{-2}e^{1/x}\left(-\frac1{x^2}\right) =-\frac{1}{x^4}e^{1/x}(2x+1). \]Sur \(]0;+\infty[\), on a \(e^{1/x}\gt 0\), \(x^4\gt 0\) et \(2x+1\gt 0\), donc \(f'(x)\lt 0\). La fonction \(f\) est donc strictement décroissante.
Comme \(f\) est continue, décroissante, avec \(\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\), l’équation \(f(x)=2\) admet une unique solution \(\alpha\).
Partie B — calcul de \(I_2\).
\[ I_2=\int_1^2 \frac{1}{x^2}e^{1/x}\,dx =\left[-e^{1/x}\right]_1^2=e-\sqrt e. \]La relation de récurrence donnée dans l’énoncé conduit ensuite à :
\[ I_{n+1}=\frac{e-\sqrt e}{2^{n-1}}+(1-n)I_n. \]Pour \(n=2\), on obtient :
\[ I_3=\frac{e-\sqrt e}{2}-I_2=\frac{\sqrt e}{2}. \]Limite. Pour tout \(x\in[1;2]\),
\[ 0\leq \frac{1}{x^n}e^{1/x}\leq \frac{e}{x^n}. \]En intégrant sur \([1;2]\), on obtient :
\[ 0\leq I_n\leq e\int_1^2 \frac{1}{x^n}\,dx. \]Le membre de droite tend vers \(0\), donc par encadrement :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty} I_n=0.} \]Exercice 1 — 5 points — commun à tous les candidats
On supposera connus les résultats suivants :
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :
\[ u_n=\int_0^1 \frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}\,dx. \]Dans la partie A, utiliser les propriétés de l’exponentielle pour écrire \(e^{-x}\times e^x=1\).
Dans la partie B, commencer par additionner les intégrandes correspondant à \(u_n\) et \(u_{n+1}\).
Pour calculer \(u_1\), reconnaître la dérivée de \(\ln(1+e^{-x})\).
Enfin, comme \(u_n\geq0\) et \(u_n\leq \dfrac{1-e^{-n}}{n}\), la limite se lit facilement.
Partie A. Comme \(e^x\times e^{-x}=e^0=1\), on en déduit :
\[ e^{-x}=\frac{1}{e^x}. \]Ensuite, par récurrence ou par propriété des puissances :
\[ (e^x)^n=e^{nx}. \]Partie B — 1.a)
\[ u_0+u_1=\int_0^1 \frac{1}{1+e^{-x}}\,dx+\int_0^1\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\,dx =\int_0^1 1\,dx=1. \]1.b) Pour \(u_1\), on utilise :
\[ \left(\ln(1+e^{-x})\right)'=-\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}. \]Donc :
\[ u_1=\left[-\ln(1+e^{-x})\right]_0^1 =\ln\!\left(\frac{2e}{e+1}\right). \]Alors :
\[ u_0=1-u_1. \]2) L’intégrande est positive sur \([0;1]\), donc \(u_n\geq0\).
3.a) On additionne :
\[ \frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}+\frac{e^{-(n+1)x}}{1+e^{-x}}=e^{-nx}. \]En intégrant de \(0\) à \(1\), on obtient :
\[ u_n+u_{n+1}=\int_0^1 e^{-nx}\,dx=\frac{1-e^{-n}}{n}. \]3.b) Comme \(u_{n+1}\geq0\), il vient :
\[ u_n\leq \frac{1-e^{-n}}{n}. \]4) On a donc :
\[ 0\leq u_n\leq \frac{1-e^{-n}}{n}. \]Le membre de droite tend vers \(0\), donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} \]Exercice 4 — 7 points — commun à tous les candidats
L’annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par :
\[ f(x)=(x-1)e^{1-x}. \]On désigne par \((\mathcal C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal. Cette courbe est donnée en annexe.
Pour la partie A, étudier \(g'(x)\). Une fonction continue, d’abord croissante puis décroissante, permet de montrer l’existence et l’unicité d’une solution.
Pour la suite \((u_n)\), utiliser la courbe de \(y=\ln(2x)+1\) et la droite \(y=x\) : c’est un classique du va-et-vient.
Pour la partie B, calculer une primitive de \((x-1)e^{1-x}\) en posant par exemple \(F(x)=-xe^{1-x}+1\) puis vérifier en dérivant.
Partie A — 1) On a :
\[ g'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}{x}. \]Donc \(g\) est décroissante sur \([1;+\infty[\), avec \(g(1)=\ln2\gt 0\) et \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\). Par continuité, l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\).
L’égalité \(g(\alpha)=0\) donne :
\[ \ln(2\alpha)+1=\alpha. \]2) La récurrence :
\[ u_{n+1}=\ln(2u_n)+1 \]permet de montrer par récurrence que :
\[ 1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 3. \]La suite est donc croissante et majorée ; elle converge vers une limite \(\ell\). En passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient :
\[ \ell=\ln(2\ell)+1, \]donc \(\ell=\alpha\) par unicité.
Partie B — 1.a) Sur \([1;+\infty[\), on a \(x-1\geq0\) et \(e^{1-x}\gt 0\), donc \(f(x)\geq0\). Ainsi \(F\) est croissante.
1.b) On vérifie qu’une primitive est :
\[ F(x)=-xe^{1-x}+1. \]1.c) L’équation \(F(x)=\dfrac12\) équivaut à :
\[ -xe^{1-x}+1=\frac12 \Longleftrightarrow 2xe^{1-x}=1 \Longleftrightarrow \ln(2x)+1=x. \]2) L’aire de \(D_a\) vaut \(F(a)\). Demander cette aire égale à \(\dfrac12\) revient donc à résoudre \(F(a)=\dfrac12\), soit encore \(\ln(2a)+1=a\). On en déduit :
\[ \boxed{a=\alpha.} \]Exercice 1 — 6 points — commun à tous les candidats
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a\lt b\), et \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur l’intervalle \([a;b]\). On suppose connus les résultats suivants :
Montrer que : si pour tout \(t\in[a;b]\), \(f(t)\leq g(t)\), alors \[ \int_a^b f(t)\,dt\leq \int_a^b g(t)\,dt. \]
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On appelle \(f_n\) la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par :
\[ f_n(x)=\ln(1+x^n) \]et on pose :
\[ I_n=\int_0^1 \ln(1+x^n)\,dx. \]On note \(\mathcal C_n\) la courbe représentative de \(f_n\) dans un repère orthonormal.
Pour la restitution de connaissances, penser à intégrer la fonction positive \(g-f\).
Pour \(I_1\), utiliser la primitive fournie puis évaluer entre \(0\) et \(1\).
Sur \([0;1]\), si \(n\) augmente, alors \(x^n\) diminue ; l’expression \(\ln(1+x^n)\) diminue aussi.
Enfin, l’inégalité \(\ln(1+x)\leq x\) sur \([0;+\infty[\) permet de comparer \(I_n\) à \(\int_0^1 x^n\,dx\).
Partie A. Si \(f(t)\leq g(t)\) sur \([a;b]\), alors \(g(t)-f(t)\geq0\). En intégrant :
\[ \int_a^b (g(t)-f(t))\,dt\geq0. \]Par linéarité de l’intégrale, on obtient :
\[ \int_a^b g(t)\,dt-\int_a^b f(t)\,dt\geq0, \]d’où :
\[ \int_a^b f(t)\,dt\leq\int_a^b g(t)\,dt. \]Partie B — 1) La primitive proposée conduit à :
\[ I_1=\left[(x+1)\ln(x+1)-x\right]_0^1=2\ln2-1. \]Graphiquement, \(I_1\) représente l’aire sous la courbe de \(f_1\) entre \(0\) et \(1\).
2.a) Pour \(x\in[0;1]\), on a \(0\leq x^n\leq1\), donc :
\[ 0\leq \ln(1+x^n)\leq \ln2. \]En intégrant :
\[ 0\leq I_n\leq \ln2. \]2.b) Comme \(x^{n+1}\leq x^n\) sur \([0;1]\), on a \(\ln(1+x^{n+1})\leq \ln(1+x^n)\), donc la suite \((I_n)\) est décroissante.
Elle est décroissante et minorée par \(0\), donc convergente.
3) La fonction \(g(x)=\ln(1+x)-x\) vérifie :
\[ g'(x)=\frac1{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}\leq0. \]Comme \(g(0)=0\), on en déduit \(g(x)\leq0\), soit :
\[ \ln(1+x)\leq x. \]Avec \(x^n\) à la place de \(x\), on obtient :
\[ \ln(1+x^n)\leq x^n. \]Donc :
\[ 0\leq I_n\leq \int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}. \]Par encadrement :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}I_n=0.} \]Exercice 4 — 7 points — commun à tous les candidats
À tout entier naturel \(n\) non nul, on associe la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f_n(x)=\frac{4e^{nx}}{e^{nx}+7}. \]On désigne par \(\mathcal C_n\) la courbe représentative de la fonction \(f_n\) dans un repère orthonormal. Les courbes \(\mathcal C_1\), \(\mathcal C_2\) et \(\mathcal C_3\) sont données en annexe.
Pour la partie A, réécrire \(f_1(x)\) en fonction de \(e^{-x}\) est très utile pour les limites.
Au point d’abscisse \(\ln7\), on a \(e^x=7\), ce qui simplifie beaucoup les calculs.
Pour la primitive, remarquer que :
\[ \left(\ln(e^x+7)\right)'=\frac{e^x}{e^x+7}. \]Dans la dernière question, faire le changement de variable \(t=nx\).
Partie A — 1) En divisant numérateur et dénominateur par \(e^x\), on obtient :
\[ f_1(x)=\frac{4}{1+7e^{-x}}. \]2.a) Quand \(x\to-\infty\), \(e^{-x}\to+\infty\), donc \(f_1(x)\to0\). Quand \(x\to+\infty\), \(e^{-x}\to0\), donc \(f_1(x)\to4\). Les asymptotes horizontales sont donc \(y=0\) et \(y=4\).
2.b) On dérive :
\[ f_1'(x)=\frac{28e^x}{(e^x+7)^2}\gt 0. \]La fonction \(f_1\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb R\).
2.c) Comme \(e^x\gt 0\), on a immédiatement :
\[ 0\lt f_1(x)\lt4. \]3) Au point \(x=\ln7\), on obtient \(f_1(\ln7)=2\). De plus :
\[ f_1'(\ln7)=1. \]L’équation de la tangente \((T_1)\) est donc :
\[ y=x-\ln7+2. \]4.a) Une primitive de \(f_1\) est :
\[ F(x)=4\ln(e^x+7). \]4.b) La valeur moyenne sur \([0;\ln7]\) vaut :
\[ \frac1{\ln7}\int_0^{\ln7} f_1(x)\,dx =\frac{4}{\ln7}\Bigl[\ln(e^x+7)\Bigr]_0^{\ln7} =\frac{4\ln(7/4)}{\ln7}. \]Partie B — 1) Comme \(f_n(0)=\dfrac{4}{8}=\dfrac12\), le point \(A(0;\tfrac12)\) appartient à toutes les courbes \(\mathcal C_n\).
2.a) Résoudre \(f_n(x)=2\) revient à écrire :
\[ \frac{4e^{nx}}{e^{nx}+7}=2 \Longleftrightarrow e^{nx}=7 \Longleftrightarrow x=\frac{\ln7}{n}. \]Il y a donc un unique point d’intersection \(I_n\left(\dfrac{\ln7}{n};2\right)\).
2.b) On dérive :
\[ f_n'(x)=\frac{28n e^{nx}}{(e^{nx}+7)^2}. \]Au point \(I_n\), on a \(e^{nx}=7\), donc \(f_n'(I_n)=n\). La tangente \((T_n)\) a donc pour équation :
\[ y=n\left(x-\frac{\ln7}{n}\right)+2=nx-\ln7+2. \]3) On effectue le changement de variable \(t=nx\), d’où \(dt=n\,dx\). Alors :
\[ u_n=\frac{n}{\ln7}\int_0^{\frac{\ln7}{n}}f_n(x)\,dx =\frac{1}{\ln7}\int_0^{\ln7}\frac{4e^t}{e^t+7}\,dt. \]Cette expression ne dépend plus de \(n\), donc la suite \((u_n)\) est constante. Sa valeur est :
\[ u_n=\frac{4\ln(7/4)}{\ln7}. \]Exercice 4 — 5 points
La partie C est indépendante des parties A et B.
On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes \(\mathcal{C}_{1}\) et \(\mathcal{C}_{2}\), représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\). L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera \(g\) et \(g'\).
On précise également que :
On considère \((E)\) l'équation différentielle
\[ y+y'=(2x+3)e^{-x}, \]où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\).
On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par :
\[ f(x)=(x^2+3x+2)e^{-x}. \]Partie A : la dérivée s’annule aux abscisses des extremums de la fonction. Or \(\mathcal{C}_2\) coupe l’axe des abscisses en \(-2\) et \(1\).
Partie B : pour résoudre \((E)\), on additionne une solution particulière et la solution générale de l’équation homogène associée \(y+y'=0\).
Pour les points d’inflexion, calculer \(y''\) pour la solution générale, puis demander que \(y''\) s’annule en deux points distincts.
Partie C : pour l’étude du signe de \(f'\), il suffit d’étudier le trinôme \(-x^2-x+1\), car \(e^{-x}\gt 0\) sur \(\mathbb{R}\).
Pour l’aire, sur \([0;+\infty[\), la fonction \(f\) est positive, donc :
\[ \mathcal{A}(\alpha)=\int_0^\alpha f(x)\,dx. \]Partie A — 1) La courbe \(\mathcal{C}_2\) s’annule en \(-2\) et \(1\). On observe justement que la courbe \(\mathcal{C}_1\) admet un minimum vers \(x=-2\) et un maximum vers \(x=1\).
Donc \(\mathcal{C}_2\) représente la dérivée de la fonction représentée par \(\mathcal{C}_1\). Ainsi :
\[ g \text{ est représentée par } \mathcal{C}_1 \qquad\text{et}\qquad g' \text{ est représentée par } \mathcal{C}_2. \]2) La courbe \(\mathcal{C}_1\) coupe l’axe des ordonnées au point \((0;1)\), donc :
\[ g(0)=1. \]La courbe \(\mathcal{C}_2\) coupe l’axe des ordonnées au point \((0;2)\), donc :
\[ g'(0)=2. \]L’équation de la tangente à \(\mathcal{C}_1\) au point d’abscisse \(0\) est donc :
\[ y=g'(0)(x-0)+g(0)=2x+1. \]Partie B — 1) Posons \(f_0(x)=(x^2+3x)e^{-x}\). Alors :
\[ f_0'(x)=(2x+3)e^{-x}-(x^2+3x)e^{-x}=(-x^2-x+3)e^{-x}. \]Donc :
\[ f_0(x)+f_0'(x)=\bigl(x^2+3x-x^2-x+3\bigr)e^{-x}=(2x+3)e^{-x}. \]Ainsi, \(f_0\) est bien une solution particulière de \((E)\).
2) L’équation homogène \((E_0)\) est :
\[ y+y'=0 \iff y'=-y. \]Ses solutions sont les fonctions :
\[ y(x)=Ce^{-x}, \qquad C\in\mathbb{R}. \]3) Les solutions de \((E)\) sont la somme d’une solution particulière et de la solution générale de \((E_0)\) :
\[ y(x)=(x^2+3x)e^{-x}+Ce^{-x}=(x^2+3x+C)e^{-x}, \qquad C\in\mathbb{R}. \]4) La fonction \(g\) est une solution de \((E)\), donc :
\[ g(x)=(x^2+3x+C)e^{-x}. \]Or, d’après la partie A, \(g(0)=1\). Donc :
\[ g(0)=C=1. \]Par conséquent :
\[ \boxed{g(x)=(x^2+3x+1)e^{-x}.} \]5) Pour la solution générale \(y(x)=(x^2+3x+C)e^{-x}\), on a :
\[ y'(x)=(-x^2-x+3-C)e^{-x}. \]Puis :
\[ y''(x)=\bigl(x^2-x+C-4\bigr)e^{-x}. \]Comme \(e^{-x}\gt 0\), les points d’inflexion sont donnés par l’équation :
\[ x^2-x+C-4=0. \]Pour avoir exactement deux points d’inflexion, il faut que ce trinôme admette deux racines réelles distinctes, soit :
\[ \Delta = (-1)^2-4(C-4)=17-4C \gt 0. \]On obtient donc :
\[ C\lt \frac{17}{4}. \]Les solutions cherchées sont donc :
\[ \boxed{y(x)=(x^2+3x+C)e^{-x} \text{ avec } C\lt \frac{17}{4}.} \]Partie C — 1) On a :
\[ f(x)=\frac{x^2+3x+2}{e^x}. \]L’exponentielle domine tout polynôme en \(+\infty\), donc :
\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty} f(x)=0.} \]2.a) En dérivant :
\[ f'(x)=(2x+3)e^{-x}-(x^2+3x+2)e^{-x}=(-x^2-x+1)e^{-x}. \]2.b) Comme \(e^{-x}\gt 0\), le signe de \(f'\) est celui de \(-x^2-x+1\).
Résolvons \(-x^2-x+1=0\), soit :
\[ x^2+x-1=0. \]Ses racines sont :
\[ x_1=\frac{-1-\sqrt5}{2},\qquad x_2=\frac{-1+\sqrt5}{2}. \]Comme le coefficient de \(x^2\) est négatif dans \(-x^2-x+1\), on a :
Donc \(f\) est décroissante, puis croissante, puis décroissante.
3) Pour \(x\geq0\), on a :
\[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\geq0 \qquad\text{et}\qquad e^{-x}\gt 0. \]Par conséquent :
\[ f(x)\geq0 \quad \text{sur } [0;+\infty[. \]4) Comme \(f\) est positive sur \([0;\alpha]\), l’aire demandée vaut :
\[ \mathcal{A}(\alpha)=\int_0^\alpha f(x)\,dx. \]Or \(F\) est une primitive de \(f\), donc :
\[ \mathcal{A}(\alpha)=F(\alpha)-F(0). \]On calcule :
\[ F(\alpha)=(-\alpha^2-5\alpha-7)e^{-\alpha},\qquad F(0)=-7. \]D’où :
\[ \mathcal{A}(\alpha)=(-\alpha^2-5\alpha-7)e^{-\alpha}+7. \]On peut écrire finalement :
\[ \boxed{\mathcal{A}(\alpha)=7-(\alpha^2+5\alpha+7)e^{-\alpha}.} \]Exercice 4 — 5 points
Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique dans un réacteur fermé. Le traitement numérique des données expérimentales a permis de modéliser l’évolution de la température de cette réaction chimique en fonction du temps.
La température est exprimée en degré Celsius et le temps en minute. Dans tout l’exercice, on se place sur l’intervalle \([0; 10]\). Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans un repère orthogonal du plan, on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction température sur l’intervalle \([0; 10]\).
On appelle \(f\) la fonction température représentée par la courbe ci-dessus.
On précise que \(f\) est définie et dérivable sur \([0; 10]\) et qu’elle peut s’écrire sous la forme \(f(t)=(at+b)e^{-0,5t}\), où \(a\) et \(b\) sont deux constantes réelles.
On admet que, pour tout réel \(t\) de l’intervalle \([0; 10]\), on a :
\[ f(t)=(60t+40)e^{-0,5t}. \]Partie A : lire d’abord la valeur initiale sur le graphique : à \(t=0\), la température vaut \(40\,{}^\circ\mathrm{C}\).
Pour retrouver \(b\), remplacer simplement \(t\) par 0 dans \(f(t)=(at+b)e^{-0,5t}\).
Pour retrouver \(a\), calculer \(y'+0,5y\) avec \(y(t)=(at+b)e^{-0,5t}\), puis identifier avec \(60e^{-0,5t}\).
Partie B — 1 : utiliser la dérivation d’un produit :
\[ (uv)'=u'v+uv'. \]Partie B — 2.a : comme \(e^{-0,5t}\gt 0\), le signe de \(f'(t)\) est celui de \(40-30t\).
Partie B — 2.b : sur \(]0;\tfrac43]\), la fonction est croissante, donc elle est strictement supérieure à 40. Ensuite, elle devient décroissante.
Partie B — 3.a : pour l’intégrale, une intégration par parties efficace consiste à prendre :
\[ u(t)=60t+40 \qquad\text{et}\qquad v'(t)=e^{-0,5t}. \]On pourra ensuite diviser par 4 pour obtenir la température moyenne sur \([0; 4]\).
Partie A — 1) À l’instant initial \(t=0\), on lit :
\[ f(0)=40. \]Graphiquement, la courbe reprend cette même valeur un peu avant \(t=4\). On lit environ :
\[ \alpha \approx 3,8. \]La température redescend donc à sa valeur initiale au bout d’environ 3,8 minutes.
2) On a :
\[ f(t)=(at+b)e^{-0,5t}. \]En remplaçant \(t\) par 0, on obtient :
\[ f(0)=b\times e^0=b. \]Or \(f(0)=40\), donc :
\[ \boxed{b=40.} \]3) Posons \(y(t)=(at+b)e^{-0,5t}\). Alors :
\[ y'(t)=ae^{-0,5t}-0,5(at+b)e^{-0,5t}. \]Donc :
\[ y'(t)+0,5y(t)=ae^{-0,5t}. \]Mais \(y\) vérifie l’équation différentielle :
\[ y'+0,5y=60e^{-0,5t}. \]Par identification, on obtient :
\[ \boxed{a=60.} \]Partie B — 1) Pour tout \(t\in[0; 10]\),
\[ f(t)=(60t+40)e^{-0,5t}. \]On dérive ce produit :
\[ f'(t)=60e^{-0,5t}+(60t+40)(-0,5)e^{-0,5t}. \]On factorise par \(e^{-0,5t}\) :
\[ f'(t)=\bigl(60-30t-20\bigr)e^{-0,5t}=(40-30t)e^{-0,5t}. \]On a bien :
\[ \boxed{f'(t)=(40-30t)e^{-0,5t}.} \]2.a) Comme \(e^{-0,5t}\gt 0\) pour tout \(t\), le signe de \(f'(t)\) est celui de \(40-30t\).
Résolvons :
\[ 40-30t=0 \iff t=\frac{4}{3}. \]Ainsi, \(f\) est croissante sur \([0; \tfrac43]\), puis décroissante sur \([\tfrac43; 10]\).
Calculons les valeurs utiles :
\[ f(0)=40, \qquad f\!\left(\frac43\right)=\bigl(60\times\frac43+40\bigr)e^{-2/3}=120e^{-2/3}, \qquad f(10)=640e^{-5}. \]Numériquement :
\[ f\!\left(\frac43\right)\approx 61,6 \qquad\text{et}\qquad f(10)\approx 4,3. \]On peut donc résumer les variations ainsi :
| \(t\) | 0 | \(\dfrac43\) | 10 |
|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(t)\) | + | 0 | - |
| Variations de \(f\) | 40 | \(120e^{-2/3}\approx61,6\) | \(640e^{-5}\approx4,3\) |
2.b) Sur l’intervalle \(]0;\tfrac43]\), la fonction \(f\) est croissante et :
\[ f(0)=40. \]Donc, pour tout \(t\in]0;\tfrac43]\), on a \(f(t)\gt 40\). Il n’y a donc aucune solution strictement positive de \(f(t)=40\) sur cet intervalle.
Sur l’intervalle \([\tfrac43; 10]\), la fonction \(f\) est continue et strictement décroissante, avec :
\[ f\!\left(\frac43\right)\approx61,6\gt 40 \qquad\text{et}\qquad f(10)\approx4,3\lt 40. \]D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(t)=40\) admet une solution sur \([\tfrac43; 10]\), et comme \(f\) y est strictement décroissante, cette solution est unique.
On en déduit que l’équation \(f(t)=40\) admet une unique solution strictement positive \(\alpha\) sur \(]0;10]\).
2.c) À la calculatrice, on obtient :
\[ \alpha \approx 3,8076. \]Au dixième près :
\[ \boxed{\alpha\approx 3,8.} \]Interprétation : au bout d’environ 3,8 minutes, soit environ 3 min 48 s, la température revient à sa valeur initiale de \(40\,{}^\circ\mathrm{C}\).
3.a) Posons :
\[ I=\int_0^4 f(t)\,dt=\int_0^4 (60t+40)e^{-0,5t}\,dt. \]On effectue une intégration par parties avec :
\[ u(t)=60t+40 \quad\text{et}\quad v'(t)=e^{-0,5t}. \]Alors :
\[ u'(t)=60 \qquad\text{et}\qquad v(t)=\int e^{-0,5t}dt=-2e^{-0,5t}. \]Par la formule d’intégration par parties :
\[ I=\bigl[(60t+40)(-2e^{-0,5t})\bigr]_0^4-\int_0^4 60(-2e^{-0,5t})dt. \]Donc :
\[ I=\bigl[-(120t+80)e^{-0,5t}\bigr]_0^4+120\int_0^4 e^{-0,5t}dt. \]Or :
\[ \int_0^4 e^{-0,5t}dt=\bigl[-2e^{-0,5t}\bigr]_0^4=2-\frac{2}{e^2}. \]Et :
\[ \bigl[-(120t+80)e^{-0,5t}\bigr]_0^4=-\frac{560}{e^2}+80. \]Ainsi :
\[ I=\left(-\frac{560}{e^2}+80\right)+120\left(2-\frac{2}{e^2}\right). \]D’où :
\[ I=80+240-\frac{560}{e^2}-\frac{240}{e^2}=320-\frac{800}{e^2}. \]On a donc bien :
\[ \boxed{\int_0^4 f(t)\,dt=320-\frac{800}{e^2}.} \]3.b) La température moyenne sur les 4 premières minutes vaut :
\[ \frac14\int_0^4 f(t)\,dt=\frac14\left(320-\frac{800}{e^2}\right)=80-\frac{200}{e^2}. \]Numériquement :
\[ 80-\frac{200}{e^2}\approx 52,93. \]Au degré Celsius près :
\[ \boxed{53\,{}^\circ\mathrm{C}.} \]La température moyenne de la réaction au cours des 4 premières minutes est donc d’environ 53 °C.
Cette section complète la fiche avec des exercices réellement exploitables en entraînement Bac : équations différentielles, primitives, intégration par parties, valeurs moyennes, aire entre deux courbes, fonctions avec exponentielle et suites d’intégrales. Les calculs sont détaillés pour éviter les réponses artificielles.
On considère l’équation différentielle \[ (E)\qquad y' +0{,}4y=e^{-0{,}4t}. \]
Pour la moyenne, on peut intégrer \((t+1)e^{-0{,}4t}\) par parties ou utiliser l’équation différentielle.
1. On dérive \(u(t)=t e^{-0{,}4t}\) :
\[ u'(t)=e^{-0{,}4t}-0{,}4t e^{-0{,}4t}=(1-0{,}4t)e^{-0{,}4t}. \]Donc :
\[ u'(t)+0{,}4u(t)=(1-0{,}4t)e^{-0{,}4t}+0{,}4t e^{-0{,}4t}=e^{-0{,}4t}. \]Ainsi \(u\) est bien une solution particulière.
2. L’équation homogène est :
\[ y'+0{,}4y=0. \]Ses solutions sont :
\[ y(t)=C e^{-0{,}4t},\qquad C\in\mathbb{R}. \]3. Les solutions de \((E)\) sont donc :
\[ y(t)=t e^{-0{,}4t}+C e^{-0{,}4t}=(t+C)e^{-0{,}4t}. \]4. On impose \(f(0)=1\) :
\[ f(0)=(0+C)e^0=C=1. \]Donc :
\[ \boxed{f(t)=(t+1)e^{-0{,}4t}}. \]5. On dérive :
\[ f'(t)=e^{-0{,}4t}-0{,}4(t+1)e^{-0{,}4t}=(-0{,}4t+0{,}6)e^{-0{,}4t}. \]Comme \(e^{-0{,}4t}>0\), le signe de \(f'(t)\) est celui de \(-0{,}4t+0{,}6\).
\[ -0{,}4t+0{,}6=0 \Longleftrightarrow t=1{,}5. \]Donc \(f\) est croissante sur \([0;1{,}5]\), puis décroissante sur \([1{,}5;6]\).
\[ f(0)=1,\qquad f(1{,}5)=2{,}5e^{-0{,}6},\qquad f(6)=7e^{-2{,}4}. \]6. Une primitive de \((t+1)e^{-0{,}4t}\) est cherchée sous la forme :
\[ F(t)=(at+b)e^{-0{,}4t}. \]Alors :
\[ F'(t)=\bigl(a-0{,}4(at+b)\bigr)e^{-0{,}4t}. \]On veut \(a-0{,}4at-0{,}4b=t+1\). Par identification :
\[ -0{,}4a=1 \Longrightarrow a=-2{,}5, \] \[ a-0{,}4b=1 \Longrightarrow -2{,}5-0{,}4b=1 \Longrightarrow b=-8{,}75. \]Donc :
\[ F(t)=(-2{,}5t-8{,}75)e^{-0{,}4t}. \]Ainsi :
\[ \int_0^6 f(t)\,dt=F(6)-F(0)=(-23{,}75)e^{-2{,}4}+8{,}75. \]La valeur moyenne sur \([0;6]\) est :
\[ \boxed{\overline f=\frac{8{,}75-23{,}75e^{-2{,}4}}{6}\approx 1{,}10.} \]On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;\pi]\) par :
\[ f(x)=e^x\sin x. \]1. Par dérivation d’un produit :
\[ f'(x)=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x). \]Sur \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\), \(\sin x\geq 0\) et \(\cos x\geq 0\), avec jamais les deux nuls en même temps. Donc \(f'(x)>0\), et \(f\) est strictement croissante.
2. On a \(f(0)=0\) et :
\[ f'(0)=e^0(0+1)=1. \]La tangente en \(0\) est donc :
\[ \boxed{y=x.} \]3. On dérive encore :
\[ f''(x)=e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)=2e^x\cos x. \]Sur \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\), \(\cos x\geq0\), donc \(f''(x)\geq0\). La fonction est convexe.
Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes. Comme la tangente en \(0\) est \(y=x\), on obtient :
\[ \boxed{e^x\sin x\geq x\quad \text{sur }\left[0;\frac{\pi}{2}\right].} \]4. Pour \(I\), on intègre par parties avec \(u=\sin x\), \(dv=e^x dx\) :
\[ I=\left[e^x\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\cos x\,dx=e^{\frac{\pi}{2}}-J. \]Pour \(J\), avec \(u=\cos x\), \(dv=e^x dx\) :
\[ J=\left[e^x\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\sin x\,dx=-1+I. \]Donc :
\[ \boxed{I=1+J}\qquad\text{et}\qquad\boxed{I=e^{\frac{\pi}{2}}-J}. \]5. En additionnant les deux relations :
\[ 2I=1+e^{\frac{\pi}{2}}. \]Donc :
\[ \boxed{I=\frac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}.} \]Comme \(f(x)\geq x\) sur l’intervalle, l’aire demandée est :
\[ \mathcal A=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(e^x\sin x-x)\,dx =I-\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}. \] \[ \boxed{\mathcal A=\frac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}-\frac{\pi^2}{8}.} \]On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par :
\[ f(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}. \]1. Comme \(g(x)=e^{\sqrt{x}}\), on utilise la dérivation composée :
\[ g'(x)=e^{\sqrt{x}}\times \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}=f(x). \]2. On écrit :
\[ f(x)=\frac12 e^{\sqrt{x}}x^{-1/2}. \]Alors :
\[ f'(x)=\frac12\left(\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}x^{-1/2}+e^{\sqrt{x}}\left(-\frac12x^{-3/2}\right)\right). \]Donc :
\[ f'(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{4x}-\frac{e^{\sqrt{x}}}{4x\sqrt{x}} =\frac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}. \]3. Pour \(x>0\), \(e^{\sqrt{x}}>0\), \(4x\sqrt{x}>0\). Le signe de \(f'(x)\) est celui de \(\sqrt{x}-1\).
\[ \sqrt{x}-1<0 \Longleftrightarrow 0Ainsi \(f\) décroît sur \(]0;1]\), puis croît sur \([1;+\infty[\). Son minimum vaut :
\[ f(1)=\frac e2. \]4. Comme \(g'(x)=f(x)\), une primitive de \(f\) est \(g(x)=e^{\sqrt{x}}\). Donc :
\[ \int_1^2 f(x)\,dx=e^{\sqrt2}-e. \]Graphiquement, puisque \(f\) est positive, cette intégrale est l’aire sous la courbe de \(f\) entre les droites \(x=1\) et \(x=2\).
\[ \boxed{\int_1^2 f(x)\,dx=e^{\sqrt2}-e.} \]Pour tout entier naturel \(n\), on pose :
\[ I_n=\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx. \]1. Sur \([0;1]\), on a \(x^n\geq0\) et \(e^{-x}>0\). Donc \(I_n\) représente l’aire sous la courbe de \(x\mapsto x^ne^{-x}\) entre 0 et 1.
2.
\[ I_0=\int_0^1 e^{-x}\,dx=\left[-e^{-x}\right]_0^1=1-\frac1e. \]3. Pour \(x\in[0;1]\), multiplier par \(x\) diminue ou conserve la valeur, donc :
\[ 0\leq x^{n+1}\leq x^n. \]Comme \(e^{-x}>0\), on obtient :
\[ 0\leq x^{n+1}e^{-x}\leq x^ne^{-x}. \]En intégrant :
\[ 0\leq I_{n+1}\leq I_n. \]La suite \((I_n)\) est donc décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers une limite \(\ell\geq0\).
4. Pour la relation de récurrence, on écrit :
\[ I_{n+1}=\int_0^1 x^{n+1}e^{-x}\,dx. \]On pose \(u=x^{n+1}\), \(dv=e^{-x}dx\). Alors \(du=(n+1)x^n dx\), \(v=-e^{-x}\).
\[ I_{n+1}=\left[-x^{n+1}e^{-x}\right]_0^1+(n+1)\int_0^1 x^ne^{-x}\,dx. \] \[ I_{n+1}=-\frac1e+(n+1)I_n. \]Donc :
\[ \boxed{I_{n+1}=(n+1)I_n-\frac1e.} \]5. Pour tout \(x\in[0;1]\), on a \(e^{-x}\leq1\), donc :
\[ 0\leq I_n=\int_0^1 x^ne^{-x}\,dx\leq \int_0^1 x^n\,dx=\frac1{n+1}. \]Or \(\dfrac1{n+1}\to0\), donc par encadrement :
\[ \boxed{\lim_{n\to +\infty}I_n=0.} \]Une population \(p(t)\), exprimée en milliers d’individus, vérifie : \[ p'=\frac1{250}p(120-p),\qquad p(0)=30. \] On pose \(y(t)=\dfrac1{p(t)}\).
1. Comme \(y=\dfrac1p\), on a :
\[ y'=-\frac{p'}{p^2}. \]Or :
\[ p'=\frac1{250}p(120-p). \]Donc :
\[ y'=-\frac{1}{250}\frac{p(120-p)}{p^2} =-\frac1{250}\left(\frac{120}{p}-1\right). \]Comme \(\frac1p=y\), on obtient :
\[ y'=-\frac{120}{250}y+\frac1{250}=-0{,}48y+\frac1{250}. \]Donc :
\[ \boxed{y'+0{,}48y=\frac1{250}.} \]2. Une solution constante particulière vérifie :
\[ 0{,}48h=\frac1{250}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{1}{120}. \]Les solutions de l’équation homogène sont \(Ce^{-0{,}48t}\). Donc :
\[ y(t)=Ce^{-0{,}48t}+\frac1{120}. \]3. Comme \(p(0)=30\), on a \(y(0)=\frac1{30}\). Ainsi :
\[ C+\frac1{120}=\frac1{30}=\frac4{120}, \]donc \(C=\frac3{120}=\frac1{40}\). Alors :
\[ y(t)=\frac1{40}e^{-0{,}48t}+\frac1{120} =\frac{3e^{-0{,}48t}+1}{120}. \]Donc :
\[ p(t)=\frac1{y(t)}=\boxed{\frac{120}{1+3e^{-0{,}48t}}}. \]4. Comme \(e^{-0{,}48t}\to0\), on obtient :
\[ \boxed{\lim_{t\to+\infty}p(t)=120.} \]La population se stabilise donc vers \(120\) milliers d’individus, soit \(120000\) individus.
5. Dépasser \(60000\) individus signifie \(p(t)>60\). On résout :
\[ \frac{120}{1+3e^{-0{,}48t}}>60. \]Comme le dénominateur est positif :
\[ 120>60(1+3e^{-0{,}48t}). \] \[ 2>1+3e^{-0{,}48t} \quad\Longleftrightarrow\quad e^{-0{,}48t}<\frac13. \]En appliquant le logarithme :
\[ -0{,}48t<\ln\left(\frac13\right)=-\ln3. \]Donc :
\[ t>\frac{\ln3}{0{,}48}\approx2{,}29. \]Il faut donc environ \(2{,}29\) heures, soit environ :
\[ \boxed{2\text{ h }17\text{ min}.} \]| Situation | Outil | Réflexe Bac |
|---|---|---|
| Trouver une primitive | Formules usuelles | Vérifier en dérivant. |
| Reconnaître une primitive composée | Formes \(u'e^u\), \(\dfrac{u'}{u}\), \(u'u^n\) | Identifier \(u\), puis vérifier que le facteur \(u'\) est présent. |
| Vérifier qu’une fonction est solution | Calcul de \(f'\), puis substitution dans l’équation | Comparer le membre de gauche et le membre de droite. |
| Primitive avec condition initiale | Ajouter une constante \(C\) | Utiliser la condition donnée pour déterminer \(C\). |
| Calculer une intégrale | \(F(b)-F(a)\) | Ne pas oublier les bornes. |
| Calculer une aire | Intégrale d’une fonction positive | Si la fonction change de signe, découper. |
| Résoudre \(y'=ay\) | \(y=Ce^{ax}\) | Utiliser la condition initiale pour trouver \(C\). |
| Calculer une intégrale avec produit | Intégration par parties | Choisir la fonction qui se simplifie en dérivant. |
| Valeur moyenne | \(\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\) | Diviser par la longueur de l’intervalle. |