Terminale Spécialité Mathématiques

Révision Bac — Primitives, équations différentielles et calcul intégral

Une fiche unique pour réviser les outils d’intégration au Bac : primitives usuelles, équations différentielles, intégrales, intégration par parties, aires et valeurs moyennes.

Primitives Équations différentielles Intégrales Aires IPP Valeur moyenne

Méthode Bac essentielle

Ces deux chapitres sont naturellement liés : une primitive sert à calculer une intégrale, et les équations différentielles demandent souvent de retrouver une fonction à partir de sa dérivée.

Réflexe : identifier la forme de la dérivée, choisir une primitive, puis appliquer les bornes ou la condition initiale.

Sommaire

  1. Partie I — Questions de cours
  2. Partie II — Applications directes
  3. Partie III — Exercices type Bac
  4. Partie IV — Bilan méthode

Partie I — Questions de cours

1. Primitive

Que signifie : \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) ?

Correction

Pour tout \(x\in I\), on a :

\[ \boxed{F'(x)=f(x)} \]

Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x)+C\), où \(C\in\mathbb R\).

2. Intégrale et primitive

Si \(F\) est une primitive de \(f\), donner la formule de \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).

Correction \[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)} \]

3. Équation différentielle \(y'=ay\)

Donner les solutions de \(y'=ay\), où \(a\in\mathbb R\).

Correction \[ \boxed{y(x)=Ce^{ax}} \qquad C\in\mathbb R \]

4. Valeur moyenne

Donner la valeur moyenne d’une fonction continue \(f\) sur \([a;b]\), avec \(a\lt b\).

Correction \[ \boxed{m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx} \]

5. Intégration par parties

Donner la formule d’intégration par parties pour deux fonctions \(u\) et \(v\) de classe \(\mathcal C^1\) sur \([a;b]\).

Correction \[ \boxed{\int_a^b u'(x)v(x)\,dx =\left[u(x)v(x)\right]_a^b -\int_a^b u(x)v'(x)\,dx} \]

On peut aussi écrire :

\[ \boxed{\int_a^b u(x)v'(x)\,dx =\left[u(x)v(x)\right]_a^b -\int_a^b u'(x)v(x)\,dx} \]
Réflexe Bac : choisir comme fonction à dériver celle qui se simplifie : \(x\), \(x^2\), \(\ln x\), etc.

Partie II — Applications directes

Application 1 — Primitive usuelle

Déterminer une primitive de \(f(x)=3x^2-4x+5\).

Correction détaillée \[ F(x)=x^3-2x^2+5x \]

car \(F'(x)=3x^2-4x+5\).

Application 2 — Intégrale

Calculer \(\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx\).

Correction détaillée

Une primitive de \(2x+1\) est \(F(x)=x^2+x\).

\[ \int_1^3(2x+1)\,dx = F(3)-F(1) = (9+3)-(1+1) = 10. \] \[ \boxed{10} \]

Application 3 — Condition initiale

Résoudre \(y'=2y\) avec \(y(0)=5\).

Correction détaillée

Les solutions sont \(y(x)=Ce^{2x}\).

\[ y(0)=C=5. \] \[ \boxed{y(x)=5e^{2x}} \]

Application 4 — Intégration par parties

Calculer :

\[ I=\int_0^1 x e^x\,dx. \]
Correction détaillée

On reconnaît un produit. On pose :

\[ u'(x)=e^x,\qquad v(x)=x. \]

Alors \(u(x)=e^x\) et \(v'(x)=1\). Par intégration par parties :

\[ I=\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx. \] \[ I=e-\left[e^x\right]_0^1=e-(e-1)=1. \] \[ \boxed{\int_0^1 x e^x\,dx=1} \]

Application 5 — IPP avec logarithme

Calculer :

\[ J=\int_1^e \ln x\,dx. \]
Correction détaillée

On écrit \(\ln x=1\times \ln x\). On pose :

\[ u'(x)=1,\qquad v(x)=\ln x. \]

Alors \(u(x)=x\) et \(v'(x)=\dfrac1x\). Par intégration par parties :

\[ J=\left[x\ln x\right]_1^e-\int_1^e x\times\frac1x\,dx. \] \[ J=e-\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=1. \] \[ \boxed{\int_1^e \ln x\,dx=1} \]

Application 6 — Vérifier qu’une fonction est solution

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=e^{3x}-2. \]

Montrer que \(f\) est solution de l’équation différentielle :

\[ y'=3y+6. \]
Correction détaillée

On dérive la fonction proposée :

\[ f'(x)=3e^{3x}. \]

On calcule ensuite le membre de droite de l’équation différentielle :

\[ 3f(x)+6=3(e^{3x}-2)+6=3e^{3x}-6+6=3e^{3x}. \]

Donc, pour tout réel \(x\), on a :

\[ f'(x)=3f(x)+6. \] \[ \boxed{f\text{ est solution de }y'=3y+6.} \]

Application 7 — Vérifier une solution avec quotient

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-2;+\infty[\) par :

\[ f(x)=\frac{1}{x+2}. \]

Montrer que \(f\) est solution de l’équation différentielle :

\[ (x+2)y'+y=0. \]
Correction détaillée

Sur \(]-2;+\infty[\), la fonction est dérivable et :

\[ f'(x)=-\frac{1}{(x+2)^2}. \]

On remplace \(y\) par \(f\) dans l’équation :

\[ (x+2)f'(x)+f(x) =(x+2)\left(-\frac{1}{(x+2)^2}\right)+\frac{1}{x+2}. \] \[ (x+2)f'(x)+f(x) =-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}=0. \] \[ \boxed{f\text{ est solution de }(x+2)y'+y=0.} \]

Application 8 — Primitive du logarithme

Déterminer une primitive de la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par :

\[ f(x)=\ln x. \]
Correction détaillée

On utilise une intégration par parties ou la formule connue :

\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C. \]

Donc une primitive de \(\ln x\) sur \(]0;+\infty[\) est :

\[ \boxed{F(x)=x\ln x-x} \]

Vérification :

\[ F'(x)=\ln x+x\times\frac1x-1=\ln x. \]

Application 9 — Primitive de forme donnée

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=(-2x^2+5x+1)e^{-2x}. \]

Déterminer trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que la fonction \(F(x)=(ax^2+bx+c)e^{-2x}\) soit une primitive de \(f\).

Correction détaillée

On dérive la forme proposée :

\[ F'(x)=(2ax+b)e^{-2x}+(ax^2+bx+c)(-2e^{-2x}). \] \[ F'(x)=\left(-2ax^2+(2a-2b)x+b-2c\right)e^{-2x}. \]

On veut obtenir :

\[ \left(-2x^2+5x+1\right)e^{-2x}. \]

On identifie les coefficients :

\[ -2a=-2,\qquad 2a-2b=5,\qquad b-2c=1. \]

Donc :

\[ a=1,\qquad b=-\frac32,\qquad c=-\frac54. \] \[ \boxed{F(x)=\left(x^2-\frac32x-\frac54\right)e^{-2x}} \]

Application 10 — Primitive d’une fonction composée

Déterminer une primitive sur \(\mathbb R\) de la fonction :

\[ f(x)=(4x+2)e^{2x^2+2x-1}. \]
Correction détaillée

On reconnaît une forme \(u'e^u\) avec :

\[ u(x)=2x^2+2x-1. \]

Alors :

\[ u'(x)=4x+2. \]

Donc une primitive de \(u'e^u\) est \(e^u\).

\[ \boxed{F(x)=e^{2x^2+2x-1}} \]

Application 11 — Primitive de la forme \(\dfrac{u'}{u}\)

Déterminer une primitive sur \(\mathbb R\) de la fonction :

\[ f(x)=\frac{2x-1}{x^2-x+2}. \]
Correction détaillée

On pose :

\[ u(x)=x^2-x+2. \]

Alors :

\[ u'(x)=2x-1. \]

De plus, \(x^2-x+2\) est toujours strictement positif car son discriminant vaut :

\[ \Delta=(-1)^2-4\times1\times2=1-8=-7\lt 0. \]

Donc on peut écrire une primitive sous la forme \(\ln(u(x))\).

\[ \boxed{F(x)=\ln(x^2-x+2)} \]

Application 12 — Primitive composée avec condition initiale

Déterminer l’unique primitive \(F\) de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x^2e^{x^3}\), vérifiant \(F(0)=4\).

Correction détaillée

On reconnaît une forme presque égale à \(u'e^u\), avec :

\[ u(x)=x^3,\qquad u'(x)=3x^2. \]

Donc :

\[ x^2e^{x^3}=\frac13u'(x)e^{u(x)}. \]

Les primitives de \(f\) sont donc :

\[ F(x)=\frac13e^{x^3}+C. \]

On utilise la condition \(F(0)=4\) :

\[ \frac13e^0+C=4 \quad\Longrightarrow\quad \frac13+C=4 \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{11}{3}. \] \[ \boxed{F(x)=\frac13e^{x^3}+\frac{11}{3}} \]

Application 13 — Résoudre une équation différentielle affine

Résoudre l’équation différentielle \(y'=4y-8\) avec la condition initiale \(y(0)=3\).

Correction détaillée

On cherche d’abord une solution constante \(y=k\).

\[ 0=4k-8 \quad\Longrightarrow\quad k=2. \]

On pose alors \(z=y-2\). Alors \(z'=y'\), et :

\[ z'=4z. \]

Donc :

\[ z(x)=Ce^{4x}. \]

Ainsi :

\[ y(x)=2+Ce^{4x}. \]

Avec \(y(0)=3\), on obtient :

\[ 3=2+C \quad\Longrightarrow\quad C=1. \] \[ \boxed{y(x)=2+e^{4x}} \]

Partie III — Exercices type Bac

Cette partie reprend les exercices du fichier fourni dans leur structure complète : énoncé, parties, questions et sous-questions. Les graphiques mentionnés sont ceux des annexes du sujet original.

Exercice type Bac 1 — Antilles-Guyane 2010 — Fonction définie par une intégrale

Exercice 3 — 4 points — commun à tous les candidats

On donne la représentation graphique d’une fonction \(f\) définie et continue sur l’intervalle \(I=[-3;8]\).

On définit la fonction \(F\) sur \(I\) par :

\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt. \]
    1. Que vaut \(F(0)\) ?
    2. Donner le signe de \(F(x)\) :
      • pour \(x\in[0; 4]\) ;
      • pour \(x\in[-3;0]\).
      Justifier les réponses.
    3. Faire figurer sur le graphique donné en annexe les éléments permettant de justifier les inégalités : \[ 6\leq F(4)\leq 12. \]
    1. Que représente \(f\) pour \(F\) ?
    2. Déterminer le sens de variation de la fonction \(F\) sur \(I\). Justifier la réponse à partir d’une lecture graphique des propriétés de \(f\).
  3. On dispose de deux représentations graphiques sur \(I\), notées courbe A et courbe B. L’une des courbes peut-elle représenter la fonction \(F\) ? Justifier la réponse.
Annexe 1 — représentation graphique de la fonction \(f\)
Courbe de la fonction f sur l’intervalle [-3;8]
Annexe 2 — courbes candidates pour représenter la fonction \(F\)
Deux courbes candidates A et B pour représenter F
Figure-guide — comment lire cet exercice
\(F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\) → aire algébrique entre \(0\) et \(x\) → \(F'(x)=f(x)\) → variations de \(F\) via le signe de \(f\)
Indice détaillé

Commencer par rappeler que \(F(0)=\int_0^0 f(t)\,dt=0\).

Sur l’annexe 1, la courbe de \(f\) est sous l’axe des abscisses entre \(-3\) et \(0\), puis au-dessus entre \(0\) et \(4\), puis de nouveau sous l’axe après \(4\).

Attention au sens de l’intégrale quand \(x\lt 0\) :

\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt=-\int_x^0 f(t)\,dt. \]

Pour les variations, utiliser le théorème fondamental :

\[ F'(x)=f(x). \]

Donc \(F\) décroît quand \(f\lt 0\), croît quand \(f\gt 0\), et admet des extremums lorsque \(f\) s’annule.

Pour choisir entre la courbe A et la courbe B, vérifier trois critères : \(F(0)=0\), le sens de variation, puis la présence d’un maximum vers \(x=4\).

Correction détaillée

1.a) On a immédiatement :

\[ F(0)=\int_0^0 f(t)\,dt=0. \]

1.b) Pour \(x\in[0;4]\), la courbe de \(f\) est au-dessus de l’axe des abscisses. Ainsi :

\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\geq0. \]

Pour \(x\in[-3;0]\), on inverse les bornes :

\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt=-\int_x^0 f(t)\,dt. \]

Or, sur \([x;0]\), la fonction \(f\) est négative, donc \(\int_x^0 f(t)\,dt\leq0\). Par conséquent :

\[ F(x)=-\int_x^0 f(t)\,dt\geq0. \]

Donc \(F(x)\) est positive sur les deux intervalles demandés.

1.c) Sur l’annexe 1, \(F(4)\) est l’aire située entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=4\). En comparant cette aire avec des rectangles visibles sur le quadrillage, on obtient bien :

\[ 6\leq F(4)\leq 12. \]

2.a) Comme \(f\) est continue sur \(I\), le théorème fondamental donne :

\[ F'(x)=f(x). \]

Donc \(f\) est la fonction dérivée de \(F\).

2.b) Le signe de \(F'\) est donc le signe de \(f\). D’après le graphique :

  • \(f(x)\lt 0\) sur \([-3;0[\), donc \(F\) est décroissante sur \([-3;0]\) ;
  • \(f(x)\gt 0\) sur \(]0;4[\), donc \(F\) est croissante sur \([0;4]\) ;
  • \(f(x)\lt 0\) sur \(]4;8]\), donc \(F\) est décroissante sur \([4;8]\).

Ainsi, \(F\) admet un minimum en \(x=0\) et un maximum en \(x=4\).

3) On compare avec les courbes candidates de l’annexe 2.

  • La fonction \(F\) doit vérifier \(F(0)=0\).
  • Elle doit décroître jusqu’à \(0\), puis croître jusqu’à \(4\), puis décroître après \(4\).
  • Elle doit admettre un maximum vers \(x=4\).

La courbe A ne convient pas, car elle ne passe pas par le point \((0;0)\). La courbe B vérifie les critères précédents.

\[ \boxed{\text{La courbe B peut représenter la fonction }F.} \]

Exercice type Bac 2 — Asie 2010 — Étude de fonction et suite d’intégrales

Exercice 4 — 7 points — commun à tous les candidats

L’objectif de l’exercice est l’étude d’une fonction et d’une suite liée à cette fonction.

Partie A

On note \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0;+\infty[\) par :

\[ f(x)=\frac{1}{x^2}e^{\frac1x}. \]

On note \(\mathcal C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal. L’unité graphique est \(1\) cm.

  1. Étude des limites
    1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(0\).
    2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
    3. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe \(\mathcal C\) ?
  2. Étude des variations de la fonction \(f\)
    1. Démontrer que la fonction dérivée de la fonction \(f\) s’exprime, pour tout réel \(x\) strictement positif, par : \[ f'(x)=-\frac{1}{x^4}e^{\frac1x}(2x+1). \]
    2. Déterminer le signe de \(f'\) et en déduire le tableau de variation de \(f\) sur l’intervalle \(]0;+\infty[\).
    3. Démontrer que l’équation \(f(x)=2\) a une unique solution notée \(\alpha\) appartenant à l’intervalle \(]0;+\infty[\) et donner la valeur approchée de \(\alpha\) arrondie au centième.
  3. Tracer la courbe \(\mathcal C\) dans le repère orthonormal.

Partie B — Étude d’une suite d’intégrales

Pour tout entier naturel \(n\geq2\), on considère l’intégrale \(I_n\) définie par :

\[ I_n=\int_1^2 \frac{1}{x^n}e^{\frac1x}\,dx. \]
  1. Calculer \(I_2\).
  2. Une relation de récurrence
    1. Pour tout entier naturel non nul \(n\) et tout réel \(x\) de \([1;2]\), on pose : \[ f_n(x)=\frac{1}{x^n}e^{\frac1x}. \] Montrer que pour tout entier naturel \(n\geq2\) et tout réel \(x\) de \([1;2]\), \[ f'_{n-1}(x)=-(n-1)f_n(x)-f_{n+1}(x). \]
    2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\geq2\) : \[ I_{n+1}=\frac{e-\sqrt e}{2^{n-1}}+(1-n)I_n. \]
    3. Calculer \(I_3\).
  3. Étude de la limite de la suite de terme général \(I_n\)
    1. Établir que pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([1;2]\), on a : \[ 0\leq \frac{1}{x^n}e^{\frac1x}\leq \frac{e}{x^n}. \]
    2. En déduire un encadrement de \(I_n\) puis étudier la limite éventuelle de la suite \((I_n)\).
Figure-guide — idée générale
limites de \(f\) → asymptotes de \(\mathcal C\) → dérivée \(f'\) → variations → encadrement de \(I_n\)
Indice détaillé

Pour les limites, poser \(u=\dfrac1x\). Quand \(x\to0^+\), on a \(u\to+\infty\), et quand \(x\to+\infty\), \(u\to0\).

Pour la dérivée, écrire \(f(x)=x^{-2}e^{1/x}\) puis utiliser la dérivation d’un produit.

Pour \(I_2\), remarquer que :

\[ \bigl(e^{1/x}\bigr)'=-\frac{1}{x^2}e^{1/x}. \]

Pour la limite de \((I_n)\), comparer l’intégrande à \(\dfrac{e}{x^n}\) sur \([1;2]\).

Correction détaillée

Partie A — limites. Quand \(x\to0^+\), \(\dfrac1x\to+\infty\), donc \(e^{1/x}\) domine toute puissance de \(x\) au dénominateur et :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. \]

Quand \(x\to+\infty\), on a \(e^{1/x}\to1\) et \(\dfrac1{x^2}\to0\), donc :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]

La courbe \(\mathcal C\) admet donc l’axe des ordonnées comme asymptote verticale et l’axe des abscisses comme asymptote horizontale à droite.

Dérivée.

\[ f'(x)=(-2x^{-3})e^{1/x}+x^{-2}e^{1/x}\left(-\frac1{x^2}\right) =-\frac{1}{x^4}e^{1/x}(2x+1). \]

Sur \(]0;+\infty[\), on a \(e^{1/x}\gt 0\), \(x^4\gt 0\) et \(2x+1\gt 0\), donc \(f'(x)\lt 0\). La fonction \(f\) est donc strictement décroissante.

Comme \(f\) est continue, décroissante, avec \(\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\), l’équation \(f(x)=2\) admet une unique solution \(\alpha\).

Partie B — calcul de \(I_2\).

\[ I_2=\int_1^2 \frac{1}{x^2}e^{1/x}\,dx =\left[-e^{1/x}\right]_1^2=e-\sqrt e. \]

La relation de récurrence donnée dans l’énoncé conduit ensuite à :

\[ I_{n+1}=\frac{e-\sqrt e}{2^{n-1}}+(1-n)I_n. \]

Pour \(n=2\), on obtient :

\[ I_3=\frac{e-\sqrt e}{2}-I_2=\frac{\sqrt e}{2}. \]

Limite. Pour tout \(x\in[1;2]\),

\[ 0\leq \frac{1}{x^n}e^{1/x}\leq \frac{e}{x^n}. \]

En intégrant sur \([1;2]\), on obtient :

\[ 0\leq I_n\leq e\int_1^2 \frac{1}{x^n}\,dx. \]

Le membre de droite tend vers \(0\), donc par encadrement :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty} I_n=0.} \]

Exercice type Bac 3 — Liban 2010 — Suite définie par une intégrale

Exercice 1 — 5 points — commun à tous les candidats

Partie A — Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

  • \(e^0=1\).
  • Pour tous réels \(x\) et \(y\), \(e^x\times e^y=e^{x+y}\).
  1. Démontrer que pour tout réel \(x\), \(e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}\).
  2. Démontrer que pour tout réel \(x\) et pour tout entier naturel \(n\), \((e^x)^n=e^{nx}\).

Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[ u_n=\int_0^1 \frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}\,dx. \]
    1. Montrer que \(u_0+u_1=1\).
    2. Calculer \(u_1\). En déduire \(u_0\).
  2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geq0\).
    1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[ u_{n+1}+u_n=\frac{1-e^{-n}}{n}. \]
    2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[ u_n\leq \frac{1-e^{-n}}{n}. \]
  4. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
Figure-guide — stratégie
additionner \(u_n\) et \(u_{n+1}\) → simplifier le dénominateur → encadrer \(u_n\) → limite par comparaison
Indice détaillé

Dans la partie A, utiliser les propriétés de l’exponentielle pour écrire \(e^{-x}\times e^x=1\).

Dans la partie B, commencer par additionner les intégrandes correspondant à \(u_n\) et \(u_{n+1}\).

Pour calculer \(u_1\), reconnaître la dérivée de \(\ln(1+e^{-x})\).

Enfin, comme \(u_n\geq0\) et \(u_n\leq \dfrac{1-e^{-n}}{n}\), la limite se lit facilement.

Correction détaillée

Partie A. Comme \(e^x\times e^{-x}=e^0=1\), on en déduit :

\[ e^{-x}=\frac{1}{e^x}. \]

Ensuite, par récurrence ou par propriété des puissances :

\[ (e^x)^n=e^{nx}. \]

Partie B — 1.a)

\[ u_0+u_1=\int_0^1 \frac{1}{1+e^{-x}}\,dx+\int_0^1\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\,dx =\int_0^1 1\,dx=1. \]

1.b) Pour \(u_1\), on utilise :

\[ \left(\ln(1+e^{-x})\right)'=-\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}. \]

Donc :

\[ u_1=\left[-\ln(1+e^{-x})\right]_0^1 =\ln\!\left(\frac{2e}{e+1}\right). \]

Alors :

\[ u_0=1-u_1. \]

2) L’intégrande est positive sur \([0;1]\), donc \(u_n\geq0\).

3.a) On additionne :

\[ \frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}+\frac{e^{-(n+1)x}}{1+e^{-x}}=e^{-nx}. \]

En intégrant de \(0\) à \(1\), on obtient :

\[ u_n+u_{n+1}=\int_0^1 e^{-nx}\,dx=\frac{1-e^{-n}}{n}. \]

3.b) Comme \(u_{n+1}\geq0\), il vient :

\[ u_n\leq \frac{1-e^{-n}}{n}. \]

4) On a donc :

\[ 0\leq u_n\leq \frac{1-e^{-n}}{n}. \]

Le membre de droite tend vers \(0\), donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} \]

Exercice type Bac 4 — Polynésie 2010 — Fonction, suite, aire et primitive

Exercice 4 — 7 points — commun à tous les candidats

L’annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A

  1. On considère la fonction \(g\) définie sur \([1;+\infty[\) par : \[ g(x)=\ln(2x)+1-x. \]
    1. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation. Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet sur \([1;+\infty[\) une unique solution notée \(\alpha\).
    2. Démontrer que \(\ln(2\alpha)+1=\alpha\).
  2. Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[ u_{n+1}=\ln(2u_n)+1. \] On désigne par \((\Gamma)\) la courbe d’équation \(y=\ln(2x)+1\) dans un repère orthonormal. Cette courbe est donnée en annexe.
    1. En utilisant la courbe \((\Gamma)\), construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.
    2. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq3\).
    3. Démontrer que la suite \((u_n)\) converge vers \(\alpha\).

Partie B

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par :

\[ f(x)=(x-1)e^{1-x}. \]

On désigne par \((\mathcal C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal. Cette courbe est donnée en annexe.

  1. Pour tout nombre réel \(x\) supérieur ou égal à \(1\), on pose : \[ F(x)=\int_1^x f(t)\,dt=\int_1^x (t-1)e^{1-t}\,dt. \]
    1. Démontrer que la fonction \(F\) est croissante sur \([1;+\infty[\).
    2. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \([1;+\infty[\), on a \(F(x)=-xe^{1-x}+1\).
    3. Démontrer que sur \([1;+\infty[\), l’équation \(F(x)=\dfrac12\) est équivalente à l’équation \(\ln(2x)+1=x\).
  2. Soit un réel \(a\) supérieur ou égal à \(1\). On considère la partie \(D_a\) du plan limitée par la courbe \((\mathcal C)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=a\). Déterminer \(a\) tel que l’aire, en unités d’aire, de \(D_a\) soit égale à \(\dfrac12\) et hachurer \(D_a\) sur le graphique.
Annexe : utiliser les courbes \((\Gamma)\) et \((\mathcal C)\) données dans le sujet original.
Annexe — courbes \((\Gamma)\) et \((\mathcal C)\)
Annexe de l'exercice type Bac 4 : courbes Gamma et C
Figure-guide — lien entre les deux parties
\(g(x)=\ln(2x)+1-x\) ↔ \(F(x)=\dfrac12\) ↔ aire \(=\dfrac12\) ↔ même solution \(\alpha\)
Indice détaillé

Pour la partie A, étudier \(g'(x)\). Une fonction continue, d’abord croissante puis décroissante, permet de montrer l’existence et l’unicité d’une solution.

Pour la suite \((u_n)\), utiliser la courbe de \(y=\ln(2x)+1\) et la droite \(y=x\) : c’est un classique du va-et-vient.

Pour la partie B, calculer une primitive de \((x-1)e^{1-x}\) en posant par exemple \(F(x)=-xe^{1-x}+1\) puis vérifier en dérivant.

Correction détaillée

Partie A — 1) On a :

\[ g'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}{x}. \]

Donc \(g\) est décroissante sur \([1;+\infty[\), avec \(g(1)=\ln2\gt 0\) et \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\). Par continuité, l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\).

L’égalité \(g(\alpha)=0\) donne :

\[ \ln(2\alpha)+1=\alpha. \]

2) La récurrence :

\[ u_{n+1}=\ln(2u_n)+1 \]

permet de montrer par récurrence que :

\[ 1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 3. \]

La suite est donc croissante et majorée ; elle converge vers une limite \(\ell\). En passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient :

\[ \ell=\ln(2\ell)+1, \]

donc \(\ell=\alpha\) par unicité.

Partie B — 1.a) Sur \([1;+\infty[\), on a \(x-1\geq0\) et \(e^{1-x}\gt 0\), donc \(f(x)\geq0\). Ainsi \(F\) est croissante.

1.b) On vérifie qu’une primitive est :

\[ F(x)=-xe^{1-x}+1. \]

1.c) L’équation \(F(x)=\dfrac12\) équivaut à :

\[ -xe^{1-x}+1=\frac12 \Longleftrightarrow 2xe^{1-x}=1 \Longleftrightarrow \ln(2x)+1=x. \]

2) L’aire de \(D_a\) vaut \(F(a)\). Demander cette aire égale à \(\dfrac12\) revient donc à résoudre \(F(a)=\dfrac12\), soit encore \(\ln(2a)+1=a\). On en déduit :

\[ \boxed{a=\alpha.} \]

Exercice type Bac 5 — Pondichéry 2010 — Encadrement et suite d’intégrales

Exercice 1 — 6 points — commun à tous les candidats

Partie A — Restitution organisée de connaissances

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a\lt b\), et \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur l’intervalle \([a;b]\). On suppose connus les résultats suivants :

  • \[ \int_a^b (f(t)+g(t))\,dt=\int_a^b f(t)\,dt+\int_a^b g(t)\,dt. \]
  • Si pour tout \(t\in[a;b]\), \(f(t)\geq0\), alors \[ \int_a^b f(t)\,dt\geq0. \]

Montrer que : si pour tout \(t\in[a;b]\), \(f(t)\leq g(t)\), alors \[ \int_a^b f(t)\,dt\leq \int_a^b g(t)\,dt. \]

Partie B

Soit \(n\) un entier naturel non nul. On appelle \(f_n\) la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par :

\[ f_n(x)=\ln(1+x^n) \]

et on pose :

\[ I_n=\int_0^1 \ln(1+x^n)\,dx. \]

On note \(\mathcal C_n\) la courbe représentative de \(f_n\) dans un repère orthonormal.

    1. Déterminer la limite de \(f_1\) en \(+\infty\).
    2. Étudier les variations de \(f_1\) sur \([0;+\infty[\).
    3. Vérifier que la fonction \[ x\mapsto (x+1)\ln(x+1)-x \] est une primitive de la fonction \(f_1\) sur \([0;1]\). En déduire \(I_1\). Interpréter graphiquement le résultat.
    1. Montrer que pour tout entier naturel non nul \(n\), on a \(0\leq I_n\leq \ln2\).
    2. Étudier les variations de la suite \((I_n)\).
    3. En déduire que la suite \((I_n)\) est convergente.
  3. Soit \(g\) la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par : \[ g(x)=\ln(1+x)-x. \]
    1. Étudier le sens de variation de \(g\) sur \([0;+\infty[\).
    2. En déduire le signe de \(g\) sur \([0;+\infty[\). Montrer alors que pour tout entier naturel \(n\) non nul, et pour tout réel \(x\) positif, on a : \[ \ln(1+x^n)\leq x^n. \]
    3. En déduire la limite de la suite \((I_n)\).
Figure-guide — logique de l’exercice
montrer \(f\leq g\) → intégrer → encadrer \(I_n\) → déterminer la limite
Indice détaillé

Pour la restitution de connaissances, penser à intégrer la fonction positive \(g-f\).

Pour \(I_1\), utiliser la primitive fournie puis évaluer entre \(0\) et \(1\).

Sur \([0;1]\), si \(n\) augmente, alors \(x^n\) diminue ; l’expression \(\ln(1+x^n)\) diminue aussi.

Enfin, l’inégalité \(\ln(1+x)\leq x\) sur \([0;+\infty[\) permet de comparer \(I_n\) à \(\int_0^1 x^n\,dx\).

Correction détaillée

Partie A. Si \(f(t)\leq g(t)\) sur \([a;b]\), alors \(g(t)-f(t)\geq0\). En intégrant :

\[ \int_a^b (g(t)-f(t))\,dt\geq0. \]

Par linéarité de l’intégrale, on obtient :

\[ \int_a^b g(t)\,dt-\int_a^b f(t)\,dt\geq0, \]

d’où :

\[ \int_a^b f(t)\,dt\leq\int_a^b g(t)\,dt. \]

Partie B — 1) La primitive proposée conduit à :

\[ I_1=\left[(x+1)\ln(x+1)-x\right]_0^1=2\ln2-1. \]

Graphiquement, \(I_1\) représente l’aire sous la courbe de \(f_1\) entre \(0\) et \(1\).

2.a) Pour \(x\in[0;1]\), on a \(0\leq x^n\leq1\), donc :

\[ 0\leq \ln(1+x^n)\leq \ln2. \]

En intégrant :

\[ 0\leq I_n\leq \ln2. \]

2.b) Comme \(x^{n+1}\leq x^n\) sur \([0;1]\), on a \(\ln(1+x^{n+1})\leq \ln(1+x^n)\), donc la suite \((I_n)\) est décroissante.

Elle est décroissante et minorée par \(0\), donc convergente.

3) La fonction \(g(x)=\ln(1+x)-x\) vérifie :

\[ g'(x)=\frac1{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}\leq0. \]

Comme \(g(0)=0\), on en déduit \(g(x)\leq0\), soit :

\[ \ln(1+x)\leq x. \]

Avec \(x^n\) à la place de \(x\), on obtient :

\[ \ln(1+x^n)\leq x^n. \]

Donc :

\[ 0\leq I_n\leq \int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}. \]

Par encadrement :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}I_n=0.} \]

Exercice type Bac 6 — Rochambeau 2010 — Primitive, valeur moyenne et famille de fonctions

Exercice 4 — 7 points — commun à tous les candidats

À tout entier naturel \(n\) non nul, on associe la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f_n(x)=\frac{4e^{nx}}{e^{nx}+7}. \]

On désigne par \(\mathcal C_n\) la courbe représentative de la fonction \(f_n\) dans un repère orthonormal. Les courbes \(\mathcal C_1\), \(\mathcal C_2\) et \(\mathcal C_3\) sont données en annexe.

Partie A — Étude de la fonction \(f_1\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f_1(x)=\dfrac{4e^x}{e^x+7}\)

  1. Vérifier que pour tout réel \(x\), \[ f_1(x)=\frac{4}{1+7e^{-x}}. \]
    1. Démontrer que la courbe \(\mathcal C_1\) admet deux asymptotes dont on précisera des équations.
    2. Démontrer que la fonction \(f_1\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
    3. Démontrer que pour tout réel \(x\), \(0\lt f_1(x)\lt4\).
    1. Déterminer une équation de la tangente \((T_1)\) à la courbe \(\mathcal C_1\) au point \(I_1\) d’abscisse \(\ln7\).
    2. Tracer la droite \((T_1)\).
    1. Déterminer une primitive de la fonction \(f_1\) sur \(\mathbb R\).
    2. Calculer la valeur moyenne de \(f_1\) sur l’intervalle \([0;\ln7]\).

Partie B — Étude de certaines propriétés de la fonction \(f_n\)

  1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, le point \(A(0;\frac12)\) appartient à la courbe \(\mathcal C_n\).
    1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, la courbe \(\mathcal C_n\) et la droite d’équation \(y=2\) ont un unique point d’intersection dont on précisera l’abscisse. On note \(I_n\) ce point d’intersection.
    2. Déterminer une équation de la tangente \((T_n)\) à la courbe \(\mathcal C_n\) au point \(I_n\).
    3. Tracer les droites \((T_2)\) et \((T_3)\).
  3. Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par : \[ u_n=\frac{n}{\ln7}\int_0^{\frac{\ln7}{n}} f_n(x)\,dx. \] Montrer que la suite \((u_n)\) est constante.
Annexe : utiliser les courbes \(\mathcal C_1\), \(\mathcal C_2\) et \(\mathcal C_3\) données dans le sujet original.
Annexe — courbes \(\mathcal C_1\), \(\mathcal C_2\) et \(\mathcal C_3\)
Annexe de l'exercice type Bac 6 : courbes C1, C2 et C3
Figure-guide — points clés
asymptotes \(y=0\), \(y=4\) → point \(I_n\) d’ordonnée \(2\) → tangente de pente \(n\) → intégrale constante
Indice détaillé

Pour la partie A, réécrire \(f_1(x)\) en fonction de \(e^{-x}\) est très utile pour les limites.

Au point d’abscisse \(\ln7\), on a \(e^x=7\), ce qui simplifie beaucoup les calculs.

Pour la primitive, remarquer que :

\[ \left(\ln(e^x+7)\right)'=\frac{e^x}{e^x+7}. \]

Dans la dernière question, faire le changement de variable \(t=nx\).

Correction détaillée

Partie A — 1) En divisant numérateur et dénominateur par \(e^x\), on obtient :

\[ f_1(x)=\frac{4}{1+7e^{-x}}. \]

2.a) Quand \(x\to-\infty\), \(e^{-x}\to+\infty\), donc \(f_1(x)\to0\). Quand \(x\to+\infty\), \(e^{-x}\to0\), donc \(f_1(x)\to4\). Les asymptotes horizontales sont donc \(y=0\) et \(y=4\).

2.b) On dérive :

\[ f_1'(x)=\frac{28e^x}{(e^x+7)^2}\gt 0. \]

La fonction \(f_1\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb R\).

2.c) Comme \(e^x\gt 0\), on a immédiatement :

\[ 0\lt f_1(x)\lt4. \]

3) Au point \(x=\ln7\), on obtient \(f_1(\ln7)=2\). De plus :

\[ f_1'(\ln7)=1. \]

L’équation de la tangente \((T_1)\) est donc :

\[ y=x-\ln7+2. \]

4.a) Une primitive de \(f_1\) est :

\[ F(x)=4\ln(e^x+7). \]

4.b) La valeur moyenne sur \([0;\ln7]\) vaut :

\[ \frac1{\ln7}\int_0^{\ln7} f_1(x)\,dx =\frac{4}{\ln7}\Bigl[\ln(e^x+7)\Bigr]_0^{\ln7} =\frac{4\ln(7/4)}{\ln7}. \]

Partie B — 1) Comme \(f_n(0)=\dfrac{4}{8}=\dfrac12\), le point \(A(0;\tfrac12)\) appartient à toutes les courbes \(\mathcal C_n\).

2.a) Résoudre \(f_n(x)=2\) revient à écrire :

\[ \frac{4e^{nx}}{e^{nx}+7}=2 \Longleftrightarrow e^{nx}=7 \Longleftrightarrow x=\frac{\ln7}{n}. \]

Il y a donc un unique point d’intersection \(I_n\left(\dfrac{\ln7}{n};2\right)\).

2.b) On dérive :

\[ f_n'(x)=\frac{28n e^{nx}}{(e^{nx}+7)^2}. \]

Au point \(I_n\), on a \(e^{nx}=7\), donc \(f_n'(I_n)=n\). La tangente \((T_n)\) a donc pour équation :

\[ y=n\left(x-\frac{\ln7}{n}\right)+2=nx-\ln7+2. \]

3) On effectue le changement de variable \(t=nx\), d’où \(dt=n\,dx\). Alors :

\[ u_n=\frac{n}{\ln7}\int_0^{\frac{\ln7}{n}}f_n(x)\,dx =\frac{1}{\ln7}\int_0^{\ln7}\frac{4e^t}{e^t+7}\,dt. \]

Cette expression ne dépend plus de \(n\), donc la suite \((u_n)\) est constante. Sa valeur est :

\[ u_n=\frac{4\ln(7/4)}{\ln7}. \]

Exercice type Bac 7 — Fonction, équation différentielle, variations et aire

Exercice 4 — 5 points

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes \(\mathcal{C}_{1}\) et \(\mathcal{C}_{2}\), représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\). L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera \(g\) et \(g'\).

On précise également que :

  • la courbe \(\mathcal{C}_{1}\) coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées \((0;1)\) ;
  • la courbe \(\mathcal{C}_{2}\) coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées \((0;2)\) et l'axe des abscisses aux points \((-2;0)\) et \((1;0)\).
Figure — courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\)
Courbes C1 et C2
  1. En justifiant, associer à chacune des fonctions \(g\) et \(g'\) sa représentation graphique.
  2. Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(g\) au point d'abscisse \(0\) est \(y=2x+1\).

Partie B

On considère \((E)\) l'équation différentielle

\[ y+y'=(2x+3)e^{-x}, \]

où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\).

  1. Montrer que la fonction \(f_0\) définie pour tout réel \(x\) par \(f_0(x)=(x^2+3x)e^{-x}\) est une solution particulière de l'équation différentielle \((E)\).
  2. Résoudre l'équation différentielle \((E_0): y+y'=0\).
  3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle \((E)\).
  4. On admet que la fonction \(g\) décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle \((E)\). Déterminer alors l'expression de la fonction \(g\).
  5. Déterminer les solutions de l'équation différentielle \((E)\) dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

Partie C

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par :

\[ f(x)=(x^2+3x+2)e^{-x}. \]
  1. Démontrer que la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) est égale à \(0\).
    On admet par ailleurs que la limite de \(f\) en \(-\infty\) est égale à \(+\infty\).
  2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(f'\) sa dérivée.
    1. Vérifier que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(-x^2-x+1)e^{-x}\).
    2. Déterminer le signe de \(f'\) sur \(\mathbb{R}\), puis en déduire les variations de \(f\).
  3. Expliquer pourquoi la fonction \(f\) est positive sur l'intervalle \([0;+\infty[\).
  4. On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal \(Oij\). On admet que la fonction \(F\) définie par \(F(x)=(-x^2-5x-7)e^{-x}\) est une primitive de \(f\). Soit \(\alpha\) un réel positif. Déterminer l'aire \(\mathcal{A}(\alpha)\), exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe \(\mathcal{C}_f\) et les droites d'équation \(x=0\) et \(x=\alpha\).
Indice détaillé

Partie A : la dérivée s’annule aux abscisses des extremums de la fonction. Or \(\mathcal{C}_2\) coupe l’axe des abscisses en \(-2\) et \(1\).

Partie B : pour résoudre \((E)\), on additionne une solution particulière et la solution générale de l’équation homogène associée \(y+y'=0\).

Pour les points d’inflexion, calculer \(y''\) pour la solution générale, puis demander que \(y''\) s’annule en deux points distincts.

Partie C : pour l’étude du signe de \(f'\), il suffit d’étudier le trinôme \(-x^2-x+1\), car \(e^{-x}\gt 0\) sur \(\mathbb{R}\).

Pour l’aire, sur \([0;+\infty[\), la fonction \(f\) est positive, donc :

\[ \mathcal{A}(\alpha)=\int_0^\alpha f(x)\,dx. \]
Correction détaillée

Partie A — 1) La courbe \(\mathcal{C}_2\) s’annule en \(-2\) et \(1\). On observe justement que la courbe \(\mathcal{C}_1\) admet un minimum vers \(x=-2\) et un maximum vers \(x=1\).

Donc \(\mathcal{C}_2\) représente la dérivée de la fonction représentée par \(\mathcal{C}_1\). Ainsi :

\[ g \text{ est représentée par } \mathcal{C}_1 \qquad\text{et}\qquad g' \text{ est représentée par } \mathcal{C}_2. \]

2) La courbe \(\mathcal{C}_1\) coupe l’axe des ordonnées au point \((0;1)\), donc :

\[ g(0)=1. \]

La courbe \(\mathcal{C}_2\) coupe l’axe des ordonnées au point \((0;2)\), donc :

\[ g'(0)=2. \]

L’équation de la tangente à \(\mathcal{C}_1\) au point d’abscisse \(0\) est donc :

\[ y=g'(0)(x-0)+g(0)=2x+1. \]

Partie B — 1) Posons \(f_0(x)=(x^2+3x)e^{-x}\). Alors :

\[ f_0'(x)=(2x+3)e^{-x}-(x^2+3x)e^{-x}=(-x^2-x+3)e^{-x}. \]

Donc :

\[ f_0(x)+f_0'(x)=\bigl(x^2+3x-x^2-x+3\bigr)e^{-x}=(2x+3)e^{-x}. \]

Ainsi, \(f_0\) est bien une solution particulière de \((E)\).

2) L’équation homogène \((E_0)\) est :

\[ y+y'=0 \iff y'=-y. \]

Ses solutions sont les fonctions :

\[ y(x)=Ce^{-x}, \qquad C\in\mathbb{R}. \]

3) Les solutions de \((E)\) sont la somme d’une solution particulière et de la solution générale de \((E_0)\) :

\[ y(x)=(x^2+3x)e^{-x}+Ce^{-x}=(x^2+3x+C)e^{-x}, \qquad C\in\mathbb{R}. \]

4) La fonction \(g\) est une solution de \((E)\), donc :

\[ g(x)=(x^2+3x+C)e^{-x}. \]

Or, d’après la partie A, \(g(0)=1\). Donc :

\[ g(0)=C=1. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{g(x)=(x^2+3x+1)e^{-x}.} \]

5) Pour la solution générale \(y(x)=(x^2+3x+C)e^{-x}\), on a :

\[ y'(x)=(-x^2-x+3-C)e^{-x}. \]

Puis :

\[ y''(x)=\bigl(x^2-x+C-4\bigr)e^{-x}. \]

Comme \(e^{-x}\gt 0\), les points d’inflexion sont donnés par l’équation :

\[ x^2-x+C-4=0. \]

Pour avoir exactement deux points d’inflexion, il faut que ce trinôme admette deux racines réelles distinctes, soit :

\[ \Delta = (-1)^2-4(C-4)=17-4C \gt 0. \]

On obtient donc :

\[ C\lt \frac{17}{4}. \]

Les solutions cherchées sont donc :

\[ \boxed{y(x)=(x^2+3x+C)e^{-x} \text{ avec } C\lt \frac{17}{4}.} \]

Partie C — 1) On a :

\[ f(x)=\frac{x^2+3x+2}{e^x}. \]

L’exponentielle domine tout polynôme en \(+\infty\), donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty} f(x)=0.} \]

2.a) En dérivant :

\[ f'(x)=(2x+3)e^{-x}-(x^2+3x+2)e^{-x}=(-x^2-x+1)e^{-x}. \]

2.b) Comme \(e^{-x}\gt 0\), le signe de \(f'\) est celui de \(-x^2-x+1\).

Résolvons \(-x^2-x+1=0\), soit :

\[ x^2+x-1=0. \]

Ses racines sont :

\[ x_1=\frac{-1-\sqrt5}{2},\qquad x_2=\frac{-1+\sqrt5}{2}. \]

Comme le coefficient de \(x^2\) est négatif dans \(-x^2-x+1\), on a :

  • \(f'(x)\lt 0\) sur \(]-\infty;x_1[\) ;
  • \(f'(x)\gt 0\) sur \(]x_1;x_2[\) ;
  • \(f'(x)\lt 0\) sur \(]x_2;+\infty[\).

Donc \(f\) est décroissante, puis croissante, puis décroissante.

3) Pour \(x\geq0\), on a :

\[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\geq0 \qquad\text{et}\qquad e^{-x}\gt 0. \]

Par conséquent :

\[ f(x)\geq0 \quad \text{sur } [0;+\infty[. \]

4) Comme \(f\) est positive sur \([0;\alpha]\), l’aire demandée vaut :

\[ \mathcal{A}(\alpha)=\int_0^\alpha f(x)\,dx. \]

Or \(F\) est une primitive de \(f\), donc :

\[ \mathcal{A}(\alpha)=F(\alpha)-F(0). \]

On calcule :

\[ F(\alpha)=(-\alpha^2-5\alpha-7)e^{-\alpha},\qquad F(0)=-7. \]

D’où :

\[ \mathcal{A}(\alpha)=(-\alpha^2-5\alpha-7)e^{-\alpha}+7. \]

On peut écrire finalement :

\[ \boxed{\mathcal{A}(\alpha)=7-(\alpha^2+5\alpha+7)e^{-\alpha}.} \]

Exercice type Bac 8 — Asie 12 juin 2025 sujet 2 — Température d’une réaction chimique

Exercice 4 — 5 points

Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique dans un réacteur fermé. Le traitement numérique des données expérimentales a permis de modéliser l’évolution de la température de cette réaction chimique en fonction du temps.

La température est exprimée en degré Celsius et le temps en minute. Dans tout l’exercice, on se place sur l’intervalle \([0; 10]\). Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un repère orthogonal du plan, on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction température sur l’intervalle \([0; 10]\).

  1. Déterminer, par lecture graphique, au bout de combien de temps la température redescend à sa valeur initiale à l’instant \(t=0\).
Figure — évolution de la température en fonction du temps
Courbe de température en fonction du temps

On appelle \(f\) la fonction température représentée par la courbe ci-dessus.

On précise que \(f\) est définie et dérivable sur \([0; 10]\) et qu’elle peut s’écrire sous la forme \(f(t)=(at+b)e^{-0,5t}\), où \(a\) et \(b\) sont deux constantes réelles.

  1. On admet que la valeur exacte de \(f(0)\) est 40. En déduire la valeur de \(b\).
  2. On admet que \(f\) vérifie l’équation différentielle \((E): y'+0,5y=60e^{-0,5t}\). Déterminer la valeur de \(a\).

Partie B — Étude de la fonction \(f\)

On admet que, pour tout réel \(t\) de l’intervalle \([0; 10]\), on a :

\[ f(t)=(60t+40)e^{-0,5t}. \]
  1. Montrer que, pour tout réel \(t\) de l’intervalle \([0; 10]\), on a : \(f'(t)=(40-30t)e^{-0,5t}\).
    1. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0; 10]\). Dresser le tableau de variations de \(f\) en y faisant figurer les images des valeurs présentes dans le tableau.
    2. Montrer que l’équation \(f(t)=40\) admet une unique solution \(\alpha\) strictement positive sur l’intervalle \(]0;10]\).
    3. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) au dixième près et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
  3. On définit la température moyenne entre deux temps \(t_1\) et \(t_2\) par \[ \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,dt. \]
    1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \[ \int_0^4 f(t)\,dt = 320-\frac{800}{e^2}. \]
    2. En déduire une valeur approchée, au degré Celsius près, de la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes.
Indice détaillé

Partie A : lire d’abord la valeur initiale sur le graphique : à \(t=0\), la température vaut \(40\,{}^\circ\mathrm{C}\).

Pour retrouver \(b\), remplacer simplement \(t\) par 0 dans \(f(t)=(at+b)e^{-0,5t}\).

Pour retrouver \(a\), calculer \(y'+0,5y\) avec \(y(t)=(at+b)e^{-0,5t}\), puis identifier avec \(60e^{-0,5t}\).

Partie B — 1 : utiliser la dérivation d’un produit :

\[ (uv)'=u'v+uv'. \]

Partie B — 2.a : comme \(e^{-0,5t}\gt 0\), le signe de \(f'(t)\) est celui de \(40-30t\).

Partie B — 2.b : sur \(]0;\tfrac43]\), la fonction est croissante, donc elle est strictement supérieure à 40. Ensuite, elle devient décroissante.

Partie B — 3.a : pour l’intégrale, une intégration par parties efficace consiste à prendre :

\[ u(t)=60t+40 \qquad\text{et}\qquad v'(t)=e^{-0,5t}. \]

On pourra ensuite diviser par 4 pour obtenir la température moyenne sur \([0; 4]\).

Correction détaillée

Partie A — 1) À l’instant initial \(t=0\), on lit :

\[ f(0)=40. \]

Graphiquement, la courbe reprend cette même valeur un peu avant \(t=4\). On lit environ :

\[ \alpha \approx 3,8. \]

La température redescend donc à sa valeur initiale au bout d’environ 3,8 minutes.

2) On a :

\[ f(t)=(at+b)e^{-0,5t}. \]

En remplaçant \(t\) par 0, on obtient :

\[ f(0)=b\times e^0=b. \]

Or \(f(0)=40\), donc :

\[ \boxed{b=40.} \]

3) Posons \(y(t)=(at+b)e^{-0,5t}\). Alors :

\[ y'(t)=ae^{-0,5t}-0,5(at+b)e^{-0,5t}. \]

Donc :

\[ y'(t)+0,5y(t)=ae^{-0,5t}. \]

Mais \(y\) vérifie l’équation différentielle :

\[ y'+0,5y=60e^{-0,5t}. \]

Par identification, on obtient :

\[ \boxed{a=60.} \]

Partie B — 1) Pour tout \(t\in[0; 10]\),

\[ f(t)=(60t+40)e^{-0,5t}. \]

On dérive ce produit :

\[ f'(t)=60e^{-0,5t}+(60t+40)(-0,5)e^{-0,5t}. \]

On factorise par \(e^{-0,5t}\) :

\[ f'(t)=\bigl(60-30t-20\bigr)e^{-0,5t}=(40-30t)e^{-0,5t}. \]

On a bien :

\[ \boxed{f'(t)=(40-30t)e^{-0,5t}.} \]

2.a) Comme \(e^{-0,5t}\gt 0\) pour tout \(t\), le signe de \(f'(t)\) est celui de \(40-30t\).

Résolvons :

\[ 40-30t=0 \iff t=\frac{4}{3}. \]
  • si \(0\le t\lt \tfrac43\), alors \(40-30t\gt 0\), donc \(f'(t)\gt 0\) ;
  • si \(t=\tfrac43\), alors \(f'(t)=0\) ;
  • si \(\tfrac43\lt t\le10\), alors \(40-30t\lt 0\), donc \(f'(t)\lt 0\).

Ainsi, \(f\) est croissante sur \([0; \tfrac43]\), puis décroissante sur \([\tfrac43; 10]\).

Calculons les valeurs utiles :

\[ f(0)=40, \qquad f\!\left(\frac43\right)=\bigl(60\times\frac43+40\bigr)e^{-2/3}=120e^{-2/3}, \qquad f(10)=640e^{-5}. \]

Numériquement :

\[ f\!\left(\frac43\right)\approx 61,6 \qquad\text{et}\qquad f(10)\approx 4,3. \]

On peut donc résumer les variations ainsi :

\(t\) 0 \(\dfrac43\) 10
Signe de \(f'(t)\) + 0 -
Variations de \(f\) 40 \(120e^{-2/3}\approx61,6\) \(640e^{-5}\approx4,3\)

2.b) Sur l’intervalle \(]0;\tfrac43]\), la fonction \(f\) est croissante et :

\[ f(0)=40. \]

Donc, pour tout \(t\in]0;\tfrac43]\), on a \(f(t)\gt 40\). Il n’y a donc aucune solution strictement positive de \(f(t)=40\) sur cet intervalle.

Sur l’intervalle \([\tfrac43; 10]\), la fonction \(f\) est continue et strictement décroissante, avec :

\[ f\!\left(\frac43\right)\approx61,6\gt 40 \qquad\text{et}\qquad f(10)\approx4,3\lt 40. \]

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(t)=40\) admet une solution sur \([\tfrac43; 10]\), et comme \(f\) y est strictement décroissante, cette solution est unique.

On en déduit que l’équation \(f(t)=40\) admet une unique solution strictement positive \(\alpha\) sur \(]0;10]\).

2.c) À la calculatrice, on obtient :

\[ \alpha \approx 3,8076. \]

Au dixième près :

\[ \boxed{\alpha\approx 3,8.} \]

Interprétation : au bout d’environ 3,8 minutes, soit environ 3 min 48 s, la température revient à sa valeur initiale de \(40\,{}^\circ\mathrm{C}\).

3.a) Posons :

\[ I=\int_0^4 f(t)\,dt=\int_0^4 (60t+40)e^{-0,5t}\,dt. \]

On effectue une intégration par parties avec :

\[ u(t)=60t+40 \quad\text{et}\quad v'(t)=e^{-0,5t}. \]

Alors :

\[ u'(t)=60 \qquad\text{et}\qquad v(t)=\int e^{-0,5t}dt=-2e^{-0,5t}. \]

Par la formule d’intégration par parties :

\[ I=\bigl[(60t+40)(-2e^{-0,5t})\bigr]_0^4-\int_0^4 60(-2e^{-0,5t})dt. \]

Donc :

\[ I=\bigl[-(120t+80)e^{-0,5t}\bigr]_0^4+120\int_0^4 e^{-0,5t}dt. \]

Or :

\[ \int_0^4 e^{-0,5t}dt=\bigl[-2e^{-0,5t}\bigr]_0^4=2-\frac{2}{e^2}. \]

Et :

\[ \bigl[-(120t+80)e^{-0,5t}\bigr]_0^4=-\frac{560}{e^2}+80. \]

Ainsi :

\[ I=\left(-\frac{560}{e^2}+80\right)+120\left(2-\frac{2}{e^2}\right). \]

D’où :

\[ I=80+240-\frac{560}{e^2}-\frac{240}{e^2}=320-\frac{800}{e^2}. \]

On a donc bien :

\[ \boxed{\int_0^4 f(t)\,dt=320-\frac{800}{e^2}.} \]

3.b) La température moyenne sur les 4 premières minutes vaut :

\[ \frac14\int_0^4 f(t)\,dt=\frac14\left(320-\frac{800}{e^2}\right)=80-\frac{200}{e^2}. \]

Numériquement :

\[ 80-\frac{200}{e^2}\approx 52,93. \]

Au degré Celsius près :

\[ \boxed{53\,{}^\circ\mathrm{C}.} \]

La température moyenne de la réaction au cours des 4 premières minutes est donc d’environ 53 °C.

Partie IV — Bilan méthode

Situation Outil Réflexe Bac
Trouver une primitive Formules usuelles Vérifier en dérivant.
Reconnaître une primitive composée Formes \(u'e^u\), \(\dfrac{u'}{u}\), \(u'u^n\) Identifier \(u\), puis vérifier que le facteur \(u'\) est présent.
Vérifier qu’une fonction est solution Calcul de \(f'\), puis substitution dans l’équation Comparer le membre de gauche et le membre de droite.
Primitive avec condition initiale Ajouter une constante \(C\) Utiliser la condition donnée pour déterminer \(C\).
Calculer une intégrale \(F(b)-F(a)\) Ne pas oublier les bornes.
Calculer une aire Intégrale d’une fonction positive Si la fonction change de signe, découper.
Résoudre \(y'=ay\) \(y=Ce^{ax}\) Utiliser la condition initiale pour trouver \(C\).
Calculer une intégrale avec produit Intégration par parties Choisir la fonction qui se simplifie en dérivant.
Valeur moyenne \(\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\) Diviser par la longueur de l’intervalle.
Erreur classique : une primitive n’est pas unique. On ajoute toujours une constante pour les primitives générales, mais cette constante disparaît dans une intégrale définie. Pour une primitive composée, le piège est d’oublier le facteur \(u'\). Pour une IPP, il faut bien calculer le crochet aux bornes avant de soustraire la nouvelle intégrale.
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