Terminale Spécialité Mathématiques
Une fiche ciblée pour réviser le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables, les identités, les équations, les dérivées et les variations des fonctions trigonométriques.
En trigonométrie, la plupart des exercices se ramènent à la même stratégie :
Répondre avec les formules essentielles. L’objectif est de savoir reconnaître rapidement l’outil à utiliser dans les exercices de trigonométrie.
Compléter les valeurs remarquables suivantes.
Donner les formules de \(\cos(-x)\), \(\sin(-x)\), \(\cos(\pi-x)\) et \(\sin(\pi-x)\).
Donner l’identité fondamentale reliant \(\sin x\) et \(\cos x\).
Cette identité est valable pour tout réel \(x\).
Donner les dérivées de \(\sin x\), \(\cos x\) et \(\tan x\).
La formule de \((\tan x)'\) est valable sur les intervalles où \(\tan x\) est définie.
Quelle méthode utiliser pour résoudre \(\sin x=a\) ou \(\cos x=a\) sur un intervalle donné ?
Déterminer le point image de chacun des réels suivants sur le cercle trigonométrique :
\[ \frac{17\pi}{2},\qquad -\frac{7\pi}{2},\qquad \frac{19\pi}{3},\qquad -\frac{37\pi}{6}. \]On réduit chaque angle modulo \(2\pi\).
\[ \frac{17\pi}{2}=8\pi+\frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{17\pi}{2}\equiv \frac{\pi}{2}\pmod{2\pi}. \] \[ -\frac{7\pi}{2}+4\pi=\frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad -\frac{7\pi}{2}\equiv \frac{\pi}{2}\pmod{2\pi}. \] \[ \frac{19\pi}{3}=6\pi+\frac{\pi}{3} \quad\Rightarrow\quad \frac{19\pi}{3}\equiv\frac{\pi}{3}\pmod{2\pi}. \] \[ -\frac{37\pi}{6}+6\pi=-\frac{\pi}{6} \quad\Rightarrow\quad -\frac{37\pi}{6}\equiv -\frac{\pi}{6}\pmod{2\pi}. \]Calculer exactement :
\[ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right),\quad \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right),\quad \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right),\quad \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right). \]Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) :
\[ \cos x=\frac12, \qquad \sin x=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin x=-\frac{\sqrt3}{2}. \]Résoudre dans \([0;2\pi[\) :
\[ \sin x=\frac12, \qquad \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \cos^2x-\frac12=0. \]Enfin :
\[ \cos^2x-\frac12=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos x=\frac{\sqrt2}{2}\quad\text{ou}\quad \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \] \[ \boxed{x\in\left\{\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right\}} \]Résoudre dans \([ -\pi;\pi]\) :
\[ \cos x\leq \frac12, \qquad \cos x\geq0, \qquad \cos x\lt\frac{\sqrt2}{2}. \]On considère \(f(x)=\dfrac{1}{2+\cos x}\).
Pour tout réel \(x\), on a :
\[ -1\leq \cos x\leq 1. \]Donc :
\[ 1\leq 2+\cos x\leq3. \]Le dénominateur n’est jamais nul, donc \(f\) est définie sur \(\mathbb R\).
Comme le dénominateur est positif :
\[ \boxed{\frac13\leq \frac{1}{2+\cos x}\leq1} \]Dériver les fonctions suivantes :
\[ f_1(x)=\cos(3x)+x, \qquad f_2(x)=\sin x\cos x, \qquad f_3(x)=\cos(e^x). \]Dériver la fonction définie par :
\[ f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}. \]On pose \(u(x)=\sin x\) et \(v(x)=2+\cos x\). Alors :
\[ u'(x)=\cos x, \qquad v'(x)=-\sin x. \] \[ f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} =\frac{\cos x(2+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}. \] \[ f'(x)=\frac{2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{(2+\cos x)^2} =\boxed{\frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}}. \]Simplifier pour tout réel \(x\) :
\[ (\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2. \]On développe :
\[ (\cos x+\sin x)^2=\cos^2x+2\sin x\cos x+\sin^2x. \] \[ (\cos x-\sin x)^2=\cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x. \]En additionnant, les termes croisés s’annulent :
\[ 2\cos^2x+2\sin^2x=2(\cos^2x+\sin^2x)=2. \] \[ \boxed{(\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2=2} \]On définit \((u_n)\) par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\sin(u_n)\).
Comme \(u_0=1\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\), et comme \(\sin x\in[0;1]\subset\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\) pour \(x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\), une récurrence donne :
\[ 0\leq u_n\leq\frac{\pi}{2}. \]Sur \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\), on a \(\sin x\leq x\). Donc :
\[ u_{n+1}=\sin(u_n)\leq u_n. \]La suite est décroissante et minorée par 0 : elle converge vers une limite \(\ell\geq0\).
En passant à la limite dans \(u_{n+1}=\sin(u_n)\), on obtient :
\[ \ell=\sin\ell. \]Sur \([0;\frac{\pi}{2}]\), l’unique solution est \(\ell=0\). Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} \]Calculer :
\[ \int_0^\pi \cos x\,dx, \qquad \int_0^{\pi/4}\sin x\,dx, \qquad \int_0^\pi \cos x\sin^3x\,dx. \]Pour la troisième, on pose \(u=\sin x\), donc \(u'=\cos x\). Une primitive de \(\cos x\sin^3x\) est \(\frac{\sin^4x}{4}\).
\[ \int_0^\pi \cos x\sin^3x\,dx=\left[\frac{\sin^4x}{4}\right]_0^\pi=0. \]Calculer :
\[ \int_0^{\sqrt\pi} x\cos(2x^2)\,dx. \]On reconnaît une forme composée. Posons \(u(x)=2x^2\), alors \(u'(x)=4x\).
\[ x\cos(2x^2)=\frac14 u'(x)\cos(u(x)). \]Une primitive est donc :
\[ \frac14\sin(2x^2). \] \[ \int_0^{\sqrt\pi} x\cos(2x^2)\,dx =\left[\frac14\sin(2x^2)\right]_0^{\sqrt\pi}=0. \]Cette partie reprend les grands modèles d’exercices Bac sur les fonctions trigonométriques : aire entre courbes symétriques, fonction avec exponentielle et trigonométrie, optimisation d’un angle, écart entre deux courbes et aire d’une étiquette. Les énoncés sont réécrits au format Learna avec indice détaillé et correction complète.
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;2\pi]\) par :
\[ f(x)=-\frac32\cos x+\frac32. \]On note \(\mathcal C_1\) sa courbe représentative. La courbe \(\mathcal C_2\) est la symétrique de \(\mathcal C_1\) par rapport à l’axe des abscisses. La forme étudiée est le domaine délimité par les deux courbes.
Comme \(-1\leq\cos x\leq1\), on peut encadrer \(-\cos x+1\).
La courbe symétrique par rapport à l’axe des abscisses représente la fonction \(-f\). L’écart vertical entre les deux courbes est donc :
\[ f(x)-(-f(x))=2f(x). \]Pour tout réel \(x\), on a \(\cos x\leq1\). Donc :
\[ -\cos x+1\geq0. \]Comme \(\dfrac32\gt0\), on obtient :
\[ f(x)=\frac32(1- \cos x)\geq0. \]La courbe \(\mathcal C_2\) représente la fonction \(-f\). L’aire entre les deux courbes est donc :
\[ \mathcal A=\int_0^{2\pi}\bigl(f(x)-(-f(x))\bigr)\,dx =2\int_0^{2\pi}f(x)\,dx. \]On calcule :
\[ \mathcal A =2\int_0^{2\pi}\left(-\frac32\cos x+\frac32\right)dx =3\left[-\sin x+x\right]_0^{2\pi}. \]Donc :
\[ \mathcal A=3\left(2\pi-0\right)=6\pi. \]Conclusion :
\[ \boxed{\mathcal A=6\pi\ \text{unités d’aire}.} \]On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=e^{-x}(-\cos x+\sin x+1), \qquad g(x)=-e^{-x}\cos x. \]Pour l’encadrement, utiliser simplement :
\[ -1\leq\sin x\leq1, \qquad -1\leq-\cos x\leq1. \]Pour la position relative, calculer \(f(x)-g(x)\).
Pour l’aire, si \(f\geq g\), alors :
\[ \mathcal A=\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}(f(x)-g(x))\,dx. \]On a \(-1\leq-\cos x\leq1\) et \(-1\leq\sin x\leq1\). Donc :
\[ -1\leq -\cos x+\sin x+1\leq3. \]Comme \(e^{-x}\gt0\), on obtient :
\[ -e^{-x}\leq f(x)\leq3e^{-x}. \]Or \(\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0\). Par encadrement :
\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0.} \]Dérivons \(f(x)=e^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\). Posons \(u=e^{-x}\) et \(v=-\cos x+\sin x+1\).
\[ u'=-e^{-x}, \qquad v'=\sin x+\cos x. \]Alors :
\[ f'(x)=e^{-x}(\sin x+\cos x)-e^{-x}(-\cos x+\sin x+1) =e^{-x}(2\cos x-1). \]Comme \(e^{-x}\gt0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(2\cos x-1\).
Sur \([-\pi;\pi]\), on a \(2\cos x-1\geq0\) lorsque \(\cos x\geq\dfrac12\), c’est-à-dire :
\[ x\in\left[-\frac\pi3;\frac\pi3\right]. \]Donc \(f\) est décroissante sur \([-\pi;-\frac\pi3]\), croissante sur \([-\frac\pi3;\frac\pi3]\), puis décroissante sur \([\frac\pi3;\pi]\).
Ensuite :
\[ f(x)-g(x)=e^{-x}(-\cos x+\sin x+1)+e^{-x}\cos x=e^{-x}(1+ \sin x). \]Comme \(e^{-x}\gt0\) et \(1+\sin x\geq0\), on obtient \(f(x)\geq g(x)\) pour tout réel \(x\).
L’aire vaut donc :
\[ \mathcal A=\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}e^{-x}(1+ \sin x)\,dx =H\left(\frac{3\pi}{2}\right)-H\left(-\frac\pi2\right). \]On calcule :
\[ H\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac12 e^{-3\pi/2}, \qquad H\left(-\frac\pi2\right)=-\frac12 e^{\pi/2}. \]Ainsi :
\[ \mathcal A=\frac12\left(e^{\pi/2}-e^{-3\pi/2}\right). \]Si l’unité graphique est de 2 cm, l’aire en \(\text{cm}^2\) est multipliée par \(4\) :
\[ \boxed{\mathcal A_{\text{cm}^2}=2\left(e^{\pi/2}-e^{-3\pi/2}\right)\approx9{,}58.} \]Lors d’un match de rugby, un joueur choisit un point \(T\) sur un segment perpendiculaire à la ligne des poteaux. On note \(x=ET\), avec \(0\lt x\leq50\). Les longueurs utiles sont :
\[ EA=25, \qquad AB=5{,}6, \qquad EM=50. \]On note \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) les angles utilisés dans les triangles rectangles, avec \(\gamma=\alpha-\beta\).
Dans un triangle rectangle, \(\tan(\text{angle})=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\).
La fonction \(\tan\) est croissante car :
\[ (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}\gt0. \]Pour minimiser \(F\), dériver \(F(x)=x+\dfrac{765}{x}\).
Les triangles rectangles donnent :
\[ \tan\alpha=\frac{25+5{,}6}{x}=\frac{30{,}6}{x}, \qquad \tan\beta=\frac{25}{x}. \]Sur \(]0;\frac\pi2[\), on a \(\cos x\gt0\), donc :
\[ (\tan x)'=\frac1{\cos^2x}\gt0. \]La fonction \(\tan\) est donc strictement croissante.
Avec la formule de différence :
\[ \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+ \tan\alpha\tan\beta}. \]Donc :
\[ \tan\gamma =\frac{\frac{30{,}6}{x}-\frac{25}{x}}{1+ \frac{30{,}6}{x}\times\frac{25}{x}} =\frac{\frac{5{,}6}{x}}{\frac{x^2+765}{x^2}} =\frac{5{,}6x}{x^2+765}. \]Comme \(\tan\) est croissante, maximiser \(\gamma\) revient à maximiser \(\tan\gamma\), donc :
\[ \frac{5{,}6x}{x^2+765} =\frac{5{,}6}{x+\frac{765}{x}}. \]Il faut donc minimiser :
\[ F(x)=x+\frac{765}{x}. \]On dérive :
\[ F'(x)=1-\frac{765}{x^2}. \]Alors \(F'(x)=0\) équivaut à \(x^2=765\), donc :
\[ x=\sqrt{765}\approx27{,}66. \]Au mètre près :
\[ \boxed{x\approx28\ \text{m}.} \]Enfin :
\[ \tan\gamma\approx\frac{5{,}6\sqrt{765}}{2\times765}\approx0{,}1012. \]Donc :
\[ \boxed{\gamma\approx0{,}10\ \text{radian}.} \]On considère sur \([0;+\infty[\) les fonctions :
\[ f(x)=e^{-x}\cos x, \qquad g(x)=e^{-x}, \qquad h(x)=g(x)-f(x). \]Pour la position relative, calculer :
\[ g(x)-f(x)=e^{-x}(1- \cos x). \]Pour \(h'\), dériver \(e^{-x}(1- \cos x)\), puis utiliser :
\[ \cos x+ \sin x=\sqrt2\cos\left(x- \frac\pi4\right). \]On a :
\[ h(x)=g(x)-f(x)=e^{-x}(1- \cos x). \]Comme \(e^{-x}\gt0\) et \(1- \cos x\geq0\), on obtient :
\[ g(x)-f(x) \geq0. \]Donc \(\mathcal C_g\) est au-dessus de \(\mathcal C_f\).
Comme \(-1\leq\cos x\leq1\), on a \(-e^{-x}\leq f(x)\leq e^{-x}\). Or \(e^{-x}\to0\) lorsque \(x\to+\infty\). Donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}g(x)=0. \]L’axe des abscisses est donc asymptote horizontale aux deux courbes.
Dérivons \(h(x)=e^{-x}(1- \cos x)\) :
\[ h'(x)=-e^{-x}(1- \cos x)+e^{-x}\sin x =e^{-x}(\cos x+ \sin x-1). \]Or :
\[ \cos x+ \sin x=\sqrt2\cos\left(x- \frac\pi4\right). \]Donc :
\[ \boxed{h'(x)=e^{-x}\left[\sqrt2\cos\left(x- \frac\pi4\right)-1\right].} \]Sur \([0;\frac\pi2]\), on a \(\sqrt2\cos(x-\frac\pi4)-1\geq0\). Sur \([\frac\pi2;2\pi]\), cette expression est négative ou nulle.
Donc \(h\) est croissante sur \([0;\frac\pi2]\), puis décroissante sur \([\frac\pi2;2\pi]\).
L’aire cherchée est :
\[ \mathcal A=\int_0^{2\pi}h(x)\,dx=H(2\pi)-H(0). \]On calcule :
\[ H(2\pi)=\frac12e^{-2\pi}(-2+1-0)=-\frac12e^{-2\pi}, \qquad H(0)=\frac12(-2+1)=-\frac12. \]Donc :
\[ \boxed{\mathcal A=\frac12(1-e^{-2\pi}).} \]Une étiquette est délimitée par l’axe des abscisses et la courbe d’équation :
\[ y=a\cos x, \qquad x\in\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right], \qquad a\gt0. \]Un disque de centre \(A\left(0;\frac a2\right)\) et de rayon \(\frac a2\) est placé dans l’étiquette. On cherche la valeur de \(a\) pour que l’aire du disque soit égale à l’aire de la surface restante.
L’aire sous la courbe \(y=a\cos x\) vaut :
\[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}a\cos x\,dx. \]Si l’aire du disque est égale à l’aire restante, alors elle vaut la moitié de l’aire totale.
L’aire totale de l’étiquette est :
\[ \mathcal A_{\text{totale}}= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}a\cos x\,dx. \]Donc :
\[ \mathcal A_{\text{totale}} =a\left[\sin x\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} =a(1-(-1))=2a. \]Le disque a pour rayon \(\dfrac a2\). Son aire vaut :
\[ \mathcal A_{\text{disque}}=\pi\left(\frac a2\right)^2=\frac{\pi a^2}{4}. \]On veut que l’aire du disque soit égale à l’aire restante. Donc :
\[ \mathcal A_{\text{disque}} =\mathcal A_{\text{totale}}-\mathcal A_{\text{disque}}. \]Autrement dit :
\[ 2\mathcal A_{\text{disque}}=\mathcal A_{\text{totale}}. \]Donc :
\[ 2\times\frac{\pi a^2}{4}=2a. \]Comme \(a\gt0\), on divise par \(a\) :
\[ \frac{\pi a}{2}=2. \]Ainsi :
\[ \boxed{a=\frac4\pi\approx1{,}27.} \]On désigne par \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0;\pi]\) par :
\[ f(x)=e^x\sin(x). \]On note \(\mathcal C_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère.
On note :
\[ I=\int_0^{\frac\pi2}e^x\sin(x)\,dx \qquad\text{et}\qquad J=\int_0^{\frac\pi2}e^x\cos(x)\,dx. \]
Dériver \(e^x\sin(x)\) avec la formule du produit.
Sur \(\left[0;\dfrac\pi2\right]\), on a \(e^x\gt0\), \(\sin(x)\geq0\) et \(\cos(x)\geq0\).
Pour la convexité, calculer \(f''(x)\). Une fonction est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive.
Pour l’aire, utiliser \(f(x)\geq x\) sur \(\left[0;\dfrac\pi2\right]\), donc :
\[ \mathcal A=\int_0^{\frac\pi2}\bigl(f(x)-x\bigr)\,dx. \]Partie A — 1.a) On dérive :
\[ f'(x)=(e^x)'\sin(x)+e^x(\sin x)'=e^x\sin(x)+e^x\cos(x). \] \[ \boxed{f'(x)=e^x\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr)} \]1.b) Sur \(\left[0;\dfrac\pi2\right]\), \(e^x\gt0\), \(\sin(x)\geq0\) et \(\cos(x)\geq0\). Ainsi \(f'(x)\gt0\), donc \(f\) est strictement croissante.
2.a) On a \(f(0)=0\) et \(f'(0)=1\). L’équation de la tangente est donc :
\[ \boxed{T:y=x} \]2.b) On calcule :
\[ f''(x)=e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)=2e^x\cos x. \]Sur \(\left[0;\dfrac\pi2\right]\), \(e^x\gt0\) et \(\cos x\geq0\), donc \(f''(x)\geq0\). La fonction \(f\) est convexe.
2.c) Une fonction convexe est située au-dessus de ses tangentes. La tangente en \(0\) est \(y=x\), donc :
\[ \boxed{e^x\sin(x)\geqslant x} \]3) Comme \(f''(x)=2e^x\cos x\), le signe de \(f''\) est celui de \(\cos x\). Il change de signe en \(x=\dfrac\pi2\). Le point d’abscisse \(\dfrac\pi2\) est donc un point d’inflexion.
Partie B — 1) Première intégration par parties : \(u=e^x\), \(v'=\sin x\), donc \(v=-\cos x\).
\[ I=\left[-e^x\cos x\right]_0^{\frac\pi2}+\int_0^{\frac\pi2}e^x\cos x\,dx=1+J. \]Deuxième intégration par parties : \(u=\sin x\), \(v'=e^x\), donc \(v=e^x\).
\[ I=\left[e^x\sin x\right]_0^{\frac\pi2}-\int_0^{\frac\pi2}e^x\cos x\,dx=e^{\frac\pi2}-J. \]2) En additionnant les deux relations, on obtient :
\[ 2I=1+e^{\frac\pi2} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{I=\frac{1+e^{\frac\pi2}}2}. \]3) L’aire hachurée vaut :
\[ \mathcal A=\int_0^{\frac\pi2}\bigl(e^x\sin x-x\bigr)\,dx =I-\int_0^{\frac\pi2}x\,dx. \]Or :
\[ \int_0^{\frac\pi2}x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac\pi2}=\frac{\pi^2}{8}. \]Donc :
\[ \boxed{\mathcal A=\frac{1+e^{\frac\pi2}}2-\frac{\pi^2}{8}}. \]On considère l’équation différentielle :
\[ (E_0):\quad y'=y. \]On considère ensuite :
\[ (E):\quad y'=y-\cos(x)-3\sin(x). \]La fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb R\) par \(h(x)=2\cos(x)+\sin(x)\).
Pour \((E_0)\), reconnaître l’équation différentielle de référence \(y'=y\).
Pour vérifier que \(h\) est solution de \((E)\), calculer \(h'(x)\), puis comparer avec \(h(x)-\cos x-3\sin x\).
Pour l’équivalence, soustraire l’équation vérifiée par \(h\) à celle vérifiée par \(f\).
1) Si \(y\) est constante, alors \(y'=0\). L’équation \(y'=y\) impose donc \(y=0\). L’unique fonction constante solution est la fonction nulle.
2) Les solutions de \(y'=y\) sont :
\[ \boxed{y(x)=Ce^x,\quad C\in\mathbb R.} \]3) On a \(h'(x)=-2\sin x+\cos x\). De plus :
\[ h(x)-\cos x-3\sin x =2\cos x+\sin x-\cos x-3\sin x =\cos x-2\sin x. \]Donc \(h'(x)=h(x)-\cos x-3\sin x\), ainsi \(h\) est solution de \((E)\).
4) Si \(f\) et \(h\) sont solutions de \((E)\), alors :
\[ f'-h'=f-h. \]Donc \((f-h)'=f-h\), ce qui signifie que \(f-h\) est solution de \((E_0)\). La réciproque se démontre en remontant les égalités.
5) On a donc \(f(x)-h(x)=Ce^x\). Ainsi :
\[ \boxed{f(x)=Ce^x+2\cos x+\sin x,\quad C\in\mathbb R.} \]6) Avec \(g(0)=0\), on obtient \(C+2=0\), donc \(C=-2\). Ainsi :
\[ \boxed{g(x)=-2e^x+2\cos x+\sin x.} \]7) Une primitive de \(-2e^x+\sin x+2\cos x\) est \(-2e^x-\cos x+2\sin x\). Donc :
\[ \int_0^{\frac\pi2}\left[-2e^x+\sin x+2\cos x\right]dx =\left[-2e^x-\cos x+2\sin x\right]_0^{\frac\pi2}. \] \[ \boxed{5-2e^{\frac\pi2}}. \]Pour tout entier naturel \(n\), on considère :
\[ I_n=\int_0^\pi e^{-nx}\sin(x)\,dx, \qquad J_n=\int_0^\pi e^{-nx}\cos(x)\,dx. \]| 1 | from math import * |
| 2 | def seuil() : |
| 3 | n = 0 |
| 4 | I = 2 |
| 5 | ... |
| 6 | n = n + 1 |
| 7 | I = (1 + exp(-n*pi))/(n*n + 1) |
| 8 | return n |
Sur \([0;\pi]\), on a \(\sin x\geq0\) et \(e^{-nx}\gt0\).
Pour la décroissance, écrire \(I_{n+1}-I_n\) sous forme d’une intégrale.
Pour la limite, utiliser \(0\leq\sin x\leq1\), puis le théorème d’encadrement.
Pour les relations avec \(J_n\), faire deux intégrations par parties différentes.
1)
\[ I_0=\int_0^\pi\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_0^\pi=2. \]2.a) Pour tout \(x\in[0;\pi]\), \(e^{-nx}\gt0\) et \(\sin x\geq0\), donc \(I_n\geqslant0\).
2.b)
\[ I_{n+1}-I_n =\int_0^\pi e^{-nx}(e^{-x}-1)\sin x\,dx. \]Or \(e^{-nx}\gt0\), \(e^{-x}-1\leq0\) et \(\sin x\geq0\). Donc \(I_{n+1}-I_n\leq0\).
2.c) La suite \((I_n)\) est décroissante et minorée par \(0\). Elle converge.
3.a) Comme \(0\leq\sin x\leq1\), on a :
\[ 0\leq e^{-nx}\sin x\leq e^{-nx}. \]Donc :
\[ I_n\leq\int_0^\pi e^{-nx}\,dx. \]3.b) Pour \(n\geq1\) :
\[ \int_0^\pi e^{-nx}\,dx=\left[-\frac1n e^{-nx}\right]_0^\pi=\frac{1-e^{-n\pi}}n. \]3.c) On a \(0\leq I_n\leq\dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}\leq\dfrac{1}{n}\). Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}I_n=0.} \]4.a) Avec \(u=e^{-nx}\), \(v'=\sin x\), on obtient :
\[ I_n=1+e^{-n\pi}-nJ_n. \]Avec \(u=\sin x\), \(v'=e^{-nx}\), on obtient :
\[ I_n=\frac1nJ_n. \]4.b) Comme \(J_n=nI_n\), on remplace dans la première relation :
\[ I_n=1+e^{-n\pi}-n^2I_n. \]Donc :
\[ \boxed{I_n=\frac{1+e^{-n\pi}}{n^2+1}.} \]5) Tant que \(I\geq0,1\), on continue. La ligne 5 est :
while I >= 0.1 :| Situation | Outil | Réflexe Bac |
|---|---|---|
| Angle remarquable | Cercle trigonométrique | Réduire l’angle modulo \(2\pi\), puis utiliser les valeurs connues. |
| Équation \(\sin x=a\) ou \(\cos x=a\) | Cercle + symétries | Toujours filtrer selon l’intervalle demandé. |
| Inéquation trigonométrique | Cercle trigonométrique | Repérer l’arc où le sinus ou le cosinus vérifie la condition. |
| Étude de fonction trigonométrique | Dérivée | Utiliser \((\sin u)'=u'\cos u\) et \((\cos u)'=-u'\sin u\). |
| Encadrement avec \(\sin x\) ou \(\cos x\) | \(-1\leq\sin x,\cos x\leq1\) | Attention au sens des inégalités quand on inverse un nombre positif. |
| Suite \(u_{n+1}=\sin(u_n)\) | Récurrence + monotonie | Sur \([0;1]\), utiliser \(\sin x\leq x\). |
| Intégrale trigonométrique | Primitive ou changement de variable | Repérer les formes \(u'\sin u\), \(u'\cos u\), \(u'u^n\). |
| Aire entre deux courbes | Intégrale de \(f-g\) | Vérifier d’abord quelle courbe est au-dessus. |