Première Spécialité Mathématiques

Révision — Suites numériques et algorithmique

Un bloc essentiel de Première : suites arithmétiques, suites géométriques, variations, sommes, seuils, récurrence affine et algorithmes. Une seule page pour réviser les méthodes importantes avant un devoir ou un bac blanc.

Suites arithmétiques Suites géométriques Variations Seuils Algorithmique

Méthode générale

Pour réussir un exercice sur les suites, il faut éviter de calculer les termes au hasard. La méthode la plus sûre est toujours la même : identifier la nature de la suite, choisir la formule adaptée, étudier éventuellement les variations, puis conclure dans le contexte.

Définition Nature Formule Variation Conclusion
Point clé : une suite arithmétique correspond à une addition constante, une suite géométrique correspond à une multiplication constante. Une relation du type \(u_{n+1}=au_n+b\) avec \(b\neq0\) n’est en général ni arithmétique ni géométrique.

Sommaire

  1. Partie I — Questions de cours
  2. Partie II — Cours essentiel
  3. Partie III — Méthodes directes
  4. Partie IV — Applications guidées
  5. Partie V — Exercices type Bac blanc
  6. Partie VI — Bilan méthode

Partie I — Questions de cours avancées

Cette partie sert de vrai entraînement oral et écrit. L’objectif n’est pas seulement de connaître les formules : il faut savoir choisir la bonne méthode, reconnaître les pièges et rédiger une conclusion claire.

Conseil de travail : pour chaque question, il faut être capable de répondre sans calcul long, puis de justifier avec une phrase mathématique précise. Une formule seule ne suffit pas toujours.

1. Suites numériques — Questions fondamentales

  1. Qu’est-ce qu’une suite numérique ?
  2. Quelle différence y a-t-il entre \(u_n\) et \(u_{n+1}\) ?
  3. Quelle différence y a-t-il entre une formule explicite et une relation de récurrence ?
  4. Pourquoi faut-il connaître le premier terme d’une suite définie par récurrence ?
  5. Comment calculer les premiers termes d’une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\) ?
  6. Comment montrer qu’une suite est croissante ?
  7. Comment montrer qu’une suite est décroissante ?
  8. Pourquoi le rang \(n\) est-il toujours un entier naturel ?
Indice méthode

Pour les variations d’une suite, on étudie souvent le signe de \(u_{n+1}-u_n\). Pour une suite définie par récurrence, il faut calculer les termes dans l’ordre.

Réponses attendues détaillées
  1. Une suite numérique est une fonction définie sur une partie de \(\mathbb N\). À chaque entier \(n\), elle associe un nombre noté \(u_n\).
  2. \(u_n\) est le terme de rang \(n\), tandis que \(u_{n+1}\) est le terme suivant.
  3. Une formule explicite donne directement \(u_n\) en fonction de \(n\). Une relation de récurrence donne \(u_{n+1}\) en fonction d’un terme précédent.
  4. Sans premier terme, on ne peut pas démarrer les calculs successifs.
  5. On calcule \(u_1\) à partir de \(u_0\), puis \(u_2\) à partir de \(u_1\), et ainsi de suite.
  6. On peut montrer que \(u_{n+1}-u_n\geq0\) pour tout rang concerné.
  7. On peut montrer que \(u_{n+1}-u_n\leq0\) pour tout rang concerné.
  8. Une suite est indexée par des rangs : \(0,1,2,3,\ldots\), donc par des entiers naturels.

2. Suites arithmétiques — Questions de cours avancées

  1. Comment reconnaître une suite arithmétique ?
  2. Que représente la raison \(r\) ?
  3. Quelle est la formule de \(u_n\) en fonction de \(u_0\) ?
  4. Quelle est la formule de \(u_n\) en fonction de \(u_p\) ?
  5. Comment calculer une somme de termes consécutifs ?
  6. Comment savoir si une suite arithmétique est croissante ou décroissante ?
Réponses attendues détaillées
  1. On calcule \(u_{n+1}-u_n\). Si cette différence est constante, la suite est arithmétique.
  2. La raison \(r\) est le nombre ajouté à chaque étape : \[ u_{n+1}=u_n+r. \]
  3. Si le premier terme est \(u_0\), alors : \[ u_n=u_0+nr. \]
  4. Si on connaît un terme \(u_p\), alors : \[ u_n=u_p+(n-p)r. \]
  5. Pour une somme de termes consécutifs : \[ \text{somme}=\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier}+\text{dernier})}{2}. \]
  6. Si \(r>0\), la suite est croissante. Si \(r<0\), elle est décroissante. Si \(r=0\), elle est constante.

3. Suites géométriques — Questions de cours avancées

  1. Comment reconnaître une suite géométrique ?
  2. Que représente la raison \(q\) ?
  3. Quelle est la formule de \(u_n\) en fonction de \(u_0\) ?
  4. Quelle est la formule de \(u_n\) en fonction de \(u_p\) ?
  5. Comment calculer une somme géométrique ?
  6. Pourquoi une augmentation de \(8\%\) correspond-elle à une multiplication par \(1,08\) ?
  7. Pourquoi une diminution de \(15\%\) correspond-elle à une multiplication par \(0,85\) ?
Réponses attendues détaillées
  1. On vérifie que le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant, lorsque les termes ne sont pas nuls.
  2. La raison \(q\) est le nombre par lequel on multiplie à chaque étape : \[ u_{n+1}=q u_n. \]
  3. Si le premier terme est \(u_0\), alors : \[ u_n=u_0q^n. \]
  4. Si on connaît un terme \(u_p\), alors : \[ u_n=u_pq^{\,n-p}. \]
  5. Si \(q\neq1\), alors : \[ u_0+u_1+\cdots+u_n = u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \]
  6. Augmenter de \(8\%\), c’est multiplier par \(1+\frac{8}{100}=1,08\).
  7. Diminuer de \(15\%\), c’est conserver \(85\%\), donc multiplier par \(0,85\).

Partie II — Cours essentiel

1. Suite arithmétique

Une suite \((u_n)\) est arithmétique lorsqu’il existe un réel \(r\) tel que :

\[ u_{n+1}=u_n+r. \]

Si le premier terme est \(u_0\), alors :

\[ u_n=u_0+nr. \]

Plus généralement, si on connaît un terme \(u_p\), alors :

\[ u_n=u_p+(n-p)r. \]
Interprétation : une suite arithmétique modélise une évolution par ajout constant. La formule \(u_n=u_p+(n-p)r\) est très utile quand on connaît un terme qui n’est pas \(u_0\).

2. Suite géométrique

Une suite \((u_n)\) est géométrique lorsqu’il existe un réel \(q\) tel que :

\[ u_{n+1}=q u_n. \]

Si le premier terme est \(u_0\), alors :

\[ u_n=u_0q^n. \]

Plus généralement, si on connaît un terme \(u_p\), alors :

\[ u_n=u_pq^{\,n-p}. \]
Interprétation : une suite géométrique modélise une évolution par multiplication constante. La formule \(u_n=u_pq^{\,n-p}\) est très utile quand on connaît un terme intermédiaire.

3. Variations d’une suite

Pour étudier le sens de variation d’une suite, on calcule généralement :

\[ u_{n+1}-u_n. \]
Condition Conclusion
\(u_{n+1}-u_n>0\) Suite strictement croissante
\(u_{n+1}-u_n<0\) Suite strictement décroissante
\(u_{n+1}-u_n=0\) Suite constante

4. Algorithme de seuil

Un algorithme de seuil permet de déterminer le premier rang à partir duquel une condition est vérifiée. 

n ← 0
u ← valeur_initiale

Tant que u < seuil
    n ← n + 1
    u ← nouvelle_valeur
Fin Tant que
Attention : la boucle continue tant que la condition est vraie. Elle s’arrête dès que cette condition devient fausse.

Partie III — Méthodes directes

1. Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique

Pour chaque suite, déterminer sa nature.

  1. \(u_n=5-3n\)
  2. \(v_n=4\times1,5^n\)
  3. \(w_n=n^2+1\)
Indice méthode

Calculer \(u_{n+1}-u_n\) pour tester une suite arithmétique. Repérer une expression du type \(u_0q^n\) pour une suite géométrique.

Correction détaillée

Pour \(u_n=5-3n\), on a :

\[ u_{n+1}=5-3(n+1)=2-3n. \] \[ u_{n+1}-u_n=(2-3n)-(5-3n)=-3. \]

La différence est constante, donc \((u_n)\) est arithmétique de raison \(-3\).

Pour \(v_n=4\times1,5^n\), l’expression est de la forme \(v_0q^n\). La suite est donc géométrique de raison \(1,5\).

Pour \(w_n=n^2+1\), on calcule :

\[ w_{n+1}-w_n=((n+1)^2+1)-(n^2+1)=2n+1. \]

Cette différence dépend de \(n\), donc la suite n’est pas arithmétique. Elle n’est pas géométrique non plus.

2. Calculer une somme arithmétique avancée

Une suite arithmétique vérifie :

\[ u_4=17 \qquad\text{et}\qquad u_{12}=49. \]
  1. Déterminer sa raison \(r\).
  2. Déterminer \(u_0\).
  3. Calculer \(u_4+u_5+\cdots+u_{12}\).
Correction détaillée

Comme la suite est arithmétique :

\[ u_{12}=u_4+(12-4)r. \] \[ 49=17+8r. \] \[ r=4. \]

Puis :

\[ u_4=u_0+4r. \] \[ 17=u_0+16. \] \[ u_0=1. \]

La somme contient :

\[ 12-4+1=9 \]

termes. Donc :

\[ u_4+u_5+\cdots+u_{12} = \frac{9(u_4+u_{12})}{2} = \frac{9(17+49)}{2} = 297. \]
Conclusion : \[ \boxed{r=4,\qquad u_0=1,\qquad u_4+\cdots+u_{12}=297.} \]

3. Calculer une somme géométrique avancée

Une suite géométrique \((v_n)\) de raison positive vérifie :

\[ v_2=12 \qquad\text{et}\qquad v_5=96. \]
  1. Déterminer la raison \(q\).
  2. Déterminer \(v_0\).
  3. Calculer \(v_0+v_1+\cdots+v_8\).
Correction détaillée

Comme la suite est géométrique :

\[ v_5=v_2q^{5-2}=v_2q^3. \] \[ 96=12q^3. \] \[ q^3=8. \]

Comme \(q>0\), on obtient :

\[ q=2. \]

Ensuite :

\[ v_2=v_0q^2. \] \[ 12=4v_0. \] \[ v_0=3. \]

Ainsi :

\[ v_n=3\times2^n. \]

La somme vaut :

\[ v_0+v_1+\cdots+v_8 = 3\frac{1-2^9}{1-2} = 3(2^9-1) = 1533. \]
Conclusion : \[ \boxed{q=2,\qquad v_0=3,\qquad v_0+\cdots+v_8=1533.} \]

Partie IV — Applications guidées

Application 1 — Variation d’une suite quadratique

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[ u_n=n^2-10n+21. \]
  1. Calculer \(u_{n+1}-u_n\).
  2. Étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
  3. En déduire les variations de \((u_n)\).
  4. Déterminer la plus petite valeur de la suite.
Indice méthode

Pour les variations d’une suite explicite, la méthode classique consiste à calculer \(u_{n+1}-u_n\), puis à étudier son signe.

Correction détaillée

On calcule :

\[ u_{n+1}=(n+1)^2-10(n+1)+21. \] \[ u_{n+1}=n^2+2n+1-10n-10+21=n^2-8n+12. \]

Donc :

\[ u_{n+1}-u_n=(n^2-8n+12)-(n^2-10n+21)=2n-9. \]

On résout :

\[ 2n-9\geq0 \Longleftrightarrow n\geq \frac92. \]

Comme \(n\) est entier naturel, \(u_{n+1}-u_n\geq0\) pour \(n\geq5\). La suite est donc décroissante de \(u_0\) à \(u_5\), puis croissante à partir de \(u_5\).

\[ u_5=25-50+21=-4. \]
Conclusion : \[ \boxed{\text{La suite admet un minimum égal à }-4\text{ au rang }5.} \]

Application 2 — Algorithme de seuil

Une entreprise produit \(500\) objets la première année. Chaque année, sa production augmente de \(8\%\). On note \(u_n\) la production au bout de \(n\) années.

\[ u_0=500. \]
  1. Justifier que \((u_n)\) est géométrique.
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\geq1000\).
n ← 0
u ← 500

Tant que u < 1000
    n ← n + 1
    u ← 1,08 × u
Fin Tant que
Correction détaillée

Augmenter de \(8\%\), c’est multiplier par :

\[ 1+\frac{8}{100}=1,08. \]

Donc :

\[ u_{n+1}=1,08u_n. \]

La suite est géométrique de raison \(1,08\), donc :

\[ u_n=500\times1,08^n. \]

On cherche :

\[ 500\times1,08^n\geq1000. \] \[ 1,08^n\geq2. \]

Par essais :

\[ 1,08^9\approx1,999 \qquad\text{et}\qquad 1,08^{10}\approx2,159. \]
Le plus petit entier est : \[ \boxed{n=10.} \]

Partie V — Exercices type Bac blanc

Exercice type Bac 1 — Récurrence affine et suite auxiliaire

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=4 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=0,8u_n+6. \]
  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
  2. Déterminer le nombre \(\ell\) vérifiant \(\ell=0,8\ell+6\).
  3. On pose \(v_n=u_n-\ell\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
  4. Exprimer \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
  5. Étudier le sens de variation de \((u_n)\).
  6. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\geq29\).
Indice méthode

Le nombre \(\ell\) est appelé valeur fixe. Il permet de transformer une relation affine en relation géométrique.

Correction détaillée

1. Premiers termes

\[ u_1=0,8\times4+6=9,2. \] \[ u_2=0,8\times9,2+6=13,36. \] \[ u_3=0,8\times13,36+6=16,688. \]

2. Valeur fixe

\[ \ell=0,8\ell+6. \] \[ 0,2\ell=6. \] \[ \ell=30. \]

3. Suite auxiliaire

On pose :

\[ v_n=u_n-30. \]

Alors :

\[ v_{n+1}=u_{n+1}-30. \] \[ v_{n+1}=0,8u_n+6-30=0,8u_n-24. \]

Comme \(u_n=v_n+30\), alors :

\[ v_{n+1}=0,8(v_n+30)-24=0,8v_n. \]

Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(0,8\).

4. Expression explicite

\[ v_0=u_0-30=4-30=-26. \] \[ v_n=-26\times0,8^n. \] \[ u_n=30-26\times0,8^n. \]

5. Variation

Comme \(0<0,8<1\), la suite \(0,8^n\) est décroissante. Donc \(-26\times0,8^n\) est croissante. Ainsi, \((u_n)\) est croissante.

6. Seuil

\[ 30-26\times0,8^n\geq29. \] \[ -26\times0,8^n\geq -1. \]

En divisant par \(-26\), on change le sens de l’inégalité :

\[ 0,8^n\leq \frac1{26}. \]

Or :

\[ 0,8^{14}\approx0,0439 \qquad\text{et}\qquad 0,8^{15}\approx0,0352. \] \[ \frac1{26}\approx0,0385. \]
Le plus petit entier est : \[ \boxed{n=15.} \]

Exercice type Bac 2 — Production et stabilisation

Une entreprise fabrique des pièces. Le premier mois, elle produit \(1200\) pièces. Chaque mois, la production diminue de \(4\%\), puis une amélioration technique permet de produire \(80\) pièces supplémentaires.

On note \(u_n\) la production au mois \(n\), avec \(u_0=1200\).

\[ u_{n+1}=0,96u_n+80. \]
  1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
  2. Déterminer le nombre \(\ell\) tel que \(\ell=0,96\ell+80\).
  3. On pose \(v_n=u_n-\ell\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
  4. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  5. Étudier le sens de variation de \((u_n)\).
  6. Déterminer la production vers laquelle l’entreprise semble se stabiliser.
  7. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\geq1900\).
Indice méthode

On cherche d’abord la valeur fixe \(\ell\), puis on étudie la suite \(v_n=u_n-\ell\).

Correction détaillée

1. Premiers termes

\[ u_1=0,96\times1200+80=1232. \] \[ u_2=0,96\times1232+80=1262,72. \]

2. Valeur fixe

\[ \ell=0,96\ell+80. \] \[ 0,04\ell=80. \] \[ \ell=2000. \]

3. Suite auxiliaire

On pose \(v_n=u_n-2000\). Alors :

\[ v_{n+1}=u_{n+1}-2000. \] \[ v_{n+1}=0,96u_n+80-2000. \] \[ v_{n+1}=0,96u_n-1920. \]

Comme \(u_n=v_n+2000\), on obtient :

\[ v_{n+1}=0,96(v_n+2000)-1920=0,96v_n. \]

Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(0,96\).

4. Expression explicite

\[ v_0=u_0-2000=1200-2000=-800. \] \[ v_n=-800\times0,96^n. \] \[ u_n=2000-800\times0,96^n. \]

5. Variation

Comme \(0<0,96<1\), \(0,96^n\) est décroissante. Donc \(-800\times0,96^n\) est croissante. La suite \((u_n)\) est donc croissante.

6. Stabilisation

Lorsque \(n\) devient grand, \(0,96^n\) devient proche de \(0\). Donc \(u_n\) semble tendre vers \(2000\).

La production semble se stabiliser autour de : \[ \boxed{2000\text{ pièces}.} \]

7. Seuil

\[ 2000-800\times0,96^n\geq1900. \] \[ -800\times0,96^n\geq -100. \]

En divisant par \(-800\), on change le sens :

\[ 0,96^n\leq0,125. \]

Par essais :

\[ 0,96^{50}\approx0,1299 \qquad\text{et}\qquad 0,96^{51}\approx0,1247. \]
Le plus petit entier est : \[ \boxed{n=51.} \]

Exercice type Bac 3 — Capital, algorithme et seuil

Un capital initial de \(1500\) euros est placé à un taux annuel de \(5\%\). Chaque année, après les intérêts, on ajoute \(200\) euros.

\[ u_0=1500 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=1,05u_n+200. \]
  1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
  2. Expliquer pourquoi la suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
  3. Expliquer le rôle des variables \(n\) et \(u\) dans l’algorithme.
  4. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\geq5000\).
n ← 0
u ← 1500

Tant que u < 5000
    n ← n + 1
    u ← 1,05 × u + 200
Fin Tant que
Correction détaillée \[ u_1=1,05\times1500+200=1775. \] \[ u_2=1,05\times1775+200=2063,75. \]

La suite n’est pas arithmétique car on n’ajoute pas toujours le même nombre. Elle n’est pas géométrique car on ne multiplie pas seulement par une constante : on ajoute aussi \(200\).

Dans l’algorithme, \(n\) représente le nombre d’années écoulées et \(u\) représente le capital obtenu après \(n\) années.

Par calculs successifs :

\[ u_3\approx2367,19,\quad u_4\approx2685,55,\quad u_5\approx3019,83. \] \[ u_6\approx3370,82,\quad u_7\approx3739,36,\quad u_8\approx4126,33. \] \[ u_9\approx4532,65,\quad u_{10}\approx4959,28,\quad u_{11}\approx5407,25. \]
Le capital dépasse \(5000\) euros pour la première fois après : \[ \boxed{11\text{ années}.} \]

Partie VI — Bilan méthode

Ce qu’il faut retenir

  1. Une suite arithmétique se reconnaît par une différence constante : \[ u_{n+1}-u_n=r. \] Ses formules importantes sont : \[ u_n=u_0+nr \qquad\text{et}\qquad u_n=u_p+(n-p)r. \]
  2. Une suite géométrique se reconnaît par une multiplication constante : \[ u_{n+1}=q u_n. \] Ses formules importantes sont : \[ u_n=u_0q^n \qquad\text{et}\qquad u_n=u_pq^{\,n-p}. \]
  3. Pour étudier les variations, on calcule souvent : \[ u_{n+1}-u_n. \]
  4. Un algorithme de seuil cherche le premier rang vérifiant une condition.
  5. Une suite affine \(u_{n+1}=au_n+b\) se traite souvent avec une suite auxiliaire : \[ v_n=u_n-\ell. \]
Erreurs classiques : confondre \(n\) et \(n+1\), oublier le nombre de termes dans une somme, ne pas changer le sens d’une inégalité en divisant par un nombre négatif, ou croire qu’une suite \(u_{n+1}=au_n+b\) est automatiquement géométrique.