Révision — Analyse : second degré, dérivation et exponentielle

1. Si \(a=0\), l’expression devient \(bx+c\), donc ce n’est plus une fonction du second degré mais une fonction affine.
2. Les trois formes sont : \[ ax^2+bx+c,\qquad a(x-\alpha)^2+\beta,\qquad a(x-x_1)(x-x_2). \] La première sert souvent au calcul de \(\Delta\), la deuxième au sommet et à l’optimisation, la troisième au signe et aux zéros.
3. Le discriminant permet de savoir si l’équation associée possède des racines réelles : si \(\Delta>0\), il y a deux racines ; si \(\Delta=0\), une racine double ; si \(\Delta<0\), aucune racine réelle.
4. Si \(\Delta>0\), alors \[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. \] Après calcul, on range les deux racines dans l’ordre croissant.
5. Si \(\Delta=0\), les deux formules donnent la même valeur : \[ x_0=-\frac{b}{2a}. \] La parabole touche l’axe des abscisses sans le couper.
6. Si \(\Delta<0\), le trinôme ne s’annule jamais. Son signe est donc constant sur \(\mathbb R\), et ce signe est celui de \(a\).
7. Quand \(\Delta>0\), on peut écrire \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \] Le produit change de signe aux racines : on obtient donc le signe de \(a\), puis celui de \(-a\), puis celui de \(a\).
8. L’abscisse du sommet est \[ \alpha=-\frac{b}{2a}, \] puis on calcule \(\beta=f(\alpha)\). Le sommet est \(S(\alpha;\beta)\).
9. La forme canonique donne directement la valeur minimale ou maximale, car \((x-\alpha)^2\geq0\).
10. Si \(a>0\), la parabole est tournée vers le haut : le sommet est le point le plus bas. La fonction admet donc un minimum.
11. Dans \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\), si \(a>0\), \(\beta\) est le minimum ; si \(a<0\), \(\beta\) est le maximum.
12. On peut montrer qu’un trinôme est toujours positif en utilisant \(\Delta<0\) et \(a>0\), ou en écrivant une forme canonique du type \(a(x-\alpha)^2+\beta\) avec une somme positive.

1. L’image de \(x\) est le nombre \(f(x)\). Les antécédents de \(k\) sont les valeurs de \(x\) telles que \(f(x)=k\).
2. Résoudre \(f(x)=0\), c’est chercher les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
3. Résoudre \(f(x)>0\), c’est chercher les abscisses pour lesquelles la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses.
4. Le signe indique si \(f(x)\) est positif ou négatif. Les variations indiquent si les valeurs de \(f(x)\) augmentent ou diminuent.
5. On résout l’équation \(f(x)=k\), puis on vérifie que les solutions appartiennent bien au domaine de définition.
6. Un maximum est la valeur la plus grande atteinte par la fonction sur l’intervalle ; un minimum est la valeur la plus petite.
7. On peut le justifier avec le signe de la dérivée : si \(f'(x)>0\) sur l’intervalle, alors \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle.
8. Il faut vérifier que la fonction est bien définie au point étudié et que la variation change réellement de sens autour de ce point.
9. Si la fonction est monotone sur un intervalle, on peut calculer quelques images et utiliser les variations pour localiser une solution.
10. On conclut par exemple : « Les courbes de \(f\) et \(g\) se coupent pour les abscisses trouvées. » ou « L’ensemble des solutions est ... ».

1. Le nombre dérivé \(f'(a)\) est la limite, lorsqu’elle existe, du taux de variation : \[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \] lorsque \(h\) se rapproche de \(0\).
2. Géométriquement, \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\).
3. L’équation de la tangente est \[ y=f'(a)(x-a)+f(a). \]
4. Une tangente horizontale a un coefficient directeur égal à \(0\). Donc \(f'(a)=0\).
5. On étudie le signe de ce trinôme avec le discriminant, puis on construit le tableau de variations de \(f\).
6. Le signe de \(f'\) mesure le sens de variation : si \(f'>0\), la fonction augmente ; si \(f'<0\), elle diminue.
7. Si \(f'\) passe de négatif à positif, alors \(f\) passe de décroissante à croissante : il y a un minimum local.
8. Si \(f'\) passe de positif à négatif, alors \(f\) passe de croissante à décroissante : il y a un maximum local.
9. Les trois étapes sont : modéliser la grandeur par une fonction, étudier les variations, puis conclure dans le contexte avec l’unité et la valeur de la variable.
10. Une valeur critique peut être hors de l’intervalle autorisé. Il faut donc comparer uniquement les valeurs admissibles.

1. La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb R\) : pour tout réel \(x\), \(e^x>0\).
2. Comme \(e^x\) n’est jamais nul, l’équation \(e^x=0\) n’a aucune solution réelle.
3. On utilise : \[ e^{a+b}=e^ae^b,\qquad e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b},\qquad (e^a)^n=e^{an}. \]
4. La dérivée de \(e^x\) est \(e^x\).
5. Si \(u\) est dérivable, alors \[ \left(e^{u(x)}\right)'=u'(x)e^{u(x)}. \]
6. Pour tout réel \(t\), \(e^t>0\). Donc \(e^{u(x)}\) est toujours strictement positif, quelle que soit la valeur de \(u(x)\).
7. Comme \(e^x>0\), le signe de \(e^x(2x-3)\) est exactement le signe de \(2x-3\).
8. Comme l’exponentielle est strictement croissante, \(e^{2x}=e^{x+3}\) équivaut à \(2x=x+3\), donc \(x=3\).
9. On pose \(X=e^x\), avec \(X>0\). L’équation devient alors \[ X^2-5X+6=0. \] On revient ensuite à \(e^x=X\).
10. L’exponentielle modélise des phénomènes où le taux de croissance est proportionnel à la quantité présente.

1. Comme \(2>0\), le signe est positif à l’extérieur des racines \(-3\) et \(1\), négatif entre les deux. Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-3]\), décroissante sur \([-3;1]\), puis croissante sur \([1;+\infty[\).
2. Comme \((x-2)^2\geq0\), on a \(-3(x-2)^2\leq0\). Donc \(g\) est décroissante sur \(\mathbb R\). En \(x=2\), la dérivée s’annule mais ne change pas de signe : on ne conclut pas à un extremum.
3. Comme \(e^x>0\), le signe de \(h'(x)\) est celui de \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). On étudie donc le signe du trinôme \(x^2-4\).
4. Il faut que le minimum soit strictement négatif et que les valeurs aux bornes étudiées soient positives, ou plus généralement que la courbe coupe deux fois l’axe des abscisses.
5. \(f'(x)=e^x-a\), donc \(f'(0)=1-a\). La tangente en \(0\) est horizontale si \(1-a=0\), donc \(a=1\).
6. Le tableau de signe de \(f'\) donne seulement le signe de la dérivée. Le tableau de variations traduit ce signe en croissance, décroissance et extremums de \(f\).
7. Il faut donner la grandeur optimale, vérifier que \(x=\alpha\) appartient à l’intervalle autorisé, et conclure avec une phrase dans le contexte du problème.
8. Pour un trinôme \(ax^2+bx+c\), le signe à droite de la plus grande racine doit être celui de \(a\). Cela permet de détecter beaucoup d’erreurs.

Le sommet de la parabole a pour coordonnées \((\alpha;\beta)\). Si \(a>0\), la parabole est tournée vers le haut. Si \(a<0\), elle est tournée vers le bas.

Ici, \(a=2\), \(b=-5\) et \(c=-3\).

Comme \(\Delta>0\), l’équation admet deux solutions :

On résout d’abord \(P(x)=0\), soit \(-x^2+4x+5=0\). Ici \(a=-1\), \(b=4\), \(c=5\).

Les racines sont donc \(-1\) et \(5\). Comme \(a<0\), le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre les racines.

Le signe de \(f'(x)\) dépend de \(x\) et de \(x-2\).

Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty;0]\), décroissante sur \([0;2]\), puis croissante sur \([2;+\infty[\).

On pose \(X=e^x\). Alors \(e^{2x}=(e^x)^2=X^2\).

Donc \(X=1\) ou \(X=2\).

• Si \(e^x=1\), alors \(x=0\).
• Si \(e^x=2\), on note \(\alpha\) l’unique réel tel que \(e^\alpha=2\).

On dérive :

On étudie le signe de \(3x^2-8x+1\).

Comme le coefficient dominant est positif, \(f'(x)\) est positif à l’extérieur des racines et négatif entre les racines.

Pour la tangente au point d’abscisse \(1\) :

Si le périmètre vaut \(40\), alors \(2L+2x=40\), donc \(L+x=20\), d’où \(L=20-x\).

On dérive :

Donc \(A'(x)=0\) pour \(x=10\). Sur \([0;20]\), \(A'(x)>0\) avant \(10\) et \(A'(x)<0\) après \(10\).

L’aire maximale vaut \(100\) cm\(^2\), obtenue pour \(x=10\). Alors \(L=20-10=10\). Le rectangle optimal est donc un carré.

On dérive :

Sur \([0;+\infty[\), on a \(e^x\geq1\). Donc :

Ainsi \(g'(x)\geq0\) sur \([0;+\infty[\). La fonction \(g\) est donc croissante sur \([0;+\infty[\).

Comme \(g\) est croissante sur \([0;+\infty[\), son minimum est atteint en \(0\).

Comme \(a=3>0\), le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre les racines.

Pour \(\frac{P(x)}{x-1}>0\), on ajoute la valeur interdite \(x=1\).

Les valeurs critiques sont \(-1\) et \(3\). Comme \(f'(x)\) est un trinôme de coefficient dominant négatif, il est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles.

\(f\) admet un minimum local en \(-1\), égal à \(-11\), et un maximum local en \(3\), égal à \(23\).

Pour la tangente en \(0\) :

On pose \(X=e^x\), avec \(X>0\). Alors :

Donc \(f(x)=0\) équivaut à :

Comme \(e^0=1\), la première solution est \(x=0\). Pour la deuxième, on note \(\beta\) l’unique réel tel que \(e^\beta=3\).

On a donc :

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, \(e^x-1\) s’annule en \(0\), et \(e^x-3\) s’annule en \(\beta\).

On calcule maintenant la dérivée :

Comme \(2e^x>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(e^x-2\). On note \(\alpha\) l’unique réel tel que \(e^\alpha=2\).

La fonction \(f\) admet donc un minimum égal à \(-1\), atteint pour \(x=\alpha\), où \(e^\alpha=2\).

Pour que la boîte existe, il faut \(x>0\) et \(12-2x>0\), donc \(x<6\). Ainsi \(x\in]0;6[\).

On dérive :

Sur \(]0;6[\), \(V'(x)>0\) sur \(]0;2[\), puis \(V'(x)<0\) sur \(]2;6[\).

On dérive le produit \(e^x(x-2)\) :

Comme \(e^x>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x-1\).

Pour la tangente en \(1\), on a \(f'(1)=e(1-1)=0\).

Enfin, \(f(1)=1-e<0\) et \(f(2)=1>0\). Comme \(f\) est continue sur \([1;2]\), il existe au moins une solution de l’équation \(f(x)=0\) sur \([1;2]\).